Meccanica applicata alle macchine - Appunti (parte terza)

Possiamo inoltre definire la

Frequenza propria

f_o = ¹/_T = ^w_o/_2π

w_o = 2πf_o [rad/s]

x(t) è reale

imposta la somma dei vettori è un reale

Altro modo per scrivere la soluzione

1. x(t) = A cos ω_t + B sin ω_t
2. x(t) = X cos(ωt + ψ)

x(t) può essere risolta con le formule trigonometriche

x(t) = X cos(ωt) cosψ - X sin(ωt) sinψ

• A = X cosψ
• B = X sinψ

x = 0; X > 0

Calcoliamo le reazioni vincolari

d/dt (Q_x0) = F_x^nv + F_x

Q̇ × = Π × ẋ

d/dt (Q_y0) = Π × ẋ

F_ix = F_i , F_x^nv = (H_z + H_l) x

Π × = F + H_z + H_l

d/dt (Γ̇₀₀) = V̇₀ Λ Q̇₀ = Γ̇₀ ^nv

Γ̇₀₀ = (C-B) Λ Q̇_c + Q₀ Λ Q̇_c + C₀Q̇₀ ω

= (ẋ-x₀)Λ F_c + (z_l)Q̇_k + (u/3 s₅) Λ m g ẋ

= Π × y₀ ẋ + n u₂ Q̇_k + u/3 m g ẋk̇

sapendo che

Ẏ_B = Ẏ₀ = x tg α

otteniamo

dΓ̇₀/dt = Π_2/2 Q̇ + u/3 m g Ẏ + Π XẎ₀-X tg α - Π x² tg α

V̇₀Λ m Ẏ₅ , Q̇₀ = m Ẏ Ẋ + Π ẋ

V̇_BΛ Q̇_tot = Ẋ/5 (m Ẏ ^k + x Ẋ^j) = - Π ẋ Ẏ^k

Γ̇₀ = (C-B)Λ F_i + (C-B)Λ m Ẏ + (C-D)Λ m g Ẏ

= (ẋ-x₀)Λ F_e + (x₀-y₀)Λ M_g⁵ + (a³ẋ-b₅)Λ m g Ẏ⁵

F Ẏ_o^k - m y Ẋ₆ + α/3 m y Ẋ²

Utilizziamo Lagrange: scriviamo le equazioni in cui intervengono:

• Energia cinetica (Ek)
• Energia potenziale (V), dipendente dalle posizioni occupate dal corpo negli istanti iniziale e finale
  • gravitazionale mgh
  • elastica 1/2kL
• Energia dissipativa (D), legata alla velocità di un corpo (e.g., microstriscine), ammortizzatore
• Componente Lagrangiana (Qx), data dalle forze che a seconda della definizione del k-mso CdL contribuiranno allo spostamento voluto

e come come formulazione

d dt (δEk) + (δV) + (δD) = Qk Energia cinetica                         Energia potenziale           Energia dissipativa         Forze Teorema di Lagrange

Se in un sistema la

• Velocità = 0
• non ho energia cinetica né dissipativa (Ek=0, D=0)
• ho energia potenziale
• se ho forze applicate, ho la componente Lagrangiana

Nel nostro caso Rs, non ho invece:

1. energia cinetica
2. energia potenziale gravitazionale
3. la componente Lagrangiana per il non avere applicate.

• non ho invece:
  • la componente dissipativa

q, q̇: generica coordinata Lagrangiana rispetto alla quale devo scrivere lequazione di Lagrange

Nel nostro caso sono  (x, q)     e  (ẋ, q̇)

Quindi impongo il sistema

• \(\vec{F}_n + \vec{P} + \vec{F}_{\text{A}} = 0\)
• \(\vec{P}_n + (\vec{r} - \vec{o}) \land \vec{F}_n + \vec{P}_o + \vec{P}_\text{A} \land \vec{r}_\text{A} = 0\)

• \(\vec{F}_n = m\left( \vec{x} - \frac{l}{2} \dot{\theta} \cos \theta \, \vec{i} + \frac{l}{2} \dot{\theta} \sin \theta \, \vec{j} \right) + m\left( -\frac{l}{2} \dot{\theta} \sin \theta - \frac{l}{2} \dot{\theta} \cos \theta \right) \vec{j}\)
• \(\vec{P}_n = -\delta C \, \vec{k} = -\frac{1}{12} ml \, \ddot{\theta} \, \vec{k}\)
• \(\vec{F} = F_x \, \vec{i} - mg \, \vec{j}\)
• \(\vec{F}_\text{nv} = V_s \, \vec{j}\)

Ottengo il sistema

• \(\left(x - \frac{l}{2}\dot{\theta} \cos \theta\right)\left( \frac{l}{2} g \sin \theta + \frac{l}{2} \dot{\theta}^2 m \right) + m\left(-\frac{l}{2} \dot{\theta} \sin \thet