Meccanica applicata alle macchine - Appunti

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

09/03/2009

L (lunghezza di AB) = l [m]

M = m [kg]

T = t [s]

L, M, T sono numeri reali [m], [kg], [s] e l, m, t sono le unità di misura.

La lunghezza L, la massa M e il tempo T sono le tre quantità fondamentali per la meccanica: da queste unità fondamentali si possono ricavare le condizioni derivate (forza, velocità, accelerazione, momento d'inerzia...).

Quantità scalari e quantità vettoriali:

Consideriamo l'esempio di un punto P che si muove lungo una traiettoria. Tale punto è proprio P e può essere descritto sia con quantità scalari sia con quantità vettoriali.

Se per descrivere il moto del punto P utilizzo l'asse curvilinea, si usa una quantità scalare (misura dell'arco compiuto lungo la traiettoria):

• S(P) = s [m] dove s >= 0 (s ∈ ℝ)

Per descrivere il movimento del punto P si usa anche un'altra quantità vettoriale:

• P-O = |P-O| • u [m] dove |P-O| >= 0 e ∈ ℝ⁺
• u = verso
• In questo caso per descrivere il movimento del punto P si usa il vettore P-O.

|P-O| è il modulo del vettore P-O e purché esso sia > 0 perché in esso è contenuta anche l'informazione relativa al verso del vettore P-O.

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

09/03/2009

L (lunghezza di AB) = l [m]

M = m [kg]

T = t [s]

L, M, T sono numeri reali [m], [kg], [s] è l'unità di misura.

La lunghezza L, la massa M e il tempo T sono le tre grandezze fondamentali per la meccanica. Da queste unità fondamentali si possono ricavare le cosiddette unità derivate (forza, velocità, accelerazione, momento d'inerzia ... ).

Quantità scalari e quantità vettoriali

Consideriamo l'esempio di un punto P che si muove lungo una traiettoria.

Tale punto P può pure essere descritto sia con quantità scalari sia con quantità vettoriali.

Se per descrivere il moto del punto P utilizzo l'asse curvilinea, prendo una quantità scalare (misura dell'arco complesso lungo la traiettoria):

S (P) = s [m] dove s ≥ 0 (s ∈ ℝ)

Per descrivere il movimento del punto P si può anche utilizzare una quantità vettoriale:

P-O = |P-O| ⋅ U [m] dove |P-O| ≥ 0 e ∈ ℝ₊

U = versore

In questo caso per descrivere il movimento del punto P si usa il vettore P-O.

|P-O| è il modulo del vettore P-O e più esso si può perdendo si esso è contenuta anche l'informazione relativa al verso del vettore P-O.

Sistemi di riferimento

La scelta di un sistema di riferimento è estremamente arbitraria (si essa ad esaminare il movimento con riferimento a un dato sistema di riferimento (coordiniate del corpo variano a prescindere dal sistema di riferimento scelto).

Cambio di coordinate per la traslazione

Dal disegno risulta che,P - O = P - O' + O' - O

dove P - O e P' - O sono i punti di vista di O - O', O' - O indica di quanto si è spostato O' da O

Cambio di coordinate per la rotazione

X' = [M . x + M . y] . MY' = [M . x + M . y] . M

{x'} = [M . M M . M M . M M . M] {x} {y'} {y}

← matrice di trasformazione della rotazione.

(P - O') = M x(P) + M y(P) (P' - O') = M' x(P) + M' y(P)

La matrice della trasformazione dalla rotazione e la matrice dei coseni direttori, per arrivare a questa notazione possimo fare una delle considerazioni generative sulle proiezioni ortogonali:

Dalle considerazioni geometriche si ottiene la:

{ x = x' cosθ - y' senθ

{ y = x' senθ + y' cosθ

e la matrice di trasformazione della rotazione è quindi:

| cosθ -senθ |

| senθ cosθ |

Tuttavia il percorso seguito precedentemente non è basato sulle considerazioni geometriche, ma su un concetto più astratto, cioè il fatto che la proiezione di un vettore su una retta è data dal prodotto scalare del vettore per il versore della retta.

P · O' | ..................P · O = P · O · μ = (P · O) cosθ

(P · O') = { μ_x x'(P) + μ_y y'(P) } · μ_x

I coseni direttori sono il prodotto scalare tra i versori di un sistema di riferimento e i versori di un altro sistema di riferimento:

μ_x · μ_x = cosθ

μ_y · μ_y = cosθ

μ_y · μ_x = -senθ

μ'_x · μ'_y = senθ

Di conseguenza la matrice di trasformazione alla rotazione risulta essere uguale a quella ottenuta con le considerazioni geometriche (ovviamente).

Cambio di coordinate per la rototraslazione:

| X(P) | = | X₀ | + | T | { x'(P) }

| Y(P) | = | Y₀ | | y'(P) |

X̅ = X̅₀ + [ T ] X̅'

Il cambio di coordinate risulta essere composto sia dalla matrice della trasformazione rotatoria, sia dal vettore dello spostamento (o spostamento traslatorio).

Rotazione nello spazio

Nello spazio la matrice di trasformazione della rotazione risulta essere una