Meccanica applicata alle macchine - Appunti

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

09/03/2009

L (lunghezza di AB) = l [m]

M = m [kg]

T = t [s]

l, m, t sono numeri reali, [m], [kg], [s] è sono le unità di misura

La lunghezza L, la massa M e il tempo T sono le tre quantità fondamentali per la meccanica da queste unità fondamentali possiamo ricavare le cosiddette unità derivate (area, velocità, accelerazione, momento d'inerzia ...).

Quantità scalari e quantità vettoriali

Consideriamo l'esempio di un punto P che si muove lungo una traiettoria:

Per descrivere il moto del punto P utilizza l'ascissa curvilinea, cioè una quantità scalare (misura dell'arco compreso lungo la traiettoria):

S(P) = s [m] dove s ≥ 0 (s ∈ R)

Per descrivere il movimento del punto P, si può anche utilizzare una quantità vettoriale:

P-Q = |P-Q|·Ṽ [m] dove |P-Q| ≥ 0 e Ṽ ∈ R³

P-Q è il modulo del vettore P-Q e Ṽ il versore

In questo caso per descrivere il movimento del punto P si usa il vettore P-Q:

|P-Q| è il modulo del vettore P-Q e per esso prevede che esso sia ≥ 0 perché in esso è contenuta anche l'informazione relativa al verso del vettore P-Q.

Sistemi di riferimento

La scelta di un sistema di riferimento è liberamente attuabile. È legge di derivazione il movimento dei corpi invariati rispetto al sistema di riferimento (continua ad essere valido a prescindere dal sistema di riferimento scelto).

Cambio di coordinate per la traslazione:

Dal disegno si osserva che:

_P - _O = _P - _O + _O - _O

dove _P - _O e _P' - _O sono punti di vista di _O , _O' indica lo spostato di _O' da _O.

Cambio di coordinate per la rotazione:

^X = (M_x ⋅ x' + M_y ⋅ y') ⋅ M_x

^Y = (M_x ⋅ x' + M_y ⋅ y') ⋅ M_y

i nuovi vettori le coordinate di P rispetto a O' negli assi x e y

• (_P - _O) = M_x x(P) + M_y y(P)
• (_P - _O) = M_x' x(P) + M_y' y(P)

la matrice di trasformazione della rotazione è la matrice di cambiamento di direzione per avere la giusta notazione per favorire delle costruzioni geometriche sulle proiezioni ortogonali.

Si può quindi scrivere:

^df⁄_dt = ^dp⁄_ds • ^ds⁄_dt

^dp⁄_ds = 1;   ^df⁄_ds = t

V = ^df⁄_dt = t • ^s⁄_s

10/03/2009

Ancora però per la velocità a partire dal vettore spostamento

più breve -ripeto partendo dalla velocità per ricavare la acc-

a = ^d⁄_dt = v = ^df⁄_dt = ^df⁄_ds • ^ds⁄_dt = ...

compon. tange del veloce

doti della derivata funzione pressione

e accelerazione - nota de e composto da due termini (conditi-

composti dalla derivata derivata dell'orgrafico); il primo termine

e tangente alla traiettoria e nella direzione della retta rappresentante il

reciprocoseno (replicature di vs nella parte pd)

. Il segno è red, rappresenta part

Nel caso d'analisi l'arcereestato dogni curva è esprimi-

ibile facilmente da una termo d'rettoreoya.

Il vettore tangente t è quello quando

m edireplic (agulla o il primo indicatore

(quella pa cui fisaco dove curva h'è il

dettor primeto) o il vettore lo normalel 'è

perpendicolare unevenjataagli altri due dels tern

no di vettorn veloce delta termo intrinseca della curva.

P(t)

P(t+dt) P(t+dt)

di nota de P(t+dt) = P(t) + neP(t)

I definee il sensore tangeti; andvtesemo ora ero con libio

Espressione dell'accelerazione in forma polare, derivando la velocità

a = \[ \frac{d}{dt} \] V(t) = V\dot{e}^{i\dot{d}} + V\dot{i}\dot{e}^{i\dot{d}}\] , [i\dot{d} = \[1 + i\pi/2\]]

versore tangente [|V(t)| = s]

grafico

Cerchiamo di capire cosa è V\dot{d}:

ds = r\dot{d}

ds = Vdt

r\dot{d} = V

V\dot{d} = \[ \frac{V^2}{r}\]

L'accelerazione risulta quindi essere:

a = V\dot{e}^{i\dot{d}} + \[ \frac{1}{r} \]V\dot{z} , [d + i\pi/2]

a tangente → accelerazione centripeta

NOTA

In questo ultimo passaggio z’ è perso l'informazione relativa al senso dell'angolo normale (cioè dove colloca l'angolo d’), perché scompare il termine in i

(d’ > 0)

(d’ < 0)

...gioro il movimento e lo spasso di quello dell'osservatore di potostante rispetto al corpo rigido pure del movimenteo...

indicano però che il movimento potuta di un corpo rigido rimangano invariati durante il movimento e di conseguenza gli ang...

Gradi di libertà del corpo rigido:

Un corpo rigido rappresenta nello spazio ha 6 gdl; il numero di gradi di libertà è l'unica grandezza che ci permette...

nell'insieme la collocazione del corpo rigido nello spazio.

...ci sono vari modi per identificare uno specifico posizionamento di un corpo rigido nello spazio.

Per esempio, si possono assegnare le coordinate di tre punti i cui coordinati noto

{x,y,z}_A^B

Queste tre coordinate assegnate non sono idonee considerando il fatto che il corpo è rigido.

I vincoli esistenti tra le nove coordinate sono quelli da determinare la configurazione dei tre segmenti che devono rimanere fissa proprio perché il corpo è rigido.

Quindi, 3 libri di assegnare 6 coordinate indipendenti per ottenere la posizione di un corpo rigido nello spazio - 6gdl.

Altrimenti, dato le coordinate di tre punti, 3 più determinare la collocazione del corpo rigido in un altro modo:

{ x₀ , y₀ , z₀ }

2 assegnare le coordinate di un punto all'origine del sistema rigido fisso in altre rispetto all'orientamento relativo al corpo rigido...

è detta B vers A è

esercitazione

12/03/2009

obiettivo

• sapere studiare la cinematica di un qualcosa (Es. punto, corpo rigido corpo deformabile-)

la cinematica sta alla base della dinamica

cinematica v dinamica (aderazioni e forze inerziali)

forze d’inerzia v ascensori perde lo statore tende e rima - variabili i soni aderenze - sem zedl)

errori da non commettere:

• scalare/vettore (non confondere)
• direzione, verso e modulo dei sistemi di corpo (porta variabile delle aspezi, direzione verso e modulo (scelto sbagliato e forse invertito)

Accelerazione

nelle coordinate cartesiane:

_ap = _x^. _i + _y^. _j

nelle coordinate polari:

_ap = ṗ _e^iθ + ρθ^. _e^i(θ+π/2)

+ ṗθ^. _e^i(θ+π/2) - ρθ² _e^iθ

Rappresentando i vari termini dell'accelerazione

due termini sono diretti paralleli-

mente a P-O (nel disegno opposto)

(uno è centripeto)

Caso di moto rettilineo: θ = cost.

_vp = ṗ _e^iθ

_ap = ṗ^. _e^iθ

...entrambi diretti come

il vettore P-O

Caso di moto rotatorio (o altro di moto): ρ = cost.

_vp = ρθ^. _e^i(θ+π/2)

_ap = ρθ² _e^iθ