Meccanica Applicata alle macchine

Meccanica applicata alle macchine

Spazio e quantità

Spazio descritto dalla metrica su un sistema cartesiano orientato.

Quantità: scalare, vettoriale.

Scalare: numero in unità di misura che rappresenta una coordinata del punto nello spazio (numero reale con segno).

Punto nello spazio si muove descrivendo una traiettoria, ovvero l'ascissa curvilinea la cui lunghezza da un'origine è uno scalare.

Vettoriale: definisco un tratto di retta a cui assegno direzione e verso (P-O).

Uso le 3:

• P_x
• P_y -> Coordinate del punto nello spazio
• P_z

In funzione del tempo: P-O(t) ⊕ r(t).

Meccanica applicata alle macchine

Spazio cartesiano orientato

Spazio descritto dalla metrica su un sistema cartesiano orientato.

Scalare: numero in unità di misura che rappresenta una coordinata del punto nello spazio (numero reale con segno).

Punto nello spazio si muove descrivendo una traiettoria ovvero l’ascissa curvilinea la cui lunghezza da un'origine è uno scalare.

Vettoriale: definisco un tratto di retta a cui assegno direzione e verso.

Uso le 3 quantità scalari:

• P_x
• P_y
• P_z

Coordinate del punto nello spazio.

In funzione del tempo: P-O(t) oppure l(t).

(P - O₁) = (P - O₂) + (O₂ - O₁)

N.B. Consideriamo l'osservatore!

• Per osservatore 1: P - O₁(t)
• Per osservatore 2: P - O₂(t)

Quadernetti in movimento rispetto a 1 (Teorema Moti Relativi).

La descrizione del movimento è relativa all'osservatore definito.

Se ho due osservatori fermi si applica trasformazione di coordinate.

Rappresentazione 3D e 2D

3D: P-O = î P_x(t) + ĵ P_y(t) + k̂ P_z(t)

Con: |P| = √(P_x² + P_y²) = atan ^P_y/_Px

2D: P-O = î P_x(t) + ĵ P_y(t)

Notazione complessa

Notazione complessa: P̅ = P_x + ȳ P_y (complesso).

|P̅| e^jθ (forma esponenziale).

Velocità

Velocità: V = lim_Δt→0 ^{ℓ(t+Δt) - ℓ(t)}/_Δt

V = lim_Δt→0 ^ΔP/_Δt

ℓ = ℓ(s(t)) ← punta arco curvilineo sui fuori tempo, quindi:

N.B.: per Δs → 0:

d/ds = Δ/Δs ↑ secante quando le secante Δ e l'arco Δs vengono a coincidere.

Inoltre tendendo a 0 la secante sarà tangente nel punto, quindi:

Δ/Δs → ︳︳=1 (vettore tangente) ➡ versore modulo 1.

V = d/dt = d/ds · ds/dt = · ṡ d/dt = d/ds · ds/dt = · ṡ = V(t) (qui si veda tangente) ché non sarà dire tangente alla traiettoria.

Nel piano:

V = ṗₓ + ṗ

V = ṗ_x + ṗ_y

V_x = ṗ_x

V = ṗ

V = √(V_x² + V²)

Se p̅ = P(t) e^i(t) → (t) = |p̅|.

V̅ = ^dp̅/_dt = ṗ(t) eⁱ + (t) iṗ(t) eⁱ

i.e^-i = e^i(+/₂)

e^i(/₂) eⁱ = e^i(+/₂)

Quindi: V̅ = ṗ(t) eⁱ + (t) ṗ(t) e^i(+/₂)

V̅(t) = |V(t)| eⁱ con = + atan(ṗ/ṗ).

tg = V/V_x

tg α = V_y / V_x

P(t) { x = x(t) → t = g(x) y = y(t) → y = y(g(x)) = f(x) }

tg α = V_y / V_x = (dy/dt) / (dx/dt) = (dy/dt) / (dt/dx) = dy/dx = f'(x)

V(t) = |V(t)|e^iα

Accelerazione

Accelerazione:

V = (dP/ds)·(ds/dt) = ṗ·ṡ

P = P(s(t))

a = (dṔ/ds)·(ds²/dt²) + (d²P/ds)·(ds/dt)

a = ṗ·ṡ + m / ρ ṡ²

d²P/ds² = m / ρ

a = lim_Δt→0 (V(t+Δt) - V(t)) / Δt = dV/dt → dV/dt

N.B.: ṡ = |V|, ṡ² = |V|²

ρ: raggio curvatura.

a avrà due comp.:

• Normale
• Tangente

Abbiamo due versi tangenti diversi in inizio e fine con orientamento diverso. Te identifichiamo un piano!

I due versori definiscono il piano osculatore:

d_s = ρ·dθ

Il dθ tra i due versori è lo stesso dθ dato dalla rotazione del raggio.

Definizione: ρ =