Meccanica Applicata alle macchine

Meccanica applicata alle macchine

Spazio descritto dalla matrice su un sistema cartesiano orizzontale.

Quantità:

• Scalare
• Vettoriale

Scalare: numero in unità di misura che rappresenta una coordinata del punto nello spazio (numero reale con segno).

Punto nello spazio si muove descrivendo una traiettoria ovvero l'ascissa curvilinea la cui lunghezza da un'origine è uno scalare.

Vettoriale: definisco un tratto di retta a cui assegno direzione e verso (P-O).

Uso le 3 quantità scalari:

• P_x
• P_y -> coordinate del punto nello spazio
• P_z

In funzione del tempo:

P-O(b) oppure l(t)

(P-O₁) = (P-O₂) + (O₂-O₁)

N.B. Consideriamo l'osservatore!

• Per osservatore 1: P-O₁(t)
• Per osservatore 2: P-O₂(t)

diverse!

quadratini in movimento rispetto a 1 (Teorema Moto Relativi)

la descrizione del movimento è relativa all'osservatore definito

Se ho due osservatori fermi si applica trasformazione di coordinate

tg α = V_y / V_x

P(t){ x = x(t) → t = g(x)

y = y(t) → y = y( f_g(x)) = f(x) }

tg dℓ = V_y / V_x = dy/dt / dx/dt = dy/dt × dt/dx = dy/dx = f'^-1(x)

V(t) = |V(t)| e^iα

ACCELERAZIONE:

V = dp/ds × ds/dt = t · ṡ   P = P(s(t))

a = dp/ds × d²s/dt² + d²p/ds² × ds/dt × ds/dt

a = ṫ · ṡ + m   |V|²/ρ²

a = lim_Δt→0 [V(t + Δt) - V(t)]/Δt = dV/dt → dV/dt

N.B.: ṡ = |V|  ,   ṡ² = |V|²

ρ: raggio curvatura   a avrà due comp:

• 1 - NORMALE
• 2 - TANGENTE

d²P/ds² = M   1/ρ

V = ṡ e^iθ + ṡ̇ · s e^iθ

V = ṡ e^iθ + ṡ̇ s e^{i (θ + π/2)}

• campo velocità vista da un osservatore solidale con quadro su cui scorre
• campo velocità di trascinamento che si somma con osservatore mobile

Quindi: ṡs

Dove si trova il punto

P di un dato corpo

rigido? Quante info devo

dare per sapere dove

si trovano e le coordinate

di qualche punto?

Servono le coordinate di

almeno tre punti per

trovare qualunque punto P.

quindi servono:

X_A Y_A Z_A

X_B Y_B Z_B

X_C Y_C Z_C

Servono davvero? No, i GdL sono 6!

(GdL = 9 - 3 = 6)

(X_A - X_B)² + (Y_A - Y_B)² + (Z_A - Z_B)² = l_AB²

(X_A - X_C)² + (Y_A - Y_C)² + (Z_A - Z_C)² = l_AC²

(X_B - X_C)² + (Y_B - Y_C)² + (Z_B - Z_C)² = l_BC²

Dal disegno si nota meglio perché sono 6 GdL.

X'₀

Y'₀

Z'₀

ANGOLI (3)

DI CARDANO

(EULERO)

d_sP = d_sO + df ∧ (P - O)

ds_P = V_P = V_O + Ω ∧ (P - O)

altro generico sotto-trattato

V_P = V_M + Ω ∧ (P - M) → V_n || Ω

Nel piano:

V_B = V_A + Ω ∧ (B - A)

Velocità punto B deve soddisfare la cond. di rigidità. Devono avere la stessa componente di velocità (alternate anche da il corpo si illumina).

Infatti, si vede che:

(B - A) ∧ V_B = V_A + (Ω ∧ (B - A)) ∧ (B - A)

V_B ∧ (B - A) = V_A ∧ (B - A) + Ω ∧ (B - A) ∧ (B - A)

Considero la retta per A i punti andate fuori dal corpo rigido (C) hanno la stessa componente di C_A ossaraφ. L’intersezione tra due rette saranno velocità nulla.

V_O = V_C + Ω ∧ (B - C) → ∃C tale che V_C = Ø → V_B = Ω ∧ (B - C)

quindi C è CIR

N.B.

Nel caso generale di rototraslazione il punto di cui passano le risultanti di velocità e accelerazione non è più il punto e re per entrambi, ma saranno due punti diversi.

OSS:

ω₂ r₂ ω̇ r₂

atan ^v₂2 _ω̇

(β ± ^π/₂ + atan ^ω₂2 _ω̇)

Anche se considero punti diversi da B nel corpo rigido l’angolo compreso atan ^ω₂2 _ω̇ è uguale per tutti.

Affinché le norme di ar e a_B sia ≠ 0 devono essere uguali in modulo ma con versi opposti. (cambia l’orientamento di a_B variando l’angolo)

β ± ^π/₂ + atan ^ω₂2 _ω̇ = α + π → β = α + ^π/₂ − atan ^ω₂2 _ω̇

Riprendiamo: DISCHI DI FRIZIONE

Nel punto di contatto nessun strisciamento:

V_R1 = V_R2

Sto rotolamento —> G_cd = 1

V_R1 e V_R2 uguali in direzione

a bosta di abbiamo modulo uguali

Inoltre: R₁ ϕ₁ = R₂ ϕ₂

Se:

• ϕ₁(t) ϕ₁ = W₁
• ϕ₂(t) ϕ₂ = W₂

quindi per la conversione scelta

R₁ W₁ = R₂ W₂

W₂ / W₁ = R₁ / R₂ = I

quindi meglio: [R,W]₁ = [R,W]₂

osservato:

• R₁ - 2I R₂ - 2I = I (evolvente)

Ruota dentata:

AB = PASSO

• R₁ 2I / β R₂ 2I / β = N₁ / N₂

num denti eguali

Derivata per accelerazione:

d/dt (p₀) = i₀ x₀-o₁ + j₀ y₀-o₁ = a_o1

d/dt (p-o₁) = i₁ x₁-p + j₁ y₁-p + ω∧ (i₁ x₁-p + j₁ y₁-p) + a_R2-p

+ ω ∧ (p−o₁) + ω ∧ (v_R2-p + ω ∧ (p−o₁))

a_aa = a_R2-p +

quindi:

a_aa = a_R2-p + a_R2p + 2 ω ∧ v_R2-p dove 2 ω ∧ v_R2-p = a_c−p

(Corollario)

Ac_tn = ω₁ ∧ (B - A)

Ac = ω₂ ∧ (ω₁ ∧ (B - A))

A_C = ω₂ ∧ (C - B)

A_C = ω₂ ∧ (ω₁ ∧ (C - B))

Ac_cod = Ø

disegna il movimento del pattino scelgo un sistema di rif. solidale all'asta 1 def.: (B - A)

Nel caso prece. la distanza B-A era fissa, ora varia a causa del pattino: il moto relativo pareti // alla guida rettilinea.

Prima GdL era la rotazione delle aste (ω₁ e ω₂)

Ora θ_p fisso per il vincolo ruota. Mi serve un S(t) che mi