Meccanica applicata

ATTO DI MOTO

19-9-2018

Dato che è difficile studiare con le cinematica i moti traslatori, si utilizza l'atto di moto per studiare passo dopo passo l'evolversi del moto del corpo.

o -> centro d'istantanea rotazione (CIR)

Nel caso in cui V_A/V_B allora, per la geometria euclidea r_A/r_B

In questo caso il moto è solo traslatorio

N.B. Il CIR è relativo solo al momento in cui è messo in esame, quindi dipende dal moto nel tempo e non è fisso. Non è vero che l'accelerazione del CIR è nulla, solo la velocità in quell'istante è nulla.

ATTO DI MOTO

Dato che è difficile studiare con le cinematica i moti traslatori, si utilizza l'atto di moto su fluidi passo dopo passo l'evolversi del moto del corpo.

O -> centro d'istantanea rotazione (CIR)

Nel caso in cui Va/Vb allora, nella geometria euclidea Va = Vb ra/rb

In questo caso il moto è solo traslatorio

N.B. Il CIR è definito solo al momento in cui è messo in esame, quindi dipende dal moto nel tempo e non è fisso.

Non è vero che l'accelerazione del CIR è nulla, solo la velocità in quell'istante è nulla.

Teorema di Rivals

B = A + ABe^iβ

B = x_B + iy_B = x_A + iy_A + ABe^-iβ

_VB = dB/dt = ẋ_A + iẏ_A + iβABe^-iβ = V_A + βABe^i(β+π/2)

Teorema di Rivals (1)

V_B = V_A + ω ∧ (B - A)

[ω ∧ (B - A)] = |ω| (B - A) sin θ

= |βAB · 1

a_B = -dV_B/dt

= ẍ_A + iẏ_A + βABe^-i(β+π/2) + βAB iβe^-i(β+π/2)

= a_A + βABe^i(β+π/2) + β²ABe^i(β+π)

= a_A + βABe^i(β+π/2) - β²ABe^-iβ

1. a_B = a_A + (ω ∧ (B - A)) + [ω ∧ (ω ∧ (B - A))]

[ω ∧ (B - A)] = βAB

[ω ∧ (ω ∧ (B - A))] = β²AB = βAB

N.B. per scegliere il CIR devo conoscere anche l'accelerazione

Vincoli

x_A e y_A = cost.

Le vincolo toglie due gradi di libertà, quindi permette la pura rotazione. Cerniera

Altri Vincoli

Vincolo di puro rotolamento

v_C(t) = ^ds/_dt = R^.φ = Rω a_C(t) = ^d2s/_dt² = R^..φ = R^.ω

SISTEMI DI RIFERIMENTO RELATIVI

Data la complessità di tutto il moto si pongo introdurre altri sistemi di riferimento relativi per semplificare il problema.

Ora bisogna cercare una relazione che leghi i sistemi di riferimento con una formula.

(P - O) = (O₁ - O) + (P - O₁)

= x₁ i + y₁ j + x₂ i' + y₂ j'

d/dt (P - O) = V_p = x₁ i + y₁ j + x₂ i' + x₂ di'/dt= V_o1 + (x₂ i' + y₂ j') + x₂ di'/dt + y₂ dj'/dt

V_{p rel}

i' = i · e^{i θ} = e^{i θ}

di'/dt = i θ e^{i θ} = θ e^{i (θ + π/2)} = θ J'

J' := J₁ = 1 e^{i (θ + π/2)} = e^{i (θ + π/2)}

dJ₁/dt = i θ e^{i (θ + π/2)} = i (θ + π/2) = - θ e^iθ = - θ i'

di'/dt = - ω ∧ i'

dJ'/dt = - ω ∧ J' POISSON

Si verifica che i svolti con numeri complessi e in forma vettorialecoincidono.

v̅_P^0₁ = v̅_0₁ + x₂ (w̅ʹ ∧ i̅₃ʹ) + y₂ (w̅ʹ ∧ j̅₃ʹ) + v̅_P^rel

= v̅_0₁ + w̅ ∧ (x₂ i̅₁ + y₂ j̅₁) + v̅_P^rel = v̅_0₁ + w̅ ∧ (P - 0₁) + v̅_P^rel

(P-0₁)

La velocità di trascinamento è la velocità che avrebbe il punto P se fosse vincolato al sistema di riferimento mobile

a̅_P = d v̅_P / dt = (ẋ₁ + w̅ ∧ y_f) + Ʌ d /dt (x₁ i̅₁ + y₂ j̅₁) +

+ x₂ i̅₁ + x₂ d j̅₁ /dt + y₂ j̅₁ + y₂ d j̅₁ /dt =

= w̅ (x₂