Meccanica applicata

ATTO DI MOTO

Dato che è difficile studiare con la cinematica i moti traslatori, si utilizza l'atto di moto per studiare passo dopo passo l'evolversi del moto del corpo.

O → centro d'istantanea rotazione (CIR)

Nel caso in cui VA/VE allora, nella geometria Euclidea, VA = VE

In questo caso il moto è puro traslatorio.

N.B. Il CIR è definito solo al momento in cui è messo in esame, quindi dipende dai moti nel tempo e non è fisso. Non è vero che l'accelerazione del CIR è nulla, solo la velocità in quell'istante è nulla.

TEOREMA DI RIVALS

B = A + AB e^iβ

B = x_B + iy_B = x_A + iy_A + AB e^-iβ

V_B = _dB/_dt = ẋ_A + iẏ_A + i β AB e^iβ = V_A + i β AB e^{i(β + π/2)}

Teorema di Rivals(1) V_B = V_A + ω ∧ (B-A)

• | ω ∧ (B-A) | = | ω | (B-A) sin θ 1 = β AB 1

a̅_B = _dV̅B/_dt = ẍ_A + iÿ_A + β AB e^{i(β + π/2)} + β AB i β e^{i(β + π/2)}

• = a̅_A + β AB e^{i(β + π/2)} + β² AB e^{i(β + π)}
• = a̅_A + β AB e^{i(β + π/2)} - β² AB e^iβ

a̅_E = a̅_A + (ω̅ ∧ (ω̅ ∧ (B-A))) + [(ω̅ ∧ (ω̅ ∧ (B-A)))]

• | ω̅ ∧ (B-A) | = β AB
• N.B. per scegliere il CIR devo
• [ω̅ ∧ (ω̅ ∧ (B-A))] = β² AB
• = β AB

n = numero di corpi rigidi

g.d.l. = 3⋅n

Ora unisco i due corpi

Quanti gradi di libertà possiede il sistema?

n = 2

g.d.l. possibili 3⋅2 = 6

nv = 2

g.d.l. sistema 6 - 2 = 2

n.v. = g.a.v.

Aggiungo un carrello e voglio sapere g.d.l. del sistema

g.d.l. sistema 6 - 2⋅2 - 1 = 1

α → β = β(α) (conosco α trovo β che è in funzione di α)

Pongo una cerniera al posto del carrello, si forma una struttura, infatti non c’è movimento

2⋅3 - 3⋅2 = 0 g.d.l. struttura isostatica

Nel caso 1 se il punto B non è vincolato → catena cinematica aperta

Nel caso 2 e 3 → catena cinematica chiusa

Prodotto Vettoriale

c = a x b

c = absinψ

Vettore

Anti-commutative

a x b ≠ b x a

Nel modo analitico:

c = det |i j k|

|x_a y_a z_a|

|x_b y_b z_b|

= i(y_az_b - y_bz_a) - j(x_az_b - x_bz_a) + k(x_ay_b - x_by_a)

es.

a = 2i

b = √3i + j

c = det |i j k|

|2 0 0|

|√3 1 0|

= i(0) - j(0) + k 2

r_p(t) = x_p(t)i + y_p(t)j = ρ(t)e^iθ(t)

v_p = dr_p/dt

= x_p(t) + y_p(t)j

= ρ(t)e^iθ(t)

= ρ(t)(e^iθ(t)) + ρθe^iθ(t)i dθ/dt

= ρ(t)e^iθ(t) + ρθe^{i(θ(t)+π/2)}

= ρθe^{iθ(t) + ρθei(θ(t)+π/2}

p_eθ = cos t

v_p = x_pi + y_pj - ρe^iθ

p = p₁ - p₂

dt =

a_p = x_pi + y_pj = ρe^iθ

+ ρθe^iθσ + ρθe^i(θ+π/2)ρθe^{i(θ+π/2+π/2)}

+ ρθe^i(θ+π)

ρθ²e^i(θ+π) = -ρθ²e^-iθ

Se non è presente la doppia derivazione ma il prodotto tra due velocità

il corpo accelera ugualmente (es acc. centripeta)

VA = _w^→ Λ (A-H)

w_→ = α (-K)

(A-H) = lcosα (I_→)

VA = α (lcosα) (-J_→) = lcosαα (I_→)

VB = _w^→ Λ (B-H) = α (-K) Λ [lsinα (I_→)] = l α sinα (J_→)

VG = _w^→ Λ (G-H) = _w^→ Λ [^l⁄₂cosα (I_→) + ^l⁄₂sinα (-J_→)] =

= α [^l⁄₂cosα (J_→) + α ^l⁄₂sinα (-I_→)

Se metto un sistema relativo

VB = moto = lpinα (I_→)

3. REL. VG = VB + V_GB relativo

trattenimento

V_G = [lpinα (I_→)] + _w^→ Λ (G-B)

= lsinαα (I_→) + α (-K) Λ [_l²cosα (I_→) + _l²sinα (-J_→)]

= lsinαα (I_→) + α ^l⁄₂cosα (J_→) + α ^l⁄₂sinα (-I_→)

= -^l⁄₂sinαα (I_→) + ^l⁄₂cosαα (-J_→)

(P₁ - O) ∧ F₁ + (P₂ - O) ∧ F₂

= (P - O) ∧ F₁ + (P - O) ∧ F₂

= (P - O) ∧ (F₁ + F₂)

= (P - O) ∧ F̅

(P₁ - O) ∧ F̅ + (P₂ - O) ∧ F̅

= b₁F₁ K̅ + b₁F₂ K̅

= (b₁F₁ + b₂F₂) K̅

= b̅_fF (F₁ + F₂)

F₂ + F₂ F̅

beq

N.B. : Se F₁ + F₂ = 0 non si puo' applicare questa formula

(P₁ - O) ∧ (- F̅) + (P₂ - O) ∧ (F̅ ) = b₁F K̅ + b₂F K̅

= F (b₁ - b₁) K̅

= F b K̅

In questo caso il momento si chiama coppia

Equivalenza

Nel caso in cui tracs una F su una retta parallela per mantenere l'equivalenza, devo introdurre una coppia di trasporto

QQ₁=b

Momento d'inerzia

J_o = ∫_V r² ρ(x, y, z) dv

Teorema del trasporto

J_o = ∫_V (x² + y²) ρ(x, y, z) dv

= ∫_V [(x_G + x₁)² + (y_G + y₁)²] ρ dv

= ∫_V (x_G² + y_G²) ρ dv + ∫_V (2x_Gx₁) ρ dv +

+ ∫_V (2y_Gy₁) ρ dv + ∫_V (x₁² + y₁²) ρ dv

J_o = (x_G² + y_G²) ∫ ρ dv + ∑_o x₁ ρ dv + 2y_G ∑_o y₁ ρ dv - ∫_V (x₁² + y₁²) ρ dv

∫_V y ρ dv > 0

J_o = J_G + m OG² [kg·m²]

CHIUSURA VETTORIALE

a α e^i(x+π/2) + b β e^i(β+π/2) = c

NOTI :

• a c
• α x
• α x
• α x

{ aα cos(x+^π) + b β cos (β + π/2) = c

{ aα sin(x + π/2) + b β sin (β + π/2) = 0 → c, β_i

a α e^ix + b β e^{i β} = c

NOTI :

1. a α
2. α c
3. b β

{ aα cos (x + π/2) - α²cos α + b β cos (β + π/2) - b β i cos β = c

{ aα sin (x + π/2) - α²sin α + b β sin (β + π/2) - b β i sin β = 0

[1 -b cos (β + π/2)] [c] = [aα cos (x + π/2)]

[0 -b sin (β + π/2)] [ β ] = [aα sin (x + π/2)]

[1 -b cos (β + π/2)] [c i] = [aα cos (x + π/2) - α² cos α - b β cos β]

[0 -b sin (β + π/2)] [β] = [aα sin (x + π/2) - aα sin (x + φ) - b β i

MOTI RELATIVI (x_i, y_i)

V_B = V_A + V_e,A

c aα β β

φ A_O i A_B