Cinematica, Meccanica applicata

Cinematica

Studio del moto dei corpi senza considerare le cause (forze) che lo producono.

Grandezze fisiche necessarie

• Tempo
• Posizione rispetto al tempo -> velocità, accelerazione.

Schematizzazione dei corpi reali con modelli fisici

• Punto materiale -> modello idoneo se le dimensioni del corpo non sono importanti per il tipo di analisi che si intende effettuare
  • (es. nello studio della traiettoria di un aereo non interessano le sue dimensioni, perciò lo si schematizza con un punto materiale);
• Corpo esteso rigido -> modello da adottare quando le dimensioni del corpo sono significative per il tipo di analisi da effettuare (lo studio del corpo non può essere riconducibile al suo solo centro).
  • (es. nello studio delle manovre acrobatiche di un aereo, questo deve essere rappresentato da un corpo esteso rigido)
• Corpo esteso deformabile -> la deformabilità del corpo diviene importante nel tipo di studio da condurre
  • (es. nello studio delle vibrazioni delle ali, l'aereo deve essere rappresentato come un corpo esteso deformabile).

Cinematica del punto materiale

Sia P la posizione del punto all'istante t

P'...

t + Δt

Spostamento del punto nell'intervallo Δt:

\[\Delta \vec{r} = \vec{r}^{P'} - \vec{r}^P \]

Lo spostamento è il vettore che congiunge la posizione iniziale con la posizione finale e non dipende dalla traiettoria percorsa dal punto per raggiungere la posizione finale, cioè la lunghezza del vettore spostamento è diversa dallo spazio percorso dal punto tra P e P', che vale ΔS.

Velocità media del punto tra P e P':\[ \vec{v}_m = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \]

Velocità media scalare: \[ v_{ms} = \frac{\Delta S}{\Delta t} \]

In generale la velocità media scalare è diversa dal modulo della velocità media, poiché, al contrario di quest'ultima, tiene conto dello spazio effettivamente percorso dal punto tra P e P'.

Velocità istantanea (o velocità) del punto materiale:\[ \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt} \]

per Δt ➞ 0, Δr tende a divenire tangente alla traiettoria, quindi \(\vec{v}\) è sempre tangente alla traiettoria.

CINEMATICA

Studio del moto dei corpi senza considerare le cause (forze) che lo producono.

• Grandezze fisiche necessarie:
  • Tempo
  • Posizione
• Derivate rispetto al tempo → velocità, accelerazione.

Schematizzazione dei corpi reali con modelli fisici:

• Punto materiale → Modello idoneo se le dimensioni del corpo non sono importanti per il tipo di analisi che si intende effettuare
  • (es. nello studio della traiettoria di un aereo non interessano le sue dimensioni, perciò si schematizza con un punto materiale);
• Corpo esteso rigido → Modello da adottare quando le dimensioni del corpo sono significative per il tipo di analisi da effettuare no deformabilità del corpo (che non è riconducibile a un punto: è diverso su ogni punto. (es. nello studio delle funzioni aerobatiche di un aereo, questo deve essere rappresentato da un corpo esteso rigido)
• Corpo esteso deformabile → La deformabilità del corpo diviene importante nel tipo di studio da condurre.
  • (es. nello studio delle vibrazioni delle ali, l'aereo deve essere rappresentato come un corpo esteso deformabile).

Cinematica del punto materiale

Sia:

P: posizione nel punto all'istante t

P': … istante t + Δt

Spostamento del punto nell'intervallo Δt:

_Δ^r = ^r_P' - ^r_P

Lo spostamento è il vettore che congiunge la posizione iniziale con la posizione finale e non dipende dalla traiettoria percorsa dal punto per raggiungere la posizione finale, cioè le lunghezza del vettore spostamento differisce dallo spazio percorso al punto tra P e P', che vale ^ΔS.

Velocità media del punto tra P e P':

_v^m = _Δ^r / Δt

Velocità media scalare:

_v^ms = ΔS / Δt

In generale la velocità media scalare è diversa dal modulo delle velocità medie, poiché, al contrario di quest'ultima, tiene conto dello spazio effettivamente percorso dal punto tra P e P'.

Velocità istantanea (o "velocità") del punto materiale:

_v = lim _{Δt → 0} Δ^r / Δt = d^r / dt

Per Δt → 0, Δ^r tende a divenire tangente alla traiettoria, quindi _v è sempre tangente alla traiettoria.

NEL PASSAGGIO AL LIMITE SI HA ANCHE:

v = dx/dt = ds/dt

NEL PASSAGGIO DA P A P^' LA VELOCITÀ DEL PUNTO VARIA DI UNA QUANTITÀ Δv, DOVUTA SIA ALLA VARIAZIONE DEL MODULO CHE ALLA VARIAZIONE DELLA DIREZIONE DI v.

ACCELERAZIONE MEDIA DEL PUNTO TRA P E P'^':

a_m = Δv/Δt

ACCELERAZIONE ISTANTANEA (O ACCELERAZIONE):