Cinematica, Meccanica applicata

CINEMATICA

STUDIO DEL MOTO DEI CORPI SENZA CONSIDERARE LE CAUSE (FORZE) CHE LO PRODUCONO.

GRANDEZZE FISICHE NECESSARIE: TEMPO POSIZIONE GRANDEZZE DERIVATE DA TEMPO E POSIZIONE: VELOCITÀ, ACCELERAZIONE.

SCHERMATIZZAZIONE DEI CORPI REALI CON MODELLI FISICI:

• PUNTO MATERIALE: MODELLO IDONEO SE LE DIMENSIONI DEL CORPO NON SONO IMPORTANTI PER IL TIPO DI ANALISI CHE SI INTENDE EFFETTUARE (es. nello studio delle traiettorie di un aereo non interessano le sue dimensioni in quanto lo si schematizza con un punto materiale)
• CORPO ESTESO RIGIDO: MODELLO DA ADOTTARE QUANDO LE DIMENSIONI DEL CORPO SONO SIGNIFICATIVE PER IL TIPO DI ANALISI DA EFFETTUARE, PURCHÉ IL CORPO NON È DEFORMABILE O NON È RICONOSCIBILE A OCCHIO NEL SUO MOTO. (es. nello studio delle manovre acrobatiche di un aereo, questo deve essere rappresentato da un corpo esteso rigido)
• CORPO ESTESO DEFORMABILE: LA DEFORMABILITÀ DEL CORPO DIVIENE IMPORTANTE NEL TIPO DI STUDIO DA CONDURRE. (es. nello studio dell'oscillazione delle ali, un aereo deve essere rappresentato come un corpo esteso deformabile)

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE: SIA P = POSIZIONE DEL PUNTO ALL'ISTANTE t P' = POSIZIONE ALL'ISTANTE t+Δt

SPOSAMENTO DEL PUNTO NELL’INTERVALLO Δt : Δr = P'P

LO SPOSTAMENTO è IL VETTORE CHE CONGIUNGE LA POSIZIONE INIZIALE CON LA POSIZIONE FINALE E NON DIPENDE DALLA TRAIETTORIA PERCORSA DAL PUNTO PER RAGGIUNGERE LA POSIZIONE FINALE, CIOÈ T ALEQUOTA NEL VETTORE SPOSTAMENTO RIPIEGA DELLO SPAZIO PERCORSO DAL PUNTO TRA P E P', CHE VALE ΔS.

VELOCITÀ MEDIA DEL PUNTO TRA P E P': V_m = Δr / Δt

VELOCITÀ MEDIA SCALARE: V_ms = ΔS / Δt

IN GENERALE LA VELOCITÀ MEDIA SCALARE È DIVERSA DAL MODULO DELLA VELOCITÀ MEDIA, POICHÉ, AL CONTRARIO DI QUEST’ULTIMA, TIENE CONTO DELLO SPAZIO EFFETTIVAMENTE PERCORSO DAL PUNTO TRA P E P'.

VELOCITÀ ISTANTANEA (O VELOCITÀ) DEL PUNTO MATERIALE:

V̅ = lim_Δt→0 Δr / Δt = lim_Δt→0 ΔS / Δt PER Δt → 0, Δr TENDE A DIVENIRE TANGENTE ALLA TRAIETTORIA, QUINDI V̅ È SEMPRE TANGENTE ALLA TRAIETTORIA.

Nel passaggio al limite si ha anche:

v = _ds/^dt

a_τ = _dv/^dt

Nel passaggio da P a P’ la velocità del punto varia di una quantità Δv, dovuta sia alla variazione del modulo che alla variazione della direzione di v̅.

Accelerazione media del punto tra P e P’:

a̅ = _Δv̅/^Δt

Accelerazione istantanea (o accelerazione):

a̅ = lim_{Δt→0 Δv̅}/^Δt = lim_{Δt→0 2vΔv}/^2Δt = _dv/^dt

L’accelerazione a̅ si avverte sia nelle variazioni nel modulo della velocità che nelle variazioni della direzione; in generale a̅ non è né tangente né normale alla traiettoria.

Sistemi di coordinate più comuni.

Coordinate cartesiane:

(x, y, z) fissi: la posizione P del punto materiale nell’istante t è data da 3 equazioni parametriche con il tempo come parametro.

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

Il punto ha 3 gradi di libertà

Vettore posizione:

P̅ = xî + yĵ + zk̂

Con:

î, ĵ, k̂ vettori fissi: (la loro direzione non cambia nel tempo)

Velocità:

v̅ = _dr̅/^dt = _d/^dt (xî + yĵ + zk̂) = ẋî + ẏĵ + żk̂ = v_xî + v_yĵ + v_zk̂

|v̅| = √(v_x² + v_y² + v_z²)

Accelerazione:

a̅ = _dv̅/^dt = _d²r̅/^dt² = _d²/^dt² (xî + yĵ + zk̂) = ẍî + ÿĵ + z̈k̂ = a_xî + a_yĵ + a_zk̂

|a̅| = √(a_x² + a_y² + a_z²)

Le coordinate cartesiane non danno informazioni sulla direzione del vettore accelerazione.

Si ha:

a i= dv_i^(e) (t) / dt = a v_e^(c) + v^(c) x v_e^(c)

dove:

• v^(c) ha stessa direzione e verso della velocità → accelerazione tangenziale
• v^{(c) ⊥ v_e(c)} con verso che dipende dal segno di Θ° → accelerazione normale

Cinematica del moto rigido piano.

Tra i vari possibili modelli che descrivono i corpi rigidi, il più semplice è quello di corpo rigido;

nel rigid body, la distanza tra 2 generici punti del corpo è costante nel tempo.

Tale modello esprime la proprietà dei corpi solidi di avere forma propria, cioè di essere indeformabili.

E' poi possibile analizzare anche le deformabilità del corpo non più limitante ai fini dell'analisi che si vuole condurre.

Moto rigido piano

Moto di un corpo rigido in cui le traiettorie di ogni punto del corpo sono parallele ad un piano.

queste traiettorie sono tutte parallele a questo piano

Per descrivere il moto rigido piano si può quindi considerare una qualunque sezione del corpo parallela al piano nel moto, tale sezione rappresenta un corpo rigido piano (se dico di essere univoco).

La posizione di un corpo rigido in moto piano è completamente determinale dalla posizione di 2 suoi punti A e B, cioè da 4 coordinate che non sono tutte indipendenti, infatti il vincolo di rigidità impone che la distanza tra i punti A e B resti invariata nel tempo:

|r_A - r_B| = d_AB

Quindi il moto rigido piano ha 3 gradi di libertà.

Data la posizione del punto A, il punto B deve trovarsi sulla circonferenza di centro A e raggio

d_AB per definire completamente la posizione del corpo è quindi sufficiente specificare l'angolo che il segmento AB forma con una direzione fissa di riferimento.

Le 3 coordinate indipendenti sono quindi:

• Posizione di un generico punto del corpo (2 coordinate);
• Angolo formato tra un generico segmento solidale al corpo e una direzione fissa di riferimento (1 coordinata).

v̅_B/A ha direzione tangente alla circonferenza di centro A' e raggio l, cioè è perpendicolare ad A̅B.

Quindi:

v̅_B/A = ω̅ ∧ A̅B

Derivando rispetto al tempo la formula fondamentale della cinematica, si ha la:

Teorema di Rivals

Ovvero: accelerazione che il punto B avrebbe se il corpo ruotasse intorno ad un asse fisso con traccia in A.

Quindi a̅_B/A è la stessa che si ottiene nel moto rotatorio:

a̅_B/A = a̅_B(A') + a̅_Rivals

Dove:

a̅_B(A') = - ω̅^2 r̅' = - ω̅^2 A̅B̅

a̅_B/A(Riv) = ω̅ ∧ (ω̅ ∧ r̅') = ω̅ ∧ A̅B

Oss.:

La differenza tra le velocità dei punti B e A è perpendicolare alla congiungente A̅B.

v_B = v_A + v̅_B/A

v̅_B/A = ω̅ ∧ A̅B

La differenza tra le velocità di due punti qualunque di un corpo rigido è perpendicolare al segmento che li congiunge, cioè v̅ e v' hanno la stessa componente lungo la congiungente e se così non fosse, la differenza di velocità avrebbe una componente longitudinale non nulla e quindi si modificherebbe la distanza tra i punti a e b, violando il vincolo di rigidità.

v_Bx = v_Ax = 0 per l'ipotesi di corpo rigido.

v̅_B/A

v_Bx

v_Ay

^ Y

|

| x

------B v̅_B(B)

A

v_X

Viceversa, la differenza tra le accelerazioni nei punti B ed A ha una componente parallela ad A̅B e una componente ortogonale ad A̅B:

a̅_B(A) = a̅_A + a̅_B/A + a̅_B/A

a̅_B(A)

La formula fondamentale della cinematica, definita da un lato la possibilità di trattare un moto piano generico come combinazione di una traslazione e una rotazione, dall'altro, esprime le proprietà dei corpi rigidi di mantenere inalterata la distanza tra 2 generici punti del corpo.