Matrici simmetriche e forme quadratiche

Matrici simmetriche e forme quadratiche

Matrici simmetriche congruenti

Due matrici A, B simmetriche di ordine n si dicono congruenti se esiste una matrice invertibile P dello stesso ordine tale che B = P × A × P^T. Si noti la differenza sostanziale tra la nozione di congruenza e quella di similitudine tra matrici. Nel caso della congruenza, intervengono una matrice invertibile e la sua trasposta, mentre affinché due matrici quadrate A e B siano simili, deve esistere una matrice invertibile P tale che B = P × A × P^-1. Inoltre, la relazione di congruenza, al contrario di quella di similitudine, si definisce solo su matrici simmetriche.

Algoritmo di Gauss-Lagrange

Non tutte le matrici quadrate sono simili a una matrice diagonale. Ma per quanto riguarda la relazione di congruenza, invece, la situazione è radicalmente diversa: ogni matrice simmetrica ad elementi nel campo K è congruente alla matrice diagonale, purché abbia caratteristica diversa da 2.

N.B. Nel caso la matrice sia di ordine 2, l’algoritmo può essere applicato, ma esiste il rischio che non termini.

L’algoritmo è il seguente:

• Passo 1
  • Se la matrice ha una riga, l’algoritmo termina.
  • Individuare la colonna non nulla con indice più basso ed il suo pivot, sia questo l'i_j elemento. Se non esistono colonne non nulle, l’algoritmo termina.
  • Se l’indice di riga del pivot è uguale a j, passare a 5; se i ≠ j, sommare alla j-esima riga la i-esima, e sommare alla j-esima colonna la i-esima. Se dopo queste operazioni l’elemento di posto (j; j) è nullo, ripetere il passo 3.
  • Rendere nulli tutti gli elementi della colonna j-esima, sommando alle varie righe opportuni multipli della j-esima.
  • Ripetere sulle colonne le operazioni elementari che sono state fatte in 5 sulle righe, nello stesso ordine.
• Passo 2
  • Ripetere il passo 1 sulla matrice ottenuta dal passo precedente “schermandone” però le prime j righe e le prime j colonne.
• Passo 3
  • Ripetere il passo 2 sulla matrice “schermata”.

Applicando l’algoritmo a una matrice simmetrica A, al termine del procedimento si ottiene la matrice diagonale D. Inoltre, se E è la matrice elementare che corrisponde alla prima operazione per righe effettuata nel corso dell’algoritmo, la prima operazione elementare sulle colonne corrisponde alla matrice E^T. Dunque, se Q è la matrice prodotto delle operazioni elementari per riga utilizzate, nel corso dell’algoritmo la matrice corrispondente alle operazioni per colonna è Q^T e si ha: Q^TD=Q × A × Q^T. Ponendo P=Q^T, tramite l’algoritmo si può quindi ottenere anche la matrice P.

Forme bilineari

Siano U, V due spazi vettoriali sullo stesso campo K. Una forma bilineare sul prodotto cartesiano U × V è una funzione ϕ: U × V → K che soddisfa le proprietà di bilinearità, cioè:

• Proprietà di linearità a sinistra: per ogni u, u' in U, v in V, e h, k in K, si ha ϕ(hu + k) = hϕ(u, v) + kϕ(u', v).
• Proprietà di linearità a destra: per ogni u in U, v, v' in V, e h, k in K, si ha ϕ(u, hv + k) = hϕ(u, v) + kϕ(u, v').

In altre parole, una forma bilineare su U × V è una funzione che associa ad ogni coppia di vettori u in U e v in V uno scalare, tale che: per ogni v in V, la funzione l_v: U → K fissato v è lineare; per ogni u in U, la funzione m_u: V → K fissato u è lineare.

Ad esempio, sia K un campo; la funzione ϕ: K² × K² → K definita in questo modo per ogni (a; b), (c; d) in K²:

• ϕ((a; b), (c; d)) = ad - bc

È una forma bilineare grazie alla proprietà del determinante. Posto u = (a; b) e v = (c; d), le forme bilineari indotte da ϕ sono:

• l_v: K² → K con l_v(x; y) = xc - yd
• m_u: K² → K con m_u(x; y) = ay - bx

Matrice di Gram di una forma bilineare

Siano U e V due spazi vettoriali sullo stesso campo K di dimensione m ed n. Sia ϕ: U × V → K una forma bilineare. Fissata una base β = (b₁, b₂, ..., b_m) di U e una base θ = (c₁, c₂, ..., c_n) di V, consideriamo la matrice [a_ij] dove:

• a_ij = ϕ(b_i; c_j) per i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n

Abbiamo allora:

ϕ(u; v) = [u]_β^T × A × [v]_θ

Infatti, sia u in U, dato che β è una base di U, esiste una sola m-pla di scalari (k₁, k₂, ..., k_m) tali che:

• u = ∑_i=1^m k_i b_i

Analogamente, se v in V, dato che θ è una base di V, esiste una sola n-pla di scalari (h₁, h₂, ..., h_n) tali che:

• v = ∑_j=1ⁿ h_j c_j

Allora:

ϕ(u; v) = ∑_i=1^m ∑_j=1ⁿ k_i h_j ϕ(b_i; c_j)

Per bilinearità di ϕ:

ϕ(u; v) = [u]_β^T × A × [v]_θ

Quindi la trasformazione bilineare è completamente determinata nella matrice A. Tale matrice viene detta matrice di Gram della forma bilineare, rispetto alle basi β e θ, e verrà indicata con G_θβ(ϕ).

Forma bilineare associata a una matrice

Siano U e V due spazi vettoriali sullo stesso campo K di dimensioni m e n. Fissiamo una base β di U e una base θ di V. Fissiamo una matrice A in M_m,n(K). Si può considerare una forma bilineare su U × V ponendo:

ϕ(u; v) = [u]_β^T × A × [v]_θ

Dunque, ad ogni matrice si può associare una trasformazione bilineare ϕ_A, detta forma bilineare associata alla matrice A.

Teorema e cambiamenti di base

Siano U e V due spazi vettoriali sullo stesso campo ℚ. L’insieme di tutte le forme bilineari su U × V è un sottospazio vettoriale delle funzioni U × V a valori del campo ℚ. Tale sottospazio sarà indicato col simbolo Bil(U,V). Queste considerazioni ci portano al seguente teorema: siano U e V due spazi vettoriali sullo stesso campo ℚ, di dimensione m ed n rispettivamente. Fissiamo una base β di U e una base θ di V. Le applicazioni:

• G_θβ: Bil(U, V) → M_m,n(K) che ad ogni forma bilineare associa la sua matrice di Gram, e
• ϕ_θβ: M_m,n(K) → Bil(U, V) che ad ogni matrice associa la forma bilineare corrispondente, sono entrambe biunivoche, e sono l’una l’inversa dell’altra, cioè, per ogni ϕ in Bil(U, V), si ha:

ϕ_θβ(G_θβ(ϕ)) = ϕ

Per ogni A in M_m,n(K), si ha:

G_θβ(ϕ_θβ(A)) = A

Inoltre, entrambe le applicazioni sono lineari, quindi sono isomorfismi di spazi vettoriali. Di conseguenza:

dim(Bil(U, V)) = m × n

Cambiamenti di base

Siano U e V due spazi vettoriali sullo stesso campo K, di dimensione m ed n rispettivamente. Sia ϕ: U × V → K una forma bilineare. Siano β e β' due basi di U. Siano θ e θ' due basi di V. Allora:

G_θ'β'(ϕ) = M_ββ'^-1 × G_θβ(ϕ) × M_θ'θ^T

Prodotti interni e forme bilineari simmetriche

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Una forma bilineare simmetrica (o prodotto interno) su V è una funzione ϕ: V × V → K che soddisfa le seguenti condizioni:

• Proprietà simmetrica: per ogni u, v in V, si ha ϕ(u, v) = ϕ(v, u).
• Proprietà di bilinearità: per ogni u, u' in V, v in V, e h, k in K, si ha ϕ(hu + k) = hϕ(u, v) + kϕ(u', v).

Un prodotto interno su V è una forma bilineare sul prodotto cartesiano V × V che, in più, gode della proprietà di simmetria.

Matrice di Gram di un prodotto interno

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K. Sia ϕ un prodotto interno su V. Fissata una base β = (b₁, b₂, ..., b_n) di V, la matrice di Gram rispetto alle basi coincidenti β, viene detta matrice di Gram del prodotto interno ϕ relativa alla base β. N.B. La matrice di Gram relativa alla stessa base è una matrice simmetrica, quindi anche viceversa, una forma bilineare associata a una matrice A rispetto alla base β è simmetrica.

Cambiamenti di base

Ogni matrice quadrata invertibile si può interpretare come matrice di passaggio. Ogni matrice simmetrica si può vedere come matrice di Gram di un prodotto interno. Dunque, due matrici simmetriche dello stesso ordine (distinte) sono congruenti se e solo se esse rappresentano la matrice di Gram di uno stesso prodotto interno, rispetto a basi diverse. Ogni matrice simmetrica ad elementi in un campo di caratteristica diversa da 2 è congruente a una matrice diagonale. Vale dunque il seguente teorema: sia V uno spazio vettoriale su di un campo di caratteristica diversa da 2, e sia ϕ un prodotto interno su V. Esiste allora una base β di V tale che la matrice di Gram di ϕ relativa alla base β sia diagonale.

Vettori coniugati

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Sia ϕ un prodotto interno su V. Due vettori u, v si dicono coniugati rispetto a ϕ se risulta ϕ(u, v) = 0. In questo caso scriveremo u ⊥ v.

Sottospazio coniugato di un sottoinsieme

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Sia ϕ un prodotto interno su V. Per ogni sottoinsieme non vuoto S di V, definiamo coniugato di S rispetto a ϕ come l’insieme di tutti i vettori di V che sono coniugati di ogni vettore di S.

S^⊥ = {v ∈ V | ϕ(u, v) = 0 ∀ u ∈ S}

Valgono le seguenti proprietà:

• S^⊥⊥ = Span(S)
• S^⊥ ≤ Span(S)^⊥
• Se T è un sottoinsieme non vuoto di V, allora (S ∪ T)^⊥ = S^⊥ ∩ T^⊥