Matrici simmetriche e forme quadratiche

DETERMINARE IL CONIUGATO DI UN SOTTOINSIEME

Sia φ un prodotto interno su V.

Sia G la matrice di gram relativa ad una base β di V.

Sia S un sottoinsieme di V; fissiamo una base ϑ=( ) di Span(S)

1 2 n

∥ ∥ ∥

Span(S) ={c₁, c₂, ..., c_n}

Cioè il vettore v appartiene al sottospazio di se e solo se è coniugato di eS 1 2 n

questo avviene se e solo se:

(∀)( ) =0

Φ c₁, c₂, ..., c_n i=1,2 , n

O equivalentemente:

T[c₁, c₂, ..., c_n] =0

× G ×[v₁, v₂, ..., v_n] β β T T T[c₁, c₂, ..., c_n] ]

Indicando con C la matrice le cui righe sono nell’ordine le condizioni,

[ c₁, c₂, ..., c_n]

[c₁, c₂, ..., c_n]

equivalgono a:

C ×G ×[v₁, v₂, ..., v_n] β ⏊

Il vettore v appartiene al sottospazio se e solo se la n-pla delle coordinate di v rispetto aSβ è soluzione del sistema omogeneo

C ×G × X=0

RADICALE DI UN PRODOTTO INTERNO

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K.

Sia φ un prodotto interno su V.

Si definisce radicale di φ il sottospazio di V

così definito( )⏊( ) ( )∈ ∀=V ={v ∨Φ =0 }Rad Φ V u ; v u∈ VDETERNINARE UN RADICALESia V uno spazio vettoriale sul campo K.Sia φ un prodotto interno su V.( )β= b , b , bSia una base di V.1 2 nSia G la matrice di gram relativa la base β.)Rad(ΦIl vettore v appartiene a se e solo se la n-pla delle coordinate di v rispetto a β èsoluzione del sistema omogeneo=0G× XPRODOTTI INTERNI NON DEGENERII prodotti interni per i quali il radicale si riduce al sottospazio nullo, vengono detti nondegeneri ( )( ) ∀ ∈ ⇒=0Φ u ; v u V v=0( ) =0=0 G× XRad ΦQuindi se e solo se il sistema omogeneo ammette solo la soluzionebanale.Ciò avviene se la matrice G è non singolare, ovvero con determinante diverso da 0.DIMENSIONE DEL CONIUGATO DI UN SOTTOSPAZIOSia φ un prodotto interno non degenere sullo spazio vettoriale V.Per ogni sottospazio U di V, si ha:⏊+dim =dimVdimU UBisogna prestare attenzione,

in quanto in generale con questa formula non si può dedurre che UV sia somma dei sottospazi e .

UORTOGONALIZZAZIONEBASI CONIUGATE

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K.

Sia φ un prodotto interno su V.

( )β= b , b , b

Una base si dice coniugata rispetto il prodotto interno φ se i suoi vettori sono a1 2 ndue a due coniugati

( )⇒ =0i≠ j Φ b ; bi j

β è una base coniugata rispetto al prodotto interno φ se e solo se la matrice di gram di φrispetto a β è diagonale.

Sia K un campo con caratteristica diversa da 2, e sia V uno spazio vettoriale su K.

Per ogni prodotto interno φ su V esiste una base di V coniugata rispetto a φ.

VETTORI ISOTROPI

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K.

Sia φ un prodotto interno su V.

( )( ) =0Φ v ; v

Un vettore non nullo di V si dice isotropo rispetto a φ se è coniugato di se stesso

Un prodotto interno degenere è sempre dotato di vettori isotropi.

Ed i vettori del radicale