Econometria - l'algebra delle matrici

Modulo IV - Algebra delle matrici

A B A B A B A B = 11 11 12 21 11 12 12 22

(1.3.11) AB + + A B A B A B A B 21 11 22 21 21 12 22 22 1-10

Si definisce con il termine "matrice inversa" la matrice sinistra di una matrice quadrata A, cioè A^-1 = (1.4.1) A A^-1 I.

Analogamente si può definire la matrice inversa destra della matrice quadrata A in modo tale che sia A^-1 = A A^-1 I^-1.

Poiché l'inversa destra e l'inversa sinistra di una matrice quadrata A coincidono e sono semplicemente dette inversa.

Data una matrice quadrata di ordine n, si dimostra che la sua inversa A^-1 consiste nel prodotto dell'inverso del suo determinante, che è uno scalare, per la sua matrice aggiunta, anche questa di ordine n, che passiamo a definire. Segue quindi che anche la matrice inversa è di ordine n.

Se indichiamo con det(A) il determinante e con A^agg l'aggiunta, si ha dunque:

A^-1 = 1/det(A) * A^agg

(1.4.2)1A agg AdetA −1dalla quale segue che se allora esiste l'inversa ; in questo caso la matricedetA≠0 Aè detta non singolare. Se , la matrice è chiamata singolare.A detA=0Il determinante di una matrice quadrataNel caso di una matrice di ordine due

il determinante è semplicemente dato dal prodotto degli elementi della diagonaleprincipale meno il prodotto degli elementi della secondaria= −adetA a a a11 22 12 21Esempio 1.10 - Il determinante della matrice quadrata (1.3.3) è.48−24=24Nel caso, invece, di una matrice quadrata di ordine tre è conveniente scrivereAdi seguito alle tre colonne della matrice nuovamente le prime due 2|A|Altra comune notazione per il determinante è .1 È la regola detta di Sarrus.2 1-11Modulo IV – Algebra delle matrici

calcolando il

determinante come somma dei tre prodotti che si ottengono dalla diagonale principale di e dalle due sue parallele nella tabella di tre righe e cinque colonne (1.4.3) +a +a (1.4.4)a a a a a a a11 22 33 12 23 31 13 21 32 alla quale vanno sottratti i tre prodotti che si ottengono dalla diagonale secondaria di e dalle due sue parallele A +a +a (1.4.5)a a a a a a a31 22 13 32 23 11 33 21 12 Dunque, il determinante della matrice quadrata di ordine tre è dato dalla somma (1.4.4) meno la (1.4.5). Esempio 1.11 - Il determinante della matrice quadrata (1.3.4) è calcolabile mediante la tabella

 

5 1 5 5 1

 

10 2 10 10 2

120+60+150-60-150-120=0

 

 

 

6 3 12 6 3

da cui si nota che la matrice (1.3.4) è singolare.

In generale chiamiamo determinante della matrice quadrata di ordine n dalla (1.2.1) per l'espressione

m=n ∑ (-1)^(h1+h2+...+hn) a1h1 a2h2 ... anhn

h1 h2 hn

dove gli a sono gli elementi di e la

sommatoria è estesa a tutte le permutazionia Aij della ennupla . Il segno più vale se la permutazione è pari e(h ,h ,…,h ) (1,2,…,n)1 2 nquello meno se è dispari .3Valgono per i determinanti le seguenti proposizioni:

Teorema 1.1 - Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto deglielementi diagonali.

La permutazione è pari se il numero delle inversioni del secondo indice rispetto all'ordine3naturale è pari; la permutazione è dispari se tale numero è dispari. Ad esempio, nelprodotto il numero delle inversioni è due e quindi la permutazione è pari, mentrea a a12 23 31nel prodotto il numero delle inversioni è tre e la permutazione è dispari.a a a13 22 31 1-12

Modulo IV – Algebra delle matrici

Teorema 1.2 - Data una matrice quadrata , si haA-1 -1=(detA)detA

Osservazione 1.3 - Dal teorema 1.1 segue che il determinante di unamatrice diagonale (che

è anche triangolare) è uguale al prodotto deglielementi diagonali.

L’aggiunta di una matrice quadrataL’aggiunta di una matrice quadrata è la trasposta di un'altra matrice quadrataAdello stesso ordine il cui elemento generico di posto si calcola come(i,j)determinante della sottomatrice di ottenuto eliminando la -esima riga e la -A i jesima colonna, moltiplicato per .i+j(−1)

Esempio 1.12 - L’aggiunta della matrice (1.3.3) è′  −− −  2 3 3 4( 1) 3 ( 1) 6 =   −− −3 4  6 16( 1) 4 ( 1) 16mentre l’aggiunta della matrice (1.3.4) può essere trovata soltantocalcolando i nove determinanti     2 10 10 10 10 2= − = =     det 6 det 60 det 18  3 12 6 12 6 3     1 5 5 5 5 1= − = =     det 3 det 30 det 9  3 12 6 12 6 3    ¹ 5 5 5 5 1

det 0 det 0 det 10

L'aggiunta è allora ′

^{- - - - -}
2 3 4
( 1) ( 6 ) ( 1) 60
( 1) 18 6 3 0

(1.4.7)
^{- - - -} = ^-3 4 5
( 1) ( 3 ) ( 1) 30
( 1) 9 60 30 0

^{- - -}
4 5 6
( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) 10 18 9 10

Quindi la matrice inversa della (1.3.3) è

1 1
3 4

^- 1 2
4 6

Mentre l'inversa della (1.3.4) non può essere calcolata poiché il suo determinante è nullo.

Osservazione 1.4 - Dalla definizione di aggiunta segue che se una matrice è simmetrica tale è anche la sua inversa.

L'inversa di una matrice partizionata
partizionata in sottomatrici(1.2.5)
^{[ ]}A A= 11 12^{[ ]}A
^{[ ]}A A21 22nella quale le e siano quadrate e non singolari. Si dimostra che l'inversa diA A11 22èA
^{[ ]}−− 1B B A A− =1
^{[ ]}11 11 12 22 (1.4.8)A − +− − − −1 1 1 1
^{[ ]}A A B A A A B A A22 21 11 22 22 21 11 12 22dove ( )−= − 1−1B A A A A (1.4.9)11 11 12 22 21La (1.4.8) è la cosiddetta formula dell'inversa partizionata. Dalle (1.4.8) e (1.4.9)scaturisce che se la matrice ha la struttura diagonale a blocchi della (1.2.6), cioèAse i suoi blocchi non diagonali e sono tutti nulliA A11 22^{[ ]}A 0= 11^{[ ]} (1.4.10)A ^{[ ]}0 A 22allora l'inversa partizionata si semplifica in^{[ ]}− 1A 0− =1
^{[ ]}11 (1.4.11)A − 1^{[ ]}0 A 22(cioè l'inversa di una matrice diagonale a blocchi è la matrice diagonale delleinverse). =Applicando la (1.4.11) alla matrice diagonale si vede che laD

< d d … d >,1 2 n= − − −sua inversa sarà anch’essa una matrice diagonale -1 1 1 1D < d d … d >.1 2 n

Il determinante di una matrice partizionata

Nelle applicazioni statistiche è anche utile l’espressione del determinante dellamatrice partizionata (1.2.5) in termini dei blocchi che la compongono. Si dimostrache valgono le relazioni 1-14

Modulo IV – Algebra delle matrici (1.4.12)− −1 1det(A) = det(A ) det(A -A A ) = det(A ) det(A -A A )A A11 22 21 12 22 11 12 2111 22dalla quale si ricava, in particolare, che se la matrice è diagonale a blocchi comenella (1.4.10) allora il suo determinante sarà uguale al prodotto dei determinantidelle matrici poste sulla diagonale principale (1.4.13)det(A) = det(A ) det(A )11 22La (1.4.13) vale anche nel caso di matrice triangolare a blocchi

 A A= 11 12  (1.4.14)A  0 A 22 1-15Modulo IV – Algebra delle matrici1.5 Indipendenza lineare

di vettori, rango di una matrice e alcune proprietà dei determinanti

Indipendenza lineare di vettori

Una matrice di ordine può essere considerata come vettore colonna delle sue righe:

a₁
a₂
...
aₙ

oppure come vettore riga delle sue colonne:

a₁ a₂ ... aₘ

Le colonne sono linearmente indipendenti se:

a₁c₁ + a₂c₂ + ... + aₘcₘ ≠ 0

per ogni n-upla (c₁, c₂, ..., cₘ) non nulla; sono linearmente dipendenti nel caso contrario. La formula può essere letta come segue: vettori sono linearmente indipendenti se non esiste una loro combinazione lineare con pesi non tutti uguali a zero uguale al vettore nullo. Analogamente si definiscono le righe come linearmente indipendenti o dipendenti.

Rango di una matrice

Si può dimostrare che il massimo numero di righe linearmente indipendenti che si possono estrarre da una matrice di ordine qualsiasi è:

uguale al massimo A n×m numero di colonne linearmente indipendenti che da essa si possono anche estrarre: questo numero è detto rango o caratteristica della matrice ed è indicato con Ar(A)

Per quanto detto si ha che (1.5.2) 0≤r(A)≤min(m,n) e nel caso di una matrice quadrata di ordine è n (1.5.3) 0≤r(A)≤