Matrici e determinanti

Capitolo 2: Matrici e determinanti

Si dice matrice di m righe ed n colonne una figura costituita da m∙n numeri, disposti in m righe orizzontali ed in n colonne verticali, racchiusi tra due parentesi tonde…

( a₁₁ a₁₂ …
a₂₁ a₂₂ …
… … …
a_m1 a_m2 … a_mn )

I numeri sono indicati con una lettera e due indici, il primo indica la riga, il secondo la colonna a cui il numero appartiene. È possibile, infatti, trovare nelle matrici la scrittura a_ij dove i indica la riga e j il numero di colonna.

Tipi di matrici

La matrice può essere di due tipi:

• Quadrata: se m=n
• Rettangolare: se m≠n

Una matrice 1×n è denominata vettore riga, una matrice m×1 è denominata vettore colonna.

( a₁₁ a₁₂ … a_1n )

( a₁₁
a₂₁
…
a_m1 )

Operazioni con le matrici

Prendo in considerazione una matrice A e una matrice B:

A = ( 3 2 1
4 5 6 )

B = ( -2 0 1
3 -4 -6 )

• Addizione: A + B = ( 1 2 2
  7 1 0 )
• Sottrazione: A - B = ( 5 2 0
  1 9 12 )
• Prodotto per uno scalare: moltiplico la matrice per una quantità fissa (λ)
  2 × A = ( 6 4 2
  8 10 12 )
• Prodotto tra matrici: Sia A matrice m×p, sia B matrice p×n, posso definire A×B come una matrice di ordine m×n. Questa operazione gode della proprietà associativa ma non di quella commutativa.
  C₁₁ è dato sommando tutti i prodotti della 1^a riga di A con la 1^a colonna di B.
  C₁₂ è dato sommando tutti i prodotti della 1^a riga di A con la 2^a colonna di B.
  C_ij è dato sommando tutti i prodotti della i-esima riga di A con la j-esima colonna di B.

Esiste una particolare matrice per la quale vale l’equazione A∙I = A = I∙A. Questa è chiamata Matrice Identità.

I = ( 1 0 0
0 1 0
0 0 1 )

ES. ( 1 2
3 4 ) × I = ( 1 2
3 4 )

Determinanti

Per calcolare il determinante di una matrice questa deve essere quadrata. Se considero A, matrice quadrata 2x2:

A = ( a₁₁ a₁₂
a₂₁ a₂₂ )

si chiama determinante di A.