Matrici e Applicazioni lineari e Sistemi lineari e Autovalori

Matrici

Una matrice è una tabella rettangolare o quadrata di numeri.

Una matrice k x n se ha k righe e n colonne.

Se A è una matrice k x n

A^ji elemento della matrice A sulla riga j e colonna i.

A = (a_ij)_{k x n}

A_i riga della matrice A

A^j colonna della matrice A

M_{(h, n)} = {Matrici k x n}

Se A, B sono matrici k x n la matrice A + B è la matrice k x n t.c.

A_ij + B_ij = a_ij + b_ij

1 ≤ i ≤ k 1 ≤ j ≤ n

M (ℤ₂)

(a)_{(0 0) (0 1) (1 0) (1 1)} = (0)(0)(0)(0)+(0)(0)(0)(1)+(0)(1)(1)(0)+(0)(1)(1)(1)

(b)_{(0 0) (0 1) (1 0) (1 1)} = (1)(0)(0)(0)+(0)(0)(0)(1)+(0)(1)(1)(0)+(0)(1)(1)(1)

(c)_{(0 0) (0 1) (1 0) (1 1)} = (0)(0)(0)(0)+(1)(0)(0)(1)+(1)(1)(1)(0)+(0)(1)(1)(1)

(d)_{(0 0) (0 1) (1 0) (1 1)} = (0)(0)(0)(0)+(0)(0)(0)(1)+(1)(1)(1)(0)+(0)(1)(1)(1)

Moltiplicazione tra matrici

Casò 1

Moltiplicazione matrice per vettore colonna

Se A è una matrice k x n

A ⋅ (A¹ A² ⋯ Aⁿ) e rⁿ

Se x = (x₁ ⋮ x_n) e rⁿ allora A x := x₁A¹ + x₂A² + ⋯ + x_nAⁿ e r^k

Esempio

A = (^{3 5} _{-2 1})

2 x 2

x = (5 6)

A x = 5 ⁴ + 6 ³ = (^{5+2 15+1} _{3+2 -2+1+6}) = (^{11 16} _{3 5})

Generatori M (ℤ₂)

X = 3 3 4 2 1 5

1 4 5 3 2 4 5 1

1 3 1 4 2 1 5

(4 3) (3 2) (3 4)

(2 5) (1 4) (5 1)

Proprietà A ( X + Y ) = A X + A Y ( A + B ) X = A X + B X A ( X Y ) _s = A X ( A Y )^T A . O_N = O_K O_M . X = O_K A^T . A

A_I X =

A^T_J X = A^T_I

A^T_I X =

Esempio A = 5 6 4 3 9 3

X = 3 (2)

A X ( 4 )

=

=

(3)

5 (2) (3)

5

3

4

1 A ( 3 2)

4 2 (5 3)

A_I X A_X

A^J_J

CASO 2: Prodotto tra matrici A B ( AB )¹ ( AB )^M ( AB )³ ( AB )^N ( AB )^N

Siano A e B due matrici se il numero di colonne da A e uguale al numero di righe da B allora è possibile moltiplicare A per le colonne di B

La Matrice di Cambiamento di Base

Che le sue colonne

Posto X i...j

[X] = A_iⁿ X i...j, i = 1...n, j = 1...n

Se A_i i...j = (1,1)

[X] = X_iⁿ

La Trasposizione

A =

• 1 2 3
• 4 5 6

A^T =

• 1 4
• 2 5
• 3 6

• ( A )^T = A
• ( A + B )^T = A^T + B^T
• ( A · B )^T = ( B^T · A^T ) = A_1iⁿ, B_i... iⁿ B_3i
• ( λ A )^T = λ A^T
• Attenzione
• ( A B )^T ≠ A^T B^T

Se A ∈ M_n¹ e A ∈ M_n^m

• A C ∈ M_n^c
• A C ∈ M_n^c

( A )_i,j = A_ji

( A )_i, i = A_ji

Se A e B sono moltiplicabili allora anche B e A sono moltiplicabili, e

A_m x B_k = (AB)^l m^xk

( λ A )^T = ( AB )

A =

• A B AB ( )^l m m
• (AB) = (A B)
• = A (B)

13) det A.A = (det A)ⁿ

det A.A.A. = (det A)³

det A^k = (det A)^k

Regola di Cramer

An={\displaystyle \det A_{n-1}^{(n)}}

\((A^{-1})_{12} = \frac{(-1)^{1+2} \det A_{c_{1,2}}}{\det A}\)

Sfruttando le proprietà del determinante c'è una strategia molto più efficiente per calcolarlo

{\displaystyle \frac{A_{n,n}}{A_{n,n}}} = \frac{N}{N}

- Data una matrice A se ad una colonna di A aggiungo una combinazione lineare delle altre colonne il determinante non cambia

A = (X₁, X₂ … X_n) \(X_{n} = a_{2}X_{2} + a_{3}X_{3} + t_{n}X_{n}\)

det (X, …, X₁) = det A + det B

Data una matrice A se ad una riga di A sommo una combinazione lineare di altre righe il determinante non cambia

Esercizio 2

AX = B

A = ^(k+1)   0   0  k  ^(k+3)  k (k+1)  k   k^(k+1)

B = ^{1 5}

detA =  k_(k+1) (k+1)_(k+1) - (0) - (0) - (k+1)(k) · 2

  = 2K² - 12K - 10

K₁ = -5

K₂ = 1

a₁ = _-1  4  0  0  5   1  0  2

K = -1

rgA = 2

K = 5

a₁ = _{4 · (4  4  1  2)} a₁ = 2

A^(*) = _(k+1) 0 0  k  ^(k+3)  k (k+1) k k^(k+1)

K = 1

X = ^{0  1  0  1 -1  3/5  1/5}

K = 5

a = _{0  0  1 -4  0  0 1}

Il sistema ha soluzione per

K = 5

R != 3   e    K=7

Riassumendo

Im L_A = Span {A¹, A²} dim Im L_A = riga A

Ker L ⊆ V

Esempio

L(x₁, x₂, x₃) = x₁+x₂+z (0,0,0) ∈ Ker L ? Sì

Ker L ⊆ F

D: R[x] → R[K]

Ker D = {polinomi costanti} Im D = {R(x)}

∃ P(x) t.c

D(px) = x+3x p'(x) = x+3x

Proposizione

Sia L: V → W un'applicazione lineare

Allora Ker L è un sottospazio di V

Dimostrazione

L(0_V) = 0_W ⟹ 0_V ∈ Ker L

∀v₁, v₂ ∈ Ker L ⟹ v₁ + v₂ ∈ Ker L

∀v ∈ Ker L, ∀α ∈ R ⟹ αv ∈ Ker L

L(a v) = a L(v) = 0_W

L(a v) = 0_W

Ker L A:

Rⁿ → R^k

Ker L A: l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

AX = 0_R ⟹ b ∈ Ker A

Se V₁ ... V_n generano T

L(V_i) L(m) generano L(V) = Im L

Esempio

^LRⁿ⊆Rⁿ L(x)= Ax

{e₁, ... e_n} generatori di Rⁿ

Im L è generata da L e₁, L e₂, ... L e_n

Ma L e₁= A e₁, L e₂= A e₂ ... L e_n= A e_n = Im L = Span (A¹, ... Aⁿ)

Non è vero in generale che se V₁, ... V_k sono indipendenti allora L(V₁), L(V_k) sono indipendenti

In particolare non è mai vero se V_en ≠ {a}

R: E₀⟶ E₀^'

∂F ⟶ R (OF)

R(x)=cos Θx̂ + sen Θŷ

R(ŷ)=cos (π /2)ŷ −sen (π /2)ŷ = −sen x̂ + cos ŷ

OF = 5λ + 2Š

R(OF)=5R(λ) + 2R(Š) = 5(cos Θλ̂ + sen ΘŜ) + 2(-sen λ̂ + cos Š)

Esempio

λ̂ = O š coordinate (xy)

OF: X = λ; Y = 3

R(OF) = R(2) Ŝ + R(ŷ)