Matrici e Applicazioni lineari e Sistemi lineari e Autovalori

Matrici

Una matrice è una tabella rettangolare o quadrata di numeri.

Una matrice è k × h se ha k righe e h colonne.

Se A è una matrice k × h

a_ij è l'elemento della matrice A sulla riga i e colonna j.

A_i* = a_ij

A_i* riga della matrice A

A^*j colonna della matrice A

Min(k, h) = {matrici k × h}

Se A ⊆ B sono matrici k × h, la matrice A-B è la matrice k × h i.c.

A_rs, a_ij i ≤ k

1 ≤ i ≤ k 1 ≤ j ≤ h

M(z_k)

(0 1 0) (0 0 1) (1 0 0)*

(0 1 0) = c (0 1 0) + b (0 0 1) + c (1 0 0)

(0 1 0) (0 0 1) (1 0 0)

(0 0 1)

Generatrix H(z_k)

F_ij = ( 0 e_ij ) k × h

e_ij 0

( 0 1 )

S_rs 1 ≤ k

1 ≤ i ≤ 2 i = 3

Sono una base in M_{(k, h)}

Moltiplicazione tra Matrici

Casos 1 Moltiplicazione matrice per vettore colonna

Sia A una matrice k × n

A = (A1 A2 ... An) Aⁱ ∈ Rⁿ

Sia x = (x₁ x₂ ... x_n) ∈ Rⁿ

Ax := x₁A¹ +x₂A² + ... + x_nAⁿ ∈ R^k

Esempio

A = ( 5 3 )

(-2 6 ) 2 × 3

x = ( 5 )

( 3 )

Ax = 5 ( 4 )

( 5 )

= 3 ( 3 )

= 5 ( -2 )

( 1 )

( 6 )

5 x 2 ( 1 ) ( 1 3 5 )

Matrici

Una matrice è una tabella rettangolare o quadrata di numeri. Una matrice è KxN se ha K righe e N colonne. Se A è una matrice KxN.

a_ij è elemento della matrice A sulla riga i e colonna j.

A^T = a_ji

A_i* riga della matrice A_*j colonna della matrice A

A^T colonna della matrice A

Min (k,n) = {matrici kxn}

Se A=B sono matrici KxN la matrice A=B se la matrice kxm è c.

A_ij= b_ij, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n

M(z_k)

E_ij = 1...k

E_{{ij}, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n} sono una base di M_kxn

Moltiplicazione tra matrici

Caso 1: Moltiplicazione matrice per vettore colonna

Sia A una matrice kxn

A = [A₁ A₂ ... A_n] A^Rn

Sia x = x_k ∈ Rⁿ A x := x_MA₁ + x_kA_k+...+x_AA_n ∈ R^k

Esempio

A =^2x3

A x= 5(

x * 3 + 5 * 2 = 11

(2 * 3) + 5 * 2 = (3)

x - 4 * 5 + 3 * 2 = 5

(2 - 4 * 5) + 3 * 2 = (5)

proprietà

• A ( x + y ) = Ax + Ay
• ( A + B ) x = Ax + Bx
• A (λ x) = λ (Ax) = x (λ A x)
• A · 0ₙ = Oₘ
• Oₘ x = Oₘ
• A Iₙ = A

esempio

A = ^{5 3} _{6 4} x = ⁽²⁾ ₍₃₎

Ax = ^{(2 * 5) + (3 * 5)} _{(2 * 6) + (4 * 3) (5)}

(3)

A ^{(2 3)} _{(5 1)}

^{(5 5)} _{(2 3)}

⁽⁵⁾ ₍₆₎

...

caso 2 prodotto tra matrici

^{A B} _{2 2 3 1}

^{A * B} _{( A B 2 ) ( A B 1 A B 2 )( 2 )}

Siano A e B due matrici

Se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B allora è possibile moltiplicare A per le colonne di B

infatti ogni colonna di B ha un numero di componenti pari al numero di righe di A.

Le matrici A e B sono moltiplicabili se il numero di righe nella prima è uguale al numero di colonne nella seconda

Definiamo se A e B sono moltiplicabili A-B.(A|B|A|B...|A|B)

EsempioA = ¹/₄ ²/₁ ³/₅ B = ²/₃ ¹/₂ ⁵/₁AB = (¹/₄ ²/₅) (¹/₁ ³/₅) = ¹/₂ ³/₄

A.B.C1x5 5x2 1x?

(A.B.C) = A.B.A.C

(A.B) = C.A.B.C = A.B.C

(A.B) = C.A.B.C = A.B.A.C

A = (A.B)C (A.B)C = (A.B) (CA)

(A.B) = A.B

Associativa

(A.B)C = (A.B.C)

Non è un prodotto commutativo

Affinché (A.B)C abbia senso è necessario che1) Numero di righe in B = Numero di colonne in A2) Numero di righe in C = Numero di colonne di A.B

A_mxn B_nxk A