Matrici determinanti e sistemi lineari

– 2 –

CHE COS’E’ UNA MATRICE?

Per comprendere il significato e il concetto di matrice, iniziamo considerando la seguente tabella presa

da un’estrazione del lotto:

I numeri presenti sono disposti, come si può vedere, su righe e su colonne; essi costituiscono quindi

un insieme ordinato di elementi, cioè di elementi.

Per rappresentare un qualsiasi insieme di numeri, ordinato come in una tabella, si usa la scrittura

( )

cioè un quadro composto da e delimitato a destra e a sinistra da due parentesi tonde. Un

righe colonne,

scrittura di questo tipo viene detta matrice.

Diamo quindi la seguente definizione.

D1 Detti ed due numeri interi positivi e considerati numeri reali, si chiama matrice

( )

(rettangolare) di tipo l’insieme degli numeri considerati, disposti ordinatamente su righe

orizzontali e su colonne verticali, tabulati come nello schema seguente

( )

( )

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

La -pla ordinata è la riga, mentre la -pla ordinata è la

i-esima

colonna.

j-esima

■ Una matrice viene solitamente indicata con la lettera maiuscola.

■ I numeri reali , , , …, in essa contenuti si chiamano e

elementi della matrice,

vengono indicati con la rispettiva lettera minuscola munita di due indici: il primo indica la riga a cui

l’elemento appartiene, il secondo la colonna a cui l’elemento appartiene.

■ Il generico elemento di una matrice viene indicato con il simbolo , cioè ( ), con

, , …, e , , …,

Le righe e le colonne si contano a partire dall’alto e da sinistra, come è naturale.

( ) ( )

Per esempio, le matrici e sono, rispettivamente, una matrice rettangolare

( ) ( )

e una matrice rettangolare di tipo

di tipo . Si ha, ad esempio, che nella matrice , ,

.

mentre nella matrice ,

Inoltre, teniamo presente che

D2 Si chiama (o una matrice i cui elementi sono tutti nulli.

matrice nulla matrice zero) – 3 – ( );

Dalla prima definizione si parla anche di quindi se consideriamo due generiche

matrice di tipo

matrici, esse devono essere (salve diverse specificazioni).

dello stesso tipo

Diamo in proposito la seguente definizione.

D3 Due matrici e si dicono quando hanno lo stesso numero di righe e di colonne.

dello stesso tipo

( ) ( )

Per esempio, le matrici e sono dello stesso tipo, in quanto entrambe hanno

righe e colonne.

Ovviamente, se due matrici sono dello tipo, allora tutti gli elementi di ugual posto si dicono

corrispondenti. ( ) ( )

Per esempio, nelle matrici e gli elementi corrispondenti sono: e ,

e , e , e così via. – 4 –

MATRICI PARTICOLARI.

Iniziamo ora a considerare alcune particolari matrici, e diamo in merito una serie di definizioni.

D Una si dice se il numero delle righe è uguale al numero delle colonne.

matrice quadrata

In particolare, si chiama (o anche dimensione) di una matrice il numero delle sue righe e delle

ordine

sue colonne. In altre parole, se è il numero delle righe e delle colonne, si parlerà più propriamente di

.

matrice di ordine (o di dimensione)

( )

Per esempio, la matrice è quadrata e di ordine , oppure si usa dire che ha dimensione .

Se la matrice è di ordine , ossia , la matrice si riduce ad un unico elemento, e dunque

( ).

coincide ad uno cioè ad un numero:

scalare,

MATRICE RIGA E MATRICE COLONNA.

I vettori possono anche essere considerati matrici molti semplici, aventi una sola riga oppure una sola

colonna. Diamo quindi le seguenti definizioni.

D1 ( ),

Si chiama (o una matrice di ordine cioè formata da una sola riga.

vettore riga)

matrice riga

In sostanza, come dice appunto la parola, si tratta di una matrice i cui elementi sono disposti tutti su

una sola riga.

In maniera del tutto analoga

D2 ( ),

Si chiama (o una matrice di ordine cioè formata da una

vettore colonna)

matrice colonna

sola colonna.

Analogamente, si tratta di una matrice i cui elementi sono disposti tutti su una sola colonna.

( )

( )

Per esempio, la matrice è una matrice colonna (o mentre è una

vettore colonna),

matrice riga (o vettore riga).

MATRICE TRASPOSTA.

Diamo la seguente definizione.

D1 ( ), ( )

Data una matrice di tipo si chiama la matrice di tipo che si ottiene

trasposta

scambiando le righe con le colonne.

ordinatamente

Per indicare la matrice trasposta di una data matrice si usa scrivere .

( ) ( ).

Per esempio, la trasposta della matrice è la matrice

La matrice trasposta gode anche di alcune importanti proprietà e che di seguito sintetizziamo.

■ La trasposta della trasposta è la matrice stessa:

– 5 –

( )

■ La trasposta della somma di due matrici è la somma delle trasposte delle matrici:

( )

Questo risultato è estendibile anche al caso di tre o più matrici.

■ La trasposta del prodotto di due matrici è il prodotto delle trasposte delle matrici:

( )

Questo risultato è estendibile anche al caso di tre o più matrici.

■ Se è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare della trasposta:

( )

■ Se è una matrice quadrata di ordine , la sua trasposta sarà ancora una matrice quadrata.

La trasposta di una matrice è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori;

in particolare, in maniera del tutto intuitiva, la trasposta di un vettore colonna è un vettore riga e viceversa.

MATRICI UGUALI. MATRICI OPPOSTE.

Diamo ancora le seguenti definizioni.

D1 Due matrici e dello stesso tipo (ossia aventi lo stesso numero di righe e di colonne) sono

e si scrive , se ogni elemento di è uguale al corrispondente elemento di .

uguali,

Dalla definizione deriva che, due matrici sono diverse (e scriveremo ), se esse differiscono anche

per un solo elemento.

D2 Si chiama di , e si indica con , la matrice, , i cui elementi

dello stesso tipo di

matrice opposta

sono gli opposti dei corrispondenti elementi di .

( ) ( ).

Per esempio, la matrice ha come opposta la matrice

Terminiamo questa prima serie di definizioni, parlando della e della

diagonale principale diagonale

di una matrice quadrata. Diamo in merito la seguente definizione.

secondaria

D3 Se è una matrice quadrata di ordine , si chiama di l’insieme degli

diagonale principale

elementi , , …, che hanno i due indici uguali.

Si chiama invece di l’insieme degli elementi , , …, i cui indici

diagonale secondaria ( )

hanno per somma . – 6 –

( )

Per esempio, nella matrice gli elementi della diagonale principale sono: , e ,

mentre gli elementi della diagonale secondaria sono: , e .

MATRICI DIAGONALI. MATRICI TRIANGOLARI.

Avendo definito la diagonale principale e diagonale secondaria di una matrice, proseguiamo la

classificazione considerando altre particolari matrici quadrate. Diamo perciò le seguenti definizioni.

D1 Una matrice quadrata è se tutti i suoi elementi sono nulli tranne quelli che costituiscono

diagonale

la diagonale principale.

( )

Per esempio, è una matrice diagonale.

Inoltre

D2 Una matrice quadrata si dice se tutti gli elementi al di sopra della diagonale

triangolare superiore

principale sono nulli.

D3 Una matrice quadrata si dice se tutti gli elementi al di sotto della diagonale

triangolare inferiore

principale sono nulli.

( ) ( )

Per esempio, è una matrice triangolare superiore, mentre è una

matrice triangolare inferiore.

MATRICE SCALARE. MATRICE UNITA’.

Diamo inoltre le seguenti definizioni.

D1 Una matrice quadrata si dice se è diagonale e con gli elementi non nulli tutti uguali.

scalare

D2 Si chiama (o matrice identità), di ordine , la matrice scalare con tutti gli elementi

matrice unità

uguali a .

Indicheremo tale matrice con la lettera oppure, eventualmente, con , per specificarne l’ordine.

( ) ( )

Per esempio, è una matrice scalare di ordine 3, mentre è una matrice

unità sempre di ordine , che la indicheremo con .

MATRICE SIMMETRICA E ANTISIMMMETRICA.

Concludiamo la nostra classificazione andando a parlare di matrici simmetriche e antisimmetriche.

Diamo infine le ultime due definizioni. – 7 –

D1 Una matrice quadrata è se è la trasposta di se stessa.

simmetrica

Una matrice è simmetrica quando si verifica che , cioè quando la matrice e la sua trasposta

sono uguali: .

( ) ( )

Per esempio, e sono uguali, per cui è simmetrica.

In particolare, in quanto tutti i coefficienti all’esterno della diagonale

ogni matrice diagonale è simmetrica,

principale sono tutti uguali. ( )

Per esempio, la matrice diagonale è simmetrica.

In maniera del tutto opposta si parlerà di matrice antisimmetrica.

Diamo quindi l’altra definizione.

D2 Una matrice quadrata è se la trasposta è la sua opposta.

antisimmetrica

Quindi in modo simile, una matrice è antisimmetrica quando si verifica che , cioè quando

la matrice e la sua trasposta sono opposti, cioè: .

( ) ( )

Per esempio, e sono opposte, per cui è antisimmetrica.

– 8 –

OPERAZIONI CON LE MATRICI.

Le operazioni che possiamo eseguire con le matrici sono quasi le stesse operazioni che possiamo

eseguire con i numeri reali. In realtà, eseguire le operazioni con le matrici può esser fatto solo in

determinate condizioni. Vediamole meglio nel dettaglio.

SOMMA ALGEBRICA DI MATRICI.

Per poter eseguire la somma algebrica tra due o più matrici bisogna che queste siano dello stesso tipo,

cioè (come abbiamo già visto) che abbiano lo stesso numero di righe e e lo stesso numero di colonne.

In generale, è molto semplice e, forse, anche abbastanza intuitivo.

Ad ogni modo, diamo la seguente definizione.

D Si definisce di due matrici e (ossia aventi lo stesso numero di

dello stesso tipo

somma algebrica

righe e lo stesso numero di colonne), e si scrive , la matrice, dello stesso tipo di e di , i cui

elementi sono la somma algebrica dei corrispondenti elementi delle matrici date.

( ) ( )

Per esempio, se e avremo che:

( ) ( )

( ) ( )

La somma algebrica tra due matrici, possibile (come abbiamo detto) solo se entrambe le matrici sono

dello stesso tipo, gode di alcune importanti (e già note) proprietà.

■ ( ),

Se e sono due matrici di tipo si ha che:

Proprietà commutativa.

.

Per esempio, verifichiamo tale proprietà attraverso un semplice esempio.

( ),

( ) ( )

Se e sono due matrici di tipo avremo che:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

da cui abbiamo verificato che: .

■ ( ),

Se , e sono tre matrici di tipo si ha:

Proprietà associativa.

( ) ( ) .

Per esempio, verifichiamo tale proprietà sempre attraverso un semplice esempio. ( ),

( ), ( ) ( )

Se e sono tre matrici di tipo allora:

( ) ( ) [( ) ( )] ( )

( ) [( ) ( )] ( ) ( )

– 9 –

( ) ( )

da cui abbiamo verificato che risulta: .

■ ( );

Sia una matrice di tipo per quanto visto in precedenza

Esistenza dell’elemento neutro.

esiste la sempre dello stesso tipo, tale che:

matrice nulla,

.

Come avviene per i numeri reali, la matrice nulla è detta rispetto alla somma.

elemento neutro

Per esempio, verifichiamo tale proprietà sempre attraverso un esempio.

( ) ( )

Se e la matrice nulla dello stesso tipo, allora risulta:

( ) ( ) ( ).

Per quanto detto sopra, resta quindi verificata tale proprietà.

■ ( ),

Per ogni matrice di tipo esiste una

Esistenza della matrice opposta. matrice opposta

(oppure tale che:

matrice simmetrica)

( ) ( ) .

Per esempio, verifichiamo questa proprietà attraverso un esempio.

( ).

Si consideri la matrice La matrice opposta di è pertanto:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Risulta così che:

PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UNO SCALARE.

A differenza del prodotto con i numeri reali, per eseguire il prodotto tra due o più matrici bisogna fare

alcune distinzioni, in base ai tipi di matrici, perché ciò non sempre è possibile. In particolare, alcune

delle note proprietà del prodotto fra i numeri reali non sono altrettanto vere con le matrici.

Iniziamo considerando il prodotto di uno scalare (cioè un numero) per una matrice.

Diamo in proposito la seguente definizione.

D ( )

Si definisce di tipo (cioè per un numero reale )

prodotto della matrice per uno scalare

la matrice che si ottiene da moltiplicando tutti i suoi elementi per , cioè

( )

( )

Per esempio, se e si avrà:

( ) ( ) ( )

OSSERVAZIONE.

Essendo i vettori particolari matrici (come abbiamo visto più volte si parla anche di vettore riga oppure

di vettore colonna) per essi valgono le stesse e medesime operazioni con le relative proprietà.

( )

L’insieme di tutte le matrici di tipo dotato delle due operazioni di somma e prodotto per uno

scalare, con le relative proprietà, rappresenta più propriamente uno spazio vettoriale.

– 10 –

PRODOTTO SCALARE DI UNA MATRICE RIGA PER UNA

MATRICE COLONNA. ( )

Iniziamo ora a considerare, nell’ordine, una matrice riga (o vettore riga) di tipo e una matrice

( ):

colonna (o vettore colonna) di tipo

( ) ( )

e diamo quindi la seguente definizione.

D ( )

Si definisce di per la matrice di tipo che ha per elemento il numero che

prodotto scalare

si ottiene sommando i prodotti del tipo , con , , …, :

( ) ∑

In pratica, la matrice ottenuta è uno scalare, quindi un numero.

( ) ( )

Per esempio, se e si ottiene

( )( ( ) ( )

)

PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UN VETTORE.

Abbiamo già visto che se una matrice contente una sola riga o una sola colonna rappresenta,

rispettivamente, un vettore riga oppure un vettore colonna. Nell’eseguire il prodotto di una matrice per

un vettore, si hanno risultati differenti a seconda che si consideri un vettore riga o un vettore colonna.

( ) ( ).

Sia una matrice di tipo di tipo e un vettore colonna di tipo Il suo prodotto è

( ) ∑

Il suo risultato è un altro vettore riga.

Analogamente, il prodotto di una matrice con un vettore colonna risulta un altro vettore colonna!

( ) ( )

Per esempio, date le matrici e si ha:

( )

( )( ) ( ) ( ).

( )

Questo tipo di prodotto è ampliamente usato in algebra lineare, perché descrive una cosiddetta

(o trasformazione).

applicazione lineare ( ) ( )

Per esempio, date le matrici e si ha:

( )( ) ( )

In questo caso, il risultato ottenuto rappresenta una di un dato angolo nel piano cartesiano.

rotazione

– 11 –

PRODOTTO DI MATRICI.

Quanto detto precedentemente sui vari tipi di prodotti ci permette di poter eseguire finalmente il “vero”

prodotto tra due matrici. In questi casi, però, le due matrici devono avere una particolare condizione: il

numero delle colonne della prima matrice deve essere uguale al numero delle righe della seconda: in tal

senso si parla di matrici conformabili.

Diamo in merito la seguente definizione.

D ( ) ( ),

Si definisce (righe di tipo di tipo

per colonne)

prodotto della matrice per la matrice

( )

la matrice di tipo il cui generico elemento si ottiene moltiplicando scalarmente la i-esima

riga di per la colonna di .

j-esima ∑

( )

Il prodotto tra la -esima riga di e la -esima colonna di così definito viene detto prodotto scalare.

Schematizzando quando detto si ha ( ) ( ).

Per esempio, vogliamo calcolare il prodotto delle matrici e ( ) ( ).

Osserviamo subito che le due matrici sono conformabili, essendo di tipo e di tipo La matrice

( ).

prodotto sarà dunque di tipo Calcoliamo quindi i suoi elementi.

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della prima riga di per la prima colonna di , ovvero

( )( )

L’elemento di posto sarà dunque il prodotto scalare della prima riga di per la seconda colonna di

( )( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della prima riga di per la terza colonna di , ovvero

( )( )

L’elemento di posto sarà quindi il prodotto scalare della prima riga di per la quarta colonna di

( )( )

L’elemento di posto , invece, sarà il prodotto scalare della seconda riga di per la prima colonna di , cioè

( )( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della seconda riga di per la seconda colonna di , cioè

( )( )

– 12 –

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della seconda riga di per la terza colonna di , cioè

( )( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della seconda riga di per la quarta colonna di , cioè

( )( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della terza riga di per la prima colonna di , ovvero

( )( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della terza riga di per la seconda colonna di , ovvero

( )( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della terza riga di per la terza colonna di , ovvero

( )( )

Infine, l’elemento di posto sarà il prodotto scalare della terza riga di per la quarta colonna di , cioè

( )( )

La matrice così ottenuta è ( )

Le operazioni fin qui definite ci permettono di verificare facilmente alcune importanti proprietà, che di

seguito sintetizziamo. ( ),

Siano , e sono tre generiche matrici tutte di tipo e e due generici scalari. Valgono le

seguenti proprietà.

■ Proprietà distributiva del prodotto di una matrice per uno scalare rispetto alla somma di matrici:

( )

■ Proprietà distributiva del prodotto di una matrice per uno scalare rispetto alla somma di scalari:

( )

 ( ) ( )

Proprietà associativa del prodotto di una matric