Matrici determinanti e sistemi lineari

TEOREMA DI ROUCHÈ-CAPELLI.

Abbiamo visto che se il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite (e per il quale sia

) il sistema ammette sempre in tutti gli altri casi, però, prima di procedere

una ed una sola soluzione;

a risolvere il sistema conviene accertarsi se esso ammette soluzioni. A tale scopo risulta di

fondamentale importanza il (dai nomi del matematico francese Eugène

teorema di Rouché-Capelli

Rouché, suo ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in modo più semplice).

Teorema di Rouché-Capelli. se e soltanto se

Un sistema lineare è possibile la matrice dei coefficienti e

la matrice completa del sistema hanno lo stesso rango .

Dato che la matrice incompleta è contenuta nella matrice completa (cioè la matrice incompleta è una

sottomatrice), il rango della matrice completa non può essere minore a quello del rango della

matrice incompleta: cioè . Ricordando quindi la definizione di rango, si possono presentare due

casi distinti.

1° CASO. Il rango della matrice incompleta è di quello della matrice completa: si ha allora

minore

e quindi, essendo per il teorema appena esposto, il sistema è (cioè le sue

impossibile

equazioni sono incompatibili).

2° CASO. Il rango della matrice incompleta è a quello della matrice completa: si ha allora

uguale

e quindi il sistema è (cioè le sue equazioni sono perciò

possibile compatibili).

Se il sistema è possibile, occorre determinare se ammette una oppure infinite soluzioni. Ebbene:

 ( )

se il sistema ammette infinite soluzioni in quanto incognite possono assumere valori

arbitrari: si dice in questi casi che il sistema ammette soluzioni;

 se il sistema ammette una ed una sola soluzione in quanto non esistono incognite (libere) alle

quali assegnare valori arbitrari.

Come abbiamo detto, se il sistema è omogeneo, esso risulta possibile. Tale risultato è coerente con il

teorema: infatti, la matrice completa del sistema si ottiene dalla matrice dei coefficienti aggiungendo

una colonna di elementi nulli; pertanto esse avranno lo stesso rango.

PER ESEMPIO: {

1. Verifichiamo che il sistema lineare sia possibile.

La matrice incompleta e quella completa del sistema sono, rispettivamente,

( ) ( )

Il minore del ordine, formato con gli elementi della prima e seconda riga e dalla prima e terza colonna di ,

che è un minore anche di , risulta diverso da zero: ( )

( ) | |

Poiché la terza riga di entrambe le matrici è combinazione lineare delle prime due, e per le proprietà dei

determinanti, qualunque minore del terzo ordine estratto da una delle due matrici sarà nullo. Perciò le due

( ) ( )

matrici hanno entrambe rango : perciò il sistema è possibile.

– 50 – {

2. Verifichiamo se il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ha soluzioni.

La matrice incompleta e quella completa del sistema sono, rispettivamente,

( ) ( )

Com’è facile verificare, si ha subito

( ) | | | | | | | | ;

( )

quindi il rango della matrice è ; si ha invece un minore del ordine non nullo, per esempio

non

la matrice formata dagli elementi della prima e seconda riga e dalla prima e seconda colonna di :

( )

( ) | |

( )

Perciò . ( ) | |

Invece si ha che ( )

è un minore non nullo del ordine; perciò .

( ) ( ),

Essendo quindi per il Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema dato risulta impossibile.

Una volta accertato che le due matrici hanno lo stesso rango e che, quindi, il sistema sia possibile, si

può procedere alla sua risoluzione. In particolare, un sistema di equazioni in incognite per il quale

, tale sistema (come abbiamo già detto e visto) è indeterminato oppure impossibile. Ricorrendo a

questo teorema siamo ora in grado di precisare tale questione:

Un sistema avente equazioni e incognite, se e anche , è

indeterminato e, quindi, ammette infinite soluzioni se la matrice completa e quella incompleta

hanno lo stesso rango (in caso contrario è impossibile).

OSSERVAZIONE!

Quando si risolve un sistema applicando, per esempio, il metodo di sostituzione o di riduzione, la

possibilità o l’impossibilità del sistema viene accertata nel corso della risoluzione. Pertanto, applicando

uno di questi metodi, risulta superfluo accertare preventivamente la possibilità o l’impossibilità del

sistema mediante il teorema di Rouchè-Capelli!

PER ESEMPIO:

Sistema di equazioni in incognite.

1. Vogliamo risolvere il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

{

Iniziamo scrivendo la matrice incompleta e quella completa del sistema:

– 51 –

( ) ( )

Dato che

( ) | | | | | | | |

( ) ( )

| | ( )

la matrice dei coefficienti ha rango , perciò: .

Affinché il sistema sia possibile, per il Teorema di Rouchè-Capelli, anche la matrice completa deve avere lo

stesso rango.

Dalla matrice completa si possono estrarre quattro minori del ordine tutti nulli, ma la sottomatrice che si

ottiene eliminando l’ultima colonna ( )

è la matrice dei coefficienti, la quale sappiamo già che ha rango . In questo caso, quindi, non serve calcolare

anche i determinanti delle altre tre sottomatrici perché a noi ne basta trovare uno che sia diverso da

almeno

( )

zero! Pertanto si ha: . ( ) ( )

Ne segue che la matrice dei coefficienti e quella completa hanno lo stesso rango, cioè: .

Allora, per il teorema di Rouchè-Capelli, essendo e , il sistema è e ammette una ed

determinato

una sola soluzione.

Procediamo ora a determinare la soluzione applicando la regola di Cramer. Si ha che (abbiamo colorato la

colonna che è stata sostituita): ( )

( ) | | | | | | | |

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) | | | | | | | |

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) | | | | | | | |

( ) ( ) ( ) ( )

( )

da cui si ricava:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

In definitiva, la soluzione del sistema è la terna – 52 –

{

2. Risolviamo il sistema lineare

Iniziamo scrivendo la matrice incompleta e quella completa del sistema: esse sono, rispettivamente,

( ) ( )

Come si può verificare facilmente, risulta

( ) | | | | | | ,

pertanto (per la regola di Cramer) il sistema non è possibile.

Per accertare se è indeterminato oppure impossibile, ricorriamo al Teorema di Rouchè-Capelli.

( ) ( )

La matrice , essendo il suo determinante nullo, sarà .Affinché sia , deve esistere una

sottomatrice di il cui determinante si diverso da zero.

Esiste, però, il minore del ordine non nullo estraibile dalla matrice . Ad esempio:

( )

( ) | |

( )

Perciò: .

Dalla matrice , come si verifica facilmente, si possono estrarre quattro minori del ordine tutti nulli:

( ) | | | | | | | | | |

( ) | | | | | | | |

( ) | | | | | | | | ( )

( )

di cui è la matrice dei coefficienti, quindi sappiamo già che: .

( )

Pertanto il rango di non è . Affinché sia , bisogna che esista una sottomatrice di il cui

determinante sia diverso da zero. La sottomatrice che soddisfa tale ipotesi può essere la stessa di prima, ossia

| |

( )

Perciò si ha: . ( ) ( )

Ne segue che la matrice dei coefficienti e quella completa hanno lo stesso rango, cioè: .

Allora, per il teorema di Rouchè-Capelli, essendo e , il sistema è e ammette

indeterminato

soluzioni.

Procediamo adesso a risolvere il sistema determinando la generica soluzione: in questi casi conveniamo di

( )

scegliere le equazioni e le incognite della sottomatrice , in quanto .

A tale scopo consideriamo solo le prime due equazioni e le prime due incognite, cioè e

– 53 –

{

e consideriamo l’incognita come un parametro, ossia poniamo (con ): il sistema diventa:

{

Il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero: è la matrice

| |

quindi, avendo ottenuto un sistema di due equazioni in due incognite, possiamo procedere utilizzando la

regola di Cramer: | | | |

Quindi la soluzione del sistema è { {

In pratica, la del sistema è

soluzione generale {

espressa in funzione della variabile libera . Ad esempio, se si ha la soluzione particolare

{

3. Vogliamo risolvere il sistema lineare

Scriviamo come prima cosa la matrice incompleta e quella completa del sistema: esse sono, rispettivamente,

( ) ( )

Come si verifica facilmente, risulta ( ) | | ,

(in quanto, la seconda riga è la somma della prima e della terza!) pertanto (sempre per la regola di Cramer) il

sistema non è possibile.

Per poter verificare se è indeterminato oppure impossibile, ricorriamo al teorema di Rouchè-Capelli.

( )

Il rango di non è , ma sarà al massimo . Affinché sia proprio , deve esistere una sottomatrice di

il cui determinante si diverso da zero.

Se consideriamo il minore del ordine formato dalle prime due righe e dalle prime due colonne, si ha:

– 54 –

( ) | |

( )

Perciò abbiamo: .

Dalla matrice completa possiamo estrarre quattro minori del ordine, da cui si trova subito che:

( ) | | | | | |

In tal caso non serve calcolare anche i determinanti delle altre sottomatrici perché a noi basta trovarne almeno

( )

uno che sia diverso da zero! Pertanto: .

Ne segue che la matrice dei coefficienti e quella completa hanno lo stesso rango, e quindi per Teorema di

non

Rouchè-Capelli, il sistema è impossibile. {

4. Risolviamo il seguente sistema lineare

Il sistema, come si vede, è omogeneo, perciò ammette la soluzione nulla. Per verificare se ammette

almeno

anche altre soluzioni, procediamo scrivendo la matrice incompleta e quella completa del sistema:

( ) ( )

da cui il determinante della matrice dei coefficienti risulta

( ) | | | | | | | |

( )

e quindi: .

Dalla matrice completa possiamo estrarre sempre quattro minori del ordine, tre dei quali (avendo l’ultima

colonna con tutti zeri), i rispettivi determinanti saranno nulli. Infatti:

( ) ( ) ( )

| | | | | |

( ) ( )

| |

mentre , ( )

quindi, avendo trovato una sottomatrice il cui determinante è diverso da zero, si ha che: .

( ) ( )

Possiamo quindi concludere che essendo , per Teorema di Rouchè-Capelli il sistema risulta

possibile, e in questo caso (essendo omogeneo) si ha la soluzione nulla:

soltanto

5. Vogliamo risolvere il seguente sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

{ ( ).

Il sistema è omogeneo, quindi ammette la soluzione nulla, ossia la terna

almeno

Per poter se ammette anche altre soluzioni