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× × ×

Teorema 4: date le matrici X di ordine 3 2, A di tipo 2 3 ed matrice nulla 3 3, l’equazione

O

3

( )

è risolubile se e solo se r A = 1 .

XA = O

3

Dimostrazione:

L’equazione matriciale è equivalente a tre sistemi (fra di loro equivalenti) raggruppabili nel

XA = O

3

seguente sistema:

+ =

 au a ' u ' 0

 + =

(1) bu b ' u ' 0

 + =

 cu c

' u ' 0 ( ) ( )

Se la soluzione di uno di essi esiste, allora r A = 1 . Viceversa, se r A = 1 allora risulta a ' = k a ,

, c

' = k c .

b ' = k b

Dunque il sistema (1) diventa:

( )

+ =

 a u k u ' 0

 ( )

+ =

 b u k u

' 0

 ( )

+ =

 c u k u

' 0

da cui segue:

+

u k u ' = 0

+

v k v ' = 0

+

w k w ' = 0

Dunque la matrice X, di rango uno, è soluzione dell’equazione .

XA = O

3

66

APPENDICE ∅

Sia dato un insieme A .

Definizione

• × •

Se è una funzione definita sul prodotto cartesiano A A a valori in A, allora diremo che è

un’operazione binaria in A.

1. SEMIGRUPPI

Definizione 1.1.

( )

• •

Una coppia G, , dove G è un insieme non vuoto e è un’operazione binaria interna di G, si dice

semigruppo se: ( ) ( )

∀ ∈ ⇒ • • • •

a , b , c G a b c = a b c proprietà associativa

Definizione 1.2. ∈

Se G è un semigruppo, si chiama elemento neutro (bilatero) di G ogni elemento u G tale che:

∀ ∈ ⇒ • •

a G u a = a u = a

Definizione 1.3.

Se un semigruppo G possiede l’elemento neutro, allora G si dice semigruppo unitario.

Definizione 1.4. ∈

Se G è un semigruppo unitario, diremo che a '∈ G è un simmetrico di a G se:

• •

a a ' = a ' a = u ∀ ∈

Osservazione: si dimostra che in ogni semigruppo unitario esiste un unico elemento neutro e a G

esiste un unico simmetrico.

Definizione 1.5.

Un semigruppo G si dice commutativo o abeliano se l’operazione definita su G gode della seguente

proprietà: ∀ ∈ ⇒ • •

a , b G a b = b a proprietà commutativa

67

ESEMPI

( ) ( )

+ ⋅

N N

1) , ed , cioè l’insieme dei numeri naturali, rispetto all’operazione sia di addizione che di

moltiplicazione, è un semigruppo commutativo unitario. Lo stesso discorso ovviamente vale anche per gli

insiemi dei numeri interi relativi, dei numeri razionali, dei numeri reali e dei numeri complessi.

( ) ( )

℘ ℘

( ) ( ) ∅

∪ ∩ ≠

A , A ,

2) e cioè l’insieme delle parti di A , rispetto alle operazioni di unione ed

intersezione, è un semigruppo commutativo unitario ( è l’elemento neutro dell’unione ed A è l’elemento

neutro dell’intersezione; gli unici elementi invertibili, come è facile provare per esercizio, in entrambi i casi,

sono gli elementi neutri).

2. GRUPPI

Definizione 2.1. ( )

• •

Si dice gruppo una coppia ordinata G, , dove è un’operazione binaria interna definita sull’insieme

non vuoto G, tale che: ( ) ( )

∀ ∈ ⇒ • • • •

a) a , b , c G a b c = a b c proprietà associativa

∀ ∈ ⇒ • •

a G u a = a u = a

b) esistenza dell’elemento neutro

∀ ∈ ∃ ∈ ⇒ • •

a G a

' G a a ' = a ' a = u

c) esistenza dell’elemento simmetrico

Definizione 2.2.

Un gruppo G si dice commutativo o abeliano se:

∀ ∈ ⇒ • •

a , b G a b = b a proprietà commutativa

ESEMPI

( )

+

Z

1) , , cioè l’insieme dei numeri relativi con l’addizione, forma un gruppo commutativo. Sono gruppi

( ) ( ) ( )

+ ℜ + +

Q C

,

commutativi anche le seguenti strutture: , , , , . [Naturalmente in questi casi

l’elemento neutro è lo zero ed il simmetrico è l’opposto].

( )

Q ,

2) , cioè l’insieme dei numeri razionali (le frazioni) non nulli con la moltiplicazione, forma un

0 ( )

ℜ ⋅

gruppo commutativo. Anche la struttura costituisce un gruppo abeliano.

,

0

[Naturalmente l’elemento neutro è il numero 1 ed il simmetrico è l’inverso].

68

( )

ℜ +

n

3) V = , , cioè l’insieme dei vettori ad n coordinate dotato dell’operazione di addizione, è un

gruppo abeliano. [Naturalmente l’elemento neutro è la n-upla nulla ed il simmetrico di un vettore v V è il

− ∈

suo opposto v V ].

( )

( ) +

M m

, n ,

4) , cioè l’insieme delle matrici di tipo (m, n), con l’operazione di addizione tra matrici, è un

( )

gruppo commutativo. [Naturalmente l’elemento neutro è la matrice nulla ed il simmetrico di A M m , n ,

−A,

in questa struttura, è la matrice opposta ottenuta da A cambiando il segno a tutti i suoi elementi].

( )

( ) ⋅

M * n ,

5) , cioè l’insieme delle matrici quadrate di ordine n con la moltiplicazione, costituisce un

gruppo non commutativo. In questo caso l’elemento neutro è la matrice identica ed il simmetrico di una

I

n

−1

matrice A è l’inversa .

A ( )

( ) ⋅

M n ,

Da notare che la struttura , cioè l’insieme di tutte le matrici quadrate di ordine n (ossia

comprese anche quelle con determinante nullo), costituiscono un semigruppo unitario non commutativo, ma

non un gruppo poiché gli elementi con determinante nullo non sono invertibili.

( )

( ) + ⋅

M 1 , ,

Si noti ancora che è, di fatto, isomorfo all’insieme dei numeri reali.

3. ANELLI

Definizione 3.1. ( )

+ •

Chiameremo anello una struttura algebrica A, , tale che:

( )

+

1) A, è un gruppo abeliano, cioè:

( ) ( )

∀ ∈ • • • •

a) a , b , c A a b c = a b c proprietà associativa

∀ ∈ • •

b) esistenza dell’elemento neutro

a A u a = a u = a

∀ ∈ ∃ ∈ • •

c) esistenza dell’elemento simmetrico

a A a ' G : a a ' = a ' a = u

∀ ∈ • •

d) a , b A a b = b a proprietà commutativa

Osservazione: chiaramente indicheremo l’elemento neutro u con 0 e l’opposto di un qualunque elemento

∈ −a.

a A con

( )

2) A, è un semigruppo, cioè:

( ) ( )

∀ ∈ • • • •

a) a , b , c A a b c = a b c proprietà associativa

( )

∀ ∈ • + • + •

b) a , b , c A a b c = a b a c

proprietà distributiva della legge rispetto alla legge +

( )

∀ ∈ + • • + •

c) a , b , c A b c a = b a c a 69

Osservazione: per comodità l’elemento verrà indicato semplicemente con ab; l’elemento neutro u

a b −1

con 1 ed il simmetrico (nel caso specifico l’inverso) di un qualunque elemento a A con .

a

Definizione 3.2.

( ) ( )

+ • •

Un anello A, , si dice commutativo o abeliano se A, è un semigruppo commutativo, cioè:

∀ ∈ ⇒ • •

a , b A a b = b a proprietà commutativa

Definizione 3.3.

( )

+ •

Un anello A, , si dice unitario se possiede un elemento neutro (necessariamente unico) e, cioè tale

che: ∀ ∈ ⇒ • •

a A a e = e a = a

( ) −1

+ • ∈

Sia A, , un anello unitario. Se, fissato a A esiste un elemento tale che:

a

− −

• •

1 1

a a = a a = e

l’elemento a si dice invertibile o che è una unità.

( )

+ • U

Osservazione: in un anello unitario A, , l’insieme degli elementi invertibili non è vuoto avendosi,

come è ovvio: ∈

U

e

Si ha anche la seguente ⋅

U

Proprietà: la struttura ( , ) è un gruppo (dentro l’anello), detto gruppo delle unità.

Breve prova: ( )

− ( ) −1

1

− − −

∈ ∈ = ∈ ⋅ ∈

1 1 1

U U U U

Se a , b risulta che a , b per essere a a e in quanto esiste ab ed

a b

( )

− − −

1 ∈

1 1 U U

è ab = b a . Quindi ( , ) è associativo, ed il prodotto di due elementi è invertibile.

e 70

Definizione 3.4. ( )

+ •

Un anello unitario e commutativo A, , nel quale vale la legge di annullamento del prodotto, cioè:

• ⇒

a b = 0 a = 0 oppure b = 0

si dice dominio d’integrità o anello integro.

( )

+ •

Osservazione : in un anello A, , il prodotto di due elementi è sempre nullo se uno dei due fattori è

nullo; si noti, invece, che il viceversa è falso, cioè può capitare che in un anello il prodotto ab sia nullo ma

risultino diversi da zero sia a che b: in tal caso a e b si dicono divisori dello zero.

ESEMPI { }

1) Esiste un unico anello detto anello mono-elemento costituito da un solo elemento, cioè A = a con

+ ⋅

a a = a a = a

In questo caso l’elemento a funziona sia da zero che da e, anzi se in un anello si verifica che 0 = 1 questo è

proprio l’anello mono-elemento.

Osservazione: ogni anello ha necessariamente due elementi: zero ed e.

( )

( ) ( ) ( )

+ •

+ • ℜ + • + •

Q

Z C

, ,

2) , , , , , , , , , sono anelli commutativi unitari ed integri.

( )

+ • ≥

Z

n , ,

3) , cioè l’insieme dei multipli interi relativi di un fissato intero n 2, ossia

{ }

− −

Z

2 = ..., 4 , 2 , 0 , 2 , 4 , 6

, ...

{ }

− −

Z

3 = ..., 9 , 3

, 0 , 3

, 9 , ...

.............................................................

{ }

− −

Z

n = ..., 2 n , n , 0 , n , 2 n , ...

con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione, costituisce un anello commutativo non unitario (non è

possibile ottenere, infatti, 1 come multiplo di n).

4) L’insieme dei polinomi a coefficienti interi ad una indeterminata costituisce un anello commutativo

unitario.

( )

( ) + •

M n , ,

5) , cioè l’insieme delle matrici quadrate di ordine n con le note operazioni di addizione e

moltiplicazione, costituisce un anello unitario non commutativo e non integro.

71

( )

Ad esempio in M 2 le seguenti due matrici A e B non sono nulle ma hanno prodotto nullo:

     

1 0 0 0 0 0

     

,

A = B = AB =

     

0 0 0 1 0 0

4. CORPI E CAMPI

Definizione 4.1. ( ) ( )

+ • ≠ ∅ •

Definiamo corpo un anello A, , nel quale la struttura A , è un gruppo, non

necessariamente commutativo. ≠

≠ b 0

Osservazione: in un corpo non esistono divisori dello zero, poiché se fosse , con , ,

ab = 0 a 0

( )

−1

−1 =

a ab = 0

esistendo si avrebbe cioè , contro l’ipotesi.

a b 0

Definizione 4.2. ( )

≠ ∅ + •

Un corpo commutativo si dice campo, cioè un campo è un anello unitario A , , tale che

( )

A, è un gruppo abeliano.

ESEMPIO

( ) ( ) ( )

+ • ℜ + • + •

Q C

, , , , , , , , sono campi. 72

ESEMPI PRELIMINARI

Si consiglia allo studente di porre l’attenzione sui seguenti esempi 1)-7) relativi al capitolo sulle matrici e

determinanti prima di risolvere gli esercizi proposti:

 

3 1 2

 

 

2 3 2 × ×

   

1) Siano A = e B = due matrici di ordine rispettivamente 2 3 e 3 3.

2 3 3

   

1 1 2  

1 1 1

Scrivere A per righe e B per colonne; calcolare poi il prodotto AB.

Risulta: ( )

   A = 2 , 3

, 2

A 1

1

  

A = con ( )

  

A  A = 1

, 1 , 2

2 2 ( )

 T

B = 3 , 2 , 1

 1

( ) ( ) T

B = con B = 1

, 3

, 1

B B B 2

1 2 3  ( )

T

 B = 2 , 3 , 1

 3

Segue quindi:

   

AB A B A B 14 13 15

1 1 1 2 1 3

   

AB = =

   

A B A B A B 7 6 7

2 1 2 2 2 3

   

3 2 a b

   

2) Data la matrice A = con det A = 0 trovare la matrice B = tale che:

   

6 4 c d

a) AB = 0

b) BA = 0

Si ha: + + +

        

3 2 a b 3 a 2 c 3

b 2 d 0 0 3

a 2 c = 0

        

a) AB = = =

+ + +

        

6 4 c d 6 a 4 c 6 b 4 d 0 0 3

b 2 d = 0

Segue:

− −

a = 2 t c = 3 t b = 2 u d = 3

u

Dunque: − −

   

a b 2 2

   

B = = tu

   

c d 3 3

b) stessi calcoli 73

r r r

( ) ( ) ( )

− − −

3) Dati i tre vettori 4-dimensionali u 2 , 1 , 2 , 1 , v 2 , 3

, 1

, 1 e w 4 , 1

, 1

, 2 provare che

sono linearmente indipendenti.  

2 1 2 1

 

 

È sufficiente, in tal caso, osservare che la matrice associata A = ha rango tre.

2 3 1 1

 

− −

 

4 1 1 2

4) Con riferimento alla matrice A dell’esercizio precedente provare che i quattro vettori-colonna di A sono

linearmente dipendenti.

Essendo tre il rango della matrice A segue che esattamente tre colonne sono linearmente indipendenti; del

resto la quarta colonna è proporzionale alla prima.

5) Sia data una matrice quadrata con determinante nullo. Provare che una sua riga è combinazione lineare

delle precedenti.

Si consideri una matrice quadrata A di ordine n. Poiché det A = 0, la caratteristica di A è al più n−1; segue

che le n righe sono linearmente dipendenti e così pure le colonne. Dunque esiste almeno una riga che è

combinazione lineare delle rimanenti.

 

3 2 −1

 

6) Data la matrice A = trovare, se esiste, la sua inversa .

A

 

1 1 −1

Osserviamo innanzitutto che det A = 1 0, cioè esiste . Per calcolarla formiamo la matrice:

A

 

3 2 1 0 [ ]

 

B = = A

| I 2

 

1 1 0 1

trasformando così B nel seguente modo: − −

     

3 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 2

 

→  

     

B = −

→ − → −

R R 2 R R R R

     

1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 3

1 1 2 2 2 1 −1

A I I A

2 2

Dunque: −

 

1 2

− 1  

A = −

 

1 3

Infatti si ha: −

     

3 2 1 2 1 0

1      

AA = = = I

− 2

     

1 1 1 3 0 1

     

1 2 3 2 1 0

− 1      

A A = = = I

− 2

     

1 3 1 1 0 1 O.K.!

74

Analogamente si consideri la matrice:

 

1 0 3 2 [ ]

 

C = = I | A

2

 

0 1 1 1

Trasformiamo C come segue: − −

     

1 0 3 2 1 2 1 0 1 2 1 0

 

→  

     

C = −

→ − → −

R R 2 R R R R

     

0 1 1 1 0 1 1 1 1 3 0 1

1 1 2 2 2 1 −1

A

I A I

2 2

Dunque è possibile accostare la matrice identità sia a destra che a sinistra di A, ottenendo così sempre la

stessa matrice inversa. r r

( ) ( )

− −

7) Dato l’insieme delle n-uple generato dai vettori 4-dimensionali u 2 , 1

, 1

, 3 , v 2 , 2 , 3

, 1 ,

r

r ( ) ( )

w 4 , 3

, 2 , 2 ed t 0 , 1

, 4 , 4 si determini una base dello spazio delle combinazioni lineari da esse

generato.

È sufficiente, pertanto, verificare quanti dei quattro vettori considerati sono linearmente indipendenti. Si

consideri quindi la matrice ad essi associata:

 

2 1 1 3

 

 

2 2 3 1

A =  

4 3 2 2

 

 

0 1 4 4 2 1 ≠

Poiché, come è facile notare, risulta , orlando tale minore con le residue righe e

= 2 0

2 2

colonne si ottengono i seguenti minori del terzo ordine:

− −

2 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1 3

− −

2 2 3 = 2 2 1 = 2 2 3 = 2 2 1 = 0

4 3 2 4 3 2 0 1 4 0 1 4

( )

Dunque r A = 2 . Inoltre le prime due righe della matrice A sono linearmente indipendenti per cui una

r r

base è costituita proprio dai vettori e .

u v 75

ESERCIZI PROPOSTI −

A ) Calcolare, se possibile, A + B, A B, AB, BA e cA dove A, B e c sono dati 1)-8) dopo aver

analizzato i seguenti esempi a)-g): −

   

3 5 0 5

   

a) A = ; B = ; c = 2

− − − −

   

1 2 1 2

× ×

2 2 2 2

Sommando e sottraendo termine a termine risulta rispettivamente:

   

3 0 3 10

   

A + B = e A B =

− −

   

2 4 0 0

× ×

2 2 2 2

Svolgendo il prodotto righe per colonne si ha:

( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ − − −

   

3 0 5 1 3 5 5 2 5 25

   

=

AB = ( ) ( ) ( )

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −  

 

1 0 2 1 1 5 2 2 2 9

×

2 2

( ) ( )

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

   

0 3 5 1 0 5 5 2 5 10

   

=

BA = ( ) ( )

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −  − − 

 

1 3 2 1 1 5 2 2 1 1

×

2 2

Moltiplicando ciascun elemento della matrice A per il numero c assegnato si ottiene:

 

6 10

 

cA = 2A = − −

 

2 4

×

2 2 76

− −

   

2 1 0 2 1 0

   

   

b) A = ; B = ; c = 3

3 1 0 3 1 3

   

   

4 0 0 1 1 1

× ×

3 3 3 3

Si ha: −

   

4 2 0 0 0 0

   

− −

   

A + B = e A B =

6 2 3 0 0 3

   

− −

   

5 1 1 3 1 1

× ×

3 3 3 3

( ) ( ) ( )

⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ −

   

4 0 2 0 0 3 4 0 2 0 0 1 4 0 2 3 0 1 0 0 6

   

( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − − −

   

6 0 2 0 3 3 6 0 2 0 3 1 6 0 2 3 3 1 = 9 3 9

AB =  

 

( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ −  − − 

 

5 0 1 0 1 3 5 0 1 0 1 1 5 0 1 3 1 1 3 1 4

×

3 3

( )

⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ −

   

2 2 1 3 0 4 2 1 1 1 0 0 2 0 1 0 0 0 1 3 0

   

( )

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

   

3 2 1 3 3 4 3 1 1 1 3 0 3 0 1 0 3 0 = 21 2 0

BA =  

 

( )

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅  

 

1 2 1 3 1 4 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 9 0 0

×

3 3

 

6 3 0

 

 

cA = 3A = 9 3 0

 

 

12 0 0

×

3 3

   

1 3 2 1 0 3 −1

   

c) A = ; B = ; c =

− −

   

2 3 4 3 1 1

× ×

2 3 2 3

Risulta: −

   

2 3 1 0 3 5

   

A + B = e A B = −

   

1 4 3 5 2 5

× ×

2 3 2 3

77

AB non è possibile perché il numero delle colonne di A è diverso dal numero delle righe di B

BA non è possibile per il ragionamento precedente

− −

 

1 3 2

( )

−  

cA = 1 A = − −

 

2 3 4

×

2 3  

  1 3 4

1 0 0  

  1

− −2

 

 

d) A = ; B = 1 2 ; c =

0 1 2

   

2

   

0 3 4 0 1 4

× ×

3 3 3 3

Si ha:    

− −

2 3 4 0 3 4

   

5 3

− − −

   

A + B = 1 3 e A B = 1 1

   

2 2

   

0 4 8 0 2 0

× ×

3 3 3 3

   

1

( )

⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

   

1 1 0 1 0 0 1 3 0 2 0 1 1 4 0 0 4

2 1 3 4

  

1 17

( )

   

⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

AB = 0 1 1 1 2 0 0 3 1 2 2 1 0 4 1 2 4 = 1 4

   

2 2

   

1 35

( )

⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − 

 

0 1 3 1 4 0 0 3 3 2 4 1 0 4 3 4 4 3 10

 

 

2 2

×

3 3

   

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

1 1 3 0 4 0 1 0 3 1 4 3 1 0 3 2 4 4 1 15 22

   

1 1 1 7

− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −

   

BA = 1 1 2 0 0 1 0 2 1 3 1 0 2 2 4 = 1 6

   

2 2 2 2

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

   

0 1 1 0 4 0 0 0 1 1 4 3 0 0 1 2 4 4 0 13 18

×

3 3

 

2 0 0

 

( )

− − −

 

cA = 2 A = 0 2 4

 

− −

 

0 6 8

×

3 3 78

Osservazione: la somma e la differenza si possono effettuare solo nel caso di matrici aventi lo stesso ordine

(il medesimo numero di righe e di colonne), cioè non è possibile sommare o sottrarre, per esempio, una

× ×

matrice di ordine 2 3 ed una di ordine 3 3; analogamente, come già osservato, è possibile calcolare il

prodotto tra due matrici solo se il numero delle colonne della prima matrice è uguale al numero delle righe

della seconda matrice, cioè A (m, k) e B (k, n) sono moltiplicabili e la matrice prodotto sarà C (m, n); il

prodotto tra matrici, in generale, non è commutativo, ossia AB BA, come è facile verificare dagli esempi

precedenti.

   

1 3 0 0 0

    1

   

e) A = ; B = ; c =

2 3 0 0 0

    3

   

2 1 0 3 4

× ×

3 3 3 2

A + B e A B non sono possibili per quanto asserito nella precedente osservazione

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

   

1 0 3 0 0 3 1 0 3 0 0 4 0 0

   

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ×

   

2 0 3 0 0 3 2 0 3 0 0 4

AB = = è la matrice nulla 3 2

0 0

   

( ) ( )

− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

   

2 0 1 0 0 3 2 0 1 0 0 4 0 0

BA non è possibile

 

1

 

1 0

3

 

1 2

 

cA = A = 1 0

 

3 3

 

2 1

 

0

 

3 3

×

3 3 −

 

1 1

−  

 

1 0 1 −

   

f) A = ; B = ; c = 6

2 2

   

2 1 0  

0 3

× ×

2 3 3 2

A + B e A B non sono possibili 79

( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ − + ⋅ + − ⋅

  −

 

1 1 0 2 1 0 1 1 0 2 1 3 1 4

   

AB = =

( ) ( )

⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅

   

2 1 1 2 0 0 2 1 1 2 0 3 0 0

×

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − + − ⋅

  − − −

 

1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1

   

( ) ( ) ( ) ( )

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅

   

2 1 2 2 2 0 2 1 2 1 2 0

BA = = 2 2 2

   

( )

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅

   

0 1 3 2 0 0 3 1 0 1 3 0 6 3 0

×

3 3

 

6 0 6

 

cA = 6A =  

12 6 0

×

2 3  

1 0

   

1 0 2 1

   

2 1 −1

− −

 

g) A = ; B = ; c =

3 1 1 1  

  1 3

 

− − −

 

0 1 2 3 −

 

2 2

× ×

3 4 4 2

A + B e A B non sono possibili

( ) ( )

⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

  −

 

1 1 0 2 2 1 1 2 1 0 0 1 2 3 1 2 3 8

   

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ + − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ −

   

3 1 1 2 1 1 1 2 3 0 1 1 1 3 1 2

AB = = 8 4

   

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + − ⋅ + − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ −

   

0 1 1 2 2 1 3 2 0 0 1 1 2 3 3 2 6 13

×

3 2

BA non è possibile

 

0 0 0 0

 

−A ×

 

cA = = è la matrice nulla 3 4

0 0 0 0

 

 

0 0 0 0

×

3 4 80

   

1 1 1 3

   

1) A = ; B = ; c = 2

   

0 2 0 1 − −

         

2 2 0 4 1 4 1 5 2 2

         

R: A + B = ; A B = ; AB = ; BA = ; cA =

− −

         

0 1 0 3 0 2 0 2 0 4

   

1 1 3 1 2 3

    −1

− −

   

2) A = ; B = ; c =

0 2 1 0 2 5

   

− −

   

5 2 0 4 1 7 −

     

2 1 6 0 3 0 13 1 19

     

− − − −

     

R: A + B = ; A B = ; AB = ;

0 0 4 0 4 6 4 3 3

     

− − −

     

9 3 7 1 1 7 5 14 5

− − −

   

16 3 1 1 1 3

   

− −

   

BA = ; cA =

25 14 2 0 2 1

   

− −

   

39 20 13 5 2 0

 

1 0 1 −

 

  1 0

−  

 

2 5 7  

3) A = ; B = ; c = 3

3 1

   

0 1 4

  −

 

7 4

 

3 0 3 − −

   

8 4 3 0 3

   

− −

   

32 33 6 15 21

R: A + B, A B, BA non sono possibili; AB = ; cA =

   

31 15 0 3 12

   

− −

   

24 12 9 0 9

   

1 2 2 3 1 0 7 3

   

   

0 1 1 5 2 1 1 4 1

4) A = ; B = ; c =

   

− −

7 1 0 2 2 1 0 1 2

   

− −

   

3 4 1 3 3 5 2 3 −

     

2 2 5 6 0 2 9 0 18 19 15 0

     

− − −

     

2 2 0 9 2 0 2 1 19 27 11 12

R: A + B = ; A B = ; AB = ;

     

5 0 0 3 9 2 0 1 15 11 54 19

     

− − − −

     

6 9 3 6 0 1 1 0 0 12 19 35

 

1 3

 

1 1

2 2

 

 

59 21 1 8 1 1 5

   

− 0

 

21 22 1 1  

2 2 2

BA = ; cA =

   

− − 7 1

1 1 6 14

  0 1

 

  2 2

 

8 1 14 47 3 1 3

 − 

2

 

2 2 2

81

 

1 0 1 −

 

  1 1 3 5

−  

 

2 5 7 −

 

5) A = ; B = ; c = 1

0 2 1 3

   

0 1 4

  −

 

5 2 0 7

 

3 0 3 − −

 

4 1 3 2 −

 

  16 8 19

−  

 

37 26 11 44

− − −

 

R: A + B, A B non sono possibili; AB = ; BA = ;

5 11 19

 

− −  

20 6 1 31

  −

 

20 10 2

− −

 

12 3 9 6

cA = A  

1 3

   

1 3 2 5

   

3 6 1

 

6) A = ; B = ; c =

6 2 4 3  

  2 9 3

 

 

2 6 4 10  

4 2  

1 2 5

 

1

  3 3 3

32 43  

  2 4

 

− −

 

R: A + B, A B, BA non sono possibili; AB = ; cA = 2 1

20 48  

  3 3

   

64 86 2 4 10

 

2

 

3 3 3

 

  1 1 1

1 1  

  1 1

−  

 

7) A = ; B = 3 1 ; c =

3 1

   

3 3

   

9 3 9 3 5  

1 1

 

  3 3

13 3  

  1

 

− −

 

R: A + B, A B, AB non sono possibili; BA = ; cA = 1

3 5  

  3

   

63 21 3 1

 

 

82

   

1 3 4 2

    −2

   

8) A = ; B = ; c =

1 2 1 0

   

   

0 1 4 1 − − −

   

6 2 6 8

   

− − − −

   

R: A + B, A B, BA non sono possibili; AB = ; cA =

1 2 4 2

   

− −

   

4 0 2 8

B

) Scrivere la trasposta delle seguenti matrici 1)-6) dopo aver analizzato gli esempi a)-d):

 

1 7

 

a) A =  

4 5

Come già accennato in precedenza la trasposta di una matrice si ottiene scambiando tra di loro le righe e le

colonne; si ha, quindi:

 

1 4

T  

A =  

7 5 −

 

2 1 1

 

 

b) A = 1 3 6

 

 

1 6 4

Risulta: −

 

2 1 1

 

T  

A = 1 3 6

 

 

1 6 4 T

Osservazione: nell’esempio b) A = ossia la matrice A è simmetrica.

A

 

2 5 7

 

c) A =  

0 3 1

Si ottiene:

 

2 0

 

T  

A = 5 3

 

 

7 1 83

 

2 0 0 0

 

 

0 3 0 0

d) A = D =  

0 0 2 0

 

 

0 0 0 8

La trasposta della matrice diagonale D è la matrice, anch’essa diagonale data da:

 

2 0 0 0

 

 

0 3 0 0

T

D =  

0 0 2 0

 

 

0 0 0 8

Osservazione: ogni matrice diagonale è simmetrica; nel caso in cui la matrice A sia quadrata di ordine n

allora la sua trasposta risulterà ancora una matrice quadrata di ordine n; se, invece, A è una matrice

×

rettangolare di ordine m n allora la sua trasposta sarà ancora una matrice rettangolare di ordine, però, n

× m.  − 

 

  1 3 2

1 1 2  

   

− − T  

 

1) A = A = 1 0 1

3 0 1  

 

   

 − 

   

2 1 2

2 1 2

 

1 2

   − 

−  

  1 1 2 3

1 2  

T

 

2) A = A =

   − − 

 

2 2 1 1

2 1

 

 

3 1

 

1 1  − 

 

  1 2 1

 

T

 

 

3) A = A =

2 2  − 

   

1 2 3

 

1 3  − 

 

1 2 1

−  

   

1 2 1 3 − −

   

2 4 1

 

− − − T

 

4) A = A =

2 4 2 6  

 

  1 2 3

 

− −  

 

1 1 3 3  − − 

 

 

3 6 3

 

 

  5 0 0 0

5 0 0 0  

   

 

  0 3 0 0

0 3 0 0  

T

5) D = D =  

   

0 0 1 0

0 0 1 0  

   

 

   

 

0 0 0 4

0 0 0 4 84  

 

  1 0 0

1 0 0  

   

T  

 

6) A = A = 0 1 3

0 1 2  

 

   

 

   

0 2 4

0 3 4

C ) Calcolare i determinanti delle matrici 1)-30) dopo aver osservato quanto riportato nei seguenti

esempi a)-e)

 − 

2 2

 

a) A = −

 

1 3

Applicando la definizione data sui determinanti del secondo ordine si ha:

2 2 ( ) ( )

− ⋅ − − ⋅ − + −

det A = = 2 3 1 2 = 6 2 = 4

1 3

 

1 3 2

 

 

b) A = 1 0 1

 

 

2 1 2

Applicado la regola di Sarrus si ha:

− −

1 3 2 1 3

1 0 1 1 0

det A = =

− −

2 1 2 2 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅

1 0 2 3 1 2 2 1 1 2 0 2 1 1 1 3 1 2 =

= ( )

− − − − − − − + + −

= 0 6 2 0 1 6 = 6 2 1 6 = 1

 

1 3 2

 

1 0 1

c) A =  

 

2 1 2

Il determinante richiesto si può calcolare con la regola di Sarrus, come fatto nel precedente esempio,

oppure con la regola di Laplace, cioè sviluppando il determinante rispetto agli elementi di una riga o di una

colonna. Se si considerano, ad esempio, gli elementi della seconda riga, si ha:

1 3 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ +

det A = = = =

1 0 1 1 A 0 A 1 A A A

21 22 23 21 23

2 1 2 85

− − − −

3 2 1 3 3 2 1 3

( ) ( )

+ +

− + − − −

2 1 2 3

= = =

1 1

− − − −

1 2 2 1 1 2 2 1

( ) ( )

− − + − − + − −

= 6 2 1 6 = 4 5 = 1

Dunque, per il calcolo dei determinanti del terzo ordine, è possibile utilizzare entrambi i metodi di cui agli

esempi b) e c).

− − −

 

1 2 3 5

 

 

5 2 4 1

d) A =  

4 2 1 3

 

 

3 3 1 2

Applicando la regola di Laplace, cioè sviluppando il determinante, per esempio, secondo gli elementi della

prima colonna, si ha:

− − −

1 2 3 5

5 2 4 1 − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − + + +

det A = = = =

1 A 5 A 4 A 3 A A 5 A 4 A 3 A

− 11 21 31 41 11 21 31 41

4 2 1 3

3 3 1 2

− − − − − − −

2 4 1 2 3 5 2 3 5 2 3 5

( ) ( ) ( ) ( )

+ + + +

− − − + − − + − − + − −

1 1 2 1 3 1 4 1

= =

1 2 1 3 5 1 2 1 3 4 1 2 4 1 3 1 2 4 1

3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 3

− − − − − − −

2 4 1 2 3 5 2 3 5 2 3 5

− − − − + − − −

= 2 1 3 5 2 1 3 4 2 4 1 3 2 4 1

3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 3

I precedenti determinanti di ordine tre, a loro volta, possono essere calcolati applicando nuovamente la

regola di Laplace, sviluppando ciascuno di essi secondo, per esempio, gli elementi della prima riga.

Risulta quindi:

 − − 

1 3 2 3 2 1

( ) ( ) ( )

2 3 4

− − − + − + − +

det A = 2 1 4 1 1 1

 

1 2 3 2 3 1

 − − 

1 3 2 3 2 1

( ) ( ) ( )

2 3 4

− − − + − − − +

5 2 1 3 1 5 1

 

1 2 3 2 3 1

86

 − − 

4 1 2 1 2 4

( ) ( ) ( )

2 3 4

+ − − + − − − +

4 2 1 3 1 5 1

 

1 2 3 2 3 1

 − − 

4 1 2 1 2 4

( ) ( ) ( )

2 3 4

− − − + − − −

 

3 2 1 3 1 5 1 =

− −

 

1 3 2 3 2 1

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − − − − − − − − − − − − + − − − − − +

2 1 4 13 5 5 2 1 3 13 5 5 4 2 7 3 7 5 14

= [ ]

( ) ( ) ( )

− − − − − − − + +

3 2 11 3 4 5 6 = 49 330 308 120 = 49

Osservazione: si perveniva allo stesso risultato se si fossero calcolati i determinanti del terzo ordine con la

regola di Sarrus. −

 

2 10 0 8

 

 

1 3 1 5

e) A =  

− − −

1 1 1 7

 

− − −

 

1 4 1 3

2 10 0 8

1 3 1 5

det A = =

− − −

1 1 1 7

− − −

1 4 1 3 −1)

(si sommano alla seconda colonna la quarta colonna e la prima colonna moltiplicata per

2 0 0 8

1 7 1 5

= =

− − − −

1 5 1 7

− − −

1 2 1 3

(si somma alla quarta colonna la prima colonna moltiplicata per 4)

2 0 0 0

1 7 1 9

= =

− − − −

1 5 1 11

− − −

1 2 1 7

(applicando la regola di Laplace, sviluppando rispetto agli elementi della prima riga)

7 1 9

( )

− − − −

2

= =

2 1 5 1 11

− −

2 1 7 87

(si somma alla prima riga la seconda riga)

2 0 2

− − −

= =

2 5 1 11

− −

2 1 7

(si somma alla prima colonna la terza colonna)

0 0 2

− − −

= =

2 16 1 11

− − −

5 1 7

(applicando al regola di Laplace, sviluppando rispetto agli elementi della prima riga)

− −

16 1

( ) ( ) ( )

= − − − −

4

2 2 1 = 4 11 = 44

− −

5 1

Sempre applicando le proprietà sui determinanti è possibile calcolare ancora più rapidamente il

determinante della matrice assegnata:

2 10 0 8

1 3 1 5

det A = =

− − −

1 1 1 7

− − −

1 4 1 3

(si somma la seconda riga alla terza e alla quarta riga)

2 10 0 8

1 3 1 5

= =

0 4 0 2

0 7 0 2

(applicando la regola di Laplace, sviluppando rispetto agli elementi della terza colonna)

2 10 8

( )

− −

5

= =

1 0 4 2

0 7 2

(applicando la regola di Laplace, sviluppando rispetto agli elementi della prima colonna)

4 2

( ) ( )

− − − −

2

= 2 1 = 2 22 = 44

7 2 ≥

Osservazione: tutti i determinanti di ordine n 5 si risolvono con le stesse tecniche illustrate negli esempi

d) e e). 88

 

1 3 −19]

 

1) A = [det A =

− −

 

5 4

 

1 3 −5]

 

2) A = [det A =

 

0 5

 

7 2

 

3) A = [det A = 8]

 

4 0

 

3 2 −1]

 

4) A = [det A =

 

7 5

− −

 

5 2 −29]

 

5) A = [det A =

 

3 7

 

4 1 −37]

 

6) A = [det A =

 

5 8

 

2 3

 

7) A = [det A = 34]

 

4 11

 

3 5

 

8) A = [det A = 7]

 

4 9

 

7 3

 

9) A = [det A = 19]

 

4 1

 

3 2 −13]

 

10) A = [det A =

 

5 1

 

1 3 2

  −1]

 

11) A = [det A =

1 0 1

 

 

2 1 2

 

1 0 1

  −2]

 

12) A = [det A =

3 5 4

 

 

1 1 0

 

3 2 1

 

 

13) A = [det A = 26]

5 1 4

 

 

3 2 1 89

 

3 7 1

  −4]

 

14) A = [det A =

2 0 2

 

 

3 4 1

 

1 3 4

 

 

15) A = [det A = 71]

5 4 1

 

 

0 2 3

 

1 3 5

  −87]

 

16) A = [det A =

2 7 4

 

 

6 8 3

 

3 2 1

 

 

17) A = [det A = 141]

5 4 2

 

 

3 7 5

 

3 2 1

 

 

18) A = [det A = 0]

2 5 7

 

 

4 9 5

 

2 5 4

 

 

19) A = [det A = 70]

0 7 0

 

 

2 1 9

 

1 4 2

 

 

20) A = [det A = 65]

2 8 1

 

 

3 1 5

 

1 2 0 1

 

 

2 1 1 2

21) A = [det A = 11]

 

− 1 0 1 0

 

 

0 3 1 1

 

1 2 2 3

 

 

5 7 0 4

22) A = [det A = 0]

 

1 2 2 3

 

 

2 1 0 3

 

1 3 15 7

 

 

0 2 8 5

23) A = [det A = 24]

 

0 0 3 4

 

 

0 0 0 4 90

 

3 2 1 3

 

 

5 1 7 5 −241]

24) A = [det A =

 

1 4 4 1

 

 

0 5 2 1

 

1 3 1 1

 

 

1 0 1 0

25) A = [det A = 15]

 

2 1 1 2

 

 

1 1 0 1

 

5 4 2 1

 

 

2 3 1 2

26) A = [det A = 38]

 

− − −

5 7 3 9

 

− −

 

1 2 1 4

 

3 2 1 4

 

 

1 5 2 3

27) A = [det A = 256]

 

− −

2 7 5 1

 

− −

 

1 2 3 4

 

1 2 3 4

 

 

5 6 7 8

28) A = [det A = 0]

 

9 10 11 12

 

 

13 14 15 16

− − −

 

3 5 2 3 5

 

 

4 1 3 3 2

  −885]

29) A = [det A =

6 10 1 2 2

 

− −

 

1 1 1 2 1

 

 

3 6 2 7 6

− − −

 

1 1 4 2 5

 

− −

 

3 4 10 9 16

 

− −

30) A = [det A = 52]

2 1 11 4 9

 

 

1 6 12 5 3

 

− − −

 

5 2 24 5 22 91

D ) Calcolare la matrice dei complementi algebrici riportata negli esercizi 1)-12) dopo aver

analizzato gli esempi a)-f):

   

2 5 a a

11 12

   

a) A = =

   

1 3 a a

21 22

Si ha:  

A A

11 12

 

A * =  

A A

21 22

dove gli A , complementi algebrici relativi agli elementi a , sono il risultato del prodotto tra il

ij ij ( ) +

− i j

determinante, ottenuto da A cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima, e 1 .

Pertanto risulta: (cancellando la prima riga e la prima colonna si ottiene il 3 = 3, moltiplicato

A = 3

11 ( ) ( )

+

− −

1 1 2

per 1 = 1 = +1)

−1

= (cancellando la prima riga e la seconda colonna si ottiene il 1 = 1, moltiplicato

A

12 ( ) ( )

+

− − −

1 2 3

per 1 = 1 = 1 )

− (cancellando la seconda riga e la prima colonna si ottiene il 5 = 5, moltiplicato

A = 5

21 ( ) ( )

+

− − −

2 1 3

per 1 = 1 = 1 )

2 (cancellando la seconda riga e la seconda colonna si ottiene il 2 = 2, moltiplicato

A =

22 ( ) ( )

+

− − +

2 2 4

per 1 = 1 = 1 )

Quindi alla fine risulta:

 

3 1

 

A * = −

 

5 2

 

1 0

 

b) A =  

3 5

Procedendo come nel precedente esempio si ha:

(cancellando la prima riga e la prima colonna si ha il 5 = 5 che va

A = 5

11 ( ) ( )

+

− −

1 1 2

poi moltiplicato per 1 = 1 = +1)

− (cancellando la prima riga e la seconda colonna si ha il 3 = 3 che va

A = 3

12 ( ) ( )

+

− − −

1 2 3

poi moltiplicato per 1 = 1 = 1 )

92

− (cancellando la seconda riga e la prima colonna si ha il 0 = 0 che va

A = 0 = 0

21 ( ) ( )

+

− − −

2 1 3

poi moltiplicato per 1 = 1 = 1 ) −1 −1

− (cancellando la seconda riga e la seconda colonna si ha il =

A = 1

22 ( ) ( )

+

− − +

2 2 4

che va poi moltiplicato per 1 = 1 = 1 )

Dunque: −

 

5 3

 

A * = −

 

0 1

 

1 0 1

 

 

c) A = 3 5 4

 

 

1 1 0 ≥

Anche per le matrici di ordine n 3 si può applicare la regola analizzata nel caso n = 2, chiaramente con le

opportune variazioni.

Pertanto si ha:

 

A A A

11 12 13

 

 

A * = A A A

21 22 23

 

 

A A A

31 32 33

Restano da calcolare gli A , complementi algebrici degli elementi a .

ij ij

Quindi otteniamo:

− 5 4 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ + ⋅ +

1 1 2

A = 1 = 1 5 0 1 4 = 1 4 = 4

11 1 0

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la prima riga e la prima colonna di A)

3 4 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −

1 2 3

A = 1 = 1 3 0 4 1 = 1 4 = 4

12 1 0

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la prima riga e la seconda colonna di A)

3 5 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − − − ⋅ + ⋅ − +

1 3 4

A = 1 = 1 3 1 5 1 = 1 3 5 = 2

13 1 1

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la prima riga e la terza colonna di A)

0 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

2 1 3

A = 1 = 1 0 0 1 1 = 1 1 = 1

21 1 0

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la seconda riga e la prima colonna di A)

93

1 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − −

2 2 4

A = 1 = 1 1 0 1 1 = 1 1 = 1

22 1 0

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la seconda riga e la seconda colonna di A)

− 1 0 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

2 3 5

A = 1 = 1 1 1 0 1 = 1 1 = 1

23 1 1

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la seconda riga e la terza colonna di A)

0 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅

3 1 4

A = 1 = 1 0 4 5 1 = 1 5 = 5

31 5 4

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la terza riga e la prima colonna di A)

− 1 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ −

3 2 5

A = 1 = 1 1 4 3 1 = 1 4 3 = 1 7 = 7

32 3 4

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la terza riga e la seconda colonna di A)

1 0 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ + ⋅

3 3 6

A = 1 = 1 1 5 0 3 = 1 5 = 5

33 3 5

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la terza riga e la terza colonna di A)

Dunque la matrice cercata è:

 

4 4 2

 

− − −

 

A * = 1 1 1

 

 

5 7 5

 

1 1 0

 

 

d) A = 0 1 0

 

 

2 0 1

Calcoliamo, in primo luogo, come fatto nei precedenti esempi, i complementi algebrici relativi agli elementi

della matrice data. Risulta allora:

1 0

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

1 1 2 ;

A = 1 = 1 1 1 0 0 = 1 1 = 1

11 0 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

1 2 3 ;

A = 1 = 1 0 1 2 0 = 1 0 = 0

12 2 1

0 1

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − −

1 3 4 ;

A = 1 = 1 0 0 2 1 = 1 2 = 2

13 2 0 94

− 1 0 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

2 1 3 ;

A = 1 = 1 1 1 0 0 = 1 1 = 1

21 0 1

1 0

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

2 2 4 ;

A = 1 = 1 1 1 2 0 = 1 1 = 1

22 2 1

1 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

2 3 5 ;

A = 1 = 1 1 0 1 2 = 1 2 = 2

23 2 0

1 0 1 0

( ) ( )

+ +

− ⋅ − ⋅

3 1 3 2

; ;

A = 1 = 0 A = 1 = 0

31 32

1 0 0 0

1 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅

3 3 6

A = 1 = 1 1 1 1 0 = 1 1 = 1

33 0 1

Dunque si ha: −

 

1 0 2

 

 

A * = 1 1 2

 

 

0 0 1

 

2 1 2

 

 

e) A = 3 0 1

 

 

5 2 2

Procedendo in maniera più rapida di quanto non sia stato fatto in precedenza si ha:

0 1 3 1 ( )

+ − − − − −

; ;

A = = 2 A = = 6 5 = 1

11 12

2 2 5 2

3 0 1 2 ( )

+ − − −

; ;

A = = 6 A = = 2 4 = 2

13 21

5 2 2 2

2 2 2 1 ( )

+ − − − − −

; ;

A = = 4 10 = 6 A = = 4 5 = 1

22 23

5 2 5 2

1 2 2 2 2 1

( )

+ − − − + −

; ;

A = = 1 A = = 2 6 = 4 A = = 3

31 32 33

0 1 3 1 3 0

Dunque: − −

 

2 1 6

 

 

A * = 2 6 1

 

 

1 4 3 95

 

1 0 1 1

 

 

0 5 0 3

f) A =  

2 4 0 5

 

 

0 1 3 2

Si ha: 5 0 3 0 0 3 ( )

+ − − − − − −

; ;

A = 4 0 5 = 36 75 = 39 A = 2 0 5 = 18 0 = 18

11 12

− 1 3 2 0 3 2

0 5 3 0 5 0 ( )

+ − − − − − −

; ;

A = 2 4 5 = 6 20 = 26 A = 2 4 0 = 30 = 30

13 14

− −

0 1 2 0 1 3

0 1 1 1 1 1

( )

− − − + − + − − −

; ;

A = 4 0 5 = 5 12 8 = 1 A = 2 0 5 = 6 15 4 = 13

21 22

1 3 2 0 3 2

1 0 1 1 0 1

( )

− − − + − + −

; ;

A = 2 4 5 = 8 2 5 = 11 A = 2 4 0 = 12 2 = 10

23 24

− −

0 1 2 0 1 3

0 1 1 1 1 1 ( )

+ − + − − − −

; ;

A = 5 0 3 = 3 15 10 = 2 A = 0 0 3 = 9 = 9

31 32

− 1 3 2 0 3 2

1 0 1 1 0 1 ( )

+ + − − −

; ;

A = 0 5 3 = 10 3 = 13 A = 0 5 0 = 15 = 15

33 34

− −

0 1 2 0 1 3

0 1 1 1 1 1

( )

− − − +

; ;

A = 5 0 3 = 12 25 = 13 A = 0 0 3 = 6

41 42

4 0 5 2 0 5

1 0 1 1 0 1

( )

− − − − − + −

;

A = 0 5 3 = 25 10 12 = 3 A = 0 5 0 = 10

43 44

2 4 5 2 4 0

Dunque: − − −

 

39 18 26 30

 

− −

 

1 13 11 10

A * =  

2 9 13 15

 

− −

 

13 6 3 10 96  − 

−  

  3 4

1 1  

   

1) A = A * =  

   

1 1

4 3  − 

−  

  1 2

1 2  

   

2) A = A * =  

   

2 1

2 1  

 

  3 2

3 1  

   

3) A = A * =  − 

   

1 3

2 3  

 

  5 1

1 3  

   

4) A = A * =  − 

   

3 1

1 5  − 

 

  0 9

3 1  

   

5) A = A * =  − 

   

1 3

9 0  − − − 

−  

  1 8 5

1 2 3  

   

− − −

−  

 

6) A = A * = 1 8 5

2 1 2  

 

   

 

   

1 8 5

3 1 1  − 

−  

  2 8 10

1 1 1  

   

 

 

7) A = A * = 1 0 5

4 1 0  

 

   

 − 

   

1 4 5

2 3 2  − 

 

  1 4 1

1 1 3  

   

−  

 

8) A = A * = 1 4 1

1 0 1  

 

   

 − − 

   

1 4 1

2 1 2  

−  

  1 5 13

3 2 1  

   

−  

 

9) A = A * = 2 10 26

2 3 1  

 

   

 − − − 

   

1 5 13

7 4 1  

 

  4 0 0

2 0 0  

   

 

 

10) D = D * = 0 8 0

0 1 0  

 

   

 

   

0 0 2

0 0 4  − − 

 

  48 30 8 24

1 1 1 0  

   

− − −

 

  12 10 2 6

0 4 0 5  

11) A = A * =  

   

− − −

11 15 4 12

2 0 0 4  

   

 − − 

   

 

16 10 26 8

0 0 3 1 97  

− −  

  3 6 3 11

2 3 1 4  

   

−  

  7 15 25 21

0 1 2 0  

12) A = A * =  

   

− − − −

− 59 12 6 22

1 0 1 0  

   

 − 

   

 

4 8 4 3

0 4 3 3

E

) Calcolare, con entrambi i metodi studiati, l’inversa delle matrici riportate negli esercizi 1)-12)

dopo aver analizzato i seguenti esempi a)-h):

 

3 1

 

a) A = −

 

2 4

E’ necessario calcolare in primo luogo il determinante di A per poter affermare che la matrice data ammette

o no l’inversa.

Pertanto si ha:

− 3 1 − ≠

= 10 0

− 2 4

Quindi, essendo rispettata la condizione necessaria e sufficiente,esiste l’inversa di A.

Primo metodo:

Dobbiamo calcolare la matrice dei complementi algebrici; risulta, quindi:

− −

; ; ;

A = 4 A = 2 A = 1 A = 3

11 12 21 22

Ne segue che: −

   

4 2 4 1

( ) T

   

A * = A * =

− − −

   

1 3 2 3

Dunque:  

2 1

 

 

4 1

1 1

( )

− 5 10

T

⋅ −

1    

A = A * = =

  1 3

 

2 3

det A 10 −

 

5 10

Secondo metodo:

Consideriamo la matrice

 

3 1 1 0 [ ]

 

B = = A | I

− 2

 

2 4 0 1 98

Trasformiamo B come segue:  

2 1

− − −

    −

3 1 1 0 10 0 4 1 1 0

 

 

→  

   

B = 5 10

− −

→ − 1  

R 4 R R

   

2 4 0 1 2 4 0 1 → − −

1 1 2 R R  

2 4 0 1

1 1

10

   

2 1 2 1

− −

1 0 1 0

    [ ]

5 10 5 10

 

→   

→ 1

    = I | A

→ + 2

1

4 6 1 3

R R 2 R →

 −   − 

2 2 1 R R

0 4 0 1

2 2

4

   

5 5 5 10

 

1 1

 

b) A =  

0 2

Si ha:

1 1 ≠

= 2 0

0 2

Quindi A ammette inversa.

Primo metodo:

Si calcolano i complementi algebrici relativi agli elementi di A:

; ; ;

A = 2 A = 0 A = 1 A = 1

11 12 21 22

da cui:    

2 0 2 1

( ) T

   

A * = A * =

   

1 1 0 1

Dunque:  

1

 

1

 

2 1

1

− 2

   

1

A = =

  1

 

0 1

2 0

 

2

Secondo metodo:

Si consideri la matrice:

 

1 1 1 0 [ ]

 

B = = A

| I 2

 

0 2 0 1 99

Trasformiamo B come segue:  

1

1 0 1

−   [ ]

   

1 1 1 0 2 0 2 1 −

 

→  

→ 2 1

 

   

B = = I | A

→ + 2

1 1

R 2 R R

   

0 2 0 1 0 2 0 1 →  

1 1 2 R R 0 1 0

1 1

2  

2

1

R R

2 2

2

 

1 1 0

 

 

c) A = 0 1 0

 

 

2 0 1

Risulta:

1 1 0 ≠

0 1 0 = 1 0

2 0 1

Primo metodo: D

Come già visto nell’esempio d) in ) i complementi algebrici relativi agli elementi di A sono i seguenti:

− −

; ; ; ; ; ; ;

A = 1 A = 0 A = 2 A = 1 A = 1 A = 2 A = 0

11 12 13 21 22 23 31

;

A = 0 A = 1

32 33

Quindi: −

   

1 0 2 1 1 0

   

( ) T

   

A * = 1 1 2 A * = 0 1 0

   

− −

   

0 0 1 2 2 1

Dunque:    

1 1 0 1 1 0

   

1

− 1    

A = 0 1 0 = 0 1 0

   

1 − − − −

   

2 2 1 2 2 1

( )

− T

1

Si osservi che in questo esempio A A * . 100

Secondo metodo:

Consideriamo la matrice:

 

1 1 0 1 0 0

  [ ]

B = 0 1 0 0 1 0 = A

| I

 3

 

 

2 0 1 0 0 1

Trasformiamo B come segue:

   

1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0

   

 

B = 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

  

→ +

R R R

1 1 2

   

   

2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1

 

1 0 0 1 1 0 [ ]

  −

 

→ 1

0 1 0 0 1 0 = I | A

 

→ − 3

R R 2 R

3 3 1  

− −

 

0 0 1 2 2 1

 

3 2 1

 

 

d) A = 2 5 7

 

 

4 9 5

Si ha: −

3 2 1

− 2 5 7 = 0

4 9 5

Dunque la nostra matrice A non ha inversa.

 

1 3 2

 

 

e) A = 1 0 1

 

 

2 1 2

Risulta:

1 3 2 − ≠

1 0 1 = 1 0

2 1 2

Primo metodo:

I complementi algebrici sono: − − − −

; ; ; ; ; ; ;

A = 1 A = 0 A = 1 A = 4 A = 2 A = 5 A = 3

11 12 13 21 22 23 31

;

A = 1 A = 3

32 33 101

da cui segue: − −

   

1 0 1 1 4 3

   

( ) T

− − −

   

A * = 4 2 5 A * = 0 2 1

   

− − −

   

3 1 3 1 5 3

Dunque: − −

 

1 4 3

 

− −

1  

A = 0 2 1

 

 

1 5 3

Secondo metodo:

Consideriamo la matrice:

 

1 3 2 1 0 0

  [ ]

B = 1 0 1 0 1 0 = A

| I

 3

 

 

2 1 2 0 0 1

Trasformiamo B come segue:

− −

   

1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0

   

  

→ − −

B = 1 0 1 0 1 0 0 3 1 1 1 0

  

→ −

R R R

2 2 1

   

− −

   

2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 1

   

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

   

 

→ − −  

→ − −

0 3 1 1 1 0 0 3 1 1 1 0

   

→ + → +

R R R R R R

1 1 2 3 3 2

   

− −

   

2 1 2 0 0 1 2 2 1 1 1 1

   

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

   

 

→ − −  

→ −

0 3 1 1 1 0 0 1 0 0 2 1

   

( )

→− − → +

R R 2 R R R R

3 3 1 2 2 3

   

− − − −

   

0 2 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1

− −

   

1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 4 3 [ ]

    −

 

→ −   

→ − 1

0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 1 = I | A

   

→ + → − 3

R R 2 R R R R

3 3 2 1 1 3

   

− −

   

0 0 1 1 5 3 0 0 1 1 5 3

102

 

1 3 1 1

 

 

1 0 1 0

f) A =  

2 1 1 2

 

 

1 1 0 1

Innanzitutto bisogna calcolare il determinante di A. Risulta:

1 3 1 1

1 0 1 0 −1)

(si somma alla terza colonna la prima colonna moltiplicata per

=

2 1 1 2

− 1 1 0 1

1 3 2 1

1 0 0 0

= (si risolve tale determinante rispetto alla seconda riga)

=

− −

2 1 1 2

− 1 1 1 1

3 2 1

− − −

= (si somma la seconda riga alla terza riga)

1 1 2 =

1 1 1

3 2 1

− − −

= (si sviluppa rispetto agli elementi della terza riga)

1 1 2 =

0 0 3

3 2

= 3 = 15

− −

1 1 ≠

Abbiamo così trovato che det A = 15 0, cioè la matrice data ha l’inversa.

Primo metodo:

Calcoliamo ora i complementi algebrici relativi agli elementi di A. Si ha:

; ; ; ; ; ; ;

A = 3 A = 3 A = 3 A = 0 A = 1 A = 6 A = 14

11 12 13 14 21 22 23

− − − −

; ; ; ; ; ; ;

A = 5 A = 2 A = 3 A = 2 A = 5 A = 7 A = 3

24 31 32 33 34 41 42

;

A = 7 A = 5

44

43

Dunque si ottiene: − −

   

3 3 3 0 3 1 2 7

   

− −

   

1 6 14 5 3 6 3 3

( ) T

A * = A * =

   

− − − −

2 3 2 5 3 14 2 7

   

− −

   

7 3 7 5 0 5 5 5

103

da cui:  

1 1 2 7

 

5 15 15 15

 

1 2 1 1

 

 

− 5 5 5 5

1

A =  

1 14 2 7

− −

 

5 15 15 15

 

1 1 1

 − 

0

 

3 3 3

Secondo metodo:

Si consideri la matrice:

 

1 3 1 1 1 0 0 0

 

1 0 1 0 0 1 0 0 [ ]

 

B = = A

| I

 −  4

2 1 1 2 0 0 1 0

 

 

1 1 0 1 0 0 0 1

Trasformiamo B come segue:

− −

   

1 3 1 1 1 0 0 0 1 3 1 1 1 0 0 0

   

1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0

   

  

B =  −   

→ +

R R R

2 1 1 2 0 0 1 0 1 0 1 3 0 0 1 1

3 3 4

   

− −

   

1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1

 

2 3 0 4 1 0 1 1

 

1 0 1 0 0 1 0 0

 

 

→   

 

→ + → −

R R R R R R

1 0 1 3 0 0 1 1

1 1 3 2 2 3

 

 

1 1 0 1 0 0 0 1

   

2 3 0 4 1 0 1 1 2 3 0 4 1 0 1 1

   

− − − − − −

0 0 0 3 0 1 1 1 0 0 0 3 0 1 1 1

   

 

   

→ +

R R R

1 0 1 3 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0

3 3 2

   

− −

   

1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1

 

5 0 0 1 1 0 1 2

 

− − −

0 0 0 3 0 1 1 1

 

 

→  

 

→ − → +

R R 3

R R 3 R R

1 0 1 0 0 1 0 0

1 1 4 1 1 2

 

 

1 1 0 1 0 0 0 1

104

− −

   

15 0 0 0 3 1 2 7 15 0 0 0 3 1 2 7

   

− − − − − −

0 0 0 3 0 1 1 1 0 0 0 3 0 1 1 1

   

 

   

→ +

R R R

1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0

4 4 3

   

   

1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1

 

1 1 2 7

1 0 0 0

 

5 15 15 15

 

1 1 1

 − 

 

→  

0 0 0 1 0 → −

 

1 R R R

3 3 3

→ 3 3 1

R R

1 1  

15 1 0 1 0 0 1 0 0

1

→−  

R R

2 2

3  

0 1 1 1 0 1 0 1

   

1 1 2 7 1 1 2 7

− −

1 0 0 0

  1 0 0 0

 

5 15 15 15 5 15 15 15

   

1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1

 −   

0 0 0 1 0   

→ 1 14 2 7

  − −

 

3 3 3 ↔ 0 0 1 0

R R

2 4

   

1 14 2 7 5 15 15 15

− −

0 0 1 0

   

1 1 1

5 15 15 15 0 0 0 1 0

   

 

 

0 1 1 1 0 1 0 1 3 3 3

 

1 1 2 7

1 0 0 0

 

5 15 15 15

 

1 1 2 8

 

0 1 0 1

 

5 15 15 15

 

→  

→ − → −

 

1 14 2 7

R R R R R R

− −

2 2 3 2 2 4

0 0 1 0

 

5 15 15 15

 

1 1 1

 

0 0 0 1 0

 

3 3 3

 

1 1 2 7

1 0 0 0

 

5 15 15 15

 

1 2 1 1

 

0 1 0 0 [ ]

  −

5 5 5 5 1

= I | A

  4

1 14 2 7

− −

0 0 1 0

 

5 15 15 15

 

1 1 1

 

0 0 0 1 0

 

3 3 3

 

3 0 0

 

 

g) D = 0 1 0

 

 

0 0 2

Ricordiamo che il determinante di una qualunque matrice diagonale è uguale al prodotto degli elementi della

sua diagonale principale, per cui si ha: − ≠

det D = 6 0

105

Primo metodo:

Si verifica immediatamente che i complementi algebrici degli elementi nulli sono uguali a zero. Pertanto

risulta: − −

; ;

D = 2 D = 6 D = 3

11 22 33

Quindi:  

2 0 0

  ( ) T

 

D * = 0 6 0 = D *

 

 

0 0 3

Dunque:  

1

 

0 0

3

 

1

D = 0 1 0

1

 

0 0

 

2

Secondo metodo:

Si consideri la matrice:

 

3 0 0 1 0 0

  [ ]

B = 0 1 0 0 1 0 = A | I

 3

 

 

0 0 2 0 0 1

Trasformiamo B come segue:  

1

  1 0 0 0 0

 

3 0 0 1 0 0 [ ]

3

    −

 

→ 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 = I | A

B =   3

1

→ − 1

R R

   

1 1

 

0 0 2 0 0 1 3 0 0 1 0 0

1  

 

→ 2

R R

3 3

2

 

1 1 0

 

 

h) A = 0 3 1

 

 

2 1 2

Come di consueto calcoliamo il determinante della matrice data:

− 1 1 0

− − ≠

0 3 1 = 7 0

2 1 2

Pertanto A ammette inversa. 106

Primo metodo:

I complementi algebrici relativi agli elementi di A sono:

− − − − −

; ; ; ; ; ; ;

A = 5 A = 2 A = 6 A = 2 A = 2 A = 1 A = 1

11 12 13 21 22 23 31

− −

;

A = 1 A = 3

32 33

Quindi si ha: − − − −

   

5 2 6 5 2 1

   

( ) T

− − − − −

   

A * = 2 2 1 A * = 2 2 1

   

− − − − −

   

1 1 3 6 1 3

Dunque:  

5 2 1

 

− −

  7 7 7

5 2 1  

 

1 2 2 1

 

− − − − −

1  

A = 2 2 1 =  

 

7 7 7 7

− −

   

6 1 3 6 1 3

 

 

7 7 7

Secondo metodo:

Consideriamo la matrice:

 

1 1 0 1 0 0

  [ ]

B = 0 3 1 0 1 0 = A | I

  3

 

 

2 1 2 0 0 1

Trasformiamo B come segue:

   

1 1 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1

   

−  

→ −

B = 0 3 1 0 1 0 0 3 1 0 1 0

   

→ +

R R R

1 1 3

   

− −

   

2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 1

   

1 0 2 1 0 1 1 0 2 1 0 1

   

 

→ −  

→ −

0 3 1 0 1 0 0 3 1 0 1 0

   

→ + → −

R 3 R R R R 6 R

3 3 2 3 3 1

   

− − −

   

6 0 5 0 1 3 0 0 7 6 1 3

 

   

1 0 2 1 0 1

1 0 2 1 0 1

   

6 6 3

 

 

→ −   

→  

0 3 1 0 1 0 0 3 0

→ +

 

1 R R R  

7 7 7

→− 6 1 3 2 2 3

R R −

3 3

7  

0 0 1 6 1 3

 

  −

7 7 7 0 0 1

 

 

7 7 7

107  

  5 2 1

1 0 0

 

 

1 0 2 1 0 1 7 7 7

 

  [ ]

2 2 1 2 2 1 −

 

→  

→  

  1

0 1 0 0 1 0 = I | A

→ − 3

1  

R R 2 R

 

→ 7 7 7 7 7 7

1 1 3

R R

2 2

3  

 

6 1 3 6 1 3

− −

0 0 1 0 0 1

 

 

   

7 7 7 7 7 7

Verifica:

−1 −1

α) A A = (in generale A A = )

I I

3 n

   

5 2 1 5 2 2 2 1 1

− + − + − +

   

  7 7 7 7 7 7 7 7 7

1 1 0    

  2 2 1 6 6 6 1 3 3

   

−1 − − + −

 

AA = 0 3 1 = = I 3

   

  7 7 7 7 7 7 7 7 7

     

2 1 2 6 1 3 10 2 12 4 2 2 2 1 6

− − − + − − − +

   

   

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

−1 −1

β) A A = (in generale A A = )

I I

3 n

   

5 2 1 5 2 5 6 1 2 2

− + − + − − +

   

 

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

1 1 0

   

 

2 2 1 2 2 2 6 1 2 2

   

−1 − − + + − − +

 

A A = 0 3 1 = = I 3

   

 

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

 

   

2 1 2

6 1 3 6 6 6 3 3 1 6

− − + − − +

   

   

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

Le verifiche degli esempi precedentemente riportati sono lasciate per esercizio allo studente.

 − 

 

  3 2

1 2 −  

  1

 

1) A = A =  − 

   

2 1

2 3  

 

1

 

 

0

 

4 1 − 3

 

  1

 

2) A = A =

  4

 

3 0  

1

 

 

 

3

 

 

1 1

 

 

 

1 1 − 4 4

 

  1

 

3) A = A =

  3 1

 

3 1  

 

 

 

4 4

 − 

 

− 1 0

 

1 0  

 

  1 4 1

4) A = A =  

   

4 3  

 

3 3

108  − 

−  

  1 3

1 3 −  

  1

 

5) A = A =  

   

0 1

0 1  

 

 

 

  0 1 1

1 2 2 

 

  1 3 1

 

 − − 

1

 

6) A = A =

0 1 1  

 

  4 4 4

 

1 1 1  

 

1 1 1 

 

 

 

4 4 4

 

 

1 7 17

 

 

  60 60 60

 

2 3 4 

  1 1 1

 

 

− −

1

  A =

7) A = 1 2 3  

 

  6 6 6

− −

   

 

3 1 1 7 11 1

 

 

 

 

60 60 60

 

 

1 1

 

 

0

  3 3

 

1 2 1  

  1 1 1

 

− −

1

  A =

8) A = 2 2 1  

 

  4 4 4

   

 

1 0 2 1 1 1

 

 

 

 

6 6 2

 

 

1 1 1

− −

 

 

  2 2 2

 

4 1 3  

  1 1 5

 

 

− −

− 1

  A =

9) A = 1 2 2  

 

  8 8 8

− −

   

 

1 1 1 3 5 7

− −

 

  

 

8 8 8

 

 

15 9 5

− −

 

 

  13 13 13

 

1 3 1  

  6 1 2

 

 

− −

1

  A =

10) A = 2 5 0  

 

  13 13 13

   

 

1 0 3 10 6 1

 

 

 

 

13 13 13

 

 

1

 

 

1 3 1

 

1 0 1 0 2

 

 

  1

 

−  

 

0 2 0 2 0 4 1

1  

 

11) A = A =

  2

0 1 1 0  

 

1

  −

0 3 1

 

 

− −

 

0 4 4 1 2

 

 

 − 

 

0 0 4 1

109  

 

1 1 3 3

 

 

10 5 20 10

 

− 

 

1 2 0 0 9 1 3 3

   

 

 

0 1 3 0  

 

− 20 10 40 20

1

12) A = A =

   

 

3 3 1 1

0 0 4 2 − −

   

 

  20 10 40 20

 

3 0 0 1  

3 3 9 1

 

 − 

 

 

10 5 20 10

F ) Verificare se i vettori riportati negli esercizi 1)-6) sono linearmente indipendenti o linearmente

dipendenti e, nell’ipotesi in cui si verifichi quest’ultimo caso, esprimere uno di essi come

combinazione lineare degli altri due, dopo aver osservato gli esempi a)-c):

r r r

( ) ( ) ( )

− − − −

a) v 1 , 0 , 2 v 0 , 3

, 2 v 3

, 6

, 2

1 2 3

Si consideri la matrice associata ai tre vettori assegnati:

 

1 0 3

 

− −

 

A = 0 3 6

 

− −

 

2 2 2

Come è facile verificare risulta det A = 0; quindi, in virtù di un teorema precedentemente riportato, i tre

r

vettori sono linearmente dipendenti. E’ ora possibile esprimere uno di essi, ad esempio , come

v 3

combinazione lineare degli altri due nel modo seguente:

r r r

( ) ( ) ( )

− − α − + β − ⇒

v 3

, 6 , 2 = v 1

, 0 , 2 v 0 , 3 , 2

3 1 2 α α

 

3 = = 3

( ) ( ) ( )

⇒ − − α − + β − ⇒ ⇒

 

3

, 6 , 2 = 1

, 0 , 2 0

, 3

, 2 − − β β

 

6 = 3 = 2

Dunque una combinazione lineare è data da:

r r r r r r

α + β ⇒ +

v = v v v = 3 v 2 v

3 1 2 3 1 2 r

Osservazione: chiaramente era possibile esprimere, ad esempio, il vettore in funzione dei rimanenti

v 2

ottenendo, così, una combinazione lineare diversa dalla precedente (la verifica è lasciata, per esercizio, allo

studente). 110

r r r

( ) ( ) ( )

− − −

b) v 3

, 2 , 5 v 1

, 1

, 0 v 0 , 4 , 2

1 2 3

Procedendo come nell’esempio precedente si ha:

 

3 1 0

 

− −

 

A = 2 1 4

 

 

5 0 2 ≠

Poiché risulta det A = 22 0, i tre vettori sono linearmente indipendenti.

r r r

( ) ( ) ( )

− −

c) v 1

, 1

, k v 1

, 1 , 1 v 2 , k , 1

1 2 3

Bisogna, in tal caso, studiare la lineare dipendenza o indipendenza al variare del parametro k; si ha:

 

1 1 2

 

 

A = 1 1 k

 

 

k 1 1

Risulta quindi: ( )

− − − + ⇔ ∨ −

2

k k = k k 1 = 0 k = 0 k = 1

det A =

Dunque:

Primo caso: ⇒

≠ ∧ ≠ − i vettori sono linearmente indipendenti

k 0 k 1

Secondo caso:

∨ − ⇒

k = 0 k = 1 i vettori sono linearmente dipendenti r

In questo caso, quindi, possiamo esprimere, ad esempio, il vettore in funzione degli altri due:

v

1

r r r ( ) ( ) ( )

• ⇒ ⇒ α − − + β ⇒

α + β

k = 0 1

, 1

, 0 = 1

, 1 , 1 2 , 0 , 1

v = v v

1 2 3

− α + β α

 

1 = 2 = 1

⇒ ⇒

 

α β

 

1 = = 1

Dunque una combinazione lineare è data da: r r r

+

v = v v

1 2 3

r r r ( ) ( ) ( )

• −1 ⇒ ⇒ − − α − + β − ⇒

α + β

k = 1

, 1

, 1 = 1

, 1

, 1 2 , 1 , 1

v = v v

2 1 3

 1

α =



− α + β

 1 = 2 3

⇒ ⇒ 

 α − β

 2

1 =  β −

=

 3 111


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Istituzioni di matematica su matrici e determinanti, con la spiegazione di vari concetti, tra i quali: il concetto di matrice, teoremi ed esercitazioni, i minori, ordine di un minore, matrici quadrate e rettangolari, esercizi, il determinante di una matrice, sistemi di equazioni lineari a due e più incognite.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in architettura (ciclo unico)
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher trick-master di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Istituzioni di matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Bisconcini Maria Francesca.

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