Istituzioni di matematica - matrici e determinanti

Capitolo II: Matrici e determinanti

Parte storica

Il concetto di matrice (dal latino matrix o mater) fu introdotto da James Joseph Silvester (1814-97) in "An essay on canonical forms" (Londra, 1851) per indicare una disposizione rettangolare di numeri alla quale si potessero, nel caso quadrato, associare quantità numeriche dette determinanti. A parte alcuni prodromi risalenti a vari autori quali Gabriel Cramer (1750, Genova), Pierre Simon Laplace e Alexandre Théophile Vandermonde (1770), Etienne Bezout (1779), la teoria dei determinanti nasce in una memoria di Cauchy del 1812 ed in un contemporaneo lavoro, meno perfetto, di Jacques Binet (1786-1856).

Augustin Louis Cauchy (1789-1857, ingegnere militare e Professore all'Ecole Polytechnique di Parigi) riprende il termine di determinante da Carl Friedrich Gauss (che non diede effettivamente contributi alla teoria) sviluppandone di fatto l'intera teoria. La notazione a due indici attuale è dovuta al matematico tedesco Leopold Kronecker (1823-1891) mentre la nozione di rango (o caratteristica) di una matrice è merito del tedesco Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917).

A partire dal 1858, in una serie di lavori, Arthur Cayley (1821-1895), matematico ed avvocato inglese, professore di Algebra a Cambridge ed autore di più di mille memorie, iniziò ad operare con le matrici definendo per esse le operazioni di addizione e moltiplicazione, costruendo, in tal modo, le basi del moderno calcolo matriciale. La teoria delle matrici, dunque, sviluppata in stretta connessione con la teoria dei vettori, ha trovato notevoli applicazioni in molte branche sia della matematica che della fisica.

1. Generalità

Siano dati m × n numeri reali (non necessariamente tutti nulli).

Definizione 1.1. Si definisce matrice ad m righe ed n colonne o brevemente matrice di ordine m × n e la si indica, per comodità, con una lettera maiuscola dell'alfabeto, una m-upla ordinata di n-uple ordinate. Gli elementi di una medesima n-upla si dicono righe, quelli aventi il medesimo indice in n-uple diverse si dicono colonne.

Da un punto di vista più intuitivo si può definire una matrice come un insieme A di mn elementi disposti come segue:

⎡ a11 ... a1i ... a1n ⎤
⎢ ... ... ... ... ... ⎥
⎢ ai1 ... aii ... ain ⎥
⎢ ... ... ... ... ... ⎥
⎣ am1 ... ami ... amn ⎦

Generalmente si è soliti indicare, per comodità, una matrice anche nel seguente modo:

(A_ij) per i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n

Ogni elemento della matrice A è dotato di due indici, i e j, il primo dei quali denota il numero d'ordine orizzontale a cui l'elemento appartiene ed il secondo il numero d'ordine della verticale. Le orizzontali si chiamano righe della matrice e le verticali colonne, mentre si definisce linea indifferentemente un'orizzontale od una verticale. Il significato delle parole righe e colonne è lo stesso, ovviamente, di quello riportato nel primo capoverso. Dunque, l'elemento appartiene alla riga i-esima e alla colonna j -esima.

A volte occorre indicare esplicitamente, nella lettera che denota la matrice, il numero m delle righe ed n delle colonne di cui è composta; in tal caso si scrive al posto di A.

A_m×n

Esempi

• A = ⎡1 2⎤ è una matrice 3 × 2 (m = 3 ed n = 2)

  ⎣3 5⎦

  ⎣7 9⎦

• A = ⎡1 7 4⎤ è una matrice 3 × 3 (m = 3 ed n = 3)

  ⎣2 8 5⎦

  ⎣6 3 9⎦

Definizione 1.2.

Una matrice A di ordine m × n si dice rettangolare se in essa il numero delle righe è diverso da quello delle colonne. Nel caso m = n la matrice A si dice quadrata di ordine n (o m) con n = m elementi. Una siffatta matrice si indica brevemente come segue:

(a_ij) con i = j = 1, 2, ..., n

Gli elementi formano la diagonale principale di A:

a₁₁, ..., a_ii, ..., a_nn

Gli elementi a_n,1, ..., a_i,n-i+1, ..., a_1,n formano la diagonale secondaria di A.

In particolare se m = n = 1 la matrice A = (a₁₁) è quadrata ed in questo caso la diagonale principale e quella secondaria coincidono con l'unico elemento a₁₁.

Esempi

• A = ⎡1 1 1⎤ è una matrice rettangolare 2 × 3 (m = 2 ed n = 3)

  ⎣3 -1 4⎦

• A = ⎡2 1⎤ è una matrice quadrata 2 × 2 (n = m = 2)

  ⎣3 2⎦

  In tal caso gli elementi 2, 2 formano la diagonale principale mentre gli elementi 1, 3 quella secondaria.

• A = (2) è una matrice quadrata con m = n = 1

  In questo esempio la diagonale principale e quella secondaria coincidono con il solo elemento 2 della matrice A.

Definizione 1.3.

Una matrice quadrata D si dice diagonale se in essa sono nulli tutti gli elementi al di fuori di quelli che si trovano sulla diagonale principale.

Esempio

D = ⎡2 0 0⎤ è una matrice diagonale 3 × 3

     ⎣0 1 0⎦

     ⎣0 0 4⎦

Definizione 1.4.

Una matrice quadrata A di ordine n si dice triangolare superiore se sono nulli tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale; al contrario si dice triangolare inferiore se sono nulli tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale.

Esempi

• A = ⎡ 1 0 0⎤ è una matrice triangolare inferiore

               ⎣ 3 1 0⎦

               ⎣ 4 5 2⎦

• A = ⎡5 1 1 2⎤ è una matrice triangolare superiore

               ⎣0 2 4 5⎦

               ⎣0 0 3 7⎦

               ⎣0 0 0 0⎦

Osservazione: una matrice diagonale è una matrice triangolare sia superiore che inferiore.

Definizione 1.5.

Data una qualunque matrice A di ordine m × n si definisce trasposta di A e la si indica con A^T la matrice di ordine n × m ottenuta da A scambiando le righe con le colonne.

Esempi

• A = ⎡1 2⎤ ⇒ A^T = ⎡1 3 5⎤

       ⎣3 4⎦

             ⎣2 4 6⎦

             ⎣5 6⎦

• A = ⎡3 1 5⎤ ⇒ A^T = ⎡3 2 4⎤

       ⎣2 1 7⎦

             ⎣1 1 4⎦

             ⎣4 5 7⎦

Definizione 1.6.

Una matrice A di ordine m × n si dice simmetrica se A = A^T.

Esempio

A = ⎡1 2 3⎤ è una matrice simmetrica

     ⎣2 1 2⎦

     ⎣3 2 4⎦

Definizione 1.7.

Una matrice quadrata del tipo

In = (δij) con δij = { 1 se i = j
                    0 se i ≠ j

si chiama matrice identica o unitaria di ordine n. In altre parole una matrice identica è una matrice diagonale in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali ad uno.

Esempio

I₃ = ⎡1 0 0⎤ è la matrice identità di ordine 3 (diagonale con gli elementi unitari)

             ⎣0 1 0⎦

             ⎣0 0 1⎦

Definizione 1.8.

Siano m > 1 ed n > 1. Fissato un elemento qualsiasi della matrice A di ordine m × n si definisce minore complementare di a_ij e lo si indica con A_ij la matrice, di ordine (m-1) × (n-1), che si ottiene da A escludendo tutti gli elementi della riga i-esima e della colonna j-esima.

Esempi

• A = ⎡1 0 2⎤ ⇒ A₂₁ è il minore complementare di

             ⎣3 1 5⎦

       ⎣7 4 3⎦

  ⎡ 0 2⎤

  ⎣ 4 3⎦

• A = ⎡1 0 2 7⎤ ⇒ A₂₁ è il minore complementare di

             ⎣3 1 5 1⎦

       ⎣7 4 3 0⎦

  ⎡0 2 7⎤

  ⎣4 3 0⎦

2. Determinanti

Scopo di questo paragrafo è di introdurre un numero associato ad una matrice quadrata A che si chiama determinante di A e si denota con det A oppure con |A|. Siffatto numero riveste notevole interesse in molti argomenti ed è essenziale, quindi, imparare il suo calcolo.

Sia A una matrice quadrata di ordine n.

Definizione 2.1.

Se n = 1, cioè A = (a₁₁), allora il numero a₁₁ si chiama determinante di A e si scrive

det A = a₁₁

Esempi

• A = (2) ⇒ det A = 2
• A = (5) ⇒ det A = 5

Definizione 2.2.

Se n = 2, cioè A = ⎡a₁₁ a₁₂⎤, allora il determinante di A è il numero e si pone:

⎣a₂₁ a₂₂⎦

det A = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁

Esempi

• A = ⎡1 1⎤ ⇒ det A = 1 · 1 - 1 · 3 = -2
• A = ⎡2 1⎤ ⇒ det A = 2 · 2 - 3 · 1 = 1
• A = ⎡1 2⎤ ⇒ det A = 1 · 2 - 2 · 1 = 0
• A = ⎡4 1⎤ ⇒ det A = 4 · 0 - 3 · 1 = -3

Definizione 2.3.

Se n = 3, si pone per definizione:

A = ⎡a₁₁ a₁₂ a₁₃⎤

⎣a₂₁ a₂₂ a₂₃⎦

⎣a₃₁ a₃₂ a₃₃⎦

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃

Esempio

Un metodo pratico che consente di calcolare solo il determinante di una matrice del terzo ordine è fornito dalla seguente regola di Sarrus: data una matrice A di ordine tre si consideri la tabella ottenuta da A aggiungendo ad essa, a destra, nell’ordine, le sue prime due colonne:

a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32

Si ottiene il determinante di A eseguendo la somma dei prodotti degli elementi delle diagonali principali, {a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₂₃, a₃₁, a₁₃, a₂₁, a₃₂}, e sottraendo ad essa la somma dei prodotti degli elementi delle diagonali secondarie, {a₃₁, a₂₂, a₁₃, a₃₂, a₂₃, a₁₁, a₃₃, a₂₁, a₁₂}.

Esempi

• Data la matrice A = ⎡1 3 5⎤, applicando la regola di Sarrus, si ha la seguente tabella mnemonica:

  ⎣2 7 4⎦

  ⎣6 8 3⎦

  1 3 5 1 3

  2 7 4 2 7

  6 8 3 6 8

  da cui segue che det A = 1·7·3 + 3·4·6 + 5·2·8 - (6·7·5 + 8·4·1 + 3·2·3) = 87

• A = ⎡3 1 2⎤ ⇒ det A = 2(0·5·1 + 3·0·2 - 1·1·3 - 4·0·2) = 91

  ⎣2 0 5⎦

  ⎣3 4 0⎦

Osservazione: le definizioni precedenti forniscono anche metodi pratici per il calcolo del determinante di una matrice quadrata A di ordine n = 1, 2, 3. Analizziamo adesso, invece, un criterio generale che ci consenta di calcolare il determinante di una matrice quadrata A di ordine qualsiasi n ≥ 2.

Definizione 2.4.

Data una matrice A di ordine m × n, si definisce minore di ordine m-i, estratto da A, il determinante ottenuto dalla matrice sopprimendo i righe e j colonne in modo che sia m-i = n-j.

Ne segue che ogni elemento di una qualunque matrice rappresenta un minore del primo ordine.

Esempi

• Se A = ⎡1 2 1⎤ allora i minori di ordine tre estraibili da A sono:

  ⎣2 4 1⎦

  ⎣3 6 3⎦

  • ⎡1 2 1⎤; ⎡1 2 1⎤; ⎡2 4 1⎤; ⎡1 2 1⎤
  • ⎣2 4 1⎦; ⎣1 2 3⎦; ⎣1 2 3⎦; ⎣1 2 3⎦
  • ⎣1 2 3⎦; ⎣3 6 3⎦; ⎣3 6 3⎦; ⎣3 6 3⎦

• Se A = ⎡1 2 1 3⎤ allora i minori di ordine tre estraibili da A sono:

  ⎣2 4 2 6⎦

  ⎣1 1 3 3⎦

  • ⎡2 1 3⎤; ⎡1 1 3⎤; ⎡1 2 3⎤; ⎡1 2 1⎤
  • ⎣4 2 6⎦; ⎣2 2 6⎦; ⎣2 4 6⎦; ⎣2 4 2⎦
  • ⎣1 3 3⎦; ⎣1 3 3⎦; ⎣1 1 3⎦; ⎣1 1 3⎦

  mentre alcuni minori di ordine due estraibili da A sono, per esempio:

  • ⎡2 1⎤; ⎡3 2⎤; ⎡4 2⎤; ⎡4 6⎤
  • ⎣4 2⎦; ⎣6 1⎦; ⎣1 3⎦; ⎣1 3⎦

Definizione 2.5.

Sia a_ij un elemento qualsiasi di una matrice quadrata A di ordine n ≥ 2. Si chiama complemento algebrico di a_ij, e si indica con A_ij, il determinante del minore complementare di a_ij preso con il segno positivo o negativo a seconda che la somma i + j sia rispettivamente pari o dispari.

Esempi

• Se A = ⎡1 3⎤ allora:

  ⎣2 4⎦

  • (+1) A₁₁ = 1 · 4 = 4 è il complemento algebrico di a₁₁
  • (-1) A₂₁ = 1 · 3 = -3 è il complemento algebrico di a₂₁

• Se A = ⎡1 3 2⎤ allora:

  ⎣1 1 1⎦

  ⎣2 1 6⎦

  • (+1) A₁₁ = 1 = 5 è il complemento algebrico di a₁₁
  • (-1) A₁₂ = 1 = 4 è il complemento algebrico di a₁₂
  • (+1) A₁₃ = 1 = 1 è il complemento algebrico di a₁₃

Osservazione: la definizione generale di determinante di ordine n viene data per ricorrenza cioè in funzione di quella di determinante di ordine n-1; i determinanti di ordine n-1 si ottengono in funzione di quelli di ordine n-2 e così via fino a quelli di ordine almeno tre che si sanno calcolare direttamente.

Definizione 2.6. (definizione generale di determinante)

Data una matrice quadrata A di ordine n ≥ 2, si chiama determinante di A il numero che si indica con det A oppure |A| formato dalla somma dei prodotti degli elementi di una linea (riga o colonna) qualsiasi della matrice per i rispettivi complementi algebrici.

Dalla precedente definizione può sorgere il dubbio che il calcolo di un determinante dipenda dalla particolare linea scelta. Si dimostra a riguardo che sussiste il seguente

Teorema (di Laplace)

Se A è una matrice quadrata di ordine n allora il valore numerico di det A è sempre il medesimo quale che sia la linea scelta per il suo calcolo.

Esempi

1. Calcolare il determinante associato alla seguente matrice secondo gli elementi della prima riga: A = ⎡3 2 1⎤

   ⎣5 4 2⎦

   ⎣3 7 5⎦

   (È consigliabile, in fase preliminare, eseguire tale calcolo utilizzando la regola di Sarrus e verificare che il risultato ottenuto è esattamente 141).

   Si ha: det A = 3A₁₁ + 2A₁₂ + 1A₁₃ = 3(4·5 - 7·2) + 2(3·5 - 3·7) + 1(3·4 - 5·3) = 141

   Osserviamo ora che se si calcola il determinante secondo gli elementi, ad esempio, della seconda colonna si ottiene, in accordo con il teorema di Laplace, sempre lo stesso risultato. Infatti si ha: det A = 2A₁₂ + 4A₂₂ + 2A₃₂ = 141

2. Calcolare det A, essendo

   A = ⎡1 1 0 0⎤

   ⎣0 1 2 1⎦

   ⎣0 0 1 1⎦

   ⎣2 3 2 1⎦

   Per economia di calcolo conviene, in questo caso, fissare la riga o la colonna nella quale figuri il maggior numero possibile di elementi nulli. Se per esempio si fissa la prima riga si ha: det A = 1A₁₁ + 1A₁₂ = 0·(2·1 - 1·1) + 1·(0·1 - 1·2) = -2