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λ λ ≠ a

Se uno dei è diverso da zero (ad esempio ) allora si può esprimere in funzione dei

0 1

i 1

a

rimanenti , essendo:

i      

λ λ λ

− + + − + + −

     

2 i n

a = a ... a ... a

λ λ λ

     

1 2 i n

1 1 1

Definizione 5.4.

Un insieme di n vettori si dice che forma una base per uno spazio vettoriale se:

a) i vettori sono linearmente indipendenti

b) ogni vettore dello spazio è combinazione lineare dei rimanenti n vettori dati

Se ora poniamo:

( ) ( ) ( )

e = 1

, 0 , 0 , ..., 0 ; ..........; e = 0 , ..., 1 , ..., 0 ; ..........; e = 0 , 0 , 0 , ..., 1

1 i n

allora sussiste la seguente identità:

∗∗

( ) + + + +

a = a e ... a e ... a e

1 1 i i n n

poiché risulta:

( ) ( ) ( ) ( )

+ + + +

a = a , a , ..., a = a , 0 , ..., 0 ... 0 , ..., a , ..., 0 ... 0 , 0 , ..., a =

1 2 n 1 i n

( ) ( ) ( )

= + + + +

a 1

, 0 , ..., 0 ... a 0 , ..., 1

, ..., 0 ... a 0 , 0 , ..., 1 =

1 i n

= + + + +

a e ... a e ... a e

1 1 i i n n

∗∗

( )

La prova, dunque, che:

• e , ..., e , ..., e sono linearmente indipendenti; infatti:

1 i n ( ) ( ) ⇔

+ + + + ∀ ∈

= 0,

a e ... a e ... a e = a , ..., a , ..., a = 0 , ..., 0

, ..., 0 a i I

1 1 i i n n 1 i n i

( )

• ∈

un qualsiasi vettore è combinazione lineare degli , per i I .

a = a , ..., a , ..., a a

1 i n i

{ } ℜ n

e , ..., e , ..., e

Segue che l’insieme forma una base detta base naturale o canonica di .

1 i n

E’ facile provare, infine, che due differenti basi (finite) hanno lo stesso numero di elementi e tale numero

ℜ n

rappresenta la dimensione dello spazio. Dunque ha esattamente dimensione pari ad n.

49

Osservazione: quanto fino ad ora affermato per i vettori-riga si può ripetere in maniera analoga per i

vettori-colonna potendoli scrivere sotto la seguente forma:

       

a 1 0 0

1

       

       

... 0 ... 0

       

+ + + +

a = a ... ... a 1 ... a ...

       

i 1 i n

       

... 0 ... 0

       

       

a 0 0 1

n

6. RANGO DI UNA MATRICE

Iniziamo il paragrafo con una serie di osservazioni.

×

Data una matrice A di tipo m n è possibile estrarre da essa sottomatrici quadrate delle quali possiamo,

teoricamente, calcolare i rispettivi determinanti, detti minori.

Dividiamo le sottomatrici di A in due categorie:

(1) quelle con determinante nullo

(2) quelle con determinante non nullo

In generale se m è il più piccolo tra i due numeri m ed n si può verificare che

• non tutti i minori di ordine massimo m siano nulli; in tal caso si dirà che A ha caratteristica m

• i minori estratti di ordine m siano tutti nulli e così anche quelli di ordine m−1 e così via fino ad un ordine

<

p m; si dirà allora che la caratteristica di A è p.

Possiamo ora dare la seguente

Definizione 6.1. ( )

Si chiama caratteristica k A di una matrice A l’ordine massimo dei minori, estraibili da A, non nulli.

( )

In sintesi k A = p se e solo se:

• in A esiste un minore di ordine p non nullo

• ogni minore di A di ordine superiore a p è nullo

Dunque: ( )

≤ ≤  

0 k A min m, n

Risulta pertanto:

( )

• k A = 0 se e solo se A = 0 (cioè A è la matrice nulla)

( )

• k A = 1 se tutti i minori del secondo ordine sono nulli

50

Definizione 6.2. ( )

Si chiama rango per riga r A di una matrice A il massimo numero di righe di A che sono linearmente

indipendenti.

Definizione 6.3. ( )

Si chiama rango per colonna r ' A di una matrice A il massimo numero di colonne linearmente

indipendenti contenute in A.

Sussiste, per queste nozioni, il seguente ×

Teorema (fondamentale del rango): se A è una matrice di tipo m n, allora:

( ) ( ) ( )

k A = r A = r ' A

cioè la caratteristica di una matrice A eguaglia il rango per righe ed il rango per colonne.

( )

D’ora in avanti, per comodità, useremo solo il simbolo r A chiamandolo semplicemente rango di una

matrice.

Osservazione: la nozione di rango si lega anche a quella di spazio generato in quanto si dimostra che:

[ ]

< >

a , ..., a , ..., a r a , ..., a , ..., a

dim =

1 i n 1 i n

ESEMPI

 

1 1 3

 

1) A =  

2 1 5 ( )

≤ ≤    

In primo luogo osserviamo che 0 r A min m, n = min 2, 3 = 2. Quindi bisogna adesso

considerare un minore del secondo ordine estraibile da A non nullo. Sia esso, per esempio,

1 1 − ≠

. Risulta, come è facile verificare, . Poiché non esistono in A minori di

A' = A' = 1 0

2 1 ( )

ordine maggiore di due, segue che r A = 2. 51

 

1 2 1

 

 

2) A = 3 4 1

 

 

2 1 1 ( )

≤ ≤    

Procedendo come nel precedente esempio, risulta 0 r A min m, n = min 3, 3 = 3. Si

osservi che in questo caso l’unico minore del terzo ordine estraibile da A è proprio A. Poiché det A =

( )

0 (la verifica è lasciata allo studente, per esercizio) risulta r (A) 3. Vediamo ora se è r A = 2. Un

1 2 − ≠

minore del secondo ordine estraibile da A è, ad esempio, . Poiché e tutti

A' = A' = 2 0

3 4

( )

i minori di ordine maggiore di due sono nulli, risulta r A = 2.

 

1 3 2 5

 

 

3) A = 6 2 4 3

 

 

2 6 4 10

( )

≤ ≤    

Risulta innanzitutto 0 r A min m, n = min 3, 4 = 3. Andiamo pertanto a calcolare tutti i

minori del terzo ordine estraibili da A, cioè:

− − −

3 2 5 1 2 5 1 3 5 1 3 2

− − −

; ; ;

2 4 3 6 4 3 6 2 3 6 2 4

− − −

6 4 10 2 4 10 2 6 10 2 6 4

Si osservi che tali determinanti sono tutti nulli perché gli elementi della prima e terza riga di A sono

− 1 3

( ) ≠ ≠

proporzionali. Segue che r A 3. Poiché e tutti i minori di ordine maggiore di

A' = 0

6 2 ( )

due, estraibili da A, sono nulli, si conclude immediatamente che r A = 2.

Definizione 6.4. ( )

Se A è la matrice nulla, cioè in essa tutti gli elementi sono nulli, si dice che r A = 0.

ESEMPIO

 

0 0 0

  ( )

 

A = r A = 0

0 0 0

 

 

0 0 0 52

< ℜ n

Osservazione: dati m n vettori di , essi sono linearmente indipendenti se e solo se

a , ..., a , ..., a

1 i m

la matrice    

a a ... a ... a

1 11 1

i 1 n

   

   

... ... ... ... ... ...

   

a = a ... a ... a

   

i i

1 ii in

   

... ... ... ... ... ...

   

   

a a ... a ... a

m m

1 mi mn

contiene un minore di ordine massimo non nullo.

ESEMPI ( ) ( )

− − <

1) I vettori 3

, 2 , 5 e 1

, 2 , 1 sono linearmente indipendenti; risulta inoltre m = 2 n = 3.

La matrice ad essi associata è: −

 

3 2 5

 

A = −

 

1 2 1

Pertanto un minore di ordine massimo, cioè due, estraibile da A non nullo è dato, ad esempio, da:

3 2 − ≠

A' = = 8 0

1 2

Dalla precedente osservazione segue, dunque, la lineare indipendenza dei due vettori considerati.

Analogamente sfruttando la definizione 5.3. si ha: λ + µ λ + µ

 

3 = 0 3 = 0 λ

  = 0

( ) ( ) ( )

λ − + µ − ⇔ λ − µ ⇔ λ ⇔

  

3

, 2 , 5 1

, 2 , 1 = 0 , 0 , 0 2 2 = 0 8 = 0 µ

 = 0

 

− λ + µ − λ + µ

 

5 = 0 5 = 0 c.v.d.

( ) ( ) ( )

− − −

2) I vettori 1

, 2 , 3 , 1 , 3

, 0 , 1 , 0 e 2 , 1

, 0 , 2 sono linearmente indipendenti. La matrice con

essi costruita è: −

 

1 2 3 1

 

 

A = 3 0 1 0

 

 

2 1 0 2

dalla quale è possibile estrarre un minore di ordine massimo tre non nullo, cioè:

1 2 3

− − ≠

A' = 3 0 1 = 6 0

2 1 0 53

Del resto dalla definizione 5.3. risulta: λ + µ + ν

 3 2 = 0

 − λ − ν

 2 = 0

( ) ( ) ( ) ( )

λ − + µ − + ν − ⇔ ⇔

1

, 2 , 3 , 1 3

, 0 , 1 , 0 2 , 1

, 0 , 2 = 0 , 0 , 0 , 0 λ − µ

3 = 0

 λ + ν

 2 = 0

λ + µ + ν

 3 2 = 0 λ

 = 0

λ + ν

 

2 = 0

⇔ ⇔ µ

  = 0

λ − µ

3 = 0

  ν

 = 0

 λ

 3 = 0 c.v.d.

( ) ( ) ( )

−1 − −2

3) I vettori , 3

, 2 , 5 , 6 , 2 , 4 , 3 e , 6 , 4 , 10 sono linearmente dipendenti. La matrice ad

essi associata è: −

 

1 3 2 5

 

 

A = 6 2 4 3

 

 

2 6 4 10

Si osservi che i quattro minori del terzo ordine estraibili da questa matrice sono tutti nulli, perchè gli

elementi della prima e terza riga sono proporzionali.

Infatti, dalla definizione 5.3., segue: − λ + µ − ν

 6 2 = 0

 λ − µ + ν

 3 2 6 = 0

( ) ( ) ( ) ( )

λ − + µ − + ν − ⇒ ⇒

1

, 3

, 2 , 5 6 , 2 , 4 , 3 2 , 6 , 4 , 10 = 0 , 0 , 0 , 0 λ + µ + ν

2 4 4 = 0

 λ + µ + ν

5 3 10 = 0

λ µ − ν

 = 6 2 λ −

 = 2

µ

 

= 0

⇒ ⇒ µ

  = 0

λ + ν

2 4 = 0

  ν

 = 1

 λ + ν

 5 10 = 0 c.v.d.

54

7. UN CRITERIO PRATICO PER CALCOLARE LA CARATTERISTICA DI UNA

MATRICE: IL TEOREMA DI KRONECKER O DEGLI ORLATI

È evidente che il calcolo del rango (o caratteristica) diventa abbastanza laborioso quando ci si trova di

×

fronte ad una matrice A di ordine m n con m ed n abbastanza grandi. In tal caso, quindi, si cerca di

ottimizzare il calcolo ricorrendo ad un metodo più rapido derivante dal cosiddetto teorema di Kronecker.

Premettiamo, a tal proposito, la seguente

Definizione 7.1.

Sia A' un minore di ordine p estratto da A. Si definisce minore orlato di A' un qualsiasi minore di A, di

ordine p+1, ottenuto da A' aggiungendo una riga ed una colonna qualsiasi di A.

ESEMPI − −

 

1 2 3 1

 

 

3 0 1 2

1) A =  

2 1 0 1

 

− −

 

1 5 7 3

Consideriamo, pertanto, un minore del secondo ordine estraibile da A. Sia esso, per esempio,

1 2 .

A' = 3 0

I minori orlati di A' sono:

− − − − − −

1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1

− −

; ; ;

3 0 1 3 0 2 3 0 1 3 0 2

− − − − −

2 1 0 2 1 1 1 5 7 1 5 3

 

3 2 1 4

 

 

1 5 2 3

2) A =  

− −

2 7 5 1

 

− −

 

1 2 3 4 −

2 1 4

Si consideri un minore del terzo ordine estraibile da A; sia esso, per esempio, .

A' = 5 2 3

7 5 1

L’unico minore orlato di A' è proprio A. 55

Si può dimostrare il seguente

( )

Teorema (di Kronecker): r A = r se e solo se esiste un minore A' , di ordine r, non nullo e tutti i minori

orlati di A' (se esistono) sono nulli.

Riassumendo, per calcolare la caratteristica di una data matrice A si può procedere in uno dei seguenti due

modi:

Primo metodo ( )

 . ≤ ≤

Sia p = min m, n Come osservato nel paragrafo precedente risulta 0 r A p. Allora:

( )

1) si esaminano (tutti) i minori di A di ordine p; se uno di essi è diverso da zero, risulta r A = p; se,

invece, tutti i minori di ordine p sono nulli, allora ( )

2) si esaminano (tutti) i minori di A di ordine p−1; se uno di essi è diverso da zero risulta r A =

p−1; se invece tutti i minori di ordine p−1 sono nulli, allora ( )

3) si esaminano (tutti) i minori di A di ordine p−2; se uno di essi è diverso da zero risulta r A =

p−2; etc.

Secondo metodo

1) si determina un qualsiasi minore, generalmente del secondo ordine, A' di A diverso da zero; se A' è di

( ) ≥

ordine p, si ha r A p; quindi ( )

2) si esaminano i minori orlati di A' ; se questi sono tutti nulli, allora risulta r A = p; se, invece, uno di

essi (per esempio A' ' ) è diverso da zero, allora

3) si esaminano i minori orlati di A' ' , ecc.

ESEMPI

 

1 2 3

 

 

1) A = 4 5 6

 

 

7 8 9 ( )

  ≤ ≤

Risulta p = min m, n = 3. Pertanto si ha 0 r A 3.

56

Primo metodo

Esaminiamo i minori di A di ordine tre; osserviamo che l’unico minore di A del terzo ordine è A stesso.

( ) <

Poiché det A = 0 risulta r A 3. Consideriamo, pertanto, i minori di ordine p−1 = 2 estraibili da A.

1 2 ( )

Poiché , si ha r A = 2.

A' = 0

4 5

Secondo metodo

Consideriamo un minore del secondo ordine estraibile da A diverso da zero; sia esso

1 2 ( ) ≥

≠ . Allora risulta r A 2; l’unico minore orlato di A' è A. Poiché det A = 0 segue

A' = 0

4 5

( )

che r A = 2.

 

2 6 5 1

 

 

1 4 3 2

2) A =  

− 1 6 2 3

 

− −

 

3 8 1 4 ( )

≤ ≤

Osserviamo in primo luogo che deve essere 0 r A 4.

Primo metodo ( ) <

L’unico minore del quarto ordine estraibile da A è A. Essendo det A = 0 segue che r A 4; analizziamo

tutti i minori del terzo ordine che si possono estrarre da A.

2 6 1 ( )

Poiché 0 segue immediatamente che r A = 3.

1 4 2

− 1 6 3

Secondo metodo 2 6

Consideriamo un minore del secondo ordine estraibile da A diverso da zero; sia .

A' = 1 4

Analizziamo adesso tutti i minori orlati di A' . Risulta:

2 6 5 2 6 1 − ≠

;

1 4 3 = 0 1 4 2 = 20 0

− −

1 6 2 1 6 3 57 ( )

Poiché abbiamo trovato un minore orlato del terzo ordine diverso da zero, possiamo affermare che r A

= 3.  

1 1 1 1

 

− −

 

3) A = 1 2 2 1

 

 

2 1 3 0

( )

≤ ≤

Risulta 0 r A 3.

Primo metodo

Consideriamo tutti i minori del terzo ordine di A. Si ha:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

− − − − − −

; ; ;

2 2 1 = 0 1 2 1 = 0 1 2 1 = 0 1 2 2 = 0

− − −

1 3 0 2 3 0 2 1 0 2 1 3

1 2

( ) < ≠

Dunque r A 3 (tutti i minori del terzo ordine sono nulli). Poiché, ad esempio, ,

= 3 0

2 1

( )

segue che r A = 2.

Secondo metodo −

1 2

Consideriamo ; il minore preso in esame è diverso da zero. Andiamo quindi ad analizzare

A' = −

2 1

tutti gli orlati di A' . Essi sono esattamente due, cioè:

1 1 1 1 1 1

− − −

;

1 2 2 = 0 1 2 1 = 0

− −

2 1 3 2 1 0 ( )

Poiché tutti i minori orlati del terzo ordine di A sono nulli segue che r A = 2.

Osservazione: da quest’ultimo esempio risulta evidente come il teorema di Kronecker garantisca un

risparmio di calcoli: con il primo metodo, infatti, siamo stati costretti a calcolare ben quattro determinanti

del terzo ordine; con il teorema degli orlati, invece, è stato sufficiente calcolarne due.

58

8. MATRICI RIDOTTE ×

Sia A una qualunque matrice di ordine m n.

Definizione 8.1.

A si definisce matrice ridotta (per righe) se in essa ogni riga, che non sia tutta nulla, possiede un elemento

speciale a 0 al di sotto del quale gli elementi sono tutti nulli.

ij

ESEMPI

 

3 4 2 1

 

 

0 2 1 2 ×

1) A = è una matrice ridotta 4 4

 

0 1 0 3

 

 

0 0 0 4

Gli elementi , , sono gli elementi speciali rispettivamente della prima, seconda

a = 3 a = 1 a = 1

11 23 32

e terza riga. −

 

1 1 2 1

  ×

 

2) B = è una matrice ridotta 3 4

0 3 3 0

 

 

0 0 4 4

Gli elementi , sono gli elementi speciali rispettivamente della prima e seconda riga.

a = 1 a = 3

11 22

 

1 2 3 2 0

 

− −

 

2 0 1 3 2 ×

3) C = è una matrice ridotta 4 5

 

6 0 0 5 0

 

 

7 0 0 0 4

Gli elementi , , sono gli elementi speciali rispettivamente della prima, seconda

a = 2 a = 1 a = 5

12 23 34

e terza riga.

Osservazione: se A è una matrice ridotta allora il numero delle righe di A, non tutte nulle, è uguale al rango

di A.

Se A non è una matrice ridotta, allora la si può ridurre applicando le seguenti operazioni elementari sulle

sue righe: ≠

1) ad una riga si sommano gli elementi di un’altra riga moltiplicati per un numero k 0, cioè:

→ +

R R kR per i = 1, 2, ..., m

i i j 59

2) si scambiano tra loro due righe, cioè: ↔

R R per i = 1, 2, ..., m

i j ≠

3) si moltiplicano tutti gli elementi di una riga per un numero k 0, cioè:

→ ≠ per i = 1, 2, ..., m

R kR ( k 0 )

i i

Si noti che effettuando una o più riduzioni del tipo 1), 2), 3), si ottiene da A una nuova matrice B tale che

( ) ( )

sia r A = r B . Dunque i suddetti criteri di riduzione di una matrice si riveleranno particolarmente utili

quando si dovrà determinare la sua caratteristica e, come vedremo in seguito, anche nella risoluzione dei

sistemi lineari.

ESEMPI

1) Calcolare il rango di −

 

2 1 0 3

 

 

1 2 7 4

 

− − −

A = 1 3 7 1

 

 

4 2 0 6

 

 

2 1 0 3

Si può osservare che A non è una matrice ridotta per cui occorre applicare i criteri di riduzione sopra

esposti. Si ha:

− − −

     

2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3

     

     

1 2 7 4 0 5 14 5 0 5 14 5

     

− − −  

→ − − −  

→ − − −

A = 1 3 7 1 1 3 7 1 0 5 14 5

→ − → −

     

R R R R 2 R R

2 2 3 3 3 1

→ −

− − R R 2 R

     

4 4 5

4 2 0 6 4 2 0 6 0 0 0 0

     

− − −

     

2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3

 

2 1 0 3

 

 

0 5 14 5

 

 

→ 0 0 0 0 = B

→ +  

R R R

3 3 2

→ −

R R R  

5 5 1 0 0 0 0

 

 

0 0 0 0 ( ) ( )

Dunque la matrice B è ridotta per cui r A = r B = 2.

60

2) Calcolare la caratteristica di −

 

2 1 0 3

 

− −

 

1 1 3 8

 

A = 2 1 0 2

 

 

1 0 1 2

 

− − −

 

1 1 1 4

Risulta: − − −

     

2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3

     

− − − −

     

1 1 3 8 0 1 2 6 0 1 2 6

     

−  

→ − −  

A = 2 1 0 2 0 1 2 6 0 0 0 0

→ + → +

     

R R R R R R

2 2 4 3 3 2

→ + → +

− − −

R R 2 R R R R

     

3 3 5 5 5 2

1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2

→ +

R R R

5 5 4

     

− − − − −

     

1 1 1 4 0 1 2 6 0 0 0 0

− −

   

2 1 0 3 2 1 0 3

   

− −

   

2 0 2 3 2 0 2 3

   

 

→ −  

→ −

1 0 1 2 0 0 4 7 = B

→ + → −

   

R R R R 2 R R

2 2 1 3 3 2

R R    

3 4 0 0 0 0 0 0 0 0

   

   

0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( )

Dunque B è una matrice ridotta in cui sono nulle solo due righe per cui r A = r B = 3.

3) Determinare il rango di  

1 1 1 1

 

 

1 2 4 8

A =  

1 3 9 27

 

 

1 4 16 64

Si ha:      

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

     

     

1 2 4 8 0 1 3 7 0 1 3 7

  

→  

A =      

→ − → −

R R R R R R

1 3 9 27 1 3 9 27 0 2 8 26

2 2 1 3 3 1

→ − → −

     

R R R R R R

4 4 3 4 4 2

     

1 4 16 64 0 1 7 37 0 0 4 30

   

1 1 1 1 1 1 1 1

   

   

0 1 3 7 0 1 3 7

 

→  

→ = B

   

→ − → −

R R 2 R R R 2 R

0 0 2 12 0 0 2 12

3 3 2 4 4 2

   

   

0 0 4 30 0 0 0 6

61

( ) ( )

Poiché B è una matrice ridotta segue che r A = r B = 4.

Osservazione: lo studente provi a calcolare, per esercizio, il determinante di A ed osservi che

≠ ⇒

det A = 12 0 r (A) = 4.

9. MATRICI RETTANGOLARI INVERSE

Il problema dell’inversione di una matrice, come già osservato, si pone generalmente per matrici quadrate.

Scopo di questo paragrafo è di estendere il suddetto problema alle matrici rettangolari di dimensione non

superiore a tre. Esamineremo, pertanto, il caso rettangolare definendo il prodotto e la somma tra matrici

come fatto in precedenza per il caso quadrato.

× × ×

Date due matrici A, di tipo 2 3, X, di tipo 3 2, ed indicata con la matrice identica 2 2 ci poniamo

I 2

il problema di risolvere l’equazione AX = I 2

supposto che A sia costituita da elementi noti ed X da elementi incogniti. La soluzione X dell’equazione

matriciale fornirà, dunque, un’inversa destra di A.

Per ottenere un’inversa sinistra ci poniamo, invece, il problema di risolvere l’equazione

YA = I 3

× ×

dove Y è una matrice di tipo 3 2 ed è la matrice identica 3 3.

I 3

Osservazione: le matrici X ed Y, se esistono entrambe, non coincidono, in quanto sono di tipo differente.

Analogamente, si può affrontare il problema relativo all’esistenza di divisori dello zero.

Definizione 9.1. ≠ ≠

Sia a un elemento di un anello, con a 0. Diremo che a è divisore dello zero se esiste b 0, anch’esso

nell’anello, tale che ab = 0. × ×

In tal caso, quindi, data A matrice di tipo 2 3, X matrice di tipo 3 2, ci si pone il problema di risolvere

l’equazione matriciale AX = O

2

×

con matrice nulla di tipo 2 2.

O

2 62

×

Inoltre, data Y matrice di tipo 3 2, al contrario, ci si pone il problema di risolvere

YA = O

3

×

con matrice nulla di tipo 3 3.

O

3

Dunque per le matrici di ordine non superiore a tre valgono i seguenti teoremi.

×

Teorema 1 : data una matrice 2 3 essa possiede matrice inversa destra se e solo se ha rango massimo.

Dimostrazione:  

u u '

   

a b c =

=  

Data si vuole determinare una matrice tale che .

X v v '

A AX = I

 2

 

a ' b ' c

'  

 

w w '

Consideriamo i seguenti due casi:

( ) ⇒

a) r A = 1 l’inversione non è possibile

Infatti se il rango è uno, allora le due righe della matrice A sono linearmente dipendenti, cioè a ' = k a ,

, c

' = k c .

b ' = k b

Quindi l’equazione matriciale è equivalente ai due sistemi

AX = I 2

+ + =

 au bv cw 1

(1) + + =

 k au k bv k cw 0

+ + =

 au ' bv ' cw

' 0

(2) + + =

 k au ' k bv ' k cw ' 1

Dalla seconda di (1), confrontata con la prima, segue che k = 0; confrontando in maniera analoga le due

equazioni del sistema (2) segue che k = 1: assurdo, cioè i due sistemi non sono contemporaneamente

risolubili.

( ) ≠ ⇒

b) r A 1 l’inversione è possibile

Supponiamo, quindi, che ci sia un minore di ordine due non nullo; sia esso, ad esempio, costituito dalle

prime due colonne di A.

Allora l’equazione è equivalente ai seguenti due sistemi:

AX = I 2

+ + =

 au bv cw 1

(1) + + =

 a ' u b ' v c

' w 0

+ + =

 au ' bv ' cw

' 0

(2) + + =

 a ' u ' b ' v ' c

' w ' 1 63

Si osservi che, portando cw al secondo membro del sistema (1), si ottiene un sistema risolubile con la

a b

regola di Cramer, supposto che il minore non sia nullo.

a ' b '

Pertanto la soluzione del sistema (1) è data da:

( ) ( )

+ − − + −

b ' w bc

' cb ' a ' w ca ' ac '

= =

e

u v

A A

a b

=

con .

A a ' b '

Applicando lo stesso procedimento al sistema (2) si ha:

( )

− − + −

w

' ( c

' b cb

') b a w

' a ' c c ' a

=

u

' = e v '

A A

b c c a

=

con , .

B = C

b ' c

' c

' a '

Dunque la soluzione dell’equazione matriciale è:

AX = I 2

   

B 0 0 B

   

−1

  w C 0 w ' 0 C

A

     

     

A 0 0 A

0 0

= + +

X A A A × × ×

Teorema 2: l’equazione , dove X è 3 2, A è 2 3 ed è la matrice identica 3 3 non è

XA = I I

3 3

risolubile.

Dimostrazione:

L’equazione data è equivalente ai sistemi

 + =

au a ' u ' 1

 + =

(1) bu b ' u ' 0

 + =

 cu c

' u ' 0

 + =

av a ' v

' 0

 + =

(2) bv b ' v

' 1

 + =

 cv c ' v ' 0

 + =

aw a ' w

' 0

 + =

(3) bw b ' w ' 0

 + =

 cw c

' w ' 1 64 ( )

= = = ≤

Se il sistema è risolubile, allora A B C 0 , cioè r A 1 .

XA = I 3

Ma allora, considerando il sistema (1), si ha:

 1

+ =

u k u

'

 a

 ( )

+ =

 b u k u

' 0

 ( )

+ =

c u k u ' 0

 ≠

Segue che a 0, b = c = 0: in contraddizione con il sistema (2).

×

Teorema 3: data una matrice A di tipo 2 3, essa ammette divisori dello zero a destra se ha rango pari ad

uno.

Viceversa se A ha rango due, allora la matrice X tale che AX = 0 deve avere rango uno.

Dimostrazione:

( )

Se r A = 1, allora AX = 0 implica a ' = k a , , c

' = k c e quindi il sistema diventa:

b ' = k b

+ + =

 au bv cw 0

 + +

 au ' bv ' cw ' = 0

che è risolubile.

( )

Se r A = 2 allora l’equazione AX = 0 è equivalente ai due sistemi

+ + =

 au bv cw 0

(1) + + =

 a ' u b ' v c

' v 0

+ + =

 au ' bv

' cw ' 0

(2) + + =

 a ' u ' b ' v ' c

' v

' 0

Pertanto, portando le incognite w, w' al secondo membro, i due sistemi sono risolubile con Cramer.

Adottando le notazioni del teorema 1, risulta:

B B C C

= = = =

; ; ;

u w u ' w ' v w v ' w

'

A A A A

Quindi, la matrice X presenterà due colonne linearmente dipendenti e, allora, avrà rango uno, cioè la

soluzione dell’equazione AX = 0 è:  

B w B w '

 

1

=

X C w C w '

 

A  

 

A w A w '

65

× × ×

Teorema 4: date le matrici X di ordine 3 2, A di tipo 2 3 ed matrice nulla 3 3, l’equazione

O

3

( )

è risolubile se e solo se r A = 1 .

XA = O

3

Dimostrazione:

L’equazione matriciale è equivalente a tre sistemi (fra di loro equivalenti) raggruppabili nel

XA = O

3

seguente sistema:

+ =

 au a ' u ' 0

 + =

(1) bu b ' u ' 0

 + =

 cu c

' u ' 0 ( ) ( )

Se la soluzione di uno di essi esiste, allora r A = 1 . Viceversa, se r A = 1 allora risulta a ' = k a ,

, c

' = k c .

b ' = k b

Dunque il sistema (1) diventa:

( )

+ =

 a u k u ' 0

 ( )

+ =

 b u k u

' 0

 ( )

+ =

 c u k u

' 0

da cui segue:

+

u k u ' = 0

+

v k v ' = 0

+

w k w ' = 0

Dunque la matrice X, di rango uno, è soluzione dell’equazione .

XA = O

3

66

APPENDICE ∅

Sia dato un insieme A .

Definizione

• × •

Se è una funzione definita sul prodotto cartesiano A A a valori in A, allora diremo che è

un’operazione binaria in A.

1. SEMIGRUPPI

Definizione 1.1.

( )

• •

Una coppia G, , dove G è un insieme non vuoto e è un’operazione binaria interna di G, si dice

semigruppo se: ( ) ( )

∀ ∈ ⇒ • • • •

a , b , c G a b c = a b c proprietà associativa

Definizione 1.2. ∈

Se G è un semigruppo, si chiama elemento neutro (bilatero) di G ogni elemento u G tale che:

∀ ∈ ⇒ • •

a G u a = a u = a

Definizione 1.3.

Se un semigruppo G possiede l’elemento neutro, allora G si dice semigruppo unitario.

Definizione 1.4. ∈

Se G è un semigruppo unitario, diremo che a '∈ G è un simmetrico di a G se:

• •

a a ' = a ' a = u ∀ ∈

Osservazione: si dimostra che in ogni semigruppo unitario esiste un unico elemento neutro e a G

esiste un unico simmetrico.

Definizione 1.5.

Un semigruppo G si dice commutativo o abeliano se l’operazione definita su G gode della seguente

proprietà: ∀ ∈ ⇒ • •

a , b G a b = b a proprietà commutativa

67

ESEMPI

( ) ( )

+ ⋅

N N

1) , ed , cioè l’insieme dei numeri naturali, rispetto all’operazione sia di addizione che di

moltiplicazione, è un semigruppo commutativo unitario. Lo stesso discorso ovviamente vale anche per gli

insiemi dei numeri interi relativi, dei numeri razionali, dei numeri reali e dei numeri complessi.

( ) ( )

℘ ℘

( ) ( ) ∅

∪ ∩ ≠

A , A ,

2) e cioè l’insieme delle parti di A , rispetto alle operazioni di unione ed

intersezione, è un semigruppo commutativo unitario ( è l’elemento neutro dell’unione ed A è l’elemento

neutro dell’intersezione; gli unici elementi invertibili, come è facile provare per esercizio, in entrambi i casi,

sono gli elementi neutri).

2. GRUPPI

Definizione 2.1. ( )

• •

Si dice gruppo una coppia ordinata G, , dove è un’operazione binaria interna definita sull’insieme

non vuoto G, tale che: ( ) ( )

∀ ∈ ⇒ • • • •

a) a , b , c G a b c = a b c proprietà associativa

∀ ∈ ⇒ • •

a G u a = a u = a

b) esistenza dell’elemento neutro

∀ ∈ ∃ ∈ ⇒ • •

a G a

' G a a ' = a ' a = u

c) esistenza dell’elemento simmetrico

Definizione 2.2.

Un gruppo G si dice commutativo o abeliano se:

∀ ∈ ⇒ • •

a , b G a b = b a proprietà commutativa

ESEMPI

( )

+

Z

1) , , cioè l’insieme dei numeri relativi con l’addizione, forma un gruppo commutativo. Sono gruppi

( ) ( ) ( )

+ ℜ + +

Q C

,

commutativi anche le seguenti strutture: , , , , . [Naturalmente in questi casi

l’elemento neutro è lo zero ed il simmetrico è l’opposto].

( )

Q ,

2) , cioè l’insieme dei numeri razionali (le frazioni) non nulli con la moltiplicazione, forma un

0 ( )

ℜ ⋅

gruppo commutativo. Anche la struttura costituisce un gruppo abeliano.

,

0

[Naturalmente l’elemento neutro è il numero 1 ed il simmetrico è l’inverso].

68

( )

ℜ +

n

3) V = , , cioè l’insieme dei vettori ad n coordinate dotato dell’operazione di addizione, è un

gruppo abeliano. [Naturalmente l’elemento neutro è la n-upla nulla ed il simmetrico di un vettore v V è il

− ∈

suo opposto v V ].

( )

( ) +

M m

, n ,

4) , cioè l’insieme delle matrici di tipo (m, n), con l’operazione di addizione tra matrici, è un

( )

gruppo commutativo. [Naturalmente l’elemento neutro è la matrice nulla ed il simmetrico di A M m , n ,

−A,

in questa struttura, è la matrice opposta ottenuta da A cambiando il segno a tutti i suoi elementi].

( )

( ) ⋅

M * n ,

5) , cioè l’insieme delle matrici quadrate di ordine n con la moltiplicazione, costituisce un

gruppo non commutativo. In questo caso l’elemento neutro è la matrice identica ed il simmetrico di una

I

n

−1

matrice A è l’inversa .

A ( )

( ) ⋅

M n ,

Da notare che la struttura , cioè l’insieme di tutte le matrici quadrate di ordine n (ossia

comprese anche quelle con determinante nullo), costituiscono un semigruppo unitario non commutativo, ma

non un gruppo poiché gli elementi con determinante nullo non sono invertibili.

( )

( ) + ⋅

M 1 , ,

Si noti ancora che è, di fatto, isomorfo all’insieme dei numeri reali.

3. ANELLI

Definizione 3.1. ( )

+ •

Chiameremo anello una struttura algebrica A, , tale che:

( )

+

1) A, è un gruppo abeliano, cioè:

( ) ( )

∀ ∈ • • • •

a) a , b , c A a b c = a b c proprietà associativa

∀ ∈ • •

b) esistenza dell’elemento neutro

a A u a = a u = a

∀ ∈ ∃ ∈ • •

c) esistenza dell’elemento simmetrico

a A a ' G : a a ' = a ' a = u

∀ ∈ • •

d) a , b A a b = b a proprietà commutativa

Osservazione: chiaramente indicheremo l’elemento neutro u con 0 e l’opposto di un qualunque elemento

∈ −a.

a A con

( )

2) A, è un semigruppo, cioè:

( ) ( )

∀ ∈ • • • •

a) a , b , c A a b c = a b c proprietà associativa

( )

∀ ∈ • + • + •

b) a , b , c A a b c = a b a c

proprietà distributiva della legge rispetto alla legge +

( )

∀ ∈ + • • + •

c) a , b , c A b c a = b a c a 69

Osservazione: per comodità l’elemento verrà indicato semplicemente con ab; l’elemento neutro u

a b −1

con 1 ed il simmetrico (nel caso specifico l’inverso) di un qualunque elemento a A con .

a

Definizione 3.2.

( ) ( )

+ • •

Un anello A, , si dice commutativo o abeliano se A, è un semigruppo commutativo, cioè:

∀ ∈ ⇒ • •

a , b A a b = b a proprietà commutativa

Definizione 3.3.

( )

+ •

Un anello A, , si dice unitario se possiede un elemento neutro (necessariamente unico) e, cioè tale

che: ∀ ∈ ⇒ • •

a A a e = e a = a

( ) −1

+ • ∈

Sia A, , un anello unitario. Se, fissato a A esiste un elemento tale che:

a

− −

• •

1 1

a a = a a = e

l’elemento a si dice invertibile o che è una unità.

( )

+ • U

Osservazione: in un anello unitario A, , l’insieme degli elementi invertibili non è vuoto avendosi,

come è ovvio: ∈

U

e

Si ha anche la seguente ⋅

U

Proprietà: la struttura ( , ) è un gruppo (dentro l’anello), detto gruppo delle unità.

Breve prova: ( )

− ( ) −1

1

− − −

∈ ∈ = ∈ ⋅ ∈

1 1 1

U U U U

Se a , b risulta che a , b per essere a a e in quanto esiste ab ed

a b

( )

− − −

1 ∈

1 1 U U

è ab = b a . Quindi ( , ) è associativo, ed il prodotto di due elementi è invertibile.

e 70

Definizione 3.4. ( )

+ •

Un anello unitario e commutativo A, , nel quale vale la legge di annullamento del prodotto, cioè:

• ⇒

a b = 0 a = 0 oppure b = 0

si dice dominio d’integrità o anello integro.

( )

+ •

Osservazione : in un anello A, , il prodotto di due elementi è sempre nullo se uno dei due fattori è

nullo; si noti, invece, che il viceversa è falso, cioè può capitare che in un anello il prodotto ab sia nullo ma

risultino diversi da zero sia a che b: in tal caso a e b si dicono divisori dello zero.

ESEMPI { }

1) Esiste un unico anello detto anello mono-elemento costituito da un solo elemento, cioè A = a con

+ ⋅

a a = a a = a

In questo caso l’elemento a funziona sia da zero che da e, anzi se in un anello si verifica che 0 = 1 questo è

proprio l’anello mono-elemento.

Osservazione: ogni anello ha necessariamente due elementi: zero ed e.

( )

( ) ( ) ( )

+ •

+ • ℜ + • + •

Q

Z C

, ,

2) , , , , , , , , , sono anelli commutativi unitari ed integri.

( )

+ • ≥

Z

n , ,

3) , cioè l’insieme dei multipli interi relativi di un fissato intero n 2, ossia

{ }

− −

Z

2 = ..., 4 , 2 , 0 , 2 , 4 , 6

, ...

{ }

− −

Z

3 = ..., 9 , 3

, 0 , 3

, 9 , ...

.............................................................

{ }

− −

Z

n = ..., 2 n , n , 0 , n , 2 n , ...

con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione, costituisce un anello commutativo non unitario (non è

possibile ottenere, infatti, 1 come multiplo di n).

4) L’insieme dei polinomi a coefficienti interi ad una indeterminata costituisce un anello commutativo

unitario.

( )

( ) + •

M n , ,

5) , cioè l’insieme delle matrici quadrate di ordine n con le note operazioni di addizione e

moltiplicazione, costituisce un anello unitario non commutativo e non integro.

71

( )

Ad esempio in M 2 le seguenti due matrici A e B non sono nulle ma hanno prodotto nullo:

     

1 0 0 0 0 0

     

,

A = B = AB =

     

0 0 0 1 0 0

4. CORPI E CAMPI

Definizione 4.1. ( ) ( )

+ • ≠ ∅ •

Definiamo corpo un anello A, , nel quale la struttura A , è un gruppo, non

necessariamente commutativo. ≠

≠ b 0

Osservazione: in un corpo non esistono divisori dello zero, poiché se fosse , con , ,

ab = 0 a 0

( )

−1

−1 =

a ab = 0

esistendo si avrebbe cioè , contro l’ipotesi.

a b 0

Definizione 4.2. ( )

≠ ∅ + •

Un corpo commutativo si dice campo, cioè un campo è un anello unitario A , , tale che

( )

A, è un gruppo abeliano.

ESEMPIO

( ) ( ) ( )

+ • ℜ + • + •

Q C

, , , , , , , , sono campi. 72

ESEMPI PRELIMINARI

Si consiglia allo studente di porre l’attenzione sui seguenti esempi 1)-7) relativi al capitolo sulle matrici e

determinanti prima di risolvere gli esercizi proposti:

 

3 1 2

 

 

2 3 2 × ×

   

1) Siano A = e B = due matrici di ordine rispettivamente 2 3 e 3 3.

2 3 3

   

1 1 2  

1 1 1

Scrivere A per righe e B per colonne; calcolare poi il prodotto AB.

Risulta: ( )

   A = 2 , 3

, 2

A 1

1

  

A = con ( )

  

A  A = 1

, 1 , 2

2 2 ( )

 T

B = 3 , 2 , 1

 1

( ) ( ) T

B = con B = 1

, 3

, 1

B B B 2

1 2 3  ( )

T

 B = 2 , 3 , 1

 3

Segue quindi:

   

AB A B A B 14 13 15

1 1 1 2 1 3

   

AB = =

   

A B A B A B 7 6 7

2 1 2 2 2 3

   

3 2 a b

   

2) Data la matrice A = con det A = 0 trovare la matrice B = tale che:

   

6 4 c d

a) AB = 0

b) BA = 0

Si ha: + + +

        

3 2 a b 3 a 2 c 3

b 2 d 0 0 3

a 2 c = 0

        

a) AB = = =

+ + +

        

6 4 c d 6 a 4 c 6 b 4 d 0 0 3

b 2 d = 0

Segue:

− −

a = 2 t c = 3 t b = 2 u d = 3

u

Dunque: − −

   

a b 2 2

   

B = = tu

   

c d 3 3

b) stessi calcoli 73

r r r

( ) ( ) ( )

− − −

3) Dati i tre vettori 4-dimensionali u 2 , 1 , 2 , 1 , v 2 , 3

, 1

, 1 e w 4 , 1

, 1

, 2 provare che

sono linearmente indipendenti.  

2 1 2 1

 

 

È sufficiente, in tal caso, osservare che la matrice associata A = ha rango tre.

2 3 1 1

 

− −

 

4 1 1 2

4) Con riferimento alla matrice A dell’esercizio precedente provare che i quattro vettori-colonna di A sono

linearmente dipendenti.

Essendo tre il rango della matrice A segue che esattamente tre colonne sono linearmente indipendenti; del

resto la quarta colonna è proporzionale alla prima.

5) Sia data una matrice quadrata con determinante nullo. Provare che una sua riga è combinazione lineare

delle precedenti.

Si consideri una matrice quadrata A di ordine n. Poiché det A = 0, la caratteristica di A è al più n−1; segue

che le n righe sono linearmente dipendenti e così pure le colonne. Dunque esiste almeno una riga che è

combinazione lineare delle rimanenti.

 

3 2 −1

 

6) Data la matrice A = trovare, se esiste, la sua inversa .

A

 

1 1 −1

Osserviamo innanzitutto che det A = 1 0, cioè esiste . Per calcolarla formiamo la matrice:

A

 

3 2 1 0 [ ]

 

B = = A

| I 2

 

1 1 0 1

trasformando così B nel seguente modo: − −

     

3 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 2

 

→  

     

B = −

→ − → −

R R 2 R R R R

     

1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 3

1 1 2 2 2 1 −1

A I I A

2 2

Dunque: −

 

1 2

− 1  

A = −

 

1 3

Infatti si ha: −

     

3 2 1 2 1 0

1      

AA = = = I

− 2

     

1 1 1 3 0 1

     

1 2 3 2 1 0

− 1      

A A = = = I

− 2

     

1 3 1 1 0 1 O.K.!

74

Analogamente si consideri la matrice:

 

1 0 3 2 [ ]

 

C = = I | A

2

 

0 1 1 1

Trasformiamo C come segue: − −

     

1 0 3 2 1 2 1 0 1 2 1 0

 

→  

     

C = −

→ − → −

R R 2 R R R R

     

0 1 1 1 0 1 1 1 1 3 0 1

1 1 2 2 2 1 −1

A

I A I

2 2

Dunque è possibile accostare la matrice identità sia a destra che a sinistra di A, ottenendo così sempre la

stessa matrice inversa. r r

( ) ( )

− −

7) Dato l’insieme delle n-uple generato dai vettori 4-dimensionali u 2 , 1

, 1

, 3 , v 2 , 2 , 3

, 1 ,

r

r ( ) ( )

w 4 , 3

, 2 , 2 ed t 0 , 1

, 4 , 4 si determini una base dello spazio delle combinazioni lineari da esse

generato.

È sufficiente, pertanto, verificare quanti dei quattro vettori considerati sono linearmente indipendenti. Si

consideri quindi la matrice ad essi associata:

 

2 1 1 3

 

 

2 2 3 1

A =  

4 3 2 2

 

 

0 1 4 4 2 1 ≠

Poiché, come è facile notare, risulta , orlando tale minore con le residue righe e

= 2 0

2 2

colonne si ottengono i seguenti minori del terzo ordine:

− −

2 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1 3

− −

2 2 3 = 2 2 1 = 2 2 3 = 2 2 1 = 0

4 3 2 4 3 2 0 1 4 0 1 4

( )

Dunque r A = 2 . Inoltre le prime due righe della matrice A sono linearmente indipendenti per cui una

r r

base è costituita proprio dai vettori e .

u v 75

ESERCIZI PROPOSTI −

A ) Calcolare, se possibile, A + B, A B, AB, BA e cA dove A, B e c sono dati 1)-8) dopo aver

analizzato i seguenti esempi a)-g): −

   

3 5 0 5

   

a) A = ; B = ; c = 2

− − − −

   

1 2 1 2

× ×

2 2 2 2

Sommando e sottraendo termine a termine risulta rispettivamente:

   

3 0 3 10

   

A + B = e A B =

− −

   

2 4 0 0

× ×

2 2 2 2

Svolgendo il prodotto righe per colonne si ha:

( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ − − −

   

3 0 5 1 3 5 5 2 5 25

   

=

AB = ( ) ( ) ( )

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −  

 

1 0 2 1 1 5 2 2 2 9

×

2 2

( ) ( )

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

   

0 3 5 1 0 5 5 2 5 10

   

=

BA = ( ) ( )

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −  − − 

 

1 3 2 1 1 5 2 2 1 1

×

2 2

Moltiplicando ciascun elemento della matrice A per il numero c assegnato si ottiene:

 

6 10

 

cA = 2A = − −

 

2 4

×

2 2 76

− −

   

2 1 0 2 1 0

   

   

b) A = ; B = ; c = 3

3 1 0 3 1 3

   

   

4 0 0 1 1 1

× ×

3 3 3 3

Si ha: −

   

4 2 0 0 0 0

   

− −

   

A + B = e A B =

6 2 3 0 0 3

   

− −

   

5 1 1 3 1 1

× ×

3 3 3 3

( ) ( ) ( )

⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ −

   

4 0 2 0 0 3 4 0 2 0 0 1 4 0 2 3 0 1 0 0 6

   

( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − − −

   

6 0 2 0 3 3 6 0 2 0 3 1 6 0 2 3 3 1 = 9 3 9

AB =  

 

( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ −  − − 

 

5 0 1 0 1 3 5 0 1 0 1 1 5 0 1 3 1 1 3 1 4

×

3 3

( )

⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ −

   

2 2 1 3 0 4 2 1 1 1 0 0 2 0 1 0 0 0 1 3 0

   

( )

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

   

3 2 1 3 3 4 3 1 1 1 3 0 3 0 1 0 3 0 = 21 2 0

BA =  

 

( )

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅  

 

1 2 1 3 1 4 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 9 0 0

×

3 3

 

6 3 0

 

 

cA = 3A = 9 3 0

 

 

12 0 0

×

3 3

   

1 3 2 1 0 3 −1

   

c) A = ; B = ; c =

− −

   

2 3 4 3 1 1

× ×

2 3 2 3

Risulta: −

   

2 3 1 0 3 5

   

A + B = e A B = −

   

1 4 3 5 2 5

× ×

2 3 2 3

77

AB non è possibile perché il numero delle colonne di A è diverso dal numero delle righe di B

BA non è possibile per il ragionamento precedente

− −

 

1 3 2

( )

−  

cA = 1 A = − −

 

2 3 4

×

2 3  

  1 3 4

1 0 0  

  1

− −2

 

 

d) A = ; B = 1 2 ; c =

0 1 2

   

2

   

0 3 4 0 1 4

× ×

3 3 3 3

Si ha:    

− −

2 3 4 0 3 4

   

5 3

− − −

   

A + B = 1 3 e A B = 1 1

   

2 2

   

0 4 8 0 2 0

× ×

3 3 3 3

   

1

( )

⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

   

1 1 0 1 0 0 1 3 0 2 0 1 1 4 0 0 4

2 1 3 4

  

1 17

( )

   

⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

AB = 0 1 1 1 2 0 0 3 1 2 2 1 0 4 1 2 4 = 1 4

   

2 2

   

1 35

( )

⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − 

 

0 1 3 1 4 0 0 3 3 2 4 1 0 4 3 4 4 3 10

 

 

2 2

×

3 3

   

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

1 1 3 0 4 0 1 0 3 1 4 3 1 0 3 2 4 4 1 15 22

   

1 1 1 7

− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −

   

BA = 1 1 2 0 0 1 0 2 1 3 1 0 2 2 4 = 1 6

   

2 2 2 2

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

   

0 1 1 0 4 0 0 0 1 1 4 3 0 0 1 2 4 4 0 13 18

×

3 3

 

2 0 0

 

( )

− − −

 

cA = 2 A = 0 2 4

 

− −

 

0 6 8

×

3 3 78

Osservazione: la somma e la differenza si possono effettuare solo nel caso di matrici aventi lo stesso ordine

(il medesimo numero di righe e di colonne), cioè non è possibile sommare o sottrarre, per esempio, una

× ×

matrice di ordine 2 3 ed una di ordine 3 3; analogamente, come già osservato, è possibile calcolare il

prodotto tra due matrici solo se il numero delle colonne della prima matrice è uguale al numero delle righe

della seconda matrice, cioè A (m, k) e B (k, n) sono moltiplicabili e la matrice prodotto sarà C (m, n); il

prodotto tra matrici, in generale, non è commutativo, ossia AB BA, come è facile verificare dagli esempi

precedenti.

   

1 3 0 0 0

    1

   

e) A = ; B = ; c =

2 3 0 0 0

    3

   

2 1 0 3 4

× ×

3 3 3 2

A + B e A B non sono possibili per quanto asserito nella precedente osservazione

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

   

1 0 3 0 0 3 1 0 3 0 0 4 0 0

   

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ×

   

2 0 3 0 0 3 2 0 3 0 0 4

AB = = è la matrice nulla 3 2

0 0

   

( ) ( )

− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

   

2 0 1 0 0 3 2 0 1 0 0 4 0 0

BA non è possibile

 

1

 

1 0

3

 

1 2

 

cA = A = 1 0

 

3 3

 

2 1

 

0

 

3 3

×

3 3 −

 

1 1

−  

 

1 0 1 −

   

f) A = ; B = ; c = 6

2 2

   

2 1 0  

0 3

× ×

2 3 3 2

A + B e A B non sono possibili 79

( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ − + ⋅ + − ⋅

  −

 

1 1 0 2 1 0 1 1 0 2 1 3 1 4

   

AB = =

( ) ( )

⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅

   

2 1 1 2 0 0 2 1 1 2 0 3 0 0

×

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − + − ⋅

  − − −

 

1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1

   

( ) ( ) ( ) ( )

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅

   

2 1 2 2 2 0 2 1 2 1 2 0

BA = = 2 2 2

   

( )

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅

   

0 1 3 2 0 0 3 1 0 1 3 0 6 3 0

×

3 3

 

6 0 6

 

cA = 6A =  

12 6 0

×

2 3  

1 0

   

1 0 2 1

   

2 1 −1

− −

 

g) A = ; B = ; c =

3 1 1 1  

  1 3

 

− − −

 

0 1 2 3 −

 

2 2

× ×

3 4 4 2

A + B e A B non sono possibili

( ) ( )

⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

  −

 

1 1 0 2 2 1 1 2 1 0 0 1 2 3 1 2 3 8

   

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ + − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ −

   

3 1 1 2 1 1 1 2 3 0 1 1 1 3 1 2

AB = = 8 4

   

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + − ⋅ + − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ −

   

0 1 1 2 2 1 3 2 0 0 1 1 2 3 3 2 6 13

×

3 2

BA non è possibile

 

0 0 0 0

 

−A ×

 

cA = = è la matrice nulla 3 4

0 0 0 0

 

 

0 0 0 0

×

3 4 80

   

1 1 1 3

   

1) A = ; B = ; c = 2

   

0 2 0 1 − −

         

2 2 0 4 1 4 1 5 2 2

         

R: A + B = ; A B = ; AB = ; BA = ; cA =

− −

         

0 1 0 3 0 2 0 2 0 4

   

1 1 3 1 2 3

    −1

− −

   

2) A = ; B = ; c =

0 2 1 0 2 5

   

− −

   

5 2 0 4 1 7 −

     

2 1 6 0 3 0 13 1 19

     

− − − −

     

R: A + B = ; A B = ; AB = ;

0 0 4 0 4 6 4 3 3

     

− − −

     

9 3 7 1 1 7 5 14 5

− − −

   

16 3 1 1 1 3

   

− −

   

BA = ; cA =

25 14 2 0 2 1

   

− −

   

39 20 13 5 2 0

 

1 0 1 −

 

  1 0

−  

 

2 5 7  

3) A = ; B = ; c = 3

3 1

   

0 1 4

  −

 

7 4

 

3 0 3 − −

   

8 4 3 0 3

   

− −

   

32 33 6 15 21

R: A + B, A B, BA non sono possibili; AB = ; cA =

   

31 15 0 3 12

   

− −

   

24 12 9 0 9

   

1 2 2 3 1 0 7 3

   

   

0 1 1 5 2 1 1 4 1

4) A = ; B = ; c =

   

− −

7 1 0 2 2 1 0 1 2

   

− −

   

3 4 1 3 3 5 2 3 −

     

2 2 5 6 0 2 9 0 18 19 15 0

     

− − −

     

2 2 0 9 2 0 2 1 19 27 11 12

R: A + B = ; A B = ; AB = ;

     

5 0 0 3 9 2 0 1 15 11 54 19

     

− − − −

     

6 9 3 6 0 1 1 0 0 12 19 35

 

1 3

 

1 1

2 2

 

 

59 21 1 8 1 1 5

   

− 0

 

21 22 1 1  

2 2 2

BA = ; cA =

   

− − 7 1

1 1 6 14

  0 1

 

  2 2

 

8 1 14 47 3 1 3

 − 

2

 

2 2 2

81

 

1 0 1 −

 

  1 1 3 5

−  

 

2 5 7 −

 

5) A = ; B = ; c = 1

0 2 1 3

   

0 1 4

  −

 

5 2 0 7

 

3 0 3 − −

 

4 1 3 2 −

 

  16 8 19

−  

 

37 26 11 44

− − −

 

R: A + B, A B non sono possibili; AB = ; BA = ;

5 11 19

 

− −  

20 6 1 31

  −

 

20 10 2

− −

 

12 3 9 6

cA = A  

1 3

   

1 3 2 5

   

3 6 1

 

6) A = ; B = ; c =

6 2 4 3  

  2 9 3

 

 

2 6 4 10  

4 2  

1 2 5

 

1

  3 3 3

32 43  

  2 4

 

− −

 

R: A + B, A B, BA non sono possibili; AB = ; cA = 2 1

20 48  

  3 3

   

64 86 2 4 10

 

2

 

3 3 3

 

  1 1 1

1 1  

  1 1

−  

 

7) A = ; B = 3 1 ; c =

3 1

   

3 3

   

9 3 9 3 5  

1 1

 

  3 3

13 3  

  1

 

− −

 

R: A + B, A B, AB non sono possibili; BA = ; cA = 1

3 5  

  3

   

63 21 3 1

 

 

82

   

1 3 4 2

    −2

   

8) A = ; B = ; c =

1 2 1 0

   

   

0 1 4 1 − − −

   

6 2 6 8

   

− − − −

   

R: A + B, A B, BA non sono possibili; AB = ; cA =

1 2 4 2

   

− −

   

4 0 2 8

B

) Scrivere la trasposta delle seguenti matrici 1)-6) dopo aver analizzato gli esempi a)-d):

 

1 7

 

a) A =  

4 5

Come già accennato in precedenza la trasposta di una matrice si ottiene scambiando tra di loro le righe e le

colonne; si ha, quindi:

 

1 4

T  

A =  

7 5 −

 

2 1 1

 

 

b) A = 1 3 6

 

 

1 6 4

Risulta: −

 

2 1 1

 

T  

A = 1 3 6

 

 

1 6 4 T

Osservazione: nell’esempio b) A = ossia la matrice A è simmetrica.

A

 

2 5 7

 

c) A =  

0 3 1

Si ottiene:

 

2 0

 

T  

A = 5 3

 

 

7 1 83

 

2 0 0 0

 

 

0 3 0 0

d) A = D =  

0 0 2 0

 

 

0 0 0 8

La trasposta della matrice diagonale D è la matrice, anch’essa diagonale data da:

 

2 0 0 0

 

 

0 3 0 0

T

D =  

0 0 2 0

 

 

0 0 0 8

Osservazione: ogni matrice diagonale è simmetrica; nel caso in cui la matrice A sia quadrata di ordine n

allora la sua trasposta risulterà ancora una matrice quadrata di ordine n; se, invece, A è una matrice

×

rettangolare di ordine m n allora la sua trasposta sarà ancora una matrice rettangolare di ordine, però, n

× m.  − 

 

  1 3 2

1 1 2  

   

− − T  

 

1) A = A = 1 0 1

3 0 1  

 

   

 − 

   

2 1 2

2 1 2

 

1 2

   − 

−  

  1 1 2 3

1 2  

T

 

2) A = A =

   − − 

 

2 2 1 1

2 1

 

 

3 1

 

1 1  − 

 

  1 2 1

 

T

 

 

3) A = A =

2 2  − 

   

1 2 3

 

1 3  − 

 

1 2 1

−  

   

1 2 1 3 − −

   

2 4 1

 

− − − T

 

4) A = A =

2 4 2 6  

 

  1 2 3

 

− −  

 

1 1 3 3  − − 

 

 

3 6 3

 

 

  5 0 0 0

5 0 0 0  

   

 

  0 3 0 0

0 3 0 0  

T

5) D = D =  

   

0 0 1 0

0 0 1 0  

   

 

   

 

0 0 0 4

0 0 0 4 84  

 

  1 0 0

1 0 0  

   

T  

 

6) A = A = 0 1 3

0 1 2  

 

   

 

   

0 2 4

0 3 4

C ) Calcolare i determinanti delle matrici 1)-30) dopo aver osservato quanto riportato nei seguenti

esempi a)-e)

 − 

2 2

 

a) A = −

 

1 3

Applicando la definizione data sui determinanti del secondo ordine si ha:

2 2 ( ) ( )

− ⋅ − − ⋅ − + −

det A = = 2 3 1 2 = 6 2 = 4

1 3

 

1 3 2

 

 

b) A = 1 0 1

 

 

2 1 2

Applicado la regola di Sarrus si ha:

− −

1 3 2 1 3

1 0 1 1 0

det A = =

− −

2 1 2 2 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅

1 0 2 3 1 2 2 1 1 2 0 2 1 1 1 3 1 2 =

= ( )

− − − − − − − + + −

= 0 6 2 0 1 6 = 6 2 1 6 = 1

 

1 3 2

 

1 0 1

c) A =  

 

2 1 2

Il determinante richiesto si può calcolare con la regola di Sarrus, come fatto nel precedente esempio,

oppure con la regola di Laplace, cioè sviluppando il determinante rispetto agli elementi di una riga o di una

colonna. Se si considerano, ad esempio, gli elementi della seconda riga, si ha:

1 3 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ +

det A = = = =

1 0 1 1 A 0 A 1 A A A

21 22 23 21 23

2 1 2 85

− − − −

3 2 1 3 3 2 1 3

( ) ( )

+ +

− + − − −

2 1 2 3

= = =

1 1

− − − −

1 2 2 1 1 2 2 1

( ) ( )

− − + − − + − −

= 6 2 1 6 = 4 5 = 1

Dunque, per il calcolo dei determinanti del terzo ordine, è possibile utilizzare entrambi i metodi di cui agli

esempi b) e c).

− − −

 

1 2 3 5

 

 

5 2 4 1

d) A =  

4 2 1 3

 

 

3 3 1 2

Applicando la regola di Laplace, cioè sviluppando il determinante, per esempio, secondo gli elementi della

prima colonna, si ha:

− − −

1 2 3 5

5 2 4 1 − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − + + +

det A = = = =

1 A 5 A 4 A 3 A A 5 A 4 A 3 A

− 11 21 31 41 11 21 31 41

4 2 1 3

3 3 1 2

− − − − − − −

2 4 1 2 3 5 2 3 5 2 3 5

( ) ( ) ( ) ( )

+ + + +

− − − + − − + − − + − −

1 1 2 1 3 1 4 1

= =

1 2 1 3 5 1 2 1 3 4 1 2 4 1 3 1 2 4 1

3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 3

− − − − − − −

2 4 1 2 3 5 2 3 5 2 3 5

− − − − + − − −

= 2 1 3 5 2 1 3 4 2 4 1 3 2 4 1

3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 3

I precedenti determinanti di ordine tre, a loro volta, possono essere calcolati applicando nuovamente la

regola di Laplace, sviluppando ciascuno di essi secondo, per esempio, gli elementi della prima riga.

Risulta quindi:

 − − 

1 3 2 3 2 1

( ) ( ) ( )

2 3 4

− − − + − + − +

det A = 2 1 4 1 1 1

 

1 2 3 2 3 1

 − − 

1 3 2 3 2 1

( ) ( ) ( )

2 3 4

− − − + − − − +

5 2 1 3 1 5 1

 

1 2 3 2 3 1

86

 − − 

4 1 2 1 2 4

( ) ( ) ( )

2 3 4

+ − − + − − − +

4 2 1 3 1 5 1

 

1 2 3 2 3 1

 − − 

4 1 2 1 2 4

( ) ( ) ( )

2 3 4

− − − + − − −

 

3 2 1 3 1 5 1 =

− −

 

1 3 2 3 2 1

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − − − − − − − − − − − − + − − − − − +

2 1 4 13 5 5 2 1 3 13 5 5 4 2 7 3 7 5 14

= [ ]

( ) ( ) ( )

− − − − − − − + +

3 2 11 3 4 5 6 = 49 330 308 120 = 49

Osservazione: si perveniva allo stesso risultato se si fossero calcolati i determinanti del terzo ordine con la

regola di Sarrus. −

 

2 10 0 8

 

 

1 3 1 5

e) A =  

− − −

1 1 1 7

 

− − −

 

1 4 1 3

2 10 0 8

1 3 1 5

det A = =

− − −

1 1 1 7

− − −

1 4 1 3 −1)

(si sommano alla seconda colonna la quarta colonna e la prima colonna moltiplicata per

2 0 0 8

1 7 1 5

= =

− − − −

1 5 1 7

− − −

1 2 1 3

(si somma alla quarta colonna la prima colonna moltiplicata per 4)

2 0 0 0

1 7 1 9

= =

− − − −

1 5 1 11

− − −

1 2 1 7

(applicando la regola di Laplace, sviluppando rispetto agli elementi della prima riga)

7 1 9

( )

− − − −

2

= =

2 1 5 1 11

− −

2 1 7 87

(si somma alla prima riga la seconda riga)

2 0 2

− − −

= =

2 5 1 11

− −

2 1 7

(si somma alla prima colonna la terza colonna)

0 0 2

− − −

= =

2 16 1 11

− − −

5 1 7

(applicando al regola di Laplace, sviluppando rispetto agli elementi della prima riga)

− −

16 1

( ) ( ) ( )

= − − − −

4

2 2 1 = 4 11 = 44

− −

5 1

Sempre applicando le proprietà sui determinanti è possibile calcolare ancora più rapidamente il

determinante della matrice assegnata:

2 10 0 8

1 3 1 5

det A = =

− − −

1 1 1 7

− − −

1 4 1 3

(si somma la seconda riga alla terza e alla quarta riga)

2 10 0 8

1 3 1 5

= =

0 4 0 2

0 7 0 2

(applicando la regola di Laplace, sviluppando rispetto agli elementi della terza colonna)

2 10 8

( )

− −

5

= =

1 0 4 2

0 7 2

(applicando la regola di Laplace, sviluppando rispetto agli elementi della prima colonna)

4 2

( ) ( )

− − − −

2

= 2 1 = 2 22 = 44

7 2 ≥

Osservazione: tutti i determinanti di ordine n 5 si risolvono con le stesse tecniche illustrate negli esempi

d) e e). 88

 

1 3 −19]

 

1) A = [det A =

− −

 

5 4

 

1 3 −5]

 

2) A = [det A =

 

0 5

 

7 2

 

3) A = [det A = 8]

 

4 0

 

3 2 −1]

 

4) A = [det A =

 

7 5

− −

 

5 2 −29]

 

5) A = [det A =

 

3 7

 

4 1 −37]

 

6) A = [det A =

 

5 8

 

2 3

 

7) A = [det A = 34]

 

4 11

 

3 5

 

8) A = [det A = 7]

 

4 9

 

7 3

 

9) A = [det A = 19]

 

4 1

 

3 2 −13]

 

10) A = [det A =

 

5 1

 

1 3 2

  −1]

 

11) A = [det A =

1 0 1

 

 

2 1 2

 

1 0 1

  −2]

 

12) A = [det A =

3 5 4

 

 

1 1 0

 

3 2 1

 

 

13) A = [det A = 26]

5 1 4

 

 

3 2 1 89

 

3 7 1

  −4]

 

14) A = [det A =

2 0 2

 

 

3 4 1

 

1 3 4

 

 

15) A = [det A = 71]

5 4 1

 

 

0 2 3

 

1 3 5

  −87]

 

16) A = [det A =

2 7 4

 

 

6 8 3

 

3 2 1

 

 

17) A = [det A = 141]

5 4 2

 

 

3 7 5

 

3 2 1

 

 

18) A = [det A = 0]

2 5 7

 

 

4 9 5

 

2 5 4

 

 

19) A = [det A = 70]

0 7 0

 

 

2 1 9

 

1 4 2

 

 

20) A = [det A = 65]

2 8 1

 

 

3 1 5

 

1 2 0 1

 

 

2 1 1 2

21) A = [det A = 11]

 

− 1 0 1 0

 

 

0 3 1 1

 

1 2 2 3

 

 

5 7 0 4

22) A = [det A = 0]

 

1 2 2 3

 

 

2 1 0 3

 

1 3 15 7

 

 

0 2 8 5

23) A = [det A = 24]

 

0 0 3 4

 

 

0 0 0 4 90

 

3 2 1 3

 

 

5 1 7 5 −241]

24) A = [det A =

 

1 4 4 1

 

 

0 5 2 1

 

1 3 1 1

 

 

1 0 1 0

25) A = [det A = 15]

 

2 1 1 2

 

 

1 1 0 1

 

5 4 2 1

 

 

2 3 1 2

26) A = [det A = 38]

 

− − −

5 7 3 9

 

− −

 

1 2 1 4

 

3 2 1 4

 

 

1 5 2 3

27) A = [det A = 256]

 

− −

2 7 5 1

 

− −

 

1 2 3 4

 

1 2 3 4

 

 

5 6 7 8

28) A = [det A = 0]

 

9 10 11 12

 

 

13 14 15 16

− − −

 

3 5 2 3 5

 

 

4 1 3 3 2

  −885]

29) A = [det A =

6 10 1 2 2

 

− −

 

1 1 1 2 1

 

 

3 6 2 7 6

− − −

 

1 1 4 2 5

 

− −

 

3 4 10 9 16

 

− −

30) A = [det A = 52]

2 1 11 4 9

 

 

1 6 12 5 3

 

− − −

 

5 2 24 5 22 91

D ) Calcolare la matrice dei complementi algebrici riportata negli esercizi 1)-12) dopo aver

analizzato gli esempi a)-f):

   

2 5 a a

11 12

   

a) A = =

   

1 3 a a

21 22

Si ha:  

A A

11 12

 

A * =  

A A

21 22

dove gli A , complementi algebrici relativi agli elementi a , sono il risultato del prodotto tra il

ij ij ( ) +

− i j

determinante, ottenuto da A cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima, e 1 .

Pertanto risulta: (cancellando la prima riga e la prima colonna si ottiene il 3 = 3, moltiplicato

A = 3

11 ( ) ( )

+

− −

1 1 2

per 1 = 1 = +1)

−1

= (cancellando la prima riga e la seconda colonna si ottiene il 1 = 1, moltiplicato

A

12 ( ) ( )

+

− − −

1 2 3

per 1 = 1 = 1 )

− (cancellando la seconda riga e la prima colonna si ottiene il 5 = 5, moltiplicato

A = 5

21 ( ) ( )

+

− − −

2 1 3

per 1 = 1 = 1 )

2 (cancellando la seconda riga e la seconda colonna si ottiene il 2 = 2, moltiplicato

A =

22 ( ) ( )

+

− − +

2 2 4

per 1 = 1 = 1 )

Quindi alla fine risulta:

 

3 1

 

A * = −

 

5 2

 

1 0

 

b) A =  

3 5

Procedendo come nel precedente esempio si ha:

(cancellando la prima riga e la prima colonna si ha il 5 = 5 che va

A = 5

11 ( ) ( )

+

− −

1 1 2

poi moltiplicato per 1 = 1 = +1)

− (cancellando la prima riga e la seconda colonna si ha il 3 = 3 che va

A = 3

12 ( ) ( )

+

− − −

1 2 3

poi moltiplicato per 1 = 1 = 1 )

92

− (cancellando la seconda riga e la prima colonna si ha il 0 = 0 che va

A = 0 = 0

21 ( ) ( )

+

− − −

2 1 3

poi moltiplicato per 1 = 1 = 1 ) −1 −1

− (cancellando la seconda riga e la seconda colonna si ha il =

A = 1

22 ( ) ( )

+

− − +

2 2 4

che va poi moltiplicato per 1 = 1 = 1 )

Dunque: −

 

5 3

 

A * = −

 

0 1

 

1 0 1

 

 

c) A = 3 5 4

 

 

1 1 0 ≥

Anche per le matrici di ordine n 3 si può applicare la regola analizzata nel caso n = 2, chiaramente con le

opportune variazioni.

Pertanto si ha:

 

A A A

11 12 13

 

 

A * = A A A

21 22 23

 

 

A A A

31 32 33

Restano da calcolare gli A , complementi algebrici degli elementi a .

ij ij

Quindi otteniamo:

− 5 4 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ + ⋅ +

1 1 2

A = 1 = 1 5 0 1 4 = 1 4 = 4

11 1 0

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la prima riga e la prima colonna di A)

3 4 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −

1 2 3

A = 1 = 1 3 0 4 1 = 1 4 = 4

12 1 0

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la prima riga e la seconda colonna di A)

3 5 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − − − ⋅ + ⋅ − +

1 3 4

A = 1 = 1 3 1 5 1 = 1 3 5 = 2

13 1 1

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la prima riga e la terza colonna di A)

0 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

2 1 3

A = 1 = 1 0 0 1 1 = 1 1 = 1

21 1 0

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la seconda riga e la prima colonna di A)

93

1 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − −

2 2 4

A = 1 = 1 1 0 1 1 = 1 1 = 1

22 1 0

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la seconda riga e la seconda colonna di A)

− 1 0 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

2 3 5

A = 1 = 1 1 1 0 1 = 1 1 = 1

23 1 1

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la seconda riga e la terza colonna di A)

0 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅

3 1 4

A = 1 = 1 0 4 5 1 = 1 5 = 5

31 5 4

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la terza riga e la prima colonna di A)

− 1 1 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ −

3 2 5

A = 1 = 1 1 4 3 1 = 1 4 3 = 1 7 = 7

32 3 4

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la terza riga e la seconda colonna di A)

1 0 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ + ⋅

3 3 6

A = 1 = 1 1 5 0 3 = 1 5 = 5

33 3 5

×

(il determinante 2 2 è stato ottenuto cancellando la terza riga e la terza colonna di A)

Dunque la matrice cercata è:

 

4 4 2

 

− − −

 

A * = 1 1 1

 

 

5 7 5

 

1 1 0

 

 

d) A = 0 1 0

 

 

2 0 1

Calcoliamo, in primo luogo, come fatto nei precedenti esempi, i complementi algebrici relativi agli elementi

della matrice data. Risulta allora:

1 0

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

1 1 2 ;

A = 1 = 1 1 1 0 0 = 1 1 = 1

11 0 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

1 2 3 ;

A = 1 = 1 0 1 2 0 = 1 0 = 0

12 2 1

0 1

( ) ( ) ( ) ( )

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − −

1 3 4 ;

A = 1 = 1 0 0 2 1 = 1 2 = 2

13 2 0 94


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Istituzioni di matematica su matrici e determinanti, con la spiegazione di vari concetti, tra i quali: il concetto di matrice, teoremi ed esercitazioni, i minori, ordine di un minore, matrici quadrate e rettangolari, esercizi, il determinante di una matrice, sistemi di equazioni lineari a due e più incognite.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in architettura (ciclo unico)
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher trick-master di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Istituzioni di matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Bisconcini Maria Francesca.

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