Geometria - Matrici e sistemi lineari

Matrici e sistemi lineari

Definizione

Siano m, n € N*. Una matrice di tipo (m,n) [o anche una matrice m x n] ad elementi (detti entrate) in un campo K è una tabella di mn elementi di K disposti su m righe e n colonne. M_mn(K) è l’insieme delle matrici di tipo (m,n) ad elementi in K.

Se m=n, scriverò M_m(K) e dirò che è l’insieme delle matrici quadrate di ordine m.

Sia A= (a_iy) € M_mn(K) con i = 1,…, m e y=1,…,n.

• a_iy si dice elemento di posto i,y di A
• (a_i1, a_i2, a_i3, … , a_in) € K si dice riga i-esima di A, la colonna è detta, invece colonna y-esima di A

Vettore riga e vettore colonna

Chiameremo R_i la i-esima riga e R_i è detto vettore riga. Chiameremo, invece, C_j la j-esima colonna e C_j è detto vettore colonna.

Matrice trasposta

Sia A = (a_ij) € M_mn(K). La matrice A^T € M_nm(K) che si ottiene scambiando le righe con le colonne di A si dice trasposta di A.

Osservazione: (A^T)^T = A cioè la trasposta di una trasposta è uguale alla matrice di partenza.

Matrice simmetrica

Sia A = (a_ij) € M_n(K). A si dice simmetrica se la trasposta A^T = A, cioè a_ij = a_ji ∀ i ≠ j.

Diagonali e diagonale

Sia A € M_n(K), gli elementi a₁₁, a₂₂, a₃₃, …, a_nn si dicono diagonali e formano la diagonale principale di A.

Sottomatrice

Sia A € M_mn(K), una sottomatrice di A è una matrice che si ottiene da A cancellando un numero intero 0 ≤ r ≤ m di righe e un numero intero 0 ≤ s ≤ n di colonne. Le sottomatrici quadrate di A si dicono minori di A.

Triangolare superiore e inferiore, diagonale e identità

Sia A € M_n(K).

Una matrice A € M_n(K) = (a_ij) t.c. a_ij = 0 per i > j si dice triangolare superiore.

A si dice triangolare inferiore se a_ij = 0 per i < j.

A si dice diagonale se a_ij = 0 per i ≠ j.

La matrice I_n = (δ_ij) € M_n(K) t.c. δ_ij = {1 se i = j, 0 se i ≠ j} si dice matrice unità o identità di ordine n.

Operazioni con matrici

N.B. V A = (a_ij) € M_mn(K), B = (b_ij) € M_mn(K) e V λ € K

Poniamo

• A+B = (a_ij + b_ij) € M_mn(K)
• λA = (λa_ij) € M_mn(K)

Con queste operazioni M_mn(K) è uno spazio vettoriale su K. Infatti:

• La somma è associativa e commutativa
• Lo 0 di M_mn(K) è la matrice che ha tutti gli elementi nulli
• V A = (a_ij) € M_mn(K) l’opposta è -A = (-a_ij) € M_mn(K).
• E sono verificate le altre quattro proprietà.

Prodotto tra matrici

Prodotto tra vettori riga e tra vettori colonna

Consideriamo una matrice R € M_1p(K) (=K¹) e una seconda matrice che ha tante righe quante sono le colonne di R: C € M_p1(K) (=K¹).

Definiamo R C = (C₁) = (∑t=1 a_1t b_t1) = (a₁₁ b₁₁ + a₁₂ b₂₁ + a₁₃ b₃₁ + … + a_1p b_p1).

N.B. per poter calcolare il prodotto di due matrici, il numero delle colonne della prima matrice deve essere necessariamente uguale al numero di righe della seconda matrice. La matrice risultante avrà quindi tante righe quante sono le righe della prima matrice e tante colonne quante sono le colonne della seconda matrice.

Attenzione!! Il prodotto righe per colonne non è commutativo!

Prodotto AB e BA

Sia A = (a_ij) € M_mn(K) e B = (b_ij) € M_np(K). È quindi possibile calcolare il prodotto AB poiché le colonne di A sono tante quante le righe di B, ma non posso fare BA perché le colonne di B non sono tante quante le righe di A.

Di conseguenza AB ≠ BA.

Anche nel caso particolare in cui m = n e quindi A = (a_ij) € M_mn(K) e B = (b_ij) € M_nm(K) si ha che AB ≠ BA.

Inoltre anche nel caso ancora più particolare in cui si considerano due matrici quadrate dello stesso ordine e quindi A = (a_ij) € M_n(K) e B = (b_ij) € M_n(K) si ha che AB ≠ BA.

Proprietà del prodotto tra matrici

Siano A,B € M_mn(K) e C,D € M_np(K).

• Allora la somma di A e B è distributiva rispetto al prodotto di una matrice per cui si può moltiplicare, cioè: (A+B)C = AC+BC e A(C+D) = AC+AD
• V λ € K si ha che: λ (AC) = (λA) C = A( λC)
• Siano A € M_mn(K) e B € M_np(K) e C € M_pq(K), allora si può fare: (AB)C = A (BC)
• L’ordine con cui vengono moltiplicate le matrici va rispettato perché il prodotto non è commutativo.
• Si ha anche che (AB)^T = B^TA^T

Osservazioni

1. Siano A = (a_ij) € M_mp(K) e B = (b_ij) € M_pn(K), quest’ultima matrice, però, la consideriamo come insieme delle sue righe, ogni singola riga è R_p = (b_p1 b_p2 … b_pn). Allora la i-esima riga di AB è: a_i1 R₁ + a_i2 R₂ + … + a_ip R_p.
2. Siano A = (C₁ C₂ &h