Geometria - Matrici e sistemi lineari

T

Questo ci dice A è invertibile e l’inversa della trasposta è:

T -1 -1 T

(A ) = (A )

4. sia A invertibile e AB = I. Proviamo che anche BA = I:

BA = IBA = (A-1A)BA = A-1(AB)A = A-1IA poiché per ipotesi AB = I

Poiché A è invertibile e quindi: I = A-1A = AA-1 = I

Quindi: AB = BA = I

E per definizione B è l’inversa di A

Matrici di forma a scala e matrici totalmente ridotte per righe

Matrici di forma a scala

Sia A € M (K), A si dice di forma a scala se:

mn

1. le eventuali righe nulle di A sono le ultime (cioè in fondo)

2. il primo elemento non nullo (PIVOT) di ciascuna riga non nulla è 1 e appartiene ad una

colonna che ha nulli tutti gli elementi al di sotto di esso.

3. i pivot sono in scala decrescente da sinistra a destra occupando un posto il cui indice di

colonna è ≥ dell’indice di riga.

Osservazione

A € M (K) di forma a scala A triangolare superiore.



n

Matrici totalmente ridotte per righe

Sia A € M (K), A si dice totalmente ridotta per righe se:

mn

1. le eventuali righe nulle di A sono in fondo.

2. il primo elemento non nullo di ciascuna riga non nulla è 1 e appartiene ad una colonna che

ha nulli tutti gli altri elementi

3. i pivot sono su scala decrescente da sinistra a destra occupando un posto il cui indice di

colonna è ≥ dell’indice di riga.

Osservazione

Sia A € M (K) totalmente ridotta per righe allora A è di forma a scala. N.B. non è vero il viceversa!

mn

Operazioni e matrici elementari

Operazioni elementari tra matrici

Sia A € M (K).

mn

Si dicono operazioni elementari eseguite sulle righe di A le seguenti:

1. scambiare la i-esima riga con la j-esima. In simboli : R R



i j

2. moltiplicare R per uno scalare λ € K-{0}. in simboli : R λ R



i i i

3. sostituire alla i-esima riga la somma della i-esima con la j-esima moltiplicata per λ € K. In

simboli : R R + (λ)R



i i j

Si dicono operazioni elementari eseguite sulle colonne di A le seguenti:

1. C C



i j

2. C λ C con λ € K – {0}



i i

3. C C + λ C con λ e K



i i j

Matrici elementari

Sia A € M (K).

mn

1. scambiare due righe della matrice A (R R ) equivale a moltiplicare a sinistra A pe la



i j

matrice E che si ottiene da Im scambiando la i-esima con la j-esima riga. E è invertibile e

ij ij

-1

(E ) = E

ij ij

2. mandare la riga i-esima in λ volte se stessa (R λ R con λ € K-{o}) equivale a



i i

moltiplicare a sinistra A per la E (λ) che si ottiene da Im moltiplicando la riga i-esima per λ.

i

-1

E (λ) è invertibile e [E (λ)] = E (1/λ)

i i i

3. sommare a R λ volte la riga j-esima (R R +λR ) equivale a moltiplicare a sinistra per la



i i i j

matrice E (λ) che si ottiene da Im sommando alla i-esima riga la j-esima moltiplicare per λ.

ij -1

E (λ) è invertibile, [E (λ)] = E (-λ)

ij ij ij

Sia A € M (K).

mn

1. a C C corrisponde moltiplicare a destra A per E .



i j ij

2. a C λ Ci corrisponde moltiplicare a destra A per E (λ)



i i

3. a C C +λC corrisponde moltiplicare a destra A per E (λ)



i i j ij

Indicheremo genericamente E , E (λ), E (λ) con E

ij i ij i

e le chiamerò matrici elementari.

Definizione

A, B € M (K) si dicono equivalenti per righe se si ottengono l’una dall’altra mediante un numero

mn

finito di operazioni elementari eseguite sulle righe di A, cioè:

E …E E A = B

k 2 1

con E matrici elementari.

i

Algoritmo di Gauss

Sia A € M (K) – {0}. Esistono U di forma a scala e U’ totalmente ridotta per righe equivalenti per

mn

righe ad A.

Sia Cj la prima colonna non nulla di A.

1° passo: sia a ≠ 0 su Cj. Scambiamo la R con (1/a ) R . Ottenendo il primo pivot.

ij 1 ij i

2° passo: per i = 2,…,m R R – a R



i i ij 1

Ottenendo così nulli tutti gli elementi sotto il primo pivot.

Consideriamo la sottomatrice A ottenuta da A cancellando al prima riga. In questa matrice cerco la

2

prima colonna non nulla e faccio il 1° (iterativo) e 2° passo (iterativo).

Dopo un numero finito di passi si arriva ad U di forma a scala equivalente per righe ad A.

Si arriva, successivamente, ad U’ partendo dalla prima riga non nulla incominciando dal fondo e

facendo venire 0 sopra ai pivot con operazioni analoghe.

Proposizione

Sia A € M (K).

n

A è invertibile se e solo se () riducendo totalmente per righe A si ottiene I .

n

Dimostrazione

Si procede dimostrando in primo luogo la prima implicazione del “se e solo se” e successivamente

la seconda.

() Per ipotesi A è invertibile. Riduco totalmente per righe A utilizzando l’algoritmo di Gauss.

Allora esistono E E …Ek matrici elementari tali che E …E E A = U’ con U’ € M (K) totalmente

1 2 k 2 1 n

ridotta per righe.

Supponiamo per assurdo che U’ ≠ I quindi U’ ha almeno una riga (o colonna) nulla e di

n

conseguenza U’ non è invertibile. Ma questo è assurdo perché prodotto di matrici invertibili.

() per ipotesi vale l’equazione E …E E = I che chiameremo (*).

k 2 1 n

Le Ei sono invertibili di conseguenza lo è anche il suo prodotto.

Moltiplichiamo a sinistra ambo i membri di (*) ottenendo:

1-1 2-1 k-1 -1 -1 k-1

(E E …E )(E …E2E1)A=E1 E2 …E

k

Siccome 1-1 2-1 k-1

(E E …E )(E …E2E1) = I

k

Si ha che: 1-1 2-1 k-1

IA = E E …E

E quindi: 1-1 2-1 k-1

A = E E …E

Quindi A è invertibile perché prodotto di matrici invertibili.

Metodo per calcolare la matrice inversa oppure per concludere che la matrice non è

invertibile -1

Sia A € M (K). Per dire se A è invertibile e se sì calcolare A , si riduce totalmente per righe A.

n

moltiplicando per le stesse matrici elementari la matrice I affiancata ad A nel seguente modo:

n

(A| I ) (E …E E A| E …E E I ) = (U’| E …E E )



n k 2 1 k 2 1 n k 2 1

Si hanno due possibilità:

1. U’ ≠ I ( e ha almeno una riga o una colonna nulla) di conseguenza A non è invertibile (per

n

proposizione precedente).

2. U’ = I quindi A è invertibile tale che:

E …E E A = I

k 2 1

Si può concludere per la proprietà (4) delle inverse:

-1

E …E E è A e compare a destra di U’ = I

k 2 1

Sistemi lineari

Sistema lineare di m equazioni in n incognite

Dato un insieme lineare Σ di m equazioni in n incognite,

a x + a x +…+ a x = b

11 1 12 2 1n n 1

a x + a x +…+ a x = b

21 1 22 2 2n n 2

Σ = …

a x + a x +…+ a x = b

m1 1 m2 2 mn n m

si dice soluzione di Σ l’insieme: n

(x , x , …, x ) € K

1 2 n

tale che a x + a x +…+ a x = b

11 1 12 2 1n n 1

a x + a x +…+ a x = b

21 1 22 2 2n n 2

…

a x + a x +…+ a x = b

m1 1 m2 2 mn n m

Se Σ ha soluzioni si dice compatibile o risolubile, se il sistema non ha soluzioni si dice

incompatibile o irresolubile.

Consideriamo una matrice A = (a ) che ha tante righe quante sono le soluzioni del sistema e tante

ij

colonne quante sono le incognite del sistema, una seconda matrice b che ha tante righe quanti sono i

termini noti del sistema e una terza matrice x che ha tante righe quante sono le incognite di Σ.

A si dice matrice incompleta di Σ, x si dice vettore colonne delle incognite e b si dice vettore

colonna dei termini noti di Σ.

La matrice (A|b) si dice matrice completa di Σ e si ha che Σ : Ax = b.

Definizione

n

x € K tale che Ax = b si dice soluzione di Σ.

Un sistema con tutti i termini noti nulli si dice omogeneo:

Σ : Ax = 0

Osservazione

Σ : Ax = 0 con A € M (K).

mn n

Il vettore colonna x € K con tutti i termini nulli è soluzione di Σ omogeneo. Questo ci dice che Σ è

compatibile.

0 si dice soluzione banale di Σ, mentre una soluzione non banale di un sistema omogeneo è:

n

x € K – 0 tale che Ax = 0

quindi un sistema omogeneo ha sempre una soluzione banale ma può anche avere soluzioni non

banali.

Sistemi equivalenti

Siano Σ : Ax = b e Σ’ : A’x = b’ con A, A’ € M (K).

mn

Questi sistemi lineari si dicono equivalenti se e solo se () hanno tutte e sole le stesse soluzioni.

Si hanno sistemi equivalenti con le seguenti operazioni:

1. scambiando due equazioni

2. moltiplicando entrambi i membri di una equazione per λ € K – {0}

3. sommando ad una equazione un’altra equazione moltiplicata per λ € K

4. togliendo equazioni che sono combinazioni lineari delle altre.

Osservazione

Siano (A|b) e (A’|b’) equivalenti per righe allora Σ : Ax = b e Σ’ = A’x = b’ sono equivalenti.

Risoluzione di un sistema lineare

Sia Σ : Ax = b con A € M (K). Applicando l’algoritmo di Gauss alla matrice completa di Σ avrò

mn

che il vettore colonna b può risultare essere equivalente alla soluzione di Σ.

(A|b) applicando algoritmo di Gauss (A’|b’) dove A’ è di forma a scala

 

In generale, possono accadere tre cose:

1. se nella matrice di forma a scala (A) c’è una riga di tutti elementi nulli e il corrispondente

elemento della matrice b non è nullo allora Σ è incompatibile.

Se non si verifica la 1 si possono avere due possibilità:

2. il numero dei pivot è uguale al numero delle incognite e quindi il sistema è risolubile e ha

una sola soluzione che si trova con il metodo di sostituzione a ritroso, o riducendo

totalmente.

3. il numero dei pivot (ρ) è inferiore al numero delle incognite (n) e quindi il sistema è

n-ρ

risolubile e ha ∞ soluzioni che si trovano tenendo a primo membro di ciascuna equazione

le incognite che hanno in almeno un’ equazione come coefficiente un pivot e portando a

secondo membro le altre (n- ρ) che saranno trattate come parametri.

A questo punto si ricade nel caso 2.

Determinanti

Sia A = (a ) € M (K) e sia (a *) il minore (con minore si intende una sottomatrice quadrata) che si