Matematica 1 (dimostrazioni)

MATEMATICA 1

DIMOSTRAZIONI:

1. ESISTE UN ELEMENTO DI _Q CHE MI DESCRIVE QUEL PUNTO?

   Ragioniamo per assurdo.

   TESI: x ∉ _Q, io allora nego la tesi: x = m/n con m,n ∈ ℤℤ.

   Usiamo Pitagora: x² = 1² + x² = 1₂ = 2 → m² = 2n², allora anche m²

   quindi m = k: 2xM² = 2k² n² 2k² = 2k² M ,

2. _ZW = Ẑ · _W

   a + ib, wc = id → Ẑ · _W = (a - ib)(c + id) = ac - iad - ibc + db

   (ac - bd) -i (ad + bc)

   AUGUALI

3. _ZW = Ẑ_W

   w = (ac + bd) - (ib), a

   i (b² - ad + b)

   UGUALI

4. Ẑ · _W = ΩUẐs

   (a - i) (b) a² + b²

   UGUALI

5. Sia _an una successione. Se il limite di _an esiste, allora è unico.

   Ragioniamo per assurdo.

   Supponiamo che 3∃l₁, 3∃l₂ e _l ϵ ℝ

6. Se b - a allora z ∈ ℝ
7. Da 2 seguie che |_an − _{an an}

   l_an l_an IMPOSSIBLE

8. Cosa vuol dire che una serie è convergente?

   Dissi: una serie _Σan è quella somma delle somme parziali è convergente

   così

   lim _{T n}

   Contraddizione

MATEMATICA 1

DIMOSTRAZIONI:

1. ESISTE UN ELEMENTO DI _Q che mi descrive quel punto?

   Ragioniamo per assurdo. TESI: x ∈ Q, io allora nego la tesi: x ∉ Q ⇔ altrimenti x ∈ Q.

2. 2 ‍ w = 2 ⋅ _w

   a + ib, w = c + id = z, w (a - ib) (c + id) = (ac - bd) + i(bc + ad) = z, w = (ac - bd) - i(bc + ad)

3. 2 ‍ w = z, w

   a + ib, w = c + id = (a + c) + i(b + d), 2 ‍ w = (a + c) - i(b + d)

4. z = z ⇔ z ∈ R

   TESI: z ∈ R allora z = z, quindi z = z

5. z ⋅ _z = |z|²

   a + ib, z = z = (a - ib) = (a² + b²)

6. Sia a_n una successione. Se il limite di a_n esiste, allora ë unico.

7. Cosa vuol dire che una serie è convergente?

   Σ a_n è convergente se la successione delle somme parziali è convergente.

Dimostrazione criterio della radice

1) Sia 0 ≤ L < 1

Prendo un ε > 0 tale che L + ε < 1

Scopriamo che L = lim _n→∞ ⁿ√a_n. Allora ∃ _n̅∈ ℕ: |ⁿ√a_n - L| < ε ∀n > n̅

Quindi ⁿ√a_n - L < ε ∀n > n̅

Serie Geometrica di ragione L + ε

L < 1 + ε < 1

2) L > 1

Prendo ε > 0: L - ε > 1

⇒ ∃ _n̅∈ ℕ: |ⁿ√a_n - L| < ε ∀n > n̅

Quindi: ⁿ√a_n - L < -ε ∀n > n̅

L - ε > 1 ➜ L > 1 + ε ➜ divergente ⇾ ∞

Per il teorema del confronto, anche a_n diverge a + ∞.

Sia ∑a_n una serie. Se è assolutamente convergente, allora è anche convergente.

0 ≤ a_n + |a_n| ≤ 2|a_n|

|a_n| è convergente

Dimostrazione del teorema degli zeri.

Supponiamo che f(a) > 0 e f(b) < 0

Sia d₁ = ^a+b/₂ = Punto di mezzo tra a e b

• Può essere che f(d₁) = 0

Nel caso sfortunato devo ripetere questo ragionamento infinite volte. Quindi ottengo una successione di punti (d_n) convergente. ⇒ &Exist; c ∈ (a,b): d_n → c

Dato che f è continua, segue che f(d_n) → f(c)

L'unica possibilità è che f(c) = 0

Per trovare uno zero di f (cioè un punto c per cui f(c) = 0) si può procedere per approssimazioni successive

Dimostrazione del teorema dei valori intermedi

Per il teorema di Weierstrass, esistono il punto di minimo e il punto di massimo per f

Fisso y ∈ [m,M] (y = -2) Costruisco g: [x̄,x] → ℝ

x + f(x) + 2 g con x̄ = Fisso x₀ ∈ [x̄,x]

Fisso z_n → x₀

g(z_n) = f(z_n) - y + f(x₀) - y = g(x₀) g è continuo in x₀

• Posso Applicare il teorema degli zeri a g → g(x̄) . g(x) < 0
• g(x̄) = f(x̄) - y - M - y ≥ 0
• In questo caso il teorema degli zeri dice che &Exist; c ∈ (x̄,x) : g(c) = 0

0 > g(c) = f(c) - y ⇒ f(c) = y

Dim. Teorema di Rolle.

1^o CASO) funz. costante, cioè f(x) = k                 ∀x ∈ [a,b]

2^o CASO) funz. non costante:

f: [a,b] → ℝ ed è continua →

il teorema di Weierstrass garantisce l'esistenza di un min e un max.

• Se _c∈(a,b), _b Per il teorema di Fermat f'(x_m)=0 Mi basta prendere c=x_m
• Se _m∈(a,b) x_m =^f(b)−f(a) x_c=cx_mx_b=^x‾

Dato che f non è costante ⇒ Per il teorema di Fermat f'(x_m)=0 Mi basta prendere x_m=c

Dimostrazione Teorema di una funzione crescente

IPOTESI: f è crescente in senso lato TESI: f'(X) ⇛ ∀ x ∈ I

fisso x0 ∈ I f'(x0)=limh→0f(x0+h)-f(x0)h=limh→0+f(x0+h)−f(x0) f è derivabile in x0

f(x₀+h)−f(x₀)>

Quindi: f'(x0)=limh→0+f(x0+h)−f(x0)h≥0 ⇒ f'(x0) ≥ 0

IPOTESI: f'(x)^'> 0 ∀ x∈I TESI: f è crescente in senso lato ⇛ x₁ < x₂ ⇛ f(x₁) ≤ f(x₂)

Prendo x₁0 a≠1

lim_h→0 [(f(x₀+h) - f(x₀)) / h] = lim_h→0 [a^x₀+h - a^x₀] / h = lim_h→0 [x₀(a^h-1)] / h = a^x₀ lim_h→0 [a^h-1] / h

a^x₀ lim_h→0 [e^{h log(a)}-1] / h = a^x₀ lim_h→0 [h log(a)] / h = a^x₀log(a) ∈ℝ

f'(x) = a^xlog(a)

20

D[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)

lim_h→0 [f(x_o + h) - f(x_o) + g(x_o + h) - g(x_o)] / h = lim_h→0 [f(x_o + h) - f(x_o)] / h + [g(x_o + h) - g(x_o)] / h

= lim_h→0 f(x_o + h) - f(x_o) / h + lim_h→0 g(x_o + h) - g(x_o) / h = f'(x_o) + g'(x_o)

21

D[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

lim_h→0 [f(x_o + h)g(x_o + h) - f(x_o)g(x_o)] / h = lim_h→0 [f(x_o + h)g(x_o + h) - f(x_o + h)g(x_o) + f(x_o)g(x_o + h) - f(x_o)g(x_o)] / h

= lim_h→0 [f(x_o + h) - f(x_o) / h f(x_o)] + f(x_o)[g(x_o + h) - g(x_o) / h]

= g(x)f'(x) + f(x)g'(x)

22

D[f(x) / g(x)] = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / g²(x)

lim_h→0 [f(x_o + h) / g(x_o + h) - f(x_o) / g(x_o)] = lim_h→0 [f(x_o + h)g(x_o) - g(x_o + h)f(x_o)] / [g(x_o + h)g(x_o)]

= lim_h→0 [f(x_o + h)g(x_o) - f(x_o)g(x_o + h)] / [g(x_o + h)g(x_o)]

= 1 / g²(x_o) lim_h→0 [f(x_o + h)g(x_o) - f(x_o)g(x_o + h)] / h

= 1 / g²(x_o) lim_h→0 [g(x_o)(f(x_o + h) - f(x_o)) - f(x_o)(g(x_o + h) - g(x_o))] / h

= (g(x)f'(x) - f(x)g'(x)) / g²(x)