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Matematica - teoria elementare degli insiemi - Appunti Appunti scolastici Premium

Appunti con slide della lezione del professor Pappalardo sulla teoria degli insiemi di matematica inerente alla descrizione della terminologia e dei simboli, metodo della matematica (postulati, assiomi, teoremi e presupposti), descrizione dei vari tipi di insiemi (rappresentazione... Vedi di più

Esame di Matematica docente Prof. F. Pappalardo

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University of Catania Lezioni di Matematica 2

Terminologia e simboli

La matematica, come ogni altra disciplina scientifica, utilizza oltre

linguaggio comune un proprio linguaggio che serve a rendere con

precisione e brevitá le proposizioni riguardanti gli enti di cui si

occupa. Esso fa largo uso di simboli di cui ora ricorderemo

brevemente il significato.

Slide 2 Abbreviazioni e loro significato

• C.N. significa condizione necessaria;

• C.S. significa condizione sufficiente;

• C.N.S. significa condizione necessaria e sufficiente;

• c.v.d. significa, com’é usuale, come volevasi dimostrare.

e=AND, o=OR

Quando all’interno delle proposizioni faremo uso delle congiunzioni

Slide 3 e ed o intenderemo con esse rispettivamente l’intersezione logica

∧’)

(spesso indicata anche con AND oppure e l’unione logica

(anche indicata con OR oppure ).

University of Catania Lezioni di Matematica 3

Implicazione:⇐ ,⇒ ,

Siano P e Q due proposizioni.

Diremo che P implica Q se ogni volta che P é vera lo é anche Q e

scriveremo P Q.

Tale scrittura si legge equivalentemente nei modi seguenti:

Slide 4 P implica Q, oppure da P segue Q, oppure C.N. perché sia P vera é

che lo sia Q, oppure C.S. perché Q sia vera é che lo sia P.

⇒ ⇒ ⇔

Se P Q e Q P si scrive P Q e si dice che P equivale a Q

(oppure C.N.S. affinché P sia vera é che Q sia vera, P vale se e

soltanto se vale Q).

In alcuni casi si usa anche scrivere P sse Q, intendendo con questo

P é vera é vera Q.

se e solo se

∃, ∀

Quantificatori:

Essi rendono piú rapido e preciso il linguaggio.

Il loro significato é il seguente:

∀:

1. per ogni, qualunque sia.

Slide 5 ∃:

2. esiste (almeno un).

La negazione é sempre data dal segno / sopra il simbolo in

questione. ∄

Ad esempio, significa non esiste (alcun); analogamente la

6

negazione di uguaglianza é indicata con il simbolo =.

University of Catania Lezioni di Matematica 4

Il Metodo della Matematica

Il metodo comunemente usato in matematica consiste nel precisare

senza ambiguitá i presupposti(le regole del gioco), che non

possono essere cambiati nel corso dell’elaborazione della teoria, e

Slide 6 del dedurre, con passaggi logici, da tali presupposti il maggior

numero di informazioni.

I presupposti vengono chiamati postulati o Assiomi;

Da questi, mediante dimostrazioni logiche, vengono dedotti i

risultati nella forma di teoremi (corollari, proposizioni).

Lezione 1

Slide 7 Teoria elementare degli Insiemi

University of Catania Lezioni di Matematica 5

Insiemi

La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i

giorni; si parla dell’ insieme:

• degli iscritti ad un corso di laurea

• delle stelle in cielo

Slide 8 • dei punti di un piano

Un insieme é semplicemente una collezione di oggetti detti

elementi dell’insieme.

Gli insiemi sono completamente caratterizzati dai loro elementi:

due insiemi sono uguali (cioé sono lo stesso insieme) se contengono

gli stessi elementi. Questaa affermazione viene detta principio di

estensionalitá.

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole A, B, C, ....

Gli elementi che fanno parte degli insiemi si indicano con le lettere

minuscole a, b, c, ....

Per descrivere e precisare quali siano gli elementi di un insieme si

Slide 9 possono utilizzare varie rappresentazioni:

• rappresentazione tabulare;

• rappresentazione grafica;

• rappresentazione caratteristica

University of Catania Lezioni di Matematica 6

Rappresentazione Tabulare

Esempio 2.

L’insieme B formato dalle vocali dell’alfabeto italiano ha la

seguente rappresentazione tabulare:

Slide 10 { }.

B = a, e, i, o u

- Un insieme si dice finito quando é possibile

Definizione

scriverne la rappresentazione tabulare e tale scrittura ha termine.

In caso contrario si dice infinito.

Rappresentazione grafica

La rappresentazione grafica di un insieme consiste nel racchiudere i

suoi elementi in una linea chiusa.

Esempio 1. L’insieme A costituito dalle cifre del numero 1100 ha la

seguente rappresentazione grafica:

Slide 11 University of Catania Lezioni di Matematica 7

Esempio 2. L’insieme B formato dalle vocali dell’alfabeto italiano

ha la seguente rappresentazione grafica:

Slide 12 Rappresentazione caratteristica

La rappresentazione caratteristica di un insieme consiste nel

caratterizzare i suoi elementi con una proprietá comune detta

appunto proprietá caratteristica.

Slide 13 Esempio 1. L’insieme A costituito dalle cifre del numero 1100 ha la

seguente rappresentazione caratteristica:

{ }

A = numeri interi compresi tra 0 e 2

o equivalentemente {x ≤ ≤ }

A = numeri interi, 0 x 2

University of Catania Lezioni di Matematica 8

Esempio 2. L’insieme B formato dalle vocali dell’alfabeto italiano

ha la seguente rappresentazione grafica:

Slide 14 { }

A = vocali dell’alfabeto italiano

o equivalentemente {x: }

A = vocale dell’alfabeto italiano

Insiemi: Definizioni

U.

L’Universo

É bene fissare di volta in volta un universo di oggetti. denotato di

U.

solito con Gli insiemi che verranno considerati conterranno solo

elementi di tale universo.

Tipiche scelte per universo sono:

Slide 15 N l’insieme dei numeri naturali (cioé 0, 1, . . .).

Z N −1, −2,

l’insieme dei numeri interi (cioé tutto piú . . .)

Q Q Q

+

, , , l’insieme dei numeri razionali, l’insieme dei numeri

razionali positivi, e l’insieme dei numeri razionali negativi.

(N.B. I numeri positivi sono strettamente maggiori di 0. In

numeri negativi strettamente minori di 0).

University of Catania Lezioni di Matematica 9

L’insieme vuoto

• Definizione. Si definisce insieme vuoto l’insieme privo di

Slide 16 ∅.

elementi che si indica col simbolo

(Nota Nel caso degenere in cui l’universo é vuoto allora esso

coincide con l’insieme vuoto. )

Relazioni tra Insiemi: Simboli e significato

• ∈

Il simbolo di appartenenza:

Quando a denota un elemento e Q un insieme, scriveremo

a Q per dire che a appartiene a Q.

Scriveremo a / Q per dire che a non appartiene a Q.

∈ ∈ ∈

Scriveremo a, b Q per abbreviare: a Q e b Q.

Slide 17 • Insiemi Uguali A = B.

Definizione. Due insiemi A e B si dicono uguali quando sono

costituiti dagli stessi elementi, cioógni elemento di uno é anche

elemento dell’altro.

In questo caso si scrive: A = B.

• 6

Insiemi diversi A = B.

Se due insiemi A e B non sono eguali allora si

Definizione. 6

dice che A e B sono diversi e si scrive: A = B.

University of Catania Lezioni di Matematica 10

• Insiemi disgiunti . Definizione

Se nessun elemento di A sta in B, allora si dice che A e B sono

disgiunti.

• Se

Esempio 1.

Slide 18 {r, {t, →

A = t} e B = r} A = B.

• Esempio 2. Se

{a, {a, → 6

A = b, c} e B = d, e} A = B.

{a, {m, →

• Se A = b, c} e B = n, t} A e B sono

Esempio 3.

disgiunti. ⊆

L’inclusione - simbolo

Diremo che B é un sottoinsieme di A se ogni

Definizione.

elemento di B appartiene anche a A.

Si dice anche che B é incluso in A.

Scriveremo B A.

Slide 19 *

Per dire che B non é un sottoinsieme di A scriveremo B A .


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti con slide della lezione del professor Pappalardo sulla teoria degli insiemi di matematica inerente alla descrizione della terminologia e dei simboli, metodo della matematica (postulati, assiomi, teoremi e presupposti), descrizione dei vari tipi di insiemi (rappresentazione tabulare...).


DETTAGLI
Esame: Matematica
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in chimica e tecnologia farmaceutiche (5 anni)
SSD:
Università: Catania - Unict
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Chiakka87 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Catania - Unict o del prof Pappalardo Francesco.

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