Matematica - teoria elementare degli insiemi - Appunti

University of Catania lezioni di matematica

Teoria elementare degli insiemi

Lezione introduttiva

Slide 1: Terminologia e simboli

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Terminologia e simboli

La matematica, come ogni altra disciplina scientifica, utilizza oltre al linguaggio comune un proprio linguaggio che serve a rendere con precisione e brevità le proposizioni riguardanti gli enti di cui si occupa. Esso fa largo uso di simboli di cui ora ricorderemo brevemente il significato.

Slide 2: Abbreviazioni e loro significato

• C.N. significa condizione necessaria;
• C.S. significa condizione sufficiente;
• C.N.S. significa condizione necessaria e sufficiente;
• c.v.d. significa, com'è usuale, come volevasi dimostrare.

e=AND, o=OR Quando all'interno delle proposizioni faremo uso delle congiunzioni "e" ed "o" intenderemo con esse rispettivamente l'intersezione logica (spesso indicata anche con AND) e l'unione logica (anche indicata con OR).

Slide 3: Implicazione

Siano P e Q due proposizioni. Diremo che P implica Q se ogni volta che P è vera lo è anche Q e scriveremo P ⇒ Q. Tale scrittura si legge equivalentemente nei modi seguenti:

• P implica Q,
• oppure da P segue Q,
• oppure condizione necessaria perché sia P vera è che lo sia Q,
• oppure condizione sufficiente perché Q sia vera è che lo sia P.

Se P ⇒ Q e Q ⇒ P si scrive P ⇔ Q e si dice che P equivale a Q (oppure condizione necessaria e sufficiente affinché P sia vera è che Q sia vera, P vale se e soltanto se vale Q). In alcuni casi si usa anche scrivere P sse Q, intendendo con questo P è vera se e solo se è vera Q.

Slide 4: Quantificatori

Essi rendono più rapido e preciso il linguaggio. Il loro significato è il seguente:

• ∀: per ogni, qualunque sia.
• ∃: esiste (almeno uno).

La negazione è sempre data dal segno / sopra il simbolo in questione. Ad esempio, ∄ significa non esiste (alcun); analogamente la negazione di uguaglianza è indicata con il simbolo ≠.

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Slide 6: Il metodo della matematica

Il metodo comunemente usato in matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti (le regole del gioco), che non possono essere cambiati nel corso dell'elaborazione della teoria, e nel dedurre, con passaggi logici, da tali presupposti il maggior numero di informazioni. I presupposti vengono chiamati postulati o assiomi; da questi, mediante dimostrazioni logiche, vengono dedotti i risultati nella forma di teoremi (corollari, proposizioni).

Lezione 1: Teoria elementare degli insiemi

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Slide 5: Insiemi

La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell'insieme:

• Degli iscritti ad un corso di laurea
• Delle stelle in cielo
• Dei punti di un piano

Un insieme è semplicemente una collezione di oggetti detti elementi dell'insieme. Gli insiemi sono completamente caratterizzati dai loro elementi: due insiemi sono uguali (cioè sono lo stesso insieme) se contengono gli stessi elementi. Questa affermazione viene detta principio di estensionalità. Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole A, B, C, .... Gli elementi che fanno parte degli insiemi si indicano con le lettere minuscole a, b, c, ....

Slide 9: Rappresentazioni degli insiemi

Per descrivere e precisare quali siano gli elementi di un insieme si possono utilizzare varie rappresentazioni:

• Rappresentazione tabulare;
• Rappresentazione grafica;
• Rappresentazione caratteristica.

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Slide 6: Rappresentazione tabulare

Esempio 2. L'insieme B formato dalle vocali dell'alfabeto italiano ha la seguente rappresentazione tabulare.