Matematica Discreta

Matematica Discreta

• Funzione Parte Intera

In matematica, la funzione parte intera è la funzione che associa ad ogni numero reale x il più grande intero minore o uguale a x. È solitamente indicata con ⌊x⌋.

Esempio:

⌊2.3⌋ = 2

⌊-1.5⌋ = -2

Definizione:

Un numero m ∈ Z (intero) è pari ⇔ ∃ un numero k ∈ Z t.c. m = 2k

(è vero anche il viceversa)

In inglese un numero pari si indica così: E

Un'ulteriore notazione è Ⅱ

Definizione:

Un numero m ∈ Z (intero) è dispari ⇔ ∃ un num. k ∈ Z t.c. m = 2k+1

(è vero anche il viceversa)

In inglese si indica O

Un'ulteriore notazione è Ⅾ

• 0 è pari o dispari?

Facciamo la prova se è dispari: 0 = 2k + 1 Non è pari

"pari: 0 = 2k

k = 0 ⇒ 0 = 2⋅0 ⇒ è pari

• Dimostrare che 6a²b² è un numero intero e pari:

6a²b

a ∈ Z, b ∈ Z ⇒ 6a²b ∈ Z

6a²b = 2⋅(3a²b)

Dato che 3a²b è intero, moltiplicato per due è un numero pari:

⇒ 6a²b ∈ E

Definizione:

Un numero intero m ∈ Z, |m| > 1 è primo ⇔ per tutti gli interi positivi r,s, se m = r⋅s allora r o s è uguale ad m

∀ r,s ∈ Z, r,s > 0, se m = r⋅s ⇒ r = m o s = m

Matematica Discreta

• Funzione parte intera

In matematica, la funzione parte intera è la funzione che associa ad ogni numero reale x il più grande intero minore o uguale a x. È solitamente indicata con ⌊x⌋

Esempio: ⌊2.3⌋ = 2 ⌊-1.5⌋ = -2

Definizione:

Un numero m ∈ Z (intero) è pari ⟺ ∃ un num. K ∈ Z t.c. m = 2K (è vero anche il viceversa)

• In inglese un numero pari si indica così: E
• Un'ulteriore notazione è ||P

Definizione:

Un numero m ∈ Z (intero) è dispari ⟺ ∃ un num. K ∈ Z t.c. m = 2K + 1 (è vero anche il viceversa)

• In inglese si indica O
• Un'ulteriore notazione è ||D

• 0 è pari o dispari!?

Facciamo la prova: se è dispari: 0 = 2K + 1 NON È PARI " " " " pari: 0 = 2K K = 0 ⇒ 0 = 2 . 0 ⇒ 0 è pari

• Dimostrare che 6a²b² è un numero intero e pari. 6a²b, a ∈ Z, b ∈ Z ⇒ 6a²b ∈ Z

6a²b = 2 . (3a²b) Dato che 3a²b è intero, il moltiplicato per due è un numero pari.

⇒ 6a²b ∈ E

Definizione:

Un numero intero m ∈ Z, m > 1 è primo ⟺ per tutti gli interi positivi r, s, se m = r . s, allora r o s è uguale ad m

∀ r, s ∈ Z, r, s > 0 se m = r . s ⟹ r = m o s = m

DEFINIZIONE:

Un numero intero, m ∈ ℤ è COMPOSTO ⇔ m = t ⋅ s per alcuni numeri interi t ed s con 1 < t < m e 1 < s < m

m ∉ COMPOSTO ⇔ ∃ t, s ∈ ℤ, 1 < t, s > 0 t.c. m = t ⋅ s ≠ ∃ 1 < t < m 1 < s < m

• È vero che qualsiasi numero ≥ 4 è primo o composto?
• Consideriamo m = t ⋅ s
• Escludiamo le possibili coppie t; s
• t = 1 ed s = M
• t = M ed s = 1
• Dato che t, s > 0 ⇒ 1 ≤ t ≤ m 1 ≤ s ≤ m

Supponiamo che M sia PRIMO ⇒ 1 ≤ t ≤ m, Poiché M può essere uguale 1 ≤ s ≤ m ad t 0 a s = STOP

Supponiamo che M sia COMPOSTO ⇒ 1 ≤ t < M quindi, M ≠ 1 è uguale a 1 ≤ s < M

DIMOSTRAZIONE PROPOSIZIONI ESISTENZIALI

La proposizioni: ∃ x ∈ 𝔻, Q(x) è vera ⇔ Q(x) è vera per almeno un elemento ∈ 𝔻

• Possono essere utilizzati due metodi:
  1. Vedere la prop. e cercare uno x che la renda vera
  2. Scrivere un algoritmo per cui la proposizione è vera
• Entrambi metodi sono DIMOSTRAZIONI COSTRUTTIVE DI ESISTENZA
• Le dimostrazioni costruttive si svolgono partendo dalle condizioni inziali per ottenere tramite una serie di implicazioni logiche le condizioni della tesi.

DIMOSTRAZIONE PROPOSIZIONI UNIVERSALI

∀ x ∈ 𝔻, se è vera P(x) ⇒ è vera anche Q(x)

• Una prop. universale può essere dimostrata in due modi:
  1. Con un CONTROESEMPIO ovvero trovare una x che rende P(x) vera e ∃(y) falsa
  2. Dimostrando che l'opposto è vero

ESEMPIO 6 (Dimostrazione con controesempio)

Confutare con un controesempio ∀ a,b∈ℝ , a² =b² → a=b

CONTROESEMPIO: Prendiamo a=-1 b=-1

a² =b² ma a ≠ b perché 1 ≠ -1

Ulteri