Matematica - sistemi lineari

ESEMPIO:

Dato il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

2

− =

 x x 3

1 2

 + + =

x x x 0

 1 2 3

 + =

2 x x 4

 1 3 − −

   

1 1 0 1 1 0 3

   

la matrice incompleta è A = , la matrice completa è A’=

1 1 1 1 1 1 0

   

   

2 0 1 2 0 1 4

   

 

3

 

e il vettore colonna dei termini noti è b = .

0

 

 

4

 

Utilizzando la nozione di prodotto tra matrici, ogni sistema lineare

+ + + =

 a x a x ... a x b

11 1 12 2 1

n x 1

 + + + =

a x a x ... a x b

 21 1 22 2 2 n n 2

 ..........

.......... .......... ..........



 + + + =

a x a x ... a x b

 m

1 1 m 2 2 mn n m ⋅

può venir indicato anche con la seguente eguaglianza: A x = b

 

x

1

 

x

 

2

dove il vettore x = rappresenta le incognite del sistema.

 

...

 

x

 

n  

x

1

−

   

 

1 1 3 0

⋅ x

Ad esempio la scrittura A x = b con A = , x = e b =

   

 

2

−

2 1 2 1

   

 

x

 

3

rappresenta il seguente sistema lineare di due equazioni in tre incognite:

− + =

 x x 3 x 0

1 2 3

 + − =

2 x x 2 x 1

 1 2 3 ω

⋅

Se il vettore b dei termini noti è nullo, il sistema A x = si chiama omogeneo.

⋅ ω

⋅

Ogni sistema lineare A x = b ha quindi un sistema omogeneo associato A x = .

⋅

Risolvere il sistema A x = b significa trovare tutti i possibili vettori x* che

soddisfano la precedente equazione. 3

   

1 2 5

Per esempio il sistema con A = e b = ha come soluzione il vettore x* =

   

2 4 10

   

 

1 .

 

2

  Infatti: ⋅ + ⋅ =

 1 1 2 2 5

     

1 2 1 5 

⋅ = ovvero .

      ⋅ + ⋅ =

2 4 2 10

      2 1 4 2 10



   

1 3

Il vettore non è l’unica soluzione: infatti anche soddisfa il sistema dato.

   

2 1

   

Vale il seguente

Teorema di Rouchè-Capelli ⋅

Ogni sistema di equazioni lineari A x = b ammette soluzioni sse la matrice

incompleta A e quella completa A’ hanno lo stesso rango. In particolare, detto k il rango

della matrice A, possono presentarsi i seguenti tre casi:

- se r(A) < r(A’) il sistema è impossibile, ovvero non possiede alcuna soluzione;

- se r(A) = r(A’) = k con k = n (numero delle incognite), il sistema è

determinato, ovvero possiede una sola soluzione;

- se r(A) = r(A’) = k con k < n, il sistema è indeterminato, ovvero possiede

∞

infinite soluzioni (in tal caso si suole dire che il sistema ammette soluzioni dipendenti

n-k

da n - k parametri)

Il sistema di due equazioni in due incognite dell’esempio precedente ha infinite

soluzioni in quanto r(A) = r(A’) = 1<2.

Risoluzione di un sistema lineare di n equazioni in n incognite. Metodo della

matrice inversa e regola di Cramer. ⋅

Consideriamo il sistema di n equazioni in n incognite A x = b, con A matrice

quadrata di ordine n.

≠

Se detA 0 si ha che r(A) = r(A’) = n e pertanto il sistema ammette un’unica

≠

soluzione. Poiché per ipotesi detA 0, la matrice A è dotata di inversa  e risulta,

⋅

moltiplicando a sinistra ambo i membri i membri di A x = b per Â:

 · (A ·x) =  · b

Pertanto il sistema ha l’unica soluzione x = Â · b .

ESEMPIO

Risolvere il seguente sistema:

+ + =

 2 x x x 5

1 2 3

 − =

x x 3

 1 3

 − − =

x x 2 x 0

 1 2 3 4 ⋅

Scrivendo il sistema dato nella forma matriciale A x = b si ottiene:

 

x

   

2 1 1 5

1

 

   

− x

· = .

1 0 1 3

 

   

2

   

− −  

1 1 2 0

   

x

 

3 ≠

Essendo detA = -2 0 il sistema è determinato e la matrice A ammette l’inversa Â:

 

1 1 1

−

 

2 2 2

 

1 5 3

 

− −

 = 2 2 2

 

1 3 1

 

−

 

2 2 2

 

Risulta perciò:  

1 1 1 =

−  x 1

 

2 2 2 1

 

x 

     

5 1

1 1 5 3

  =

    x 5



 

− −

x

·b

x = Â = · = da cui

3 5

      2

2 2 2 2

  

   

−2

  0

   

x

  = −

1 3 1

  x 2

3 

− 3

 

2 2 2

 

Si può dimostrare che lo sviluppo del prodotto a secondo membro della soluzione x

1 +

⋅

·b,

= Â (essendo Â= ), fornisce le seguenti espressioni dei valori delle incognite

A

det A

x ,x ,…,x :

1 2 n    

b a ... a a b ... a

1 12 1

n 11 1 1 n

   

b a ... a a b ... a

   

2 22 2 n 21 2 2 n

det det

   

x = , x = , …,

... ... ... ... ... ... ... ...

1 2

   

b a ... a a b ... a

   

n n 2 nn n

1 n nn

det A det A

 

a a ... b

11 12 1

 

a a ... b

 

21 22 2

det  

x = .

... ... ... ...

n  

a a ... b

 

n

1 n 2 n

det A ⋅ ≠

In generale, dato un sistema di n equazioni in n incognite A x = b , se detA 0 il

sistema ammette l’unica soluzione data da:

(

1

) ( 2 ) ( n )

det A det A det A

= = =

, , …,

x x x

1 2 n

det A det A det A

5

dove A (i=1, …, n) è la matrice ottenuta sostituendo il vettore b alla i-esima colonna

(i)

di A. Il metodo di risoluzione ora presentato prende il nome di regola di Cramer.

ESEMPIO:

Risolviamo il sistema dell’esempio precedente con la regola di Cramer:

+ + =

 2 x x x 5

1 2 3

 − =

x x 3

 1 3

 − − =

x x 2 x 0

 1 2 3  

x

   

2 1 1 5

1

 

   

− x

· = con detA = -2.

1 0 1 3

 

   

2

   

− −  

1 1 2 0

   

x

 

3

Pertanto:

     

5 1 1 2 5 1 2 1 5

     

− −

− −

2 10 4

det 3 0 1 det 1 3 1 det 1 0 3

     

x = = =1, x = = = 5, x = =

1 2 3

− − −

     

− − − −

2 2 2

0 1 2 1 0 2 1 1 0

     

− − −

2 2 2

= -2 La regola di Cramer richiede un numero inferiore di calcoli per determinare la

soluzione del sistema, rispetto al metodo dell’inversa, ma tale regola è piuttosto impegnativa

quando n >3.

Risoluzione di un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Metodo di

Rouchè-Capelli.

Ogni sistema lineare di tipo

+ + + =

 a x a x ... a x b

11 1 12 2 1

n x 1

 + + + =

a x a x ... a x b

 21 1 22 2 2 n n 2

 .......... .......... .......... ..........



 + + + =

a x a x ... a x b

 m

1 1 m 2 2 mn n m

per cui r(A) = r(A’) si chiama compatibile. Il numero m delle equazioni può essere

maggiore, uguale o minore del numero n delle incognite.

Il metodo di Rouchè-Capelli consente di risolvere direttamente i sistemi lineari

compatibili, utilizzando il teorema di Rouchè-Capelli.

Consideriamo i seguenti esempi.

Risolviamo il sistema di m = 3 equazioni in n = 4 incognite

6

+ − + =

 2 x x x x 5

1 2 3 4

 + − + =

5 x x 3 x 4 x 10

 1 2 3 4

 − − + =

x x x 2 x 0

 1 2 3 4

Le due matrici incompleta e completa

− −

   

2 1 1 1 2 1 1 1 5

   

− −

A = e A’ =

5 1 3 4 5 1 3 4 10

   

   

− − − −

1 1 1 2 1 1 1 2 0

   

hanno lo stesso rango k = 2 (si osservi che la seconda riga si ottiene aggiungendo la

terza al doppio della prima quindi tutte le matrici del terzo ordine estratte hanno

determinante nullo). Il sistema è quindi compatibile.

Essendo k <n il teorema di Rouchè-Capelli ci permette di affermare che il sistema

∞ ∞ ∞

ammette = = soluzioni; cioè infinite soluzioni dipendenti da 2 parametri.

n-k 4-2 2

Dobbiamo considerare solo k delle m equazioni del sistema, scegliendole in modo

che il rango della matrice dei coefficienti di queste abbia proprio il valore k = 2.

Basta quindi considerare il sistema costituito dalla prima e dalla terza equazione, in

 

2 1

quanto la matrice dei coefficienti delle incognite x e x ha determinante diverso da

 

1 2 −1

1

 

zero e quindi rango uguale a due.

Trasportiamo le altre n – k = 4 – 2 = 2 incognite al secondo membro, ottenendo il

sistema + = − +

 2 x x 5 x x

1 2 3 4

 − = − +

x x 2 x x

 1 2 3 4

Le incognite x3 e x4 assumono la funzione di parametro e il sistema diventa di tipo A

− +

   

5 x x

x

 

2 1 1 3 4

⋅ x = b con A = , x = e b = .

 

 

  − +

−1

1 x 2 x x

     

3 4

2

Questo, risolto con la regola di Cramer, dà:

− +

 

5 x x 1

3 4 − + − + −

det 5 x x 2 x x 5 2

  − +

− + −

x = = =

3 4 3 4 x x

2 x x 1



1 3 4

−

3 4 3 3

3

det A

− +

 