Matematica - sistemi lineari

Sistemi di equazioni lineari

In questo paragrafo accenneremo alla trattazione dei sistemi di equazioni lineari risolti mediante la teoria delle matrici e dei determinanti. Ci limiteremo ad illustrare il metodo di Cramer e il metodo di Rouché-Capelli per sistemi lineari di m equazioni in n incognite.

Ogni equazione a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b nelle incognite x₁, x₂, …, x_n, dove a₁, a₂, …, a_n e b sono numeri reali noti (rispettivamente denominati coefficienti delle incognite e termine noto), si dice lineare (o di primo grado).

Ogni insieme m di equazioni lineari in n incognite viene chiamato sistema lineare di m equazioni in n incognite e viene rappresentato nel seguente modo:

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂
• ...
• a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m

Dato un sistema di m equazioni in n incognite le matrici:

A =

A' =

Si chiamano rispettivamente matrice incompleta e matrice completa del sistema; il vettore b = (b₁, b₂, …, b_m) si chiama vettore colonna dei termini noti del sistema.

Osserviamo che le prime n colonne della matrice A' coincidono con quelle della matrice A e pertanto r(A) ≤ r(A') ovvero il rango della matrice incompleta non supera il rango della matrice completa.

Esempio

Dato il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite:

• x₁ - x₂ = 3
• x₁ + x₂ + x₃ = 0
• 2x₁ + x₃ = 4

La matrice incompleta è A =

E il vettore colonna dei termini noti è b = (3, 0, 4).

Utilizzando la nozione di prodotto tra matrici, ogni sistema lineare A x = b può venir indicato anche con la seguente eguaglianza:

A x = b dove il vettore x = (x₁, x₂, …, x_n) rappresenta le incognite del sistema.

Ad esempio, la scrittura A x = b con A =

• x₁ + 2x₂ + x₃ = 0
• -2x₁ + x₂ + 2x₃ = 1

Se il vettore b dei termini noti è nullo, il sistema A x = 0 si chiama omogeneo. Ogni sistema lineare A x = b ha quindi un sistema omogeneo associato A x = 0.

Risolvere il sistema A x = b significa trovare tutti i possibili vettori x* che soddisfano la precedente equazione.

Per esempio, il sistema con A =