Matematica discreta - sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari

Esempio

risolvere:

x - x + y + z = 2 -2y + z = -2 x + y + z = 2

3 * 0 = 6 * 2 = 0 2y - z = -2 3 * 0 = 6 * 2 = 0 z = -1

adesso posso già vedere la sol:

x + 2y - 1 = -2 -2y = -1 z = -1

x = 2 y = 1/2 z = -1

Poi posso anche procedere:

x + y + z = 2 2y - z = -1

P₁: x = z P₂: uguale

ogni equazione determina un piano in R³. Quindi ridurre il sistema a trovare i punti in comune dei 3 piani.Se due piani non sono paralleli allora:

• solo 1 punto in comune
• una retta in comune
• nessun punto in comune

se due dei piani sono paralleli (e diversi) allora no c'è nessun punto in comune se due dei piani sono uguali allora i tre piani hanno almeno una retta in comune, nessun punto in comune o i tre piani sono uguali

Esempio

risolvere

x + y + z + 7 = 0 4x - 5y + 6z = 3 7t + 8y + 9z + 7 = -8 x + 2y + 3z = 0 4x + 5y + 6z = -6 7x + 8y + 9z = 5

x + 2y + 3z + 7 = 0 (

cioe' x - 5/3y + 6/3z = -3 )

Allora il Supp. Sorg. risolve

(1 2 3) x (4 -1 2)

x = 2 + t y = -1 - 2t t (t E R)

Esempio

risolvere

x + 2y + 3z + 7 = 0 x + 2y + 3z + 7 = 0 yz + 7z = 0 . yz + 7z = 0 0 = -6 non ci sono soluzioni

Vogliano:

• più equazioni in più variabili
• farlo più veloce
• farlo in un modo algoritmico
• sapere quanti soluzioni ci sono (senza calcolali)

Notazione

una tabella rettangolare con numeri dentro si dice una matrice

per esempio

(1 2 3 4) (5 6 7 8) (9 10 11 14 2 5) (1 0) 1 0 0 0 ))

sono matrici

C'è un altro modo di scrivere un sistema di equ. lin:

Esempio

3x + y = 7 x + 2y = 4

allora scrivo come i vettori

(3 1) ^T x₁ (7)

posso scrivire (7) come un multiplo del vettore (3) e un multiplo del vettore (1)

Io posso fare? Si: z (3) + t (1) = (4)

In generale:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + .... a_1nx = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + .... a_3nx = b₂

posso scrivare come:

a₁₁ a₁₂ a_1n a₂₁ a₂₂ a_2n a_n1 a_n2 a_nn

b₁ b₂