Matematica discreta - sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari

Esempio risolvere

- x + 2y + 7z = -2
3x - 8y - 2z = 4
x + 4z = -2

- x + 2y + 7z = -2
-2y + 7z = -2
x + 4z = -2

- x + 2y + 7z = -2
-2y + 7z = -2
6z = -6

Adesso posso già vedere la sol:
- x + 2y = -1 = -2
- 2y = -1 - 2
z = -1^{x = zy = 1/2z = -1}

Posso anche procedere:
x + 2y + 7z = -2
- 2y = -1
z = -1

Ogni equazione determina un piano in R³. Quindi risolvere il sistema è trovare i punti in comune dei tre piani. Se già due piani non sono paralleli allora:

• Solo 1 punto in comune
• Una retta in comune
• Nessun punto in comune

Se due dei piani sono paralleli (e diversi) allora non c'è nessun punto comune. Se due dei piani sono uguali allora i tre piani hanno appunto una retta in comune, nessun punto in comune o i tre piani sono uguali.

Esempio risolvere

- x + 2y + 7z = -2
3x - 8y - 2z = 4
x + 4z = -2

- x + 2y + 7z = -2
- x + 2y + 7z = -2
-2y + 7z = -2
x + 4z = -2
-2y + 7z = -2
6z = -6
z = -1

Adesso posso già vedere la sol:
-x + 2y - 1 = -2
-2y - 1 = -2
z = -1

-x + 2y - 1 = -2
y = 1/2
x = -2
y = 1/2
z = -1

Fai il controllo! Mettere la soluzione nelle equazioni originali oppure procedere:
Ogni equazione determina un piano in R³ risolvere il sistema i punti in comune dei 3 piani.
Se due dei piani sono paralleli allora non c'è nessun punto comune.
Se due dei piani sono uguali allora i tre piani hanno oppurta una retta in comune, nessun punto in comune.

Esempio risolvere

x + 2y + 3z = 0
4x + 5y + 6z = 3
7x + 8y + 9z = 6

0x + 2y + 3z = 0
-3y - 6z = 3

0x + 2y + 3z = 0
3y + 7z = 0
-6y -12z = 6

Allora le soluzioni sono, x |_R³| x = 2 + t, y = -1 - 2z è le rette:
x = 2 + t
y = -1 - 2t
z = t t ∈ R

Esempio risolvere

x + 2y + 3z = 0
4x + 5y + 6z = 3
7x + 8y + 9z = 0

0x + 2y + 3z = 0
-3y - 6z = 3

-6y -12z = 0
x + 2y + 3z = 0
y + 2z = 0

0 = -6 ⇒ no ci sono soluzioni

Vogliamo più equazioni in più variabili

Farlo più veloce, farlo in un modo algoritmico sapere quanti soluzioni ci sono (senza calcoli)

Notazione

Una tabella rettangolare con numeri dentro si dice una matrice. Per esempio:

• (1 2 3)
• (4 5 6)
• (7 8 9)
• (10 11 12)
• (1 4)
• (2 5)
• (3 6)
• (0)
• (0)
• (0)
• (1 -1 0 0)
• (0 1 0 0)

Sono matrici. Per una matrice si può parlare di righe e colonne per esempio (1 2 3 4), (5 6 7 8) ha 3 righe e 4 colonne (9 10 11 12). Se una matrice ha n righe e m colonne si dice anche che la matrice è una matrice n×m. Per esempio la matrice di sopra è una matrice 3×4. Se A è una matrice 3×4 scriviamo anche A= se i numeri a_ij sono in R si dice anche che A è una matrice 3×4 a coefficienti in R. In generale una matrice n×m è dove a_ij sono numeri (usualmente R). Una matrice n×1 si dica anche vettore, scriviamo a₁, a₂, ..., a_n si dica i componenti del vettore. L'insieme dei matrice n×1 con a₁,..., a_n ∈ R si denota con Rⁿ.

Metodi di eliminazione di Gauss-Jordan

Esempio: consideriamo il sistema di equazioni lineari

x₂ + 3x₃ - x₄ = 4
2x₁ + 4x₂ + 2x₃ + 4x₄ + x₅ = 4
x₁ + x₂ + 2x₃ + 3x₄ + x₅ = 3
2x₁ + 5x₂ + 3x₃ + 4x₄ + 5x₅ = 9

Quindi le colonne sono: i coefficienti delle x₁, x₂ … x_n poi l' (ƒ) e poi la colonna dei costanti. Ogni riga corrisponde a un'equazione.

Quando abbiamo risolto il sistema abbiamo fatto:

1. Scambiare tra di loro due equazioni.
2. Moltiplicare un'equazione con un numero non nullo.
3. Sostituire una equazione con quella ottenuta sommando ad essa un multiplo di una altra equazione.

Ognuna di queste operazioni non cambia l'insieme delle soluzioni del sistema lineare. Queste operazioni sulla matrice aumentata del sistema sono:

1. Scambiare tra di loro due righe.
2. Moltiplicare una riga con un numero non nullo.
3. Sostituire una riga con quella ottenuta sommando ad essa un multiplo.