Matematica finanziaria

W

cazione per uno scalare), cioè se ogni combinazione lineare di vettori di W è ancora un

vettore di W. + ∈ , , ∈ , ∈ ℝ

Se W è un sottospazio vettoriale:

 il vettore nullo appartiene a W;

 se x appartiene a W, allora anche il suo opposto –x appartiene a W.

Se anche una sola di queste condizioni non è soddisfatta, allora W non è un sottospazio

vettoriale.

Esiste un modo semplice per costruire un sottospazio vettoriale a partire da un numero

finito di vettori di ; basta considerare l’insieme delle combinazioni lineari di tali vet-

ℝ

tori.

Def.: dati k vettori di uno spazio vettoriale V, l’insieme di tutte le loro

1 2

, , … , ∈ ℝ

possibili combinazioni lineari da come risultato uno spazio vettoriale W sottospazio di V,

che indichiamo con ovvero

1 2

( , , … , ),

1 2 1 2

)

( , , … , = { ∈ ℝ : = + + ⋯ + , ∈ ℝ}

1 2

I vettori si chiamano generatori di W, poiché il sottospazio W è generato da

1 2

, , … ,

; è un sistema o insieme di generatori di W.

1 2 1 2

{ }

, , … , , , … ,

Esempio 1:

1 −1

2 generano ?

1 2 3 2

= [ ], = [ ], = [ ] ℝ

0 0

1

1

Per dimostrarlo dobbiamo far vedere che un qualsiasi vettore di può essere

2

= [ ] ℝ

2

scritto come combinazione lineare di , :

1 2 3

,

+ 2 − =

1 −1

2

1 1 2 3 1

[ ] = [ ] + [ ] + [ ] = { →

1 2 3

=

0 0

1

2 2 2

= − 2 +

1 1 2 3

=

{ 2 2

→ 1 à

3

Esempio 2:

1 −1 1

non generano . Ad esempio, il vettore non può essere scritto

1 2 2

= [ ], = [ ] ℝ [ ]

0 0 1

come combinazione lineare di . Infatti:

1 2

, − = 1

1 −1 1 1 2

[ ] + [ ] = [ ] = { →

1 2

0 0 1 0=1

2.4 – Dipendenza e indipendenza lineare di vettori

Def.: k vettori si dicono linearmente dipendenti se e solo se almeno

1 2

, , … , ∈ ℝ

uno di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri. Altrimenti si dicono li-

nearmente indipendenti.

Teorema 1: n vettori si dicono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione

lineare 1 2

+ + ⋯ + = 0

1 2

uguale al vettore nullo, senza che siano tutti nulli i coefficienti .

6 | Pag.

Quindi, se esiste anche una sola combinazione lineare dei vettori in esame che fornisce

il vettore nullo e anche solo uno dei coefficienti non è nullo, allora i vettori sono l.d.

Se invece, l’unica combinazione lineare che fornisce il vettore nullo è quella con tutti i

coefficienti nulli, allora i vettori sono l.i.

Ad esempio, i vettori fondamentali sono linearmente indipendenti perché nessuno può

essere scritto come combinazione lineare degli altri.

Teorema 2: se i vettori sono l.i., ogni loro combinazione lineare si

1 2

, , … , ∈ ℝ

scrive in modo unico.

Dati k vettori , se un vettore può essere espresso come c.l. dei rima-

1 2

, , … , ∈ ℝ

nenti, non è detto che ciò accada anche per tutti i restanti vettori.

Ad esempio, si consideri: 1 2

2

1 2 3

= [ ], = [ ], = [ ]

0 0

1

 cioè appartiene al sottospazio generato da perché può

1 2 3 1 2 3

∈ ( , ) ,

essere scritto come loro c.l. 1

2 + 2 = 1

2 1

2 1 2

[ ] + [ ] = [ ] = { → = 0, =

1 2 1 2

=0

0 0

1 2

1

 cioè non appartiene al sottospazio generato da perché

2 1 3 2 1 3

∉ ( , ) ,

non può essere scritto come loro combinazione lineare

+ 2 = 2

1 2 2 1 2

[ ] + [ ] = [ ] = { →

1 2

0 0 1 0+0 =1

Osservazioni:

 Se un insieme di vettori contiene il vettore nullo, allora i vettori sono linearmente

dipendenti;

 Gli n vettori fondamentali di sono linearmente indipendenti;

ℝ

 2 vettori di sono l.d. se e solo se sono collineari (ovvero uno è multiplo

2

ℝ

dell’altro), 3 vettori di sono sempre l.d.;

2

ℝ

 2 vettori di sono l.d. se e solo se sono collineari, 3 vettori di sono l.d. se e

3 3

ℝ ℝ

solo se sono complanari (giacciono sullo stesso piano), 4 vettori di sono sempre

3

ℝ

l.d.

Esempi: 1 2

 sono l.d. in quanto sono uno multiplo dell’altro

1 2

= [ ], = [ ]

2 4

3 6

2 0 0

 sono l.i. perché l’unica combinazione lineare che

1 2 3

= [ ], = [ ] , = [ ]

0 5 1

0 0 7

fornisce il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli:

2 =0

2 0 0 0 1

5 + = 0

[ ] + [ ] + [ ] = [ ] = { → = = = 0

0 5 1 0 2 3

1 2 3 1 2 3

7 =0

0 0 7 0 3

Problemi aperti:

 Come stabilire se un vettore è combinazione lineare di altri vettori?

 Dato un insieme di vettori, come stabilire se essi sono l.d. oppure l.i.?

Occorrono procedure efficienti! 7 | Pag.

2.5 - Basi e dimensione di un sottospazio vettoriale

Esempio: dati k titoli , considero il sottospazio di mercato

1 2

, , … , ∈ ℝ 1 2

)

= ( , , … , ⊆ ℝ

Domande:

 Esiste un sottoinsieme di 1 2

{ }

, , … ,

“esaustivo” (nel senso che genera tutto il mercato W) e

- “minimale” (nel senso che nessun titolo è ridondante, ovvero nessun titolo

- può essere scritto come combinazione lineare dei rimanenti)?

Base del sottospazio W

 Qual è il numero minimo di titoli che generano per combinazione lineare tutti i ti-

toli del mercato W? Dimensione del sottospazio W

Def.: un insieme di k vettori sottospazio vettoriale di , si dice base

1 2

, , … , ∈ ℝ

di W se:

 ovvero se i k vettori generano W;

1 2 )

= ( , , … ,

 sono l.i.

1 2

, , … ,

Se è una base del sottospazio vettoriale W, è an-

1 2 1 2

{ } { },

, , … , , , … , ≠ 0

cora una base di W.

Una base è un insieme indipendente massimale ed un insieme di generatori minimale;

non può essere esteso senza perdere l’indipendenza e non può essere ridotto e generare

ancora lo spazio.

 Qualsiasi insieme linearmente indipendente in W può essere esteso ad una base,

aggiungendo più vettori se necessario;

 Qualsiasi insieme di generatori di W può essere ridotto ad una base, scartando dei

vettori se necessario.

Def.: si dice dimensione di un sottospazio vettoriale il numero di elementi di una qual-

siasi sua base.

Esempi:

 sono una base di ?

1 2

{ }

, , … , ℝ

Si perché:

 ovvero generano ;

1 2

ℝ = ( , , … , ) ℝ

 sono l.i.

1 2

, , … ,

Infatti è detta base canonica di

1 2

{ }

, , … , ℝ

In particolare, ogni base di contiene n elementi e ha dimensione n.

ℝ ℝ

1 2

 sono una base di ? No, in quanto non sono l.i. essendo uno

1 2 2

= [ ], = [ ] ℝ

2 4

multiplo dell’altro.

1 2

 sono una base di ? No, in quanto pur essendo e l.i.

1 2 3 1 2

= [ ], = [ ] ℝ

0 2

0 0

non generano :

3

ℝ + 2 =

1 2 1 1 2 1

2 =

[ ] + [ ] = [ ] = { →

0 2 2 2 2

1 2 0 =

0 0 3 3

0

Ad esempio, il vettore di ,avendo la terza componente non nulla, non può

3

[ ] ℝ

0

1

essere scritto come c.l. di e .

1 2

8 | Pag.

Problemi aperti:

 Come determinare dimensione e base di un sottospazio vettoriale generato da un

insieme di vettori? In pratica, devo eventualmente eliminare alcuni vettori

dall’insieme di generatori in modo che i rimanenti siano l.i.

 Come completare un insieme di k < n vettori l.i. di ad una base? In pratica,

ℝ

devo aggiungere n – k vettori in modo da preservare l’indipendenza lineare.

9 | Pag.

Capitolo 3 - Matrici

3.1 - Nomenclatura e prime operazioni

Consideriamo un mercato finanziario caratterizzato da 4 attività finanziarie e 3 Stati nel

mondo: 1 3 2

1.5

1 2 3 4

= [ ], = [ ] , = [ ] , = [ ]

1 2 1

0.5

1 1 0

0

È molto comodo rappresentare sinteticamente il nostro mercato raccogliendo i vettori

dei payoff in una tabella (come righe oppure come colonne):

1 1 1 1 3 1.5 2

3 2 1 [ ]

[ ] 1 2 0.5 1

oppure

0

1.5 0.5 1 1 0 0

0

2 1 3×4

4×3

Una matrice a coefficienti reali di ordine è una tabella di numeri reali con m ri-

×

ghe e n colonne ⋯

1

11 12 ⋯

2

21 22

= [ ] , ∈ ℝ, ∀,

⋮ ⋮ ⋮

⋱

×

⋯

1 2

Matrici particolari:

 Matrice nulla: = 0, ∀,

 Sottomatrici: matrici ottenute da una matrice data, sopprimendo certe righe e

certe colonne 1 2 3 0 7

= [ ] → = [ ]

0 7 5 0 0

0 0 8

 Matrici quadrat