Matematica - Sistemi lineari

SISTEMI LINEARI

Si chiama FORMA LINEARE (omogenea) nelle n variabili x₁, x₂, ..., x_n un qualsiasi polinomio omogeneo del tipo: F = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n

Si dice che è una forma lineare IDENTICAMENTE NULLA se quest'ultima è uguale a 0, cioè se a₁ = a₂ = ... = a_n = 0

Date le forme lineari: si dice che sono LINEARMENTE INDIPENDENTI se la forma lineare λF₁ + λF₂ + ... + λF_n è identicamente nulla solo per λ₁ = λ₂ = ... = λ_n = 0. Nel caso contrario, le m forme F₁, F₂, ..., F_m si dicono LINEARMENTE DIPENDENTI.

Le forme sono linearmente dipendenti e se λ ≠ 0 (1≤r≤m) e si ha: r ossia F risulta una COMBINAZIONE LINEARE delle altre m-1 forme. Ponendo: si ha: e per il principio d'identità dei polinomi, risulta: se si pone: Per qst'ultima, gli elementi della riga r_esima sono conbinazioni lineari degli elementi corrispondenti delle altre righe, quindi il rango della matrice nn cambia se si sopprime la riga r-esima. Teorema 1 Le m forme linearisono linearmente dipendenti se e solo se

 esiste  almeno  una  riga  della  matrice  che  può  sopprimersi  senza  che  cambi  r(A),il  quale  esprime  pertanto  il  numero  il  numero  di  forme  lineari  linearmente  indipendenti.  Sichiama  equazione  lineare  algebrica  nelle  n  incognite  x x  ,….x l’espressione  a x +a x +…a x =b,a b  e  R  1, 2 n 1 1 2 2 n n i  ,I  numeri  a  si  chiamano  COEFFICIENTI  delle  incognite  e  b  TERMINE  NOTO  dell’equazione.Se  b=0  il’equazione  si  dice  OMOGENEA.  Ogni  n-­‐upla  (x x  ,….x di  numeri  reali  tale  che:  a x +a x +…a x =b  1, 2 n) 1 1 2 2 n nSi  chaima  SOLUZIONE

 dell'equazione. Quando si considerano simultaneamente m equazioni si dice di avere un sistema di m equazioni lineari algebriche in n incognite, e si indica: Il sistema si può scrivere in forma compatta: Ax=b Le matrici A e B si chiamano rispettivamente MATRICE INCOMPLETA E MATRICE COMPLETA del sistema. Il sistema si dice OMOGENEO se tutte le equazioni sono omogenee; NON OMOGENEO se almeno una delle sue equazioni è non omogenea. Ogni n-upla (x +x +…x )di numeri reali che soddisfano tutte le

Equazioni del sistema si dice SOLUZIONE del sistema. Un sistema si dice POSSIBILE se ammette soluzioni, DETERMINATO se ne ammette una sola e INDETERMINATO se ne ammette infinite; si dice IMPOSSIBILE se non ammette alcuna soluzione. Due sistemi lineari si dicono EQUIVALENTI se ogni soluzione del primo è soluzione del secondo e viceversa, oppure se entrambi non hanno soluzioni. Teorema 2: I sistemi Ax=b e (P A)x=P b sono equivalenti. Infatti, Ax=b => (P A)x=P b.

                                 (P A)x=  P b        =>          P P Ax==>          P P b      =>Ax=b  Teorema  3   mi miI  sistemi  Ax=b  e  (M (λ)A)x=  M (λ)b  sono  equivalenti.  Infatti  mi miAx=b    =>  M (λ)Ax=  M (λ)b;  mi mi mi mi mi miM (λ)Ax=  M (λ)b      =>  M (1/λ)  M (λ)Ax=          M (1/λ)  M (λ)b=>Ax=b  Teorema  4   m(i,j) m(i,j)i  sistemi  Ax=b  e  C (λ)Ax=  C (λ)b;  m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j)C (λ)A)x=  C (λ)b      =>  C (-­‐λ)  C

_λA_x = C (-λ) C (λ)b => A_x = b Teorema 5: Se nella matrice A si scambiano tra loro le colonne i-esima e j-esima e nel vettore x, x si ottiene un sistema equivalente a quello di partenza. Si ha: n(i,j)A_x = b => AP_ε = b, infatti n(i,j) n(i,j) n(i,j) n(i,j)A_x = b => AP_ε = b; AP_ε = b => Ax = b STUDIO DI UN SISTEMA LINEARE: METODO DEL PERNO Il metodo del perno o pivot o di Gauss è un metodo pratico per risolvere un sistema lineare, trasformandolo in un altro.

 sistema  +  semplice  da  studiare.  Teorema  6  Il  sistema  Ax=b  è  equivalente  al  sistema:                               (1) (1)  Per  cui  i  2  sistemi  sn  equivalenti  e  si  possono  scrivere  in  forma  compatta:          A x=bTale  teorema  mostra  che  è  possibile  passare  dallo  studio  di  un  sistema  del  tipo  precedente  ad  un  sistema  (1)del  tipo(m-­‐1)X(n-­‐1).Se  la  matrice  complementare  di  a n  cui  A è  nulla,il  procedimento  s  arresta.Nel  caso  11contrario,se  a ≠0si  opera  sul  sistema

 (m-1)X(n-1) come su quello originario, passando da un sistema (m-222)X(n-2). Tale procedimento di eliminazione si continua fino ad ottenere o un sistema a matrice nulla o un sistema del tipo hX1 oppure 1Xk. Se la MATRICE INCOMPLETA del sistema ottenuto è nulla, si hanno 2 casi:

1. MATRICE COMPLETA ANCH'ESSA NULLA => SISTEMA POSSIBILE
2. MATRICE INCOMPLETA NON NULLA => SISTEMA IMPOSSIBILE

Se la MATRICE INCOMPLETA del sistema ottenuto è non nulla, si hanno altri casi:

3. SISTEMA 1x1 => SISTEMA DETERMINATO
4. SISTEMA

1. 1Xk(1<k<n)=>SISTEMA  INDETERMINATO
2. 5. SISTEMA  hx1  (1<h<m):
3. A)se  gli  elementi  delle  2  colonne  della  matrice  completa  sono  proporzionali(incluso  anche  • il  caso  in  cui  gli  elementi  della  2°  colonna  sn  nulli)=>sistema  determinato;