Matematica per l'economia I

Definizione 8

Un insieme A è denso in R se per ogni coppia di numeri reali x e z, esiste a ∈ A tale che x < a < z.

Definizione 10

Un insieme A ⊂ R si dice finito se è vuoto o esiste un numero n ∈ N tale che gli elementi di A possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri {1,2,3,...,n}.

Definizione 11

Un insieme A ⊂ R si dice numerabile (o infinito numerabile) se A è infinito ma ha lo stessoordinamento di N cioè i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di N.

Definizione 12

A si dice intervallo sferico di centro x ∈ Rⁿ e raggio r > 0 e si denota con B_r(x₀) l'insieme: B_r(x₀) = {x ∈ Rⁿ | d(x, x₀) < r}.

Proposizione 43

In R l'intervallo sferico di centro x₀ ∈ R e raggio x è l'intervallo (x₀ - x, x₀ + x), cioè B_z(x₀) = (x₀ - x, x₀ + x).

Definizione 16

Un insieme E ⊂ Rⁿ si dice compatto se esiste un intorno sferico del'origine che lo contiene, cioè se ∃ z > 0 tale che E ⊆ B_z(0).

Definizione 48

Dato un insieme E ⊂ R si dice maggiorante di E un numero M ∈ R se esiste tale che x < M ∀ x ∈ E. Si dice minorante di E un numero m ∈ R se esiste, tale che x ≥ m ∀ x ∈ E.

Definizione 56

E ⊂ R si dice limitato superiormente se ha almeno un maggiorante. Si dice limitato inferiormente se ha almeno un minorante.

Definizione 52

Dato A⊆ℝ limitato superiormente x ∈ ℝ è l'estremo superiore di A, se risulta:x = sup A se x è il più piccolo dei maggioranti di A, ossia se ∀_ε > 0 ∃9 > x - ε9 > 0 maggiore di A.

Definizione 53

Dato A⊆ℝ limitato inferiormente si dice che x ∈ ℝ è l'estremo inferiore di A e si scrive x = inf A se x è il più grande dei minoranti di A, ossia₉ > ∃^p ∋ < 9 per ogni β appartenente ad A.

Definizione 54

Dato A⊆ℝ si dice massimo di A e si indica con max A Il punto M_A ∈ A∃ esiste^g ∋ ∈ ^{s x ∈ A}

si dice minimo di A e si indica con min A il punto m_A se esiste tale che m_x ∈ ∀_A se max_A se esiste, è unico e se min_A se esiste è unico.

Definizione G1

sia E⊆ℝ

x ∈ ℝⁿ

Il vettore x > si dice punto interno se ∃ r > 0 contenuto in E cioè se B_r( 0 ) ⊂ E

Definizione G2

sia x ∈ ℝ ⁿ sia x ∈ ℝ⁹ Il vettore x > si dice punto esterno ad E se è interno a E^c(cioè E^c ∈ ℝⁿ\E )

Definizione G3

sia E⊆ℝ^g sia x ∈ ℝ^p Il vettore x > si dice punto di frontiera per E se non è interno né esterno ad E.

Proposizione G4

dato E⊆ℝ^m e sia x_o ∈ ℝ^v. x_o = è un punto della frontiera per E se e solo se ogni sia intorno sferico contiene sia punti di E sia punti di E^ccioè se e solo se ∀(x_o) si ha B₂(x_o) ∩ E + ∅

Definizione 42.2:

siano f: R → R si ha lim_{x → x0} f(x) = L con L ∈ R, se ∀ε > 0 ∃V > 0 t.c. ∀x J(x₀ - V) → f(x) - L | < ε

Definizione 42.3:

dato un insieme A ⊂ R un punto x ∈ R si dice punto isolato di A se valgono le due proprietà: i) x ∈ A ii) esiste un intorno di x in cui non cadono punti di A diversi da x stesso, i.e. ∃B_δ(x₀) t.c. (B_δ(x₀) {x₀}) ∧ A = ∅

Definizione 5.5:

sio f: A ⊂ R → R, x ∈ E (A ∪ D) ∖ A se L ∈ R si ha lim_{x → x0} f(x) = L se per ogni intorno I(x) di L esiste un intorno B_δ(x₀) di x₀ t.c. ∀x ∈ B_δ(x₀), x ≠ x₀ → f(x) ∈ I(L)

Teorema 6: di unicità del limite

sio f: A ⊂ R → R A aperto sia x₀ ∈ A ∪ D A ∖ A^s sia L ∈ R. Se lim_{x → x0} f(x) = L ₁ lim_{x → x0} f(x) = L ₂ allora tale limite è unico. Dim

Teorema 7: dei confronti

dote tre funzioni f, g, h: A ⊂ R → R A aperto, x₀ ∈ A ∪ D A se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ A e se lim_{x → x0}f(x) = L e lim_{x → x0}h(x) = L allora lim_{x → x0}g(x) = L Dim

Teorema 8: di permanenza del segno

sio f: A ⊂ R → R A aperto, x₀ ∈ A ∪ D A. Se lim_{x → x0}f(x) = L ≠ 0 allora esiste un intorno di x₀, U(x₀), t.c. f(x) ha lo stesso segno di L per ogni x ∈ U(x₀) ∧ A, x ≠ x₀. Dim

Definizione (asimptoto) data una funzione f si ha:

\(\lim_{x \to x_0} f(x) = y_0\) si dice che f è un infinito per \( x \to x_0 \)

Definizione (infinitesimo) data una funzione f si ha:

\(\lim_{x \to x_0} f(x) = 0\) si dice che f è un infinitesimoper \( x \to x_0 \)

Definizione 155 date due funzioni f, g definite nell’intorno di un certo punto \( x_0 \) tranne al più il punto\( x_0 \) stesso, f se si ha:

\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\) si dice che f è un infinitesimo di ordine 0 di g per x chetende a \( x_0 \); si scrive

\( f(x) o(g(x)) \space per \space x \to x_0 \)

Definizione 164 sia f: A⊂R → R a aperto e \( x_0 \in A \); f si dicecontinua in \( x_0 \) se

\(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)

f è continua in \( x_0 \) se \(\forall \space \epsilon > 0 \)

\(\exists \delta (x_0 - r, x_0 + r) \cap A \) si ha \(| f(x) - f(x_0) | < \epsilon \)

Teorema 15 (preavento del segno) sia f: (a, b)⊂R continua.Sia c∈(a, b) tale che f(c)≠0. Allora esiste \(\delta > 0\) t.c.

\( f(x) ≠ 0 \) \(\forall \) x∈(c-\(\delta\)), c+\(\delta\)) \cap (a, b)

Analogamente se f(c)=0, esiste \(\delta > 0\) t.c. DIM

f(c)≠0 \(\forall \) c∈(c-\(\delta\)) c+\(\delta\))) \cap (a, b),

in altri parole, esiste un intorno di\( \bar{c}(c - r, c + \delta) \) dove f assume lo stesso segno di f(c).

Teorema 16 (esistenza degli sucari) f: [a, b]→R continua BWT

Se f(a)[f(b)]≠0 allora esiste c∈(a, b) t.c f(c)=0

Teorema 11 (valore intermedio) f: (a, b)→R continua einterna m=inf f(x) inf[m(f)≤supl(f)] M suMf(x) ≤samp(m(f)Allora f assume tutti i valori compresi tra m e M

Ciòè dato z∈(m, M) esiste c∈(a, b) t.c.

f(c)=z

Sviluppi di Taylor

log(1+x) = x - ^x2⁄₂ + ^x3⁄₃ + (-1)^{n+1 xn}⁄_n + o(xⁿ)

e^x = 1 + x + ^x2⁄_2! + ^x3⁄_3! + ^xn⁄_n! + o(xⁿ)

sinx = x - ^x3⁄_3! + ^x5⁄_5! + ^(-1)n⁄_(2n+1)! x²ⁿ⁺¹ + o(x²ⁿ⁺¹)

cosx = 1 - ^x2⁄_2! + ^x4⁄_4! + ^(-1)n⁄_(2n)! x²ⁿ + o(x²ⁿ)