Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

oppure dal grafico cartesiano :

- 2 - Sia l'insieme .

Sia I la relazione da A ad A definita da .

(Si noti che si può definire una relazione da un insieme a se stesso, in questo caso di

dice relazione in un insieme).

La relazione I è detta relazione identica ed è rappresentabile dai grafici :

(si noti la struttura a diagonale)

dove a , b , c , d sono 4 persone.

- 3 - Sia l'insieme

Sia la relazione da A ad A

rappresentata dal grafico :

Da esso si deduce che abbiamo considerato ogni persona fratello di se stessa e che b è

fratello di d .

Questo fatto (che ogni persona è fratello di se stesso) risulterà comodo per le

considerazioni che faremo più avanti.

Ovviamente, si ha anche che d è fratello di b .

dove a , b , c , d sono 4 persone rispettivamente di 15 ,

- 4 - Sia l'insieme

15 , 16 , 17 anni. da A ad A .

Sia la relazione

La sua rappresentazione grafica è :

Come si può notare dagli esempi, non tutti gli elementi dei due insiemi ( A e B ) devono

obbligatoriamente far parte della relazione.

L'insieme degli elementi del primo insieme A della relazione R (fra A e B) che partecipano

alla relazione si chiama dominio della relazione e si indica con :

.

Esattamente : .

L'insieme degli elementi del secondo insieme B della relazione R (fra A e B) che partecipano

alla relazione si chiama codominio della relazione e si indica con :

.

Esattamente : .

Riferendoci agli esempi precedenti avremo :

, , .

Data una relazione R fra A e B , si può definire la relazione inversa da B ad A , indicata con il

simbolo , formata dalle coppie ordinate della relazione R ma invertendo la prima coordinata

con la seconda. Si ha cioè : .

Per esempio, la relazione inversa della relazione dell'esempio precedente è :

graficamente : e viceversa.

Ovviamente il dominio di R diventa il codominio di

Esistono diversi tipi di relazioni. Le relazioni di equivalenza, d'ordine, le funzioni e le operazioni

sono fra le più importanti..

05 - Relazioni di equivalenza.

Una relazione in A si dice che è una relazione di equivalenza se per tutte le sue coppie ordinate

valgono le seguenti proprietà : per ogni a

- proprietà riflessiva : ogni elemento di A è in relazione con sé stesso (

appartenente ad A)

- proprietà simmetrica : se un elemento di A è in relazione con un altro elemento di A

)

, quest’ultimo è in relazione con il primo (

- proprietà transitiva : se un elemento di A è in relazione con un secondo elemento ed

il secondo con un terzo, allora il primo è in relazione col terzo ( ).

dell’esempio precedente è una relazione di equivalenza. Anche la

La relazione

relazione identica I lo è.

Consideriamo ora un insieme A dotato di una relazione di equivalenza R . Preso un elemento a

di A , l’insieme di tutti gli elementi in relazione con esso (ad esso equivalenti) si chiama classe di

equivalenza e si denota con . Quindi :

.

L’insieme A dotato di una relazione di equivalenza si scompone nelle sue classi di equivalenza.

Diremo che una relazione di equivalenza in A determina una partizione di A nelle sue classi di

equivalenza. Queste classi, quando non sono uguali, sono disgiunte (non hanno elementi in comune)

ed unite fra loro formano l’insieme A .

, le classi di equivalenza che determinano una partizione di A

Nell’esempio della relazione

sono : .

e sono uguali perché gli elementi b e d sono legati dalla relazione di

Si noti che le classi

equivalenza (cioè ).

L’insieme delle classi di equivalenza indotte in A dalla relazione di equivalenza R si chiama

insieme quoziente di A rispetto ad R e si denota con .

06 - Relazioni d'ordine.

Consideriamo l’insieme A dotato della relazione R . Supponiamo che le coppie ordinate che

compongono la relazione soddisfino le seguenti proprietà :

La prima proprietà è riflessiva e antisimmetrica. La seconda è transitiva.

Una siffatta relazione si chiama relazione d’ordine parziale e l’insieme A dotato di una tale

relazione si dice insieme parzialmente ordinato . La relazione d’ordine parziale si indica

col simbolo (minore uguale). Esempi di relazioni d’ordine parziali sono :

- l’insieme dei numeri naturali ( i numeri 1, 2, 3, ...) dotato della relazione . Infatti se

. Se allora

allora e

e .

- un insieme di insiemi dotati della relazione di sottoinsieme.

Se invece le coppie ordinate della relazione soddisfano le seguenti proprietà :

, per ogni a appartenente ad A

La prima proprietà è antiriflessiva. La terza è transitiva.

Una siffatta relazione si chiama relazione d’ordine (lineare) e l’insieme A dotato di una

tale relazione si dice insieme (linearmente) ordinato . La relazione d’ordine si indica col

simbolo (minore). Esempi di relazioni d’ordine sono :

- l’insieme dei numeri naturali dotato della relazione . Infatti l'affermazione è falsa.

E’ vera oppure . Se e allora .

- un insieme di insiemi dotati della relazione di sottoinsieme proprio non è un insieme

ordinato !!! La seconda condizione non è sempre verificata.

07 - Funzioni

Una relazione f fra due insiemi A e B che soddisfa le seguenti proprietà :

Si chiama funzione o applicazione da A a B . Il dominio di una funzione, quindi, deve

corrispondere al primo insieme e ad un elemento del dominio deve corrispondere un solo elemento

del codominio. I modi per indicare una funzione sono :

e si legge " f è funzione da A a B ".

Se x appartiene al dominio e y è l’elemento corrispondente del codominio si dice che y è

l’immagine di x od il valore di f in x e si scrive :

Esistono vari tipi di funzione :

- una funzione è uno a uno (1-1) o iniettiva quando ogni elemento del codominio è

e

immagine di un solo elemento del dominio ovvero se segue che e si

indica con :

- se una funzione non è 1-1 allora è più a uno

- una funzione è su B o suriettiva se il codominio della funzione coincide con B ovvero

e si indica con :

- una funzione è in B se il codominio di f è sottoinsieme proprio di B ovvero

- una funzione contemporaneamente 1-1 e suriettiva si chiama corrispondenza biunivoca

oppure funzione biiettiva e si indica con :

.

Diamo alcuni esempi di grafici di funzioni :

(abbiamo per comodità eliminato le frecce).


ACQUISTATO

1 volte

PAGINE

19

PESO

166.73 KB

AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica per le applicazioni I sugli insiemi. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: i fondamenti algebrici: gli insiemi, i simboli, il prodotto cartesiano, le relazioni, le relazioni di equivalenza, le relazioni d'ordine, le funzioni, le operazioni.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Docente: Gori Franco
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Matematica per le applicazioni i

Matematica per le applicazioni I - le funzioni
Appunto
Matematica per le applicazioni I - integrali
Appunto
Matematica per le applicazioni I - funzioni
Appunto
Matematica per le applicazioni I - numeri
Appunto