Matematica per le applicazioni I - insiemi

Fondamenti algebrici: insiemi

In questo capitolo introduciamo i concetti principali della teoria degli insiemi. Gli insiemi sono gli oggetti fondamentali della matematica, i mattoni che ne costituiscono l'immenso edificio. La matematica stessa, come già affermato, si può definire studio di insiemi. Prima, però, dobbiamo introdurre alcuni simboli che ci permetteranno di esprimere e scrivere i concetti matematici in modo più breve e sintetico. Si tratta di una sorta di stenografia matematica irrinunciabile. Senza di essa ogni discorso matematico risulterebbe prolisso ed inefficiente.

Simboli

Li riportiamo qui brevemente:

Con l'uso di questi simboli, una semplice definizione come questa: "gli insiemi A e B sono uguali se e solo se, se a appartiene ad A allora a appartiene a B e viceversa" che scritta così può sembrare uno scioglilingua, se scritta con i simboli matematici diventa:

Si vede bene che con l'uso di questi simboli ogni affermazione matematica diventa molto più sintetica, leggibile ed elegante. Naturalmente in matematica si usano molti altri simboli. Alcuni sono ben conosciuti (come il segno di uguale = usato nell'esempio) ed altri li definiremo volta per volta.

Per quanto riguarda i simboli di implicazione occorre ricordare che sono frequentemente in uso i seguenti modi di dire alternativi:

• Si può leggere "A è condizione sufficiente per B" oppure "B è condizione necessaria per A".
• Si può leggere "A è condizione necessaria per B" oppure "B è condizione sufficiente per A".
• Si può leggere "A è vero se e solo se B è vero" oppure "A è condizione necessaria e sufficiente per B" (e viceversa).

Insiemi

La nozione di insieme, così come quella di elemento di un insieme, non è definibile. Essa è data a priori ed è considerata nota a tutti, innata. Indicheremo gli insiemi con delle lettere maiuscole: A, B, C... Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme useremo il simbolo ∈.

Gli elementi di un insieme si indicano racchiudendoli dentro parentesi graffe. Essi possono essere elencati uno di seguito all'altro o possono essere individuati tramite una o più proprietà a cui essi obbediscono. In questo caso, le proprietà vanno indicate a destra di un punto e virgola. Per esempio: {1, 2, 3}, {x ∈ N; x > 4}.

Si noti che l'insieme A ha solo 3 elementi, l'insieme N è costituito dai numeri naturali (i puntini indicano di proseguire indefinitamente la numerazione) e l'insieme B è formato dai numeri naturali x maggiori di 4, quindi da 5, 6, 7, ...

L'insieme che non contiene elementi si chiama insieme vuoto e si indica col simbolo Ø. Se gli elementi dell'insieme A sono anche elementi dell'insieme B, si dice che il primo è sottoinsieme del secondo. Simbolicamente: A ⊆ B.

Se A è sottoinsieme di B ed esiste almeno un elemento di B che non è contenuto in A, diremo che A è sottoinsieme proprio di B. Simbolicamente: A ⊂ B. Se A non è sottoinsieme proprio di B scriveremo: A ⊈ B.

Gli insiemi possono essere visualizzati in modo molto significativo con l'uso dei diagrammi di Venn. Per esempio: molto suggestivo è il modo di indicare un sottoinsieme con i diagrammi di Venn. Per esempio, l'insieme A è sottoinsieme dell'insieme B, per cui il diagramma di Venn risulta:

Con gli insiemi si possono fare alcune operazioni fondamentali.