Matematica per le applicazioni I - insiemi

Graficamente :03 - Prodotto cartesiano

Dati due insiemi se ne può costruire un terzo, chiamato loro prodotto cartesiano, che rappresenta un insieme di fondamentale importanza per tutta la matematica. Prima di definire il prodotto cartesiano dobbiamo introdurre un altro fondamentale oggetto: la coppia ordinata.

Supponiamo che a sia un elemento dell'insieme A e che b sia un elemento dell'insieme B (cioè). L'insieme che si può costruire prendendo i due elementi a e b è: che è uguale a: in quanto costituiti dagli stessi elementi. In un insieme non conta l'ordine con cui sono elencati i suoi elementi!!!

Spesso, in matematica, è invece importante l'ordine con cui consideriamo due elementi. Come possiamo creare, prendendo gli elementi a e b, un insieme in cui conti l'ordine con cui sono scelti, indicati, gli elementi? La risposta a questa esigenza è appunto la coppia ordinata. Chiamiamo coppia ordinata l'insieme.

così definito: Si vede bene che la coppia ordinata definita da : è diversa dalla precedente cioè : significa "diverso da"). (il simbolo ≠ indica "diverso da"). Abbiamo quindi raggiunto il nostro scopo, costruire un insieme in cui conti l'ordine con cui sono scelti, scritti, i suoi elementi. L'elemento a si chiama prima coordinata e l'elemento b si chiama seconda coordinata. La coppia ordinata è visualizzabile in un diagramma di Venn con una freccia che parte dalla prima coordinata e punta sulla seconda. Questa rappresentazione è molto utile e suggestiva. ed è così rappresentabile: {a, b}. Consideriamo gli insiemi A e B. La coppia ordinata (a, b) è possibile ed altrettanto espressiva la rappresentazione cartesiana: a × b. In questa rappresentazione una coppia ordinata è indicata da un punto. Se prendiamo tutte le possibili coppie ordinate con prima coordinata in A e seconda coordinata in B costruiamo il prodotto cartesiano fra A e B chesi indica così: e che quindi è definito come :. Se gli insiemi A e B sono definiti come nell'esempio precedente, il loro prodotto cartesiano è :. Sono : Le rappresentazioni grafiche di e sono rappresentate dall'insieme delle frecce e dove l'insieme è rappresentato dall'insieme dei punti.

04 - Relazioni
Dati due insiemi A e B, è possibile spesso notare che certi elementi del primo insieme A sono in relazione, in corrispondenza, con certi altri elementi del secondo insieme B. In altre parole, fra tutte le possibili corrispondenze, associazioni, degli elementi di A con gli elementi di B, solo alcune (od anche tutte) sono effettivamente riscontrabili in un caso particolare. Abbiamo in questo modo riscontrato una relazione fra l'insieme A e l'insieme B. Una corrispondenza fra l'elemento a di A con l'elemento b di B è rappresentabile dalla coppia (a, b). Tutte le possibili coppie ordinate con prima

coordinata in A e seconda in Bordinata formano, come sappiamo, il prodotto cartesiano fra A e B. Possiamo allora definire una relazione R fra A e B come un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Per dire che la coppia ordinata appartiene alla relazione R scriveremo ò anche, in modo più sintetico: . Facciamo alcuni esempi di relazione.

1. Siano gli insiemi A e B. Sia R la relazione da A a B definita da . Essa è rappresentabile dal grafico di Venn o anche dal grafico cartesiano.
2. Sia l'insieme A. Sia I la relazione da A ad A definita da . (Si noti che si può definire una relazione da un insieme a se stesso, in questo caso si dice relazione in un insieme). La relazione I è detta relazione identica ed è rappresentabile dai grafici (si noti la struttura a diagonale) dove a, b, c, d sono 4 persone.
3. Sia l'insieme A. Sia la relazione da A ad A rappresentata dal grafico . Da esso si deduce che abbiamo considerato ogni persona.

fratello di se stessa e che è fratello di d. Questo fatto (che ogni persona è fratello di se stesso) risulterà comodo per le considerazioni che faremo più avanti. Ovviamente, si ha anche che d è fratello di b. dove a, b, c, d sono 4 persone rispettivamente di 15, 16, 17 anni. Sia l'insieme {15, 16, 17} da A ad A. Sia la relazione R. La sua rappresentazione grafica è: Come si può notare dagli esempi, non tutti gli elementi dei due insiemi (A e B) devono obbligatoriamente far parte della relazione. L'insieme degli elementi del primo insieme A della relazione R (fra A e B) che partecipano alla relazione si chiama dominio della relazione e si indica con Dom(R). Esattamente: Dom(R) = {15, 16, 17}. L'insieme degli elementi del secondo insieme B della relazione R (fra A e B) che partecipano alla relazione si chiama codominio della relazione e si indica con Codom(R). Esattamente: Codom(R) = {15, 16, 17}. Riferendoci agli esempi precedenti avremo: Dom(R) = {15, 16, 17}, Codom(R) = {15, 16, 17}. Data una relazione R fra A e B, si

Può definire la relazione inversa da B ad A, indicata con il simbolo ^-1, formata dalle coppie ordinate della relazione R ma invertendo la prima coordinata con la seconda. Si ha cioè: R^-1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}. Per esempio, la relazione inversa della relazione dell'esempio precedente è: R^-1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}. Graficamente:

E viceversa. Ovviamente il dominio di R diventa il codominio di R^-1.

Esistono diversi tipi di relazioni. Le relazioni di equivalenza, d'ordine, le funzioni e le operazioni sono fra le più importanti.

05 - Relazioni di equivalenza

Una relazione in A si dice che è una relazione di equivalenza se per tutte le sue coppie ordinate valgono le seguenti proprietà:

• Proprietà riflessiva: ogni elemento di A è in relazione con sé stesso (appartenente ad A).
• Proprietà simmetrica: se un elemento di A è in relazione con un altro elemento di A, quest'ultimo è in relazione con il primo.
• Proprietà transitiva: se un elemento di A è in relazione con un secondo elemento di A, e quest'ultimo è in relazione con un terzo elemento di A, allora il primo elemento è in relazione con il terzo.

Elemento di A è in relazione con un secondo elemento ed il secondo con un terzo, allora il primo è in relazione col terzo (). Dell'esempio precedente è una relazione di equivalenza. Anche la relazione identica I lo è.

Consideriamo ora un insieme A dotato di una relazione di equivalenza R. Preso un elemento a di A, l'insieme di tutti gli elementi in relazione con esso (ad esso equivalenti) si chiama classe di equivalenza e si denota con []. Quindi:

L'insieme A dotato di una relazione di equivalenza si scompone nelle sue classi di equivalenza. Diremo che una relazione di equivalenza in A determina una partizione di A nelle sue classi di equivalenza. Queste classi, quando non sono uguali, sono disgiunte (non hanno elementi in comune) ed unite fra loro formano l'insieme A. Le classi di equivalenza che determinano una partizione di A nell'esempio della relazione sono: [] e [] e sono uguali perché gli elementi b e d sono legati.

dalla relazione di equivalenza Si noti che le classi equivalenza (cioè [inserire definizione]).

L’insieme delle classi di equivalenza indotte in A dalla relazione di equivalenza R si chiama insieme quoziente di A rispetto ad R e si denota con [inserire simbolo].

06 - Relazioni d'ordine.

Consideriamo l’insieme A dotato della relazione R . Supponiamo che le coppie ordinate che compongono la relazione soddisfino le seguenti proprietà :

La prima proprietà è riflessiva e antisimmetrica. La seconda è transitiva.

Una siffatta relazione si chiama relazione d’ordine parziale e l’insieme A dotato di una tale relazione si dice insieme parzialmente ordinato. La relazione d’ordine parziale si indica col simbolo [inserire simbolo]. Esempi di relazioni d’ordine parziali sono :

• l’insieme dei numeri naturali ( i numeri 1, 2, 3, ...) dotato della relazione [inserire simbolo]. Infatti se [inserire condizione]. Se allora [inserire condizione] e [inserire condizione].
• un insieme di insiemi dotati della relazione di sottoinsieme.

Se invece le coppie ordinate

della relazione soddisfano le seguenti proprietà:

1. La prima proprietà è antiriflessiva.
2. La terza è transitiva.

Una siffatta relazione si chiama relazione d'ordine (lineare) e l'insieme A dotato di una tale relazione si dice insieme (linearmente) ordinato. La relazione d'ordine si indica col simbolo < (minore). Esempi di relazioni d'ordine sono:

• L'insieme dei numeri naturali dotato della relazione <. Infatti l'affermazione è falsa. E' vera oppure no? Se a < b allora a ≤ b.
• Un insieme di insiemi dotati della relazione di sottoinsieme proprio non è un insieme ordinato! La seconda condizione non è sempre verificata.

07 - Funzioni Una relazione f fra due insiemi A e B che soddisfa le seguenti proprietà:

• Si chiama funzione o applicazione da A a B.
• Il dominio di una funzione, quindi, deve corrispondere al primo insieme e ad un elemento del dominio deve corrispondere un solo elemento del codominio.

elemento del codominio. I modi per indicare una funzione sono: e si legge "f è funzione da A a B". Se x appartiene al dominio e y è l'elemento corrispondente del codominio si dice che y è l'immagine di x o il valore di f in x e si scrive:

Esistono vari tipi di funzione:

• una funzione è uno a uno (1-1) o iniettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di un solo elemento del dominio, ovvero se segue che e si indica con:
• se una funzione non è 1-1 allora è più a uno
• una funzione è su B o suriettiva se il codominio della funzione coincide con B, ovvero e si indica con:
• una funzione è in B se il codominio di f è sottoinsieme proprio di B, ovvero
• una funzione contemporaneamente 1-1 e suriettiva si chiama corrispondenza biunivoca oppure funzione biiettiva e si indica con:

Diamo alcuni esempi di grafici di funzioni: (abbiamo per comodità eliminato le frecce).

Nel primo caso si

Tratta di una funzione più a uno da A in B. Nel secondo, di una funzione più a uno da A su B. Nel terzo, di una funzione 1-1 da A in B e nel quarto di una funzione biunivoca da A su B. Un altro modo di rappresentare graficamente le funzioni è il seguente (grafici cartesiani):

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca. Ogni relazione è sempre invertibile mentre solo le funzioni biunivoche lo sono. Questo dipende dal fatto che la relazione inversa, per essere ancora una funzione, deve soddisfare le condizioni che fanno di una relazione qualunque una funzione.

Date due funzioni per cui il secondo insieme della prima è il dominio della seconda, si può costruire una terza funzione, detta composizione delle due.