Matematica per le applicazioni I - Appunti (seconda parte)

Capitolo 1

I numeri.

1.1 - Numeri naturali. I primi numeri che impariamo a utilizzare, fin dall’infanzia, sono i numeri naturali. Li rappresentiamo con opportune combinazioni di dieci simboli o "cifre", 0, 1, 2, . . . , 9. Li usiamo per "contare" (cioè per quantificare il numero degli elementi di un insieme), per "ordinare" gli elementi di un insieme (per formare cioè delle "graduatorie"), per "calcolare" (secondo le regole dell’Arimetica e dell'Algebra) e infine, per "misurare" o "valutare" certe grandezze (tempi, lunghezze, ecc.). I matematici denotano l’insieme di questi numeri, includendo lo zero, con N:

N = insieme dei numeri naturali = {0, 1, 2, 3, . . . , 10, 11, . . . , 2314, . . . }.

1.2 - Numeri interi e numeri razionali. Ci si accorge però abbastanza presto che, per "calcolare" e "misurare", questi numeri non bastano: le operazioni inverse della somma e della moltiplicazione. la sottrazione e la divisione. in certi casi non possono essere eseguite (non si può sottrarre per esempio 5 da 3 o dividere 5 per 3). Ma il matematico aggira quest'impossibilità semplicemente ampliando l’insieme degli "oggetti" con cui vuole fare i calcoli, continuando a chiamarli "numeri". Questo ampliamento lo esegue in due passi successivi: (1) Introduce i numeri interi negativi, che insieme a quelli naturali, che chiama positivi (salvo lo 0), formano l’insieme più ampio dei numeri interi relativi denotato con Z (dal tedesco "Zahl", numero)

Z = insieme dei numeri interi

= {. . . − 2314, . . . , −11. −10. . . . , − 3, −2, − 1, 0, 1, 2, 3, . . . , 10, 11, . . . , 2314, . . . }

In quest'insieme l’operazione di sottrazione ha sempre un risultato. I numeri naturali ne costituiscono un sottoinsieme:

N ⊂ Z.

(2') Introduce le frazioni di numeri interi,

q = ⁿ/_d , n, d ∈ Z. d ≠ 0 {ⁿ = numeratore _d = denominatore}

con le quali può sempre eseguire la divisione, e rendere più raffinate le misure. Le frazioni rappresentano un nuovo insieme di numeri, i numeri razionali.

Q = insieme dei numeri razionali.

Sulla relazione frazione ↔ numero razionale occorre fare tre osservazioni importanti: (i) due frazioni distinte rappresentano lo stesso numero razionale (si dice allora che le frazioni sono "equivalenti") quando si ottengono l’una dall’altra moltiplicando (o dividendo) numeratore e denominatore per uno stesso numero intero. P.es.

₃/₅ = ₆/₁₀ = _-3/_-5

rappresentano lo stesso numero razionale. (ii) Fra tutte le frazioni equivalenti ad una data frazione ne esiste una particolare, a cui conviene quasi sempre riferirsi, che ha denominatore e numeratore primi fra loro, cioè senza fattori interi in comune, e denominatore positivo. Nell’esempio precedente è la frazione 3/5. (iii) L’insieme ℚ contiene come particolare sottoinsieme l’insieme ℤ dei numeri interi, rappresentati dalle frazioni con denominatore d = 1 (ovvero dalle frazioni cosiddette "improprie" o "apparente" in cui il numeratore è un multiplo del denominatore):

ℤ ⊂ ℚ.

1.3 - Rappresentazione decimale.

Ogni numero razionale ammette una rappresentazione decimale che utilizza i soliti dieci simboli e la virgola (o il punto, nella scrittura anglosassone). P.es. il numero razionale considerato sopra, 3/5, è rappresentato con la scrittura 0,6 (oppure con .6). Si può di conseguenza osservare che, mentre un numero razionale è rappresentabile in infiniti modi come frazione di numeri interi, esso ammette una sola rappresentazione decimale. Ci sono però due fatti particolari che inducono in crisi questa osservazione: (1) alcuni numeri razionali non ammettono una rappresentazione decimale finita, cioè esprimibile con un numero finito di cifre: si tratta dei numeri periodici. P.es. 1/3 è rappresentato con 0,3̅ = 0,333333... . (2) alcuni numeri razionali ammettono due rappresentazioni (di cui una periodica) equivalenti; i matematici attribuiscono per esempio lo stesso significato alle scritture 1 = 0,9̅ = 0,99999.... Non dobbiamo tuttavia addentrarci eccessivamente in questi argomenti, ma tenere solo sempre ben presente le osservazioni seguenti (che varranno anche per i numeri reali, che vedremo tra breve):

1. I numeri sono enti astratti, rappresentabili anche con delle lettere, coi quali si eseguono dei calcoli espressi mediante “formule”, con assoluta precisione.
2. La precisione nei calcoli può venire meno solo quando si ricorre alla rappresentazione decimale, che per i numeri razionali periodici e per i numeri irrazionali è sempre inevitabilmente approssimala.
3. Le "macchine" calcolatrici, compreso l’uomo, sanno elaborare calcoli anche molto complessi ma solo attraverso la loro riduzione alle operazioni aritmetiche elementari (somma/differenza, moltiplicazione/divisione) e solo con numeri interi, rappresentati eventualmente mediante due soli simboli, 0 e 1 (rappresentazione binaria), come nel caso degli elaboratori elettronici.

Ricordiamo ancora che nella rappresentazione di numeri decimali (p.es. di numeri con tanti zeri) è comodo utilizzare le potenze del 10, anche negative: 51000 = 51 · 10³ _{- 0,0051 = 51 · 10}^-4.

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e le radici n-esime di numeri razionali sono esempi di numeri algebrici. I numeri reali che non sono algebrici sono detti trascendenti. Tra questi, i più ricorrenti nelle applicazioni sono π (pi-greco) ed il numero di Neper e, approssimativamente rappresentati con

π ≈ 3,14 ; e ≃ 2,71.

Ma, mentre la definizione di π è, dal punto di vista geometrico-intuitivo, abbastanza semplice (rapporto tra lunghezza di una circonferenza ed il suo diametro, oppure area di un disco di raggio 1), la definizione del numero e richiede un apparato matematico più raffinato (che vedremo nel prossimo capitolo).

1.9 - Il calcolo delle radici.

Quanto detto nelle due osservazioni precedenti fa sorgere subito qualche domanda: una volta definito (in maniera precisa), un numero reale, come lo si calcola? Come si calcolano, per esempio, le sue prime 2 o 1000 cifre decimali? Oggi basta premere qualche tasto su di un calcolatore tascabile per avere "istantaneamente" la radice quadrata di un numero almeno alla quinta o sesta cifra decimale. Ma quali sono le operazioni che il calcolatore esegue? E come si può procedere per calcolare la radice cubica (o quarta, ecc.) di un numero se il calcolatore non possiede questa "funzione"? Vediamo una "ricetta", altrettanto semplice quanto potente, che ha il pregio di introdurci alla nozione di successione (infinita) di numeri razionali. Questa ricetta è conseguenza di alcune prime fondamentali conquiste del "calcolo differenziale" che vedremo nel prossimo capitolo.

L Il calcolo delle radice quadrata √c di un numero c (razionale, positivo) si basa sulla seguente formula iterativa:

(1_L) a_n+1 = 1/2 ^{(a_n + c/a_n)}, n ∈ N.

Questa formula genera una successione di numeri razionali

a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_n, a_n+1,...

il cui elemento generico è denotato con a_n. La formula consente di calcolare il termine successivo a_n+1, conoscendo solo a_n. È quindi chiaro che occorre fissare a₀ e che tutta la successione dipenderà da questa scelta "iniziale". Ma la cosa notevole (e sorprendente, fintantoché non la si dimostra) è che

! comunque si scelga a₀ > 0, i numeri della successione iterata a_n si avvicinano sempre, al crescere di n, allo stesso numero positivo √c.

In altri termini, con l'aumentare del numero dei "passi" iterativi otteniamo una migliore approssimazione della radice quadrata di c (ricordiamo che la precisione assoluta non la otterremo mai, anche per valori di n molto grandi, se non per valori particolari di c). I matematici esprimono un fatto del genere dicendo che

• la successione definita dalla (1_L) converge a √c e scrivono

(2_L) lim _n→+∞ a_n = √c.

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