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Matematica per le applicazioni I - Appunti Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica per le applicazioni I. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli insiemi, la retta reale e il piano cartesiano, le funzioni, le trasformazioni del piano e i grafici, le equazioni, le disequazioni e i sistemi,... Vedi di più

Esame di Matematica Per Le Applicazioni I docente Prof. P. Boieri

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Sommario

Corso Propedeutico di Matematica

Politecnico di Torino

CeTeM Esercizi

4 Equazioni, disequazioni e sistemi

+ >

2

x x 2

4. Risolvere graficamente la disequazione = + =

2

y x x y 2

Si tratta di trovare le x per cui il grafico della funzione si svolge al di sopra del grafico della funzione .

( )

=

Osservazione: in generale il grafico della funzione y f x coincide con quello di f(x) nell'insieme dei punti in cui f è positiva o

nulla, mentre è ottenuto applicando a f una simmetria rispetto all'asse x nell'insieme dei punti in cui f è negativa.

Disegniamo le funzioni: osserviamo che si intersecano in

due punti di ascissa x e x . Il grafico della funzione 5

1 2

2

y=|x +x| si svolge al di sopra del grafico della funzione

( ) ( )

∈ −∞ ∪ +∞ 4

y=2 per x , x x , . y=|x^2+x|

1 2 y=2

soluzione

3

2

Otteniamo x e x intersecando il ramo di y=|x +x| "non

1 2

2

ribaltato" (y= x +x) con y=2, vale a dire risolvendo 2

+ =

2

l'equazione x x 2 , le cui soluzioni sono

= − = 1

e

x 2 x 1 .

1 2 0

Quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione è : x1 x2

-1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

( ) ( )

= −∞ − ∪ +∞

S , 2 1

,

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CeTeM Esercizi

4 Equazioni, disequazioni e sistemi

< +

4 2

5. Risolvere graficamente la disequazione x 3

x 4 = = +

4 2

Si tratta di trovare le x per cui il grafico della funzione y x si svolge al di sotto del grafico della funzione y 3

x 4 .

Disegniamo le funzioni: osserviamo che si intersecano in due punti di

4

ascissa x e x . Il grafico della funzione y=x si svolge al di sotto del

1 2 ( )

2

grafico della funzione y=3x +2 per x x , x . 40

1 2 y=x^4

35 y=3x^2+4

soluzione

30

Otteniamo x e x intersecando le due curve, vale a dire risolvendo

1 2 25

= +

4 2

l'equazione x 3

x 4 (4). 20

15

La (4) è una equazione biquadratica: si può ricondurre ad una equazione 10

=

2

di secondo grado mediante la sostituzione x t : 5

0

= → = → = ±

2 x1 x2

t 4 x 4 x 2

2 =

− − = ← 

→ − − = → -5

4 2 x t 2 1 1 , 2

x 3

x 4 0 t 3

t 4 0 = − → = − →

2

t 1 x 1 impossibile -10

2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

( )

= −2

Quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione è : S , 2

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5 Polinomi

POLINOMI

R ICHIAMI DI TEORIA

Definizione: un polinomio ( o funzione polinomiale) nella variabile x di grado n a coefficienti reali ha la forma

( ) = + + ⋅ ⋅ ⋅ + ≠

n k

A x a a x a x a , a ,..., a a 0

, dove sono numeri reali assegnati e . Ogni singolo addendo a x si dice

n 0 1 n 1 0 1 n n k

a

monomio di grado k ed il numero si dice coefficiente del termine di grado k. Il grado di un polinomio è determinato dalla

k

massima potenza di x il cui coefficiente è non nullo.

Proposizione (Principio di identità dei polinomi): due polinomi sono uguali se hanno lo stesso grado e hanno ordinatamente

uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado. ( )

A x

( )

( ) ( ) = n

Definizione: dati due polinomi A x e B x , la funzione f x viene detta funzione razionale (o funzione razionale

( )

n m B x

n ( ) =

B x 0 .

fratta); essa è definita in tutto R esclusi gli eventuali punti x in cui m

( ) ( ) ( )

n m

Teorema: siano A x e B x due polinomi, rispettivamente di grado n ed m, con . Esistono due polinomi Q x e

n m

( )

R x tali che : ( )

• il grado di R x è strettamente minore di m;

( ) ( ) ( ) ( )

• = ⋅ +

vale la relazione A x B x Q x R x . (1)

n m

( ) ( )

Il polinomio Q x , di grado n-m, è detto quoziente della divisione e il polinomio R x resto della divisione.

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( ) ( ) ( )

Definizione: se nella relazione (1) il polinomio R x è il polinomio nullo allora si dice che A x è divisibile per B x o che

n m

( ) ( )

B x è divisore di A x .

m n ( ) ( )

− =

x c

Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio A x sia divisibile per è che A c 0.(2)

n n

( ) ( ) ( )

=

Definizione: un numero c tale che A c 0 è detto radice o zero del polinomio A x . Le radici di A x si dicono anche

n n n

( ) =

radici o soluzioni dell'equazione A x 0 .

n

( ) ( )

n 1

Definizione: un polinomio A x di grado si dice irriducibile se non esiste nessun divisore di A x che abbia grado m

n n

con 0<m<n.

Teorema: nell'insieme dei polinomi a coefficienti reali vi sono due tipi di fattori irriducibili: i binomi di primo grado e i trinomi

di secondo grado a discriminante negativo. Ogni polinomio ammette una fattorizzazione del tipo

( ) ( )

( ) ( )

( ) l l

= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +

m m 1 h

2 2

1 k

A x a x c x c x p x q x p x q (3)

n n 1 k 1 1 h h

( ) m , m ,..., m

c , c ,..., c A x di molteplicità, rispettivamente, , mentre i trinomi di

I numeri sono le radici reali distinte di n 1 2 k

1 2 k + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ =

m m m 2 l 2 l n

secondo grado della (3) hanno discriminante negativo e vale la relazione .

1 2 k 1 h

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5 Polinomi

ESEMPI

Ricordiamo che: ( )

+ = +

• k k k

a x b x a b x somma di due monomi di uguale grado (monomi simili)

k k k k

( )

− = −

• k k k

a x b x a b x differenza di due monomi di uguale grado

k k k k

+

⋅ =

• k p k p prodotto di due monomi

a x c x a c x

k p k p

k

a x a

• ≥ ≠

= −

k p

k k x p e c 0) quoziente di due monomi

(se k p

p

c x c

p p

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5 Polinomi

1. Eseguire le seguenti operazioni tra polinomi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− + − + − + − + − − + + −

• − + − − + −

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

3

x 2 x 4 2 5

x x 2 x 3 3 10 x 2 2 x 4 x 4 6

= 3

x 2 x 4 10

x 2 x 4 x 6 = =

− − + −

3 2

= 7 x 4 x 4 x 2 .

{ }

[ ] [ ]

( ) − + + + − − + +

• − − − + − − − + 2 2

2 2 6 x 6 4 ax 4 3

x ax 5 2 ax 7 x

6 x 6 4 ax 4 3

x ax 5 2 ax 7 x = =

( ) ( ) ( )

+ + − + + − + − + + −

− + + + − − + +

2 2 2 2

6 3 x 4 a a 2 a 7 x 6 4 5 9 x 5

a 7 x 7

= 6 x 6 4 ax 4 3

x ax 5 2 ax 7 x = =

( ) ( ) ( )

− ⋅ + − − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ −

• − − + +

2 4 3 6 5 3 2

2 4 2 3 2 2

3

x x 2 x 4 x 3 3

x x 3

x 2 x 3

x 4 x 3

x 3

= = 3

x 6 x 12 x 9 x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ −

• − − + + − − + −

2 3 2 2 3 2

2

2 x 3

x 2 x 1 2 x x 1 3

x x 1 2 x 1

= = 2 x 2 x 3

x 3

x 2 x 2 = 2 x 5

x 5

x 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) − − + ⋅ − − + ⋅ −

• − ⋅ − ⋅ − − − + + −

3 2 2

2 2

2 x 3

x 2 x 3 3

x 5 2 x 5

x 3 3

x 5

x 1 2 x 3 3

x 5 = = = 6 x 10

x 25

x 25

x 9 x 15 =

− + −

3 2

6 x 35

x 34 x 15 .

+ −

5 3 2 5 3 2

4 x 3

x 5

x 4 x 3

x 5

x 4 3 5 3 5

• + − + − + −

− − −

5 2 3 2 2 2 3

= = x x x = 2 x x

2 2 2 2

2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 2 2 2

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Prodotti notevoli

( ) ( )

• + ⋅ − −

2 2

x a x a = x a differenza di quadrati

( )

• + + +

2 2 2

x a = x 2 ax a quadrato di un binomio

( )

• + + + +

3 3 2 2 3

x a = x 3

ax 3

a x a cubo di un binomio

( )

( )

+ ⋅ − +

• +

2 2 3 3

x a x ax a = x a somma di cubi

( )

( )

− ⋅ + +

• −

2 2 3 3

x a x ax a = x a differenza di cubi

2. Calcolare i seguenti prodotti notevoli:

( ) ( ) ( ) ( )

• − ⋅ + − −

2 2 2 2

3

x 4 a 3

x 4 a = 3

x 4 a = 9 x 16 a

[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

+ −

• − + ⋅ ⋅ − + − − +

2 2 2 2

2 x 5

2 x 5 = = 2 x 2 2 x 5 5 = 4 x 20

x 25

[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3

+ −

• − + − + − + − − + −

3 3 2 2 3 3 2

3

x 2

3

x 2 = = 3

x 3 3

x 2 3 3

x 2 2 = 27 x 54 x 36

x 8

( )

( )

− + +

• − −

3 3 3

2

x 2 x 2 x 4 = x 2 = x 8

( )

( ) ( )

+ ⋅ − +

• + +

3

2 2 3 3

3

2 x a 4 x 2 ax a = 2 x a = 8 x a

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3. Eseguire le seguenti divisioni applicando, se è possibile la regola di Ruffini.

( ) ( )

− + − + ÷ − +

• 4 3 2 2

3

x 4 x 7 x x 1 x x 1 −

x c

Non è possibile applicare l'algoritmo di Ruffini, in quanto il polinomio divisore non è della forma ; eseguiamo, quindi, la

divisione : 1. I polinomi A (x) (dividendo) e B (x) (divisore) sono ordinati secondo

4 2

− + − + − +

4 3 2 2

3

x 4 x 7 x x 1 x x 1 potenze decrescenti.

2. Calcoliamo il quoziente tra i monomi di grado massimo di A (x) e

− +

4 3 2 4

3

x 3

x 3

x − +

2

3

x x 3 4 2 2

B (x): 3x /x =3x .

2

− + − +

3 2

/ / x 4 x x 1 ⋅

2 4 3 2

3. Calcoliamo il prodotto 3x B (x) = 3x -3x +3x .

2

− + −

3 2 ⋅

x x x 2 3 2

4. Calcoliamo R (x) = A (x)- 3x B (x)= -x +4x -x+1.

3 4 2

5. Ripetiamo il procedimento dividendo il monomio di grado più

+

2

/ / 3

x / / 1 elevato di R (x) con il monomio di grado massimo di B (x),

3 2

− +

2

3

x 3

x 3 ottenendo il quoziente parziale Q (x)= -x ed il resto parziale R (x) =

1 2

+ −

/ / 3

x 2 2

3x +1.

( ) ( )

= − + = − 6. L'algoritmo termina quando il grado del resto ottenuto è minore del

2

Q x 3

x x 3 , R x 3

x 2 .

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( ) ( )

− + ÷ +

• 3

x 7 x 6 x 1 ( )

( ) ( )

( )

− + = − −

Il polinomio divisore è di primo grado, riconducibile alla forma x c : x 1 x 1 ; possiamo, quindi, effettuare la

divisione utilizzando l'algoritmo di Ruffini :

coefficienti del dividendo | termine noto

1 0 -7 6

c = -1 -1 1 6

12

1 -1 -6

coefficienti quoziente resto

( ) =

= − −

2 R 12

Q x x x 6

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4. Scrivere la seguente funzione razionale come somma di un polinomio e di una funzione razionale il cui numeratore ha grado

+ + +

5 3 2

3

x 10

x x 3

( ) =

minore del denominatore. f x −

3

x 2

( )

A x

( ) = ≥

n

Consideriamo la funzione razionale f x e supponiamo n m.

( )

B x

n

Dalla la relazione ( ) ( ) ( ) ( )

= ⋅ +

A x B x Q x R x

n m

( )

dividendo ambo i membri per B x , otteniamo:

m ( ) ( )

A x R x

( ) ( )

= = +

n

f x Q x

( ) ( )

B x B x

m m

dove il grado di R(x) è minore di m.

( ) ( )

= + + + = −

5 3 2 3

A x 3

x 10 x x 3 B x x 2

Nel nostro caso e .

5 3

( ) ( )

= + = +

2 2

Q x 3

x 10 R x 7 x 23

Dividendo A per B , otteniamo e

5 3 +

2

7 x 23

( ) = + +

2

Quindi : f x 3

x 10 −

3

x 2

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( ) = − + − +

4 3 2

A x 12 x 11

x 5

x 14 x 8

5. Dire se il polinomio è divisibile per i seguenti polinomi di primo grado:

4

( )

• −

x 3

Applicando il teorema (2), abbiamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − + − + = − + − + = ≠

4 3 2

A 3 12 3 11 3 5 3 14 3 8 972 297 45 42 8 686 0

4 ( )

A non è divisibile per x 3

4 ( )

• +

x 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− = − − − + − − − + = + + + + = ≠

4 3 2

A 1 12 1 11 1 5 1 14 1 8 12 11 5 14 8 50 0

4 ( )

+

A non è divisibile per x 1

4 ( )

• −

x 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − + − + = − + − + =

4 3 2

A 1 12 1 11 1 5 1 14 1 8 12 11 5 14 8 0

4 ( )

A è divisibile per x 1

4

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6. Scomporre in fattori i seguenti polinomi

( ) ( )

+ + + +

• 4 3 2 2 2

x x x x x x 1

= ( )

+ +

2

x x 1

Abbiamo effettuato un raccoglimento a fattore totale. Il trinomio di secondo grado è irriducibile avendo il

∆ = −3

discriminante negativo.

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − + ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −

• − ⋅ − ⋅ +

3 2 2

2 2

x 3

x 4 x 12 x x 3 4 x 3 x x 3 4 x 3 x 3 x 4

= = = = x 3 x 2 x 2 .

Abbiamo effettuato un raccoglimento a fattore parziale e, successivamente, abbiamo usato il prodotto notevole differenza di

quadrati.

• −

6

x 64

Ricordiamo la seguente −

− +

n n x a

x a x a

Proposizione: il binomio è sempre divisibile per ; se n è pari è divisibile anche per .

− +

− −

6 6 6 x 2 x 2

Pertanto x 64 = x 2 risulta divisibile per e per .

Possiamo scomporre il binomio utilizzando, ad esempio, l'algoritmo di Ruffini oppure vedendolo prima come differenza di

quadrati e poi come somma e differenza di cubi:

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5 Polinomi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

− − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + − ⋅ + ⋅ + + ⋅ − +

6 3 3 2 2 2 2

x 64 x 8 x 8 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2 x 4

= = =

I trinomi di secondo grado sono irriducibili avendo entrambi il discriminante negativo.

• +

5

x 243

Ricordiamo la seguente: + + − +

n n

Proposizione: il binomio x a è divisibile per x a ; se n è dispari; se n è pari non è divisibile né per x a né per x a .

+ + +

5 5 5

Pertanto x 243 = x 3 risulta divisibile per x 3 . Eseguiamo la divisione con l'algoritmo di Ruffini:

243

1 0 0 0 0

81

-27 -243

-3 -3 9 -27 81 0

1 -3 9

( ) = − + − + R = 0

4 3 2

Q x x 3 x 9 x 27 x 81

( )

( )

+ ⋅ − + − +

+

5 4 3 2

x 3 x 3 x 9 x 27 x 81

Quindi x 243 = .

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5 Polinomi

( ) = + − +

• 3 2

A x x 3 x 25 x 21

3

Ricordiamo le seguenti regole : ( ) = + + ⋅ ⋅ ⋅ +

n n 1

A x x a x a a ,..., a

− −1

Regola 1: le eventuali radici intere di , dove sono interi, sono da cercare tra i

n n 1 0 n 0

sottomultipli di a0, compresa l'unità, presi sia con il segno positivo, sia con il segno negativo.

( ) = + + ⋅⋅⋅ +

n n n 1

A x a x a x a a ,..., a

Regola 2: le eventuali radici razionali di , dove sono interi, sono da cercare tra i

n n 1 0 n 0

±

razionali della forma p / q , dove p è un sottomultiplo di a , compresa l'unità, mentre q è un sottomultiplo di a , compresa

0 n

l'unità. ( ) ( ) ( )

±1, ±3, ±7, ±21; = = =

Applicando la regola 1: i sottomultipli del termine noto a = 21 sono Abbiamo A 1 0 , A 3 0 , A 7 0 ,

0 3 3 3

vale a dire 1, 3, 7 sono radici di A ; quindi A è divisibile per i polinomi di primo grado x-1, x-3, x-7:

3 3

( )( )( )

+ − + − − −

3 2

x 3 x 25

x 21 = x 1 x 3 x 7

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7 Funzioni Radice

FUNZIONI RADICE

R ICHIAMI DI TEORIA ( ) = dom f Im f grafici

n

f x x 2

1.5 n=3

n=5

n=7

1 n=9

0.5

0

n dispari R R -0.5

-1

-1.5

-2 -2 -1 0 1 2

Grafici di funzioni radici con n pari

2.5 n=2

2 n=4

n=6

n=8

1.5

[ [

) )

0,+∞ 0,+∞ 1

n pari 0.5

0

-0.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

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7 Funzioni Radice

Proposizione: le funzioni radice verificano le relazioni:

( ) [ )

n = ∈ +∞ ≥

n x x x n

per ogni 0 , , 1

[ )

= ∈ +∞ ≥

n n

x x per ogni x 0

, , n 1 ≥ ≥

Proposizione: siano a e b numeri reali tali che a, b 0 e siano n ed m numeri naturali tali che n, m 1. Valgono le seguenti

proprietà:

= ⋅

n n n

1. ab a b

n

a a

=

2. n n

b b

( ) m = m

n

n a a

3. = ⋅

m n n m

a a

4. = ⋅

n m n

m

5. a a

Definizione: 1 =

≠ ≥ n

x x

n

se n∈N, n 0 e se x 0 definiamo ; p = q

q p

≥ x x

se p e q interi positivi, primi tra loro, e se x 0 definiamo ;

p

− 1

=

q

x

se p e q interi positivi, primi tra loro, e se x> 0 definiamo .

p

q

x

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CeTeM Esercizi

7 Funzioni Radice

E

SEMPI 4 8 12

1. Ridurre allo stesso indice i radicali seguenti 5, 2 , 3 , 7 .

( ) =

Calcoliamo il m.c.m tra gli indici dei radicali: m

. c

. m 2 ,

4 ,

8 ,

12 24

24

2 24

2 = = = =

= = = ⋅ ⋅

⋅ 4 6 6 24 6 8 3 3 24 3

2 12 12 24 12 4 8

2 , ,

Utilizzando la proprietà (5) possiamo scrivere: 5 5 5 5 2 2 2 3 3 3

,

= =

12 2 2 24 2

12 7 7 7 ⋅ ≥

+ + +

3 m 3 2 m 2 m 1

2. Semplificare l'espressione a b , dove a, b 0.

Utilizzando la proprietà (5), abbiamo: ( )

( ) +

( )

+ ( ) m 1

+

3 m 1

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

+ + + + +

2 m 1

3 m 3 2 m 2 m 1 m 1 3 m 1 2 3 2

a b a b a b a b

1 xy ≥0.

3. Ridurre ad un unico radicale, supponendo x>0 e y

x 2

Applicando le proprietà delle radici otteniamo:

2 2

   

1 xy 1 xy 1 xy 1 xy y

⋅ = ⋅ = ⋅ =

=    

  

 2

x 2 x 2 x 2 x 2 2 x

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7 Funzioni Radice

4. Date le seguenti espressioni, portare fuori segno di radice i fattori il cui esponente è maggiore o uguale all'indice della

radice.

• ≥0

2 5 3

50

a b x con a, b, x ⋅ = ⋅ = ≥

n n n n n n

In generale, applicando le proprietà delle radici, abbiamo a b a b a b , supponendo a, b 0.

Cerchiamo di isolare nel radicando un fattore di esponente 2 (indice della radice):

( ) 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

2 5 3 2 2 4 2 2 2

50

a b x 2 5 a b b x x 5

ab x 2 bx 5

ab x 2 bx

• 2 3 4

8 x y z

Osserviamo che, a differenza dell'esercizio precedente, in questo caso non è stato specificato il campo di variabilità di x e y:

occorre, dunque, applicare le proprietà con una certa cautela (ricordiamo che le proprietà sono valide se i fattori che compongono

il radicando sono positivi). ≥

 x se x 0 =

=

2 

In generale, per ogni x∈R, x x , poiché la radice quadrata, come ogni radice di indice pari, è una quantità

− <

 x se x 0

positiva. ( ) 2

= ⋅ = ⋅ = ⋅

2 3 4 2 2 2

Tenendo conto di questa osservazione abbiamo: 8 x y z 2 xyz 2 y 2 xyz 2 y 2 z xy 2 y

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7 Funzioni Radice

( ) ( ) ( )

6

+ + = + ⋅ +

2

5. Dire per quali valori di x la relazione x 5

x 6 x 2 x 3 è corretta.

6

+ + = =

2 6

6

Ponendo, per comodità, x 5

x 6 y , la relazione diventa: y y .

 se

y y 0

= ≥0,

6 

6 , deduciamo che i valori di x da considerare sono quelli per cui y

Poiché y − <

 se

y y 0

] [

( )

∈ −∞ − ∪ − +∞

vale a dire x , 3 2 , ( )

( ) ( )

= − ⋅ +

= − = −

2 3 3

f x x 2 x 2

6. Determinare il dominio delle funzioni f x x 4 , , g x x 1 ,

1 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − ⋅ + + = =

3 2

3

g x x 1 x x 1 e dire per quali valori di x valgono le relazioni: f x f x e g x g x .

2 1 2 1 2

{ } ] [

( )

∈ − ≥ = −∞ − ∪ +∞

2

Il dominio di f è x R: x 4 0 , vale a dire dom f , 2 2 , .

1 1 = −

La funzione f è il prodotto di due radici quadrate: il suo dominio è l'intersezione dei domini delle funzioni y x 2 e

2 [

{ } { } )

= + = ∈ ≥ ∩ ∈ ≥ − = +∞

y x 2 , vale a dire dom f x R : x 2 x R : x 2 2 , .

2

L'uguaglianza delle due funzioni f e f è verificata solo nell'intersezione dei loro domini:

1 2 [

( ) ( ) )

= ↔ ∈ ∩ = +∞

f x f x x dom f dom f 2 ,

1 2 1 2 = =

dom g R dom g R

Le radici cubiche, come tutte le radici di indice dispari, non danno problemi; abbiamo: e . quindi:

1 2

( ) ( )

= ↔ ∈ ∩ =

g x g x x dom g dom g R

1 2 1 2

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7 Funzioni Radice + = −

7. Risolvere algebricamente ed interpretare geometricamente l'equazione irrazionale 2 x 6 x 1 .

Dobbiamo tenere conto del campo di definizione e della positività della radice a primo membro:

+ ≥ ↔ ≥ −

- la radice quadrata esiste se e solo se il radicando è positivo o uguale a zero: 2 x 6 0 x 3 . − ≥ ↔ ≥

- la radice quadrata è una quantità positiva, quindi il secondo membro dell'equazione deve essere positivo: x 1 0 x 1

≥ −

 3

x ⇒ ≥

 1.

L'equazione ha significato se queste condizioni sono verificate contemporaneamente: x

 1

x

Elevando al quadrato ambo i membri dell'equazione, otteniamo:

+ = − + ↔ − − = ↔ = − =

2 2

2 x 6 x 2 x 1 x 4 x 5 0 x 1

, x 5

1 2

Solo x verifica la condizione di esistenza, ed è, pertanto, l'unica soluzione accettabile.

2 Geometricamente, la soluzione dell'equazione rappresenta il punto (abbiamo

7 y=rad(2x+6)

y=x-1

6 punto di intersezione visto, algebricamente, che l'equazione ha una sola soluzione) di intersezione

5 = −

= + y x 1.

tra i grafici delle funzioni y 2 x 6 e

4

3 ( )

2 = + = +

Possiamo disegnare il grafico di y 2 x 6 2 x 3 partendo dal

1 =

grafico di y x ed applicando le trasformazioni:

0

-1 

 1

δ  

,

1 ( )

( )

  τ −

=  

→ =  

→ = +

3 0

,

-2 2

y x y 2 x y 2 x 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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7 Funzioni Radice − =

3

8. Risolvere algebricamente ed interpretare geometricamente l'equazione irrazionale 7 x 6 x . = −

3

Geometricamente, la soluzione dell'equazione rappresenta il/i punto/i di intersezione tra i grafici delle funzioni y 7 x 6 e

=

y x . 5 Possiamo tracciare il grafico di

y=radcub(7x-6)

4 y=x  

6

punti di intersezione

3 = − = −

 

3

y x x

7 6 7 , partendo da quello di

3  

7

2

1 = 3

y x , con le seguenti trasformazioni:

0

-1    

6

1  

δ τ

    6

0

1

, ,

-2    

=  

→ =  

→ = −

 

7

7 3

3 7 7

y x y x y x .

3  

-3 7

-4

-5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Dal disegno osserviamo che le due curve hanno 3 punti di intersezione: per determinarli risolviamo algebricamente l'equazione,

elevando ambo i membri al cubo: ( )( )( )

− = ↔ − = ↔ − + = ↔ + − − = ↔ = − ∪ = ∪ =

3 3

3 7 x 6 x 7 x 6 x x 7 x 6 0 x 3 x 1 x 2 0 x 3 x 1 x 2

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7 Funzioni Radice − ≤ −

9. Risolvere graficamente e algebricamente la disequazione irrazionale 16 5 x x 2 .

• soluzione grafica ( ) ( )

= − = −

f x 16 5 x

Disegniamo i grafici delle funzioni e f x x 2 . Si tratta di trovare gli x per cui il grafico di f si svolge al di

1

1 2

sotto del grafico di f o coincide con esso.

2

4  

16

( ) = − = − −

3  

Il grafico di f x 16 5

x 5 x si può ottenere al partire dal

 

1 5

2

1 =

grafico di y x con le trasformazioni:

0 x1 16/5    

1 16  

-1 δ τ

    16

,

1 , 0

σ

y=rad(16-5x)    

= 

→ = −  

→ = −  

→ = − −

 

5 5

y

y x y x y 5

x y 5 x

y=x-2  

punto di intersezione

-2 5

soluzione

-3

-1 0 1 2 3 4  

16

Osserviamo che le due curve hanno un punto di intersezione x >0: il grafico di f sta al di sotto del grafico di f per x x , .

 

1 1 2 1

 

5

− = −

Per determinare x risolviamo l'equazione 16 5

x x 2 ; elevando ambo i membri al quadrato si ha:

1

− = − ↔ − = − + ↔ + − = ↔ = − ∪ =

2 2

16 5

x x 2 16 5

x x 4 x 4 x x 12 0 x 4 x 3

=

x 3

Poiché x >0, abbiamo .

1 1

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7 Funzioni Radice

• soluzione algebrica

Osservazione: ( ) ( )

<

La disequazione irrazionale della forma f x g x equivale a :

n [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) n

< ↔ <

f x g x f x g x se n è dispari

n  ( ) ≥

f x 0



( ) ( ) ( )

< ↔ >

f x g x g x 0 se n è pari

n  [ ]

( ) ( ) n

<

 f x g x

( ) ( )

>

La disequazione irrazionale della forma f x g x equivale a :

n [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) n

> ↔ >

f x g x f x g x n

se è dispari

n ( )

( ) ≥

 ≥ g x 0

f x 0

( ) ( ) ∪

> ↔  

f x g x se n è pari

n [ ]

( ) ( ) ( )

< n

>

 g x 0 f x g x

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7 Funzioni Radice

Applicando le regole suddette alla nostra disequazione, otteniamo:

 

16 16

≤ ≤

 x x

 

− ≥

16 5 x 0 5 5

    

16

− ≤ − ↔ − > ↔ > ↔ > ↔ ∈

  

16 5 x x 2 x 2 0 x 2 x 2 x 3

,

 

 

5

  

( ) ≤ − ∪ ≥

+ − ≥

− ≤ − 2 2 x 4 x 3

x x 12 0

16 5 x x 2  

 

− > −

2

10. Risolvere graficamente la disequazione x 4 x 4 .

( ) ( )

= − = −

2

Disegniamo i grafici delle funzioni f x x 4 e f x x 4 . Si tratta di trovare gli x per cui il grafico di f si svolge al di

1

1 2

sopra del grafico di f .

2

Osserviamo che il grafico della funzione f non si può ottenere a partire da y=√x utilizzando le trasformazioni del piano.

1

Per tracciarne il grafico proseguiamo nel seguente modo:

] [ [

( ) )

= −∞ − ∪ +∞ = +∞

- determiniamo dom f , 2 2 , e Im f 0 , .

1 1 = − = − ↔ − =

2 2 2 2 2

y x 4

- elevando al quadrato ambo i membri dell'equazione otteniamo y x 4 x y 4 , che è l'equazione di

una iperbole equilatera riferita ai propri assi, con centro nell'origine del sistema di riferimento e vertici nei punti V = (-2, 0) e

1

V = (2,0).

2

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7 Funzioni Radice [ )

= +∞

- il grafico di f corrisponde ai rami di iperbole al di sopra dell'asse x (infatti Im f 0 , ).

1 1

5 y=rad(x^2-4)

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ( )

τ −

=  

→ = −

0 , 4

- il grafico di f si ottiene a partire dal grafico di y=|x| con la seguente trasformazione: y x y x 4 .

2

5 y=rad(x^2-4)

y=|x|-4

4 soluzione

3 Osserviamo che non vi sono punti di intersezione tra le due curve.

2

1

0 Il grafico di f si svolge al di sopra del grafico di f per ogni

1 2

-1

-2 ] [

( )

∈ ∩ = −∞ − ∪ +∞

x dom f dom f , 2 2 ,

-3 1 2

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

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7 Funzioni Radice

− < +

11. Risolvere graficamente la disequazione x 1 | x 2

|

( )

( ) = +

= − g x | x 2

|

Tracciamo i grafici delle funzioni f x x 1 e.

( )

=

Osservazione: per costruire il grafico di y f x a partire da quello di y = f(x) si ripete senza modifiche il grafico di y=f(x) per

x≥0 e lo si estende ai valori negativi di x in modo simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

( )

• = − τ(1,0) =

Grafico di f x x 1 : applichiamo la traslazione a y x ,

( )

( ) ( )

5 = − =

f x x 1 ; si ha f x f x

ottenendo 1 1

y=rad(|x|-1) ( )

y=rad(|x+2|) = +

• =

4 punti di intersezione g x | x 2

|

Grafico di : partendo da g ( x ) x , abbiamo

soluzione 1

( )

( ) = =

g x g x | x

| ; otteniamo g(x) applicando a g (x) la traslazione

3 2

2 1

τ(-2,0).

2 ] [

( )

− ∪ +∞

1 La soluzione della disequazione è x , 1 1

, dove x è la soluzione

1

1

dell'equazione f(x) = g(x).

0 x1 Per risolverla eleviamo al quadrato ambo i membri, ottenendo l'equazione

-1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3

− = + ↔ = −

x 1 | x 2

| x ,

2

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8 Esponenziali e logaritmi

ESPONENZIALI E LOGARITMI

R ICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grafico

Funzioni esponenziali y=a^x con a>1 Funzioni esponenziali y=a^x con 0<a<1

5 5 y=(7/10)^x

y=(1.5)^x y=(1/2)^x

y=2^x

4 4 y=(1/3)^x

y=e^x y=(1/4)^x

y=3^x

3 3

Funzione esponenziale in base a ( )

0,+∞

( ) 2 2

R

= >

x

f x a , a 0 1 1

0 0

-1 -1

-5 0 5 -5 0 5

Funzioni logaritmo y=log_a(x) con a>1 Funzioni logaritmo y=log_a(x) con 0<a<1

5 5

4 4 y=log_2/3(x)

y=log_1/2(x)

y=log_1/3(x)

3 3 y=log_1/4(x)

2 2

1 1

Funzione logaritmo in base a ( )

0,+∞

( ) 0 0

R

= > ≠

f x log x , a 0 e a 1 -1 -1

a y=log_1.5(x)

-2 y=log_2(x) -2

y=log_3(x)

y=log_4(x)

-3 -3

-4 -4

-5 -5

-1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5

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8 Esponenziali e logaritmi

Proposizione: la funzione esponenziale e la funzione logaritmo verificano le relazioni:

( )

• = ∈ +∞

log y

a y per ogni y 0 ,

a 0 0 0

( ) ∈R

=

• x

log a x x

per ogni

0

a 0 0

Proposizione: siamo a, x, y numeri reali positivi, con a≠1; sia z un numero reale; Valgono le seguenti proprietà:

= +

log xy log x log y

1. a a a

x = −

2. log log x log y

a a a

y = ⋅

z

3. log x z log x

a a log x

= a

Se, inoltre, b è reale e positivo, b≠1, vale la formula del cambiamento di base dei logaritmi log x .

b log b

a

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8 Esponenziali e logaritmi

ESEMPI 1 3

1. Calcolare log e log 25

3 5

243

Possiamo procedere in due modi:

• usando la definizione di logaritmo: 2 2

1 1

= ↔ = ↔ = ↔ = = ↔ = ↔ = ↔ =

x x 5 x 3 2 x

3 3

25 5 5 5 5

x log 3 3 3 x 5 ; x log x

3 5

243 243 3

= > ≠

• log a 1 per ogni a 0 e a 1

utilizzando le proprietà dei logaritmi e l'uguaglianza :

a

2 2 2

1 = = − ⋅ = − = = =

− 5 3 3

log log 3 5 log 3 5 ; log 25 log 5 log 5

3 3 3 5 5 5

243 3 3 2

 

⋅ 3

x z

  >

2. Applicando le proprietà dei logaritmi trasformare l'espressione ln con x , y , z 0 in somme algebriche.

 

5

4 y

2

     

 

⋅ ⋅    

54

( )

3 3 5 5 5

x z x z

 

  = ⋅ ⋅ − = ⋅ + − = ⋅ + − = + −

= ⋅  

3 3

 

2 2 2 2 3 2 6

ln ln ln x z ln y ln x ln z ln y ln x ln z ln y ln x ln z ln y

   

     

   

5 5   4 4 2

4 4

y y

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8 Esponenziali e logaritmi

( ) ( )

− + − + >

3. Applicando le proprietà dei logaritmi scrivere l'espressione 3 ln x 2 ln y 1 ln x y con x , y 0

Osserviamo che ln(x+y) è ben definito in quanto x+ y>0, essendo per ipotesi x>0 e y>0. 3

⋅  ⋅  ⋅

( ) 3 3

e x e x e x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− + − + = − + − + = − + = − + =

 

2

3 ln x 2 ln y 1 ln x y 3 ln x ln y ln e ln x y 3 ln ln x y ln ln x y ln ( )

  +

2 2 6

y y y x y

( )

( ) ( ) ( ) ( )

= − − = − + +

2

f x x x

ln 12

4. Determinare il dominio delle funzioni f x ln x 4 ln x 3 e dire per quali valori di x vale la

,

1 2

( ) ( )

=

relazione: f x f x .

1 2 { } ( ) ( )

= ∈ − + > = −∞ − ∪ +∞

2

Il dominio di f è dom f x x x

R: 12 0 , 3 4 , ;

1 1 ( ) ( )

= − = +

f è somma di due funzioni: il suo dominio si trova facendo l'intersezione tra i domini delle funzioni y ln x 4 e y ln x 3 ,

2 { } { } ( ) ( ) ( )

= ∈ − > ∩ ∈ + > = +∞ ∩ − +∞ = +∞

vale a dire dom f x R : x 4 0 x R : x 3 0 4 , 3

, 4 ,

2

( ) ( ) ( )

= ∈ ∩ = +∞

La relazione f x f x è soddisfatta per x dom f dom f 4, : infatti, possiamo applicare la proprietà (1) dei logaritmi

1 2 1 2

se e solo se i fattori che compongono l'argomento del logaritmo sono tutti strettamente positivi.

Quindi per x∈(4,+∞) si ha:

( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − + = − ⋅ + = − + + =

2

f x ln x x 12 ln x 4 x 3 ln x 4 ln x 3 f x

1 2

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8 Esponenziali e logaritmi

5. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:

+

x 1

3 1

• = 2

2 x +

27 x 5

3 x

I denominatori sono entrambi non nulli (la quantità a è positiva per qualsiasi valore di x), quindi non vi sono condizioni di

esistenza da porre. ( ) ( )

+ + −

x

x 1

1

3 1 3 2

1 − +

x 5

2

= ↔ = ↔ = ↔ − = − − ↔ − + = ↔ = ∪ =

+ + −

x x x

5 1 6 2 2

x x x x x x

3 3 3 1 5 5 5 6 0 2 3

2 + x

x 6

2 x 5

27 3

3

+ +

• − = + ⋅

x 2 x x 1 x

2 2 3 2 3

Si ha: − = + ⋅ ↔ ⋅ − = ⋅ + ⋅ ↔ ⋅ = ⋅

+ +

x 2 x x 1 x x 2 x x x x x

2 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 3 2 5 3

Poiché entrambi i membri dell'equazione sono positivi possiamo applicare il logaritmo (di base qualsivoglia) ad ambo i membri

dell'equazione 5

ln

( ) ( ) ln 5 ln 3

( ) 3

⋅ = ⋅ ↔ + = + ↔ − = − ↔ − = − ↔ = =

x x

ln 3 2 ln 5 3 ln 3 x ln 2 ln 5 x ln 3 x ln 2 x ln 3 ln 5 ln 3 x ln 2 ln 3 ln 5 ln 3 x − 2

ln 2 ln 3 ln 3

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8 Esponenziali e logaritmi

• + ⋅ − =

2 x x

2 8 2 9 0 = + − = ↔ = ∪ = −

x 2

Possiamo ricondurci ad una equazione di secondo grado mediante la sostituzione 2 t : t 8

t 9 0 t 1 t 9 .

= ↔ = ↔ =

x

t 1 2 1 x 0

= − ↔ = − x

x

t 9 2 9 impossibile , essendo 2 > 0 per ogni x∈ R

6. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali:

• − >

x−

1

3 2 0 −

= −

x 1

Si tratta di trovare l'insieme di positività della funzione y 3 2 . x

5 Otteniamo il grafico della funzione partendo da y=3 ed

τ(1,-2).

y=3^(x-1)-2 applicando la traslazione

intersezione asse x

4 insieme di positività

3 Il grafico della funzione si svolge al di sopra dell'asse delle

( )

2 ∈ +∞

ascisse per x x , .

1

1 Per determinare x risolviamo l'equazione:

1

0 x1 − = ↔ = ↔ − = ↔ = +

− −

x 1 x 1

3 2 0 3 2 x 1 log 2 x log 2 1

-1 3 3

-2

-1 0 1 2 3 4

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8 Esponenziali e logaritmi

+ +

• >

x 2 4 x 1

8 32

Risolviamo la disequazione in modo algebrico. ( ) ( )

> >

f x g x se a 1

( ) ( )

>

f x g x

Osservazione: ricordiamo che la disequazione esponenziale della forma a a (1) equivale a .

( ) ( )

<

f x g x se 0 < a < 1

Possiamo ricondurre la disequazione nella forma (1) utilizzando le proprietà delle potenze:

( ) ( ) 1

+ + ( ) ( )

( ) ( )

x 2 4 x 1 + +

> ↔ > ↔ > ↔ + > + ↔ <

+ + 3 x 2 5 4 x 1

x 2 4 x 1 3 5

8 32 2 2 2 2 3 x 2 5 4 x 1 x 17

2

x

 

1

• ≥ −

  1

4

 

4

Una volta ricondotta la disequazione nella forma (1), osserviamo che occorre cambiare il verso quando si passa alla disuguaglianze

tra gli esponenti in quanto la base dell'esponenziale è minore di 1.

2 2

x x

 

 1 1

1 ≥ ↔ ≥ ↔ ≤ ↔ − ≤ ≤

− 

 

 1 2

x 1 1 x 1

4

   

4 4 4

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8 Esponenziali e logaritmi

7. Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche:

( )

− =

• 2

log x 16 2

3 ( ) ( )

− > ↔ ∈ −∞ − ∪ +∞

2

x 16 0 x , 4 4 ,

Affinché esista il logaritmo al primo membro deve essere .

Applicando la definizione di logaritmo otteniamo:

( )

− = ↔ − = ↔ = ±

2 2 2

log x 16 2 x 16 3 x 5

3

entrambe le soluzioni sono accettabili perché comprese nell'insieme di esistenza.

=

• log 3 2

x− 1 − > − ≠

Affinché esista il logaritmo a primo membro dobbiamo imporre che x 1 0 e x 1 1 (la base del logaritmo è una quantità

( ) ( )

∈ ∪ +∞

maggiore di zero e diversa da 1), vale a dire x 1

, 2 2 , .

Applicando la definizione di logaritmo, si ha:

( )

= ↔ − = ↔ − − = ↔ = − < ∪ = + >

2 2

log 3 2 x 1 3 x 2 x 2 0 x 1 3 0 x 1 3 2

x 1 = +

La condizione di esistenza è verificata solamente dalla soluzione x 1 3 .

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8. Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche:

( )

+ > −

• log x 1 2

1

3

La condizione di esistenza del logaritmo a primo membro è x>-1. ( ) = −2

= + y

Si tratta di determinare gli intervalli in cui il grafico della funzione y log x 1 si svolge al di sopra del grafico di .

1

3

5 y=log_1/3(x+1)

4 y=-2

punto di intersezione

3 soluzione ( )

∈ −1

2 La soluzione della disequazione è x , x , dove

1

1 x è la soluzione della equazione

1

0 x1

-1 ( )

+ = − ↔ =

log x 1 2 x 8

-2 1

3

-3

-4

-5

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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8 Esponenziali e logaritmi

( ) ( )

• − > −

2

log log

x 3

x 4 x 12

1 1

2 2 ( ) ( )

>

Osservazione: ricordiamo che la disequazione logaritmica della forma log f x log g x equivale a

a a

( ) >

 f x 0

 ( )

> >

se a 1 g x 0

 ( ) ( )

>

 f x g x .

( ) >

 f x 0

 ( )

< < >

se 0 a 1 g x 0

 ( )

( ) <

 f x g x

Nel nostro caso, essendo la base a=1/2 < 1, si ha:

 − >

2

x 3

x 0

 ( )

− > ↔ ∈

 4 x 12 0 x 3

, 4

 − < −

2

 x 3

x 4 x 12

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8 Esponenziali e logaritmi

( )

• ⋅ − >

2 log 3

x 1 4

2

- soluzione algebrica  1

>

x

− > − > 

    

3 1 0 3 1 0

x x 5

3

↔ ↔ ↔ ∈ +∞

 

   x ,

( ) ( )  

− > − > 5

 

3 1 2 3 1 4

x x 3

log log log  >

2 2 2 x

 3

- soluzione grafica ( )

= ⋅ − =

La condizione di esistenza è x>1/3.Tracciamo i grafici delle funzioni y 2 log 3

x 1 e y 4 :

2  

 

1

( )

10 = ⋅ − = ⋅ −

 

 

2 log 3 1 2 log 3 si può ottenere dal grafico di

Il grafico di y x x

 

 

2 2 3

8 =

y x

log applicando la trasformazione:

y=2 log_2(3x-1)

y=4 2

punto di intersezione

6 soluzione      

1 1  

δ τ

    1

, 2 , 0

4    

=  

→ = ⋅  

→ = ⋅ −

 

3 3

y log x y 2 log 3

x y 2 log 3 x 

  

2 2 2  

3

2 ( )

x ,+∞ , dove x è la soluzione dell'equazione

La soluzione della disequazione è

0 1

x1 1

5

( )

⋅ − = ↔ =

-2 2 log 3

x 1 4 x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3

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8 Esponenziali e logaritmi

• − − ≤

2

ln x ln x 2 0 >

x 0

La condizione di esistenza è = − − ≤ ↔ − ≤ ≤

2

Possiamo ricondurci ad una disequazione di secondo grado mediante la sostituzione ln x t : t t 2 0 1 t 2 .

− ≤ ≤

Risolviamo la disequazione 1 ln x 2 in modo grafico:

5 y=log(x) Il grafico di y = ln x è compreso tra le rette y=-1 e y=2

4 y=-1 [ ]

y=2 ∈

per x x , x .

punti di intersezione

3 1 2

soluzione

2 Abbiamo

1 = − ↔ = −

1

0 x : ln x 1 x e

1

x1 x2 = ↔ = 2

-1 x x x e

: ln 2

2

-2

-3

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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9 Funzioni Trigonometriche

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

R ICHIAMI DI TEORIA

Definizione: si dice angolo positivo individuato dalla coppia di semirette r e r' uscenti dal punto O, l'insieme dei punti del piano

descritti dai punti di r nella rotazione antioraria che porta r a sovrapporsi con r'. r'

P'

misura dell' arco AP A

=

Definizione: si dice misura in radianti dell'angolo positivo (r,r') il numero reale t r

O

raggio di C C

Definizione: una funzione f reale di variabile reale è detta periodica di periodo T se per ogni t∈ dom f risulta anche

( ) ( )

∈ = +

t+T dom f e f t f t T . P=(cos t, sin t)

sin

Definizione: Consideriamo la circonferenza goniometrica (circonferenza di centro l'origine e t

t

raggio 1). Consideriamo un punto P su di essa e l'angolo t formato dal raggio OP e dall'asse O

delle ascisse. L'ascissa e l'ordinata del punto P sono rispettivamente il coseno ed il seno cos

( )

=

dell'angolo t: P cos t ,sin t . π

sin t

= ≠ + π ∈

Definizione: la funzione tangente è definita come tg t per t k , k Z . Geometricamente rappresenta l'ordinata

cos t 2

del punto di intersezione tra la retta parallela all'asse delle ordinate e passante per A=(1,0) con la retta congiungente l'origine

con il punto P= (cos t, sin t).

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9 Funzioni Trigonometriche

dom f im f periodo grafico

Grafico della funzione y=sin(x)

2

1.5

1

0.5

( ) =

f x sin x [-1 1]

R 2π 0

-0.5

-1

-1.5

-2 -6.2832 -3.1416 0 3.1416 6.2832

Grafico della funzione y=cos(x)

2

1.5

1

0.5

( ) =

f x cos x R [-1 1] 0

2π -0.5

-1

-1.5

-2 -6.2832 -3.1416 0 3.1416 6.2832

Grafico della funzione y=tg(x)

2

1.5

1

0.5

{ }

( ) = − = π + π ∈ π

f x tg x R x

: x / 2 k , k Z R 0

-0.5

-1

-1.5

-2 -6.2832 -3.1416 0 3.1416 6.2832

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9 Funzioni Trigonometriche

Formule trigonometriche fondamentali

• Angoli notevoli α α α α

sin cos tg

0 0 1 0

π/2 /

1 0

π 0 -1 0

/

-1 0

3π/2

π/6 √3/2

1/2 1/√3

π/4 1

1/√2 1/√2

π/3 √3/2 √3

1/2

• + =

2 2

Relazione fondamentale: cos t sin t 1

• Archi associati

( ) ( ) ( )

π + = − π + = − π + =

cos t cos t sin t sin t tg t tg t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= π − = = π − = − = −

cos -t cos 2 t cos t sin - t sin 2 t sin t tg - t tg t

( ) ( ) ( )

π − = − π − = π − = −

cos t cos t sin t sin t tg t tg t

π π π

      cos t

+ = − + = + = −

     

cos t sin t sin t cos t tg t = -cotg t

     

2 2 2 sin t

π π π

     

− = − = − =

     

cos t sin t sin t cos t tg t cotg t

     

2 2 2

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9 Funzioni Trigonometriche

• Formule di addizione: ( )

− = + sin sin

t t t t t t

cos cos cos

1 2 1 2 1 2

( )

+ = − sin sin

t t t t t t

cos cos cos

1 2 1 2 1 2

( )

− = −

sin sin sin cos

t t t t t t

cos

1 2 1 2 2 1

( )

+ = +

sin sin sin cos

t t t t t t

cos

1 2 1 2 2 1

tg tg

t t

( )

− = 1 2

tg t t + ⋅

1 2 tg tg

1 t t

1 2

+

tg tg

t t

( )

+ = 1 2

tg t t − ⋅

1 2 tg tg

1 t t

1 2

• Formule di duplicazione = ⋅

sin sin cos

2 t 2 t t

= −

2 2

cos 2 t cos t sin t

2 tg t

=

tg 2 t 2

1 - tg t

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9 Funzioni Trigonometriche

Proprietà dei triangoli

• Triangoli rettangoli = ⋅ β = γ

b a sin a cos

γ = ⋅ γ = β

c a sin a cos

a

b = ⋅ β

b c tg

β = ⋅ γ

c b tg

c

• Triangoli qualunque γ a

b α β

c a b c

= =

Teorema dei seni: in un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti: .

α β γ

sin sin sin

Teorema di Carnot: in un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei due

altri lati diminuito del doppio del prodotto delle misure di questi due lati moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato:

= + − α

2 2 2

a b c 2 bc cos

= + − β

2 2 2

b a c 2 ac cos

= + − γ

2 2 2

c a b 2 ab cos

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9 Funzioni Trigonometriche

ESEMPI π π

4 11

5

− π + + π

1. Calcolare il valore dell'espressione sin 2 cos sin cos .

3 6 3 6

π π π π

5 4 11

π = π − = π + π = π −

Osservando che ; ; 2 , utilizzando gli archi associati e gli angoli notevoli otteniamo:

6 6 3 3 6 6

π π π π π π

   

5 4 11 3 3 3 3

− π + + π = − − + − + = + =

   

sin 2 cos sin cos sin 2 cos sin cos 2

   

3 6 3 6 3 6 3 6 2 2 2

( ) ( ) ( )

π − α − π + α + −

α

tg sin

cos .

2. Calcolare l'espressione π 

( ) ( )

π − α − α − − − α

tg cos cos

 

2

Utilizzando gli archi associati, otteniamo:

( ) ( ) ( ) ( )

π − α − π + α + −

α − α − α − α

cos tg sin cos tg sin

= = 1

( ) ( )

π α − α − α

 

( ) ( ) -tg sin cos

π − α − α − − −

α

 

tg cos cos

 

2

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9 Funzioni Trigonometriche

α α

− α 2

sin 2 sin

1 2

cos

+ −

3. Semplificare l'espressione .

α α α

+

1 2 sin 2 sin 2

cos

Utilizzando la relazione fondamentale e le formule di duplicazione otteniamo:

α α α + α − α + α α

2 2 2 2 2

2 sin cos sin cos cos sin sin 1 3

= + − = α + α − α = α

tg tg tg tg

α + α + α − α α α α α

2 2 2 2

sin cos cos sin 2 sin cos 2 sin cos 2 2

4. Risolvere in R le seguenti equazioni elementari:

3

• =

sin x 2

Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la 1.5

funzione seno e la retta y=√3/2 (esistono punti di intersezione in quanto -1<√3/2<1). 1

π]:

Risolviamo l'equazione nell'intervallo [-π tutte le altre soluzioni si otterranno da y=sin(x)

y=rad(3)/2

0.5

quelle trovate in tale intervallo per periodicità. x=pi/2

Punti di intersezione

π/2],

Indicando con x la soluzione contenuta nell'intervallo [-π/2 , la seconda 0

1 = π −

π/2: x1 x2

x x

soluzione x è la simmetrica di x rispetto alla retta x= .

2 1 2 1 -0.5

π π 2

= = π − = π

Abbiamo x e x . -1

1 2

3 3 3

π π -1.5

2

= + π = + π -3.1416 -1.5708 0 1.5708 3.1416

Le soluzioni in R sono: x 2 k e x 2 k , con k∈Z.

3 3

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1

• =

cos x 2 1.5

Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la y=cos(x)

y=1/2

funzione coseno e la retta y=1/2 (esistono punti di intersezione in quanto -1<1/2<1). Punti di intersezione

1

π]:

Risolviamo l'equazione nell'intervallo [-π tutte le altre soluzioni si otterranno da 0.5

quelle trovate in tale intervallo per periodicità. π], 0

Indicando con x la soluzione contenuta nell'intervallo [0, la seconda soluzione x

1 2 x2 x1

π π -0.5

= − = = −

x x

è la simmetrica di x rispetto alla retta x= 0 . Abbiamo x e x .

1 2 1 1 2

3 3 -1

π π

= + π = − + π

Le soluzioni in R sono: x 2 k e x 2 k , k∈Z. -1.5 -3.1416 -1.5708 0 1.5708 3.1416

3 3

• =

tg x 1 2

Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la 1.5

funzione tangente e la retta y=1. 1

π/2]:

Risolviamo l'equazione nell'intervallo [-π/2 tutte le altre soluzioni si otterranno 0.5

da quelle trovate in tale intervallo per periodicità. 0

π/2].

L'equazione ha una sola soluzione x nell'intervallo [-π/2, x1

1 -0.5

π π y=tg(x)

= = + π y=1

Abbiamo x . Le soluzioni in R sono: x k , con k∈Z. Punto di intersezione

-1

1 4 4 -1.5

-2 -1.5708 -0.7854 0 0.7854 1.5708

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5. Risolvere le seguenti equazioni:

π π

   

• − = +

   

sin 2 x sin x

   

4 3 α = β ↔ α = β + π ∪ α = π − β + π

sin sin 2 k 2 k

E' semplice verificare che si ha , con k∈Z.

Quindi: π π 7

− = + + π ↔ = π + π

2 x x 2 k x 2 k

4 3 12

∪ , con k∈Z.

π π 11 2

− = π − − + π ↔ = π + π

2 x x 2 k x k

4 3 36 3

π

  ( )

• − = − π

 

cos x cos 3

x

 

5 α = β ↔ α = β + π ∪ α = − β + π

cos cos 2 k 2 k

In generale si ha ,con k∈Z. Quindi

π 2

− = − π + π ↔ = π + π

x 3 x 2 k x k

5 5

∪ , con k∈Z.

π π

3

− = − + π + π ↔ = π +

x 3 x 2 k x k

5 10 2

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+ − =

6. Risolvere in R l'equazione sin x 3 cos x 1 0

+ = ∈

Le equazioni della forma a sin x b cos x c con a , b , c R sono dette equazioni lineari in seno e coseno.

Vi sono diversi modi per risolverle: descriviamo quello che si basa sull'idea di scriverle sotto la forma

( )

+ α = ↔ α + α =

sin x h sin x cos sin cos x h .

Dobbiamo fare in modo che i coefficienti del seno e del coseno siano in modulo minori di 1, al fine di poterli considerare seno e

α.

coseno di uno stesso angolo Per comodità possiamo supporre quest'ultimo compreso tra 0 e 2π. Dividiamo, quindi, ambo i

( ) 1 3 1

2

+ = + = + =

2 2 2

membri dell'equazione per la quantità non nulla a b 1 3 2 : sin x cos x .

2 2 2

 1

=

cosα

 π

2 α

→ =

Quindi deve essere e l'equazione diventa:

3

3

 α =

sin

 2 π π π

+ = + π ↔ = − + π

x 2 k x 2 k

π π π 3 6 6

 

1 3 1 1 1

+ = ↔ + = ↔ + = ↔ ∪

 

sin x cos x cos sin x sin cos x sin x , con k∈Z.

  π π π

2 2 2 3 3 2 3 2 + = π − + π ↔ = + π

x 2 k x 2 k

3 6 2

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− − =

2 2

7. Risolvere in R l'equazione 5

sin x 2 3

sin x cos x cos x 2

Si tratta di un' equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno, che, in generale, ha la forma

+ + = ∈

2 2

a sin x b

sin x cos x c cos x d , con a , b , c

, d R

Possiamo ricondurci ad una equazione con secondo membro nullo grazie alla relazione fondamentale:

( )

− − = ↔ − − = + ↔ − − =

2 2 2 2 2 2 2 2

5

sin x 2 3

sin x cos x cos x 2 5 sin x 2 3

sin x cos x cos x 2 cos x sin x 3

sin x 2 3

sin x cos x 3 cos x 0

2

Dividendo ambo i membri per cos x (si verifica facilmente che, se a≠d, gli x per cui cos x=0 non sono soluzioni), otteniamo:

2 2

sin x sin x cos x cos x 1

=

− − = ↔ − − = ← 

→ − − = ↔ = − ∪ =

tg

x t

2 2

3 2 3 3 0 3

tg x 2 3 tg x 3 0 3

t 2 3

t 3 0 t t 3

2 2 2

cos x cos x cos x 3

π

1

= − ↔ =− + π

tg x x k

6

3 ∪

Quindi , con k∈Z.

π

= ↔ = + π

tg x 3 x k

3

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CeTeM Esercizi

9 Funzioni Trigonometriche

( ) >

8. Risolvere in R la disequazione 2 cos 3

x 1 ( ) ( )

= =

Risolviamo la disequazione in modo grafico, disegnando la funzioni f x 2 cos 3

x e la retta y 1. π/3]

Osserviamo che f(x) è una funzione periodica di periodo T=2π/3: possiamo dunque limitare lo studio all'intervallo [-π/3 di

ampiezza T. Otteniamo il grafico di f(x) a partire dal grafico di y=cos x con una dilatazione

3 δ(1/3,2).

y=2cos(3x)

y=1

Punti di intersezione

2 soluzione π/3]

La soluzione della disequazione nell'intervallo [-π/3 è x <x<x .

2 1

1 ( ) = π/3]:

0 x e x sono le soluzioni dell'equazione 2 cos 3

x 1 in [-π/3

x2 x1 1 2

π π

-1 = = −

x e x .

1 2

9 9

-2

-3 π π

 

2 2

-1.0472 -0.5236 0 0.5236 1.0472 − + π < < + π ∈

 

La soluzione della disequazione in R è x

: k x k , k Z 

 9 3 9 3

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CeTeM Teoria

1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

E P

SERCIZI ROPOSTI { }

{ } { }

= ∈ < < = ∈ ≤ ≤ = ∈ + =

2

1. Dati gli insiemi A x N

: 5 x 10 , B x Z :

1 x 25 , C x N

: x 3 12 , determinare:

[ ]

{ }

• ∪ ± ± ± ± ±

A B R. 1

, 2 , 3

, 4 , 5

, 6

, 7 , 8 , 9

[ ]

∩ ∅

• A B R.

[ ]

{ }

• A\C R. 6

, 7 , 8

[ ]

{ }

( )

• ∪ ∩

A B C R. 9

[ ]

( )

• ∪ ∩

A B C R. A

{ } { } ⊂

= = ∈N: A B

2. Sia A 1

, 3

, 5

, 7 , 11 e B x x è un numero primo . Dire se e determinare:

[ ]

• ∪

A B R. B

[ ]

• A B R. A

[ ]

{ }

• ∈ >

B\A R. x N

: x 11 e x è primo

{ } { }

= =

3. Dati gli insiemi A 2 , 3

, 4 e B a , b , determinare: [ ]

{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

×

• A A R. 2 ,

2 , 2 , 3 , 2 , 4 , 3

, 2 , 3

, 3 , 3

,

4 , 4 , 2 , 4 ,

3 , 4 , 4

[ ]

{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

×

• A B R. 2 , a , 2 , b , 3

, a , 3

, b , 4 , a , 4 , b

[ ]

{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

×

• B A R. a , 2 , a ,

3 , a ,

4 , b ,

2 , b

, 3 , b ,

4

[ ]

{ }

( ) ( ) ( ) ( )

×

• B B R. a , a , a , b , b

, a , b

, b

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CeTeM Teoria

1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

{ }

=

4. Determinare l'insieme delle parti dell'insieme A a , b , c , d . { } { } { } { } { } { } { } { }

 

 

, a , b , c , d , a , b , a , c , a , d , b , c ,

( )

℘ =

 

 

R. A { } { } { } { } { } { }

 

 

b , d , c , d , a , b , c , a , b , d , a , c , d , b , c , d , A

 

5. Determinare: [ ]

[ ] [ ] [ ]

− ∩

• 2 , 3 1

, 6 R. 1

, 3

[ ]

[ ( )

( ) )

• −∞ ∪ −∞,7

,

5 5

,

7 R.

[ ]

[ ( )

( ) )

• − ∩ − −9

9 , 3 9 , 4 R. ,

3

6. Esprimere come unione di intervalli i seguenti insiemi: [ ]

] ]

( ( )

(

• − −∞ ∪ +∞

R 0 ,

6 R. ,

0 6

,

[ ]

{ } ( ) ( )

• − −∞ ∪ +∞

R 1 R. ,

1 1

,

[ ]

{ } ( ) ( ) ( )

• − −∞ ∪ ∪ +∞

R 1

,

2 R. ,

1 1

, 2 2 ,

[ ]

[ ] ( ) ( )

• − −∞ ∪ +∞

R 1

, 3 R. ,

1 3

,

7. Trovare l'equazione della retta congiungente i seguenti punti:

[ ]

• − + =

A(1,2) B(3,5) R. 3

x 2 y 1 0

[ ]

• − − =

A(1,-2) B(-3,-4) R. x 2 y 5 0

[ ]

• − =

A(3,4) B(3,-7) R. x 3 0

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CeTeM Teoria

1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano = − +

y x 7

8. Trovare l'equazione della retta passante per il punto P(-1,5) e perpendicolare alla retta di equazione .

[ ]

= +

R. y x 6 − + =

9. Trovare l'equazione della retta passante per il punto P(2,1) e parallela alla retta di equazione x 2 y 7 0 .

[ ]

− =

R. x 2 y 0

10.Dati i punti A(3,5), B(1,-2), C(-2,4), determinare il perimetro e l'area del triangolo ABC.

[ ]

= + + =

R. 2 p 26 53 3 5 , Area 33 / 2

11.Determinare il baricentro G ( punto di incontro delle mediane) del triangolo avente i vertici nei punti A(1,2), B(3,3), C(-1,4).

[ ]

( )

=

R. G 1

,

3

12.Determinare centro C e raggio r delle seguenti circonferenze:

[ ]

( )

= =

• + =

2 2 R. C 0

,

0 , r 7

x y 49 [ ]

( )

= =

• + − =

2 2 R. C 3 ,

0 , r 3

x y 6 x 0 [ ]

( )

• + − + + = = − =

2 2

x y 6 x y 3 0 R. C 3 , 1 / 2 , r 5 / 2

[ ]

( )

= − =

• + − + − =

2 2 R. C 4 / 3

, 1 , r 2 7 / 3

3

x 3 y 8 x 6 y 1 0 [ ]

( )

= − − =

• + + + − =

2 2 R. C 1 / 4 , 1 / 4 , r 5 / 2

2 x 2 y x y 1 0

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CeTeM Teoria

1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

13.Scrivere l'equazione della circonferenza che soddisfa alle seguenti condizioni: [ ]

+ + − + =

• 2 2

R. x y 2 x 6 y 5 0

Passa per il punto P(1,2) e ha centro C= (-1,3). [ ]

+ − + − =

• 2 2

R. x y x 3 y 10 0

Passa per i punti P (4,-1), P (-3,-2), P (1,2).

1 2 3 [ ]

= − + + − + − =

• 2 2

y x 4 R. 2 x 2 y 4 x 8 y 15 0

Ha centro nel punto C(1,-2) ed è tangente alla retta di equazione . [ ]

+ − − + =

• = 2 2

R. 6 x 6 y 13

x 26 y 9 0

Passa per i punti P (-1,2), P (3,3) ed ha il centro sulla retta di equazione y 2 x

1 2

14.Determinare i semiassi ed i fuochi delle seguenti ellissi: [ ]

2 2

x y ( )

• + = = = ±

1 R. a 5

, b 4 , Fuochi 0 , 3

16 25 [ ]

( )

2 2

x y

• + = = = ±

1 R. a 3

, b 2 , Fuochi 5 , 0

9 4 [ ]

( )

• + − = = = ±

2 2

9 x y 1 0 R. a 1

, b 1 / 3 , Fuochi 0 , 2 2 / 3

[ ]

( )

• + − = = = ±

2 2

x 4 y 4 0 R. a 2 , b 1

, Fuochi 3 , 0

[ ]

( )

= = ±

• + − =

2 2 R. a 2 , b 3 , Fuochi 0 , 1

4 x 3 y 12 0

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CeTeM Teoria

1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

15. Scrivere l'equazione dell'ellisse che soddisfa alle seguenti condizioni: 

 2 2

x y

( ) ( )

• + =

±5 ±4 

Ha due vertici nei punti 1

, 0 ed i fuochi nei punti , 0 . R. 

 25 9

• Ha centro nell'origine degli assi, fuochi sull'asse x, ha l'asse minore lungo 2 e passa per il punto P(9/2, 1). 

 2 2

x y

+ = 

 1

R. 

 27 4

16.Determinare i vertici, i fuochi e gli asintoti delle seguenti iperboli: ( )

 

2 2

x y 5

( )

• − = ± ± = ±

1 R. V 6

, 0 , F 61 , 0 , y x

 

 

36 25 6

( )

 

2 2

x y 3

( )

• − = ± ± = ±

1 R. V F y x

2 , 0 , 13 , 0 ,

 

 

4 9 2

( )

 

3

( )

± ± = ±

• − = −

2 2 R. V 0 , 3 , F 0 , 13 , y x

9 x 4 y 36  

 

2

17.Scrivere l'equazione dell'iperbole, con i fuochi sull'asse x, passante per il punto P (3, 2) ed avente per asintoti le rette

[ ]

− =

+ = − = 2 2

R. 4 x y 32

e 2 x y 0 .

2 x y 0

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AUTORE

Sara F

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica per le applicazioni I. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli insiemi, la retta reale e il piano cartesiano, le funzioni, le trasformazioni del piano e i grafici, le equazioni, le disequazioni e i sistemi, i polinomi, le funzioni radice.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Torino - Unito
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Per Le Applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Torino - Unito o del prof Boieri Paolo.

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