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Matematica per le applicazioni I - Appunti

Appunti di Matematica per le applicazioni I. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli insiemi, la retta reale e il piano cartesiano, le funzioni, le trasformazioni del piano e i grafici, le equazioni, le disequazioni e i sistemi,... Vedi di più

Esame di Matematica Per Le Applicazioni I docente Prof. P. Boieri

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Sommario

Corso Propedeutico di Matematica

Politecnico di Torino

CeTeM Esercizi

1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

− −

x x y y ( ) ( )

= = =

1 1

Equazione della retta passante per due punti P e P : P x , y , P x , y

dove

1 2 − − 1 1 1 2 2 2

x x y y

2 1 2 1

= + = + =

r

: y m x q s

: y m x q m m

Condizione di parallelismo tra due rette: le rette e sono parallele se e solo se

1 1 2 2 1 2

= + = + = −

s

: y m x q m m 1

r

: y m x q e sono perpendicolari se e solo se

Condizione di perpendicolarità tra due rette: le rette .

1 1 2 2 1 2

( ) r

Definizione: fissato un punto C x , y del piano e un numero reale positivo , si dice circonferenza di centro C e raggio r il

0 0 ( ) ( )

− + − =

2 2 2

luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza r da C. L'equazione è la seguente: x x y y r

0 0

( )

′ > ′

F 2a

e F del piano, detti fuochi, e un numero reale positivo , con 2a d F , F , si dice ellisse il

Definizione: fissati due punti 2a

luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante (e uguale a ,) la somma delle distanze dai fuochi.

2 2

x y

( ) ( )

= + = = −

= −

′ 2 2 2

Se i fuochi hanno coordinate F c ,0 e 1 dove b a c .

F c,0 l'equazione dell'ellisse è 2 2

a b

2 2

x y

( ) ( )

= = − + = = −

′ 2 2 2

Se i fuochi hanno coordinate F 0, c e F 0, c l'equazione dell'ellisse è 1 dove b a c .

2 2

b a

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CeTeM Esercizi

1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano ( )

′ < ′

F 2a

Definizione: fissati due punti e F del piano, detti fuochi, e un numero reale positivo , con 2a d F , F , si dice iperbole

2a

il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante (e uguale a ,) la differenza delle distanze dai fuochi.

2 2

x y

( ) ( )

= = − − = = −

′ 2 2 2

F c ,0 e F c,0 l'equazione dell'iperbole è 1 dove b c a .

Se i fuochi hanno coordinate 2 2

a b

2 2

y x

( ) ( )

= = − − = = −

′ 2 2 2

Se i fuochi hanno coordinate F 0, c e F 0, c l'equazione dell'iperbole è 1 dove b c a .

2 2

a b 2

a

( ) ( )

= − −

= =

Se i fuochi hanno coordinate F a , a l'equazione dell'iperbole è

F a , a e xy .

2

Definizione: fissata una retta r , detta direttrice, e un punto F r , detto fuoco, si dice parabola il luogo geometrico dei punti

F e da r .

del piano che hanno uguale distanza da 1

( )

= = − = =

2 2

Se il fuoco ha coordinate F 0, p e la direttrice ha equazione y p l'equazione della parabola è y x ax .

p

4

1

( )

= = − = =

2 2 .

F p ,0 e la direttrice ha equazione x p l'equazione della parabola è x y ay

Se il fuoco ha coordinate 4 p

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

E

SEMPI { } { }

{ }

= ∈ − < ≤ = − − = ∈ ≤ − >

1. Dati gli insiemi A x R: 3 x 2 , B R 1 e C x R: x 3 e x 2 , rappresentarli sulla retta reale,

∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩

esprimerli come intervalli e determinare A B , A B , A C , A C , B C , B C .

∞ ∪ ∞ ∞ ∪ ∞

A = (-3, 2] B = (-∞ , -1) (-1, +∞ ) C = (-∞ , -3] (2,+ )

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

R R R

∪ =

A B R : osserviamo che -3∉A ma -3∈B, quindi -3∈A∪B e che -1∉B, ma -1∈A, quindi -1∈A∪B.

]

( ) (

∩ = − − ∪ −

A B 3

, 1 1

, 2 ∩ = ∅

= ∪ = A C

Osservando che C è il complementare di A rispetto a R, vale a dire C R \ A , abbiamo A C R e .

⊂ ∪ = ∩ =

Osservando che C B , abbiamo B C B e B C C . { }

= + ∈ ∈ − ≤ ≤

2. Disegnare le rette di equazione y kx 1 (1) essendo k z Z: 4 z 4 . Che caratteristica hanno tutte queste rette?

( )

Osserviamo che tutte le rette passano per il punto P 0 , 1 (si può facilmente verificare che le coordinate di P soddisfano

l'equazione (1) per qualsiasi valore del parametro k).

L'equazione (1) rappresenta un fascio proprio di rette di centro P: al variare di k in R otteniamo tutte le rette passanti per P, tranne

la retta per P perpendicolare all'asse x (in questo caso la retta di equazione x=0), che non si può ottenere dalla (1) per nessun

valore di k

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

( ) ( )

= − = −

In generale l'equazione di un fascio proprio di rette con centro P x , y è y y k x x (2): essa rappresenta, al variare

0 0 0 0 0

=

x x

di k in R, tutte le rette passanti per P tranne la retta di equazione passante per P e perpendicolare all'asse x.

0 0

0

Se il valore di k è fissato, la (2) rappresenta l'equazione della retta passante per il punto P di coefficiente angolare noto k.

0

{ }

= + ∈ ∈ − ≤ ≤

3. Disegnare le rette di equazione y 2 x k (2) essendo k z Z: 4 z 4 . Che caratteristica hanno tutte queste rette?

Osserviamo che tutte le rette hanno lo stesso coefficiente angolare m = 2 (quindi si tratta di rette parallele), mentre la loro

intersezione con l'asse y dipende dal valore assegnato di volta in volta al parametro k.

L'equazione (2) rappresenta un fascio di rette parallele o fascio improprio. = +

In generale l'equazione di un fascio improprio di rette di coefficiente angolare fissato m è y m x k .

( ) ( ) ( )

− − P P P

4. Sono assegnati i punti P 1

, 2 , P 5

, 6 , P 2 3 , 4 . Verificare che il triangolo è isoscele e determinare la sua area.

1 2 3 1 2 3

Il triangolo è isoscele se ha due lati uguali. Calcoliamo la lunghezza dei lati utilizzando la formula della distanza tra due punti:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

= − − + − − = = − + − − = = − − + − =

2 2 2 2

2

P P 1 5 2 6 10 P P 1 2 3 2 4 5 13 3 = P P 5 2 3 6 4 5 13 3

1 3 2 3

1 2

L'altezza del triangolo è il segmento congiungente il punto medio M della base P P con il vertice P Abbiamo:

1 2 3.

− − + ⋅

 

1 5 2 6 10 P P MP 50

( ) ( ) ( )

= = − = − − + − = = =

2 2

  1 2 3

M , 2 , 2 , MP 2 2 / 3 2 4 e Area

  3

2 2 3 2 3

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

( ) ( ) ( )

− −

5. Dati i punti P 2 , 1 , P 1

, 3 , P 2 , 4 , determinare l'equazione della retta r passante per P e P e la distanza tra r e P ..

1 2 3

1 2 3

( )

− − − + −

x 2 y 1 x 2 y 1

= ↔ = ↔ = +

Equazione di r: y 2 x 5

( )

− − − −

1 2 3 1 1 2

Distanza tra P e r:

3

• ⊥

determiniamo la retta s r passante per P , utilizzando l'equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare

3 ( )

= − = − − = − − ↔ = − +

m 1 / m 1 / 2

noto (sappiamo infatti che ): s

: y 4 1 / 2 x 2 s

: y 1 / 2 x 5.

s r

• determiniamo il punto di intersezione P(x,y) tra r e s: il punto P deve appartenere ad entrambe le rette, quindi le sue coordinate

= + = − +

devono soddisfare contemporaneamente le equazioni di r : y 2 x 5 e s

: y 1 / 2 x 5. Per confronto, otteniamo

( )

=

+ = − + ↔ = =

y 5

2 x 5 1 / 2 x 5 x 0 ; il valore si ricava andando a sostituire in una delle equazioni x=0: quindi P 0

,

5 .

• =

La misura del segmento PP 5 fornisce la distanza richiesta.

3 ( ) ( )

= =

6. Determinare l'equazione della circonferenza di diametro AB, dove A 1

, 3 e B 2 , 2 .

+ + 

 

 1 2 3 2 3 5

=

= 

 

 , , .

Il centro C della circonferenza è il punto medio tra A e B: C    

2 2 2 2

2 2

   

3 5 13

= − + − =

   

Il raggio r è dato, ad esempio, dalla misura del segmento AC 1 3

   

2 2 6

2 2

  

3 5 13

=

− + −

   

L'equazione della circonferenza è: x y

  

 2 2 36

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano + − + + =

2 2

7. Determinare le coordinate del centro ed il raggio della circonferenza di equazione x y 6 x 2 y 3 0 .

( ) ( )

− + − =

2 2 2

Dobbiamo ricondurci ad una equazione del tipo x x y y r , manipolando algebricamente l'espressione data

0 0

( )

± = ± +

2 2 2

completando i quadrati. Ricordiamo che a b a 2 ab b .

( ) ( ) ( ) ( )

+ − + + = − + + + = − + − + + + − + = − + + − =

2 2

2 2 2 2 2 2

x y 6 x 2 y 3 x 6 x y 2 y 3 x 6 x 9 9 y 2 y 1 1 3 x 3 y 1 7 0 e quindi

( )

( )

( ) ( ) 2

− + − − =

2

2

x 3 y 1 7 equazione di una circonferenza di centro C(3,-1) e raggio r=√7

8. Determinare l'equazione della circonferenza passante per i punti A(-1, 2) e B(1, 4) ed avente il centro sulla retta r: y=5x.

Il centro C della circonferenza è il punto di intersezione tra la retta r e l'asse della corda AB.

Ricordiamo che l'asse di un segmento è il luogo dei punti P(x,y) equidistanti dagli estremi del segmento dato; determiniamo l'asse

a del segmento AB:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= ↔ − + − = − + − ↔ − + − = − + − ↔

2 2 2 2 2 2 2 2

PA PB x x y y x x y y x x y y x x y y

A A B B A A B B

( ) ( ) ( ) ( )

+ + − = − + − ↔ + + + − + = − + + − + ↔ + − =

2 2 2 2 2 2 2 2

x 1 y 2 x 1 y 4 x 2 x 1 y 4 y 4 x 2 x 1 y 8 y 16 x y 3 0.

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

 

1 5

=  

Il punto C intersezione tra le rette r e a è C , .

 

2 2 2 2

   

1 5 10

= − − + − =

   

Il raggio è dato, ad esempio, dalla misura del segmento AC 1 2 .

   

2 2 2

2 2

   

1 5 5

− + − =

   

L'equazione della circonferenza è: x y

   

2 2 2 + =

2 2

9. Determinare la lunghezza dei semiassi e le coordinate dei fuochi dell'ellisse di equazione 4 x 9 y 16 .

2 2

x y

+ =

Dobbiamo scrivere l'ellisse nella forma canonica 1 :

2 2

a b

2 2 2 2

4 9 x y x y 4 20 2

=

+ = ↔ + = ↔ + = ↔ + = = = − = ↔ =

2 2 2 2 2 2 2

, quindi

4 x 9 y 16 x y 1 1 1 a 2 , b , c a b c 5

( ) 2 2

16 

16 16 4 3 9 3

2 4 

 

9 3   

 2 2

= = −

′ 

  

I fuochi si trovano sull'asse x ed hanno coordinate F 5 , 0 , F 5 ,

0

  

 3 3

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano ( )

( ) ( )

= − =

10.Scrivere l'equazione dell'iperbole passante per il punto A = 2,2 ed avente i fuochi nei punti F 2 , 0 , F 2 , 0 .

Determinare inoltre le equazioni dei suoi asintoti. 2 2

x y

− =

I fuochi sono sull'asse x e sono simmetrici rispetto all'origine, quindi l'equazione dell'iperbole è 1 .

2 2

a b

Possiamo ricavare la misura dell'asse traverso applicando la definizione di iperbole come luogo di punti: infatti se A appartiene alla

− ′ =

curva dovrà essere: AF AF 2 a .

= + = = = − ↔ = −

2 2

Abbiamo AF 4 2 2 5 e AF′ 2 , da cui 2 a 2 5 2 a 5 1 .

( )

= − = − − + = − ↔ = −

2 2 2

Il semiasse non traverso b si ricava usando la relazione b c a 4 5 2 5 1 2 ( 5 1

) b 2 ( 5 1

) .

( )

2 5 1

b

= ± ↔ = ±

Gli asintoti sono le rette di equazione y x y x .

a 5 1

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2 Funzioni

FUNZIONI

R ICHIAMI DI TEORIA

Il concetto di funzione ( )

Definizione 1: siano X e Y due insiemi non vuoti. Una funzione f da X in Y f : X Y è una relazione tra i due insiemi che ad

ogni x∈ X fa corrispondere uno ed un solo y Y ;diciamo che y è immagine di x mediante la funzione f ed utilizziamo la

scrittura y=f(x).

Il dominio (dom f) della funzione f è l'insieme di tutti i possibili valori reali che si possono attribuire a x∈ X affinché esista il

corrispondente valore y Y. L'insieme di tutte le immagini è detto insieme immagine (Im f). ×

Definizione 2: si dice funzione f da X in Y un sottoinsieme non vuoto G del prodotto cartesiano X Y tale che, se due coppie

( ) ( ) ( )

′ = ′′ ∈

′ ′′

x , y e x , y appartengono a f, si ha y y ; preso un qualsiasi punto x , y G , l'elemento y è il valore di f nel punto x. Il

dominio di f è l'insieme di tutte le prime componenti degli elementi di G ( ovvero la proiezione di G su X); l' insieme immagine

di f è costituito dalla proiezione di G su Y.

Definizione: una funzione è detta reale di variabile reale se ha come insieme di partenza e come insieme di arrivo l'insieme R.

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2 Funzioni

Alcuni tipi di funzione: Grafico della funzione y = 3

5 y

4

3

2

1

0 x

O

-1

-2

-3

-4

-5

-5 0 5

• y=

c

funzioni costanti: Grafico della funzione y = 2x Grafico delle funzioni y = mx

5 3

y y

4 2

3

2 1

1

0 0

x

O x

O

k = 1

-1 k = 2

k = -1

-1

-2 k = -2

-3 -2

-4

-5 -3

-5 0 5 -3 -2 -1 0 1 2 3

=

• y mx

funzioni lineari:

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2 Funzioni Grafico delle funzioni y = k/x

Grafico della funzione y = 2/x 3

5 y y k = 1

4 k = 2

2 k = -1

3 k = -2

2 1

1 0

0 x x

O O

-1 -1

-2

• -3

funzioni di proporzionalità inversa: -2

-4

k

= ≠

y , con k 0 -5 -3

-5 0 5 -3 -2 -1 0 1 2 3

x Grafico della funzione y = 1/2*x^2 Grafico delle funzioni y = k x^2

5 3

y y

4 2

3 k = 1

k = 2

k = -1

2 k = -2

1

1

0 0

x

O x

O

-1 -1

-2

-3 -2

• funzioni quadratiche: -4

= 2

y kx -5 -3

-5 0 5 -3 -2 -1 0 1 2 3

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2 Funzioni

∈Z

• = n n

funzioni del tipo y x , con Grafico delle funzioni y = x^n, con n pari e positivo Grafico delle funzioni y = x^n, con n dispari e positivo

2 2 y

y

1.5 1.5

y = x^2

y = x^4 1

y = x^6

1 y = x^8 0.5

0.5 0 x

O

-0.5

0 y = x^3

y = x^5

-1

x y = x^7

O y = x^9

-0.5 -1.5

-2

-1 -2 -1 0 1 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Grafico delle funzioni y = x^n, con n pari e negativo Grafico delle funzioni y = x^n, con n dispari e negativo

3

3.5 y

y y = 1/x^2

3 y = 1/x^4 2

y = 1/x^6

2.5 y = 1/x^8

2 1

1.5

1 0 x

O

0.5 -1

0 y = 1/x

x y = 1/x^3

O y = 1/x^5

-0.5 y = 1/x^7

-2

-1

-1.5 -3

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

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2 Funzioni

• =

la funzione valore assoluto: y x Grafico della funzione y = |x|

3 y

2.5

2

1.5

1

0.5

0 x

O

-0.5

-1

-3 -2 -1 0 1 2 3

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2 Funzioni

ESEMPI

1. Dire se i seguenti grafici rappresentano delle funzioni: Grafico B Grafico C

Grafico A 3 2

5 y y y

4 2.5 1.5

3 2 1

2 1.5 0.5

1

0 1 0

x

O x

O

-1 0.5 -0.5

-2 0 -1

x

-3 O

-0.5 -1.5

-4

-5 -1 -2

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

2

Ricordiamo che un semplice criterio per stabilire se un sottoinsieme G⊆ R è il grafico di una funzione è il seguente:

2

un sottoinsieme G di R è il grafico di una funzione se ogni parallela all'asse y lo interseca al più in un punto.

Utilizzando il precedente criterio , abbiamo:

Grafico A: funzione

Grafico B: funzione

Grafico C: non è una funzione (ad esempio la retta x =1/2 interseca il grafico in due punti)

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2 Funzioni

2. Dedurre dominio e immagine delle funzioni rappresentate nei grafici seguenti:

Grafico B Grafico C

Grafico A 5 12

5 y

y

y dominio

dominio 4 10 dominio

immagine

immagine

4 3 immagine

8

2

3 1 6

0

2 x

O 4

-1

1 -2 2

-3

0 0

x x

O

O -4

-1 -5 -2

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ricordiamo che possiamo ottenere il dominio e l'insieme immagine di una funzione proiettando il suo grafico sull'asse delle

ascisse e delle ordinate rispettivamente.

In base a questa considerazione, abbiamo:

Grafico A: dominio [-2 2]; immagine = [0 3]

∪ ∪

Grafico B: dominio = (-∞ 0) (0 +∞); immagine = (-∞ 0) (0 +∞)

Grafico C: dominio = R; immagine = [0 +∞)

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2 Funzioni

3. Data la seguente funzione, determinarne il dominio, l'immagine e disegnarne il grafico.

≤ −

2 2

x se x

( ) = 

f x 1 > − 2

se x

 x

La funzione f è definita a tratti, vale a dire la sua espressione amalitica cambia a seconda dell'intervallo che consideriamo: in

] 1

( ( )

( ) ( )

= ∈ = −∞ − = ∈ = − + ∞

questo caso f x 2 x se x I , 2 e f x se x I 2, .

1 2

x

( ) = ∈

La funzione f x 2 x è definita su tutto l'insieme R dei numeri reali (possiamo "calcolare" 2⋅x per qualsiasi x R): il dominio

1 ∩ ∩

di f ristretta all'intervallo I è dom f / I = dom f I = R (-∞, -2] = (-∞, -2].

1 1 1 1 1 1

1

( ) = ∈

La funzione f x è definita in R-{0} (fissato x R, possiamo "calcolare" 1/x tranne quando x = 0 ): restringendo f

2

2 x ∩ ∪

all'intervallo I , abbiamo dom f / I = R-{0} (-2, +∞) = (-2, 0 ) (0 , +∞).

2 2 2

Il dominio della funzione f è l'unione dei domini delle restrizioni di f all'intervallo I e di f all'intervallo I , vale a dire:

1 1 2 2

( ) ( )

= −∞ ∪ + ∞

-2 dom f , 0 0 ,

0

dom f / I dom f / I

1 1 2 2

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CeTeM Esercizi

2 Funzioni

f (x) è una retta passante per l'origine di coefficiente angolare m = 2;

1

f (x) è una iperbole equilatera riferita a propri asintoti.

2 Grafico della funzione y=f(x)

8 y dominio

6 immagine

4

2 O

0 x

(-2, -1/2)

-2

-4 (-2, -4)

-6

-8

-10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

 

1 ( )

= −∞ − ∪ + ∞

 

Abbiamo Im f , 0

,

 

2

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3 Trasformazioni del piano e grafici

TRASFORMAZIONI DEL PIANO E GRAFICI

R ICHIAMI DI TEORIA 2

Definizione: consideriamo il piano R munito di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Una trasformazione del

2 2

piano è una legge che consente di associare ad ogni punto P = (x, y)∈ R un punto P' = (X, Y)∈ R .

Esempi di trasformazioni del piano

• Le traslazioni = −

= + 

 X x p x X p

( ) ( )

−1

τ τ 

p , q : p , q : = −

= + 

Y y q y Y q

( )

∗ ′ τ)

Noto il punto Q x , y , otteniamo le coordinate del punto trasformato Q (utilizzando la trasformazione mediante la

0 0

→ +

 

x x p ( ) ( )

( )

τ

=  

→ + +

0 0 p ,

q

 

sostituzione : Q x , y Q x p , y q

→ + 0 0 0 0

 

y y q

0 0 ( )

∗ = τ

-1

Nota la funzione y f x , otteniamo l'espressione della sua trasformata (utilizzando la trasformazione inversa ) mediante la

→ −

 

x x p ( ) ( ) ( )

( )

τ

=  

→ − = − ↔ = − +

p , q

 

sostituzione : y f x y q f x p y f x p q

→ −

 

y y q

Il parametro p indica lo spostamento lungo l'asse x: se p>0 si ha una traslazione verso destra, se p<0 una traslazione verso sinistra.

Il parametro q indica lo spostamento lungo l'asse y: se q>0 si ha una traslazione verso l'alto, se q<0 una traslazione verso il basso.

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3 Trasformazioni del piano e grafici

• Le dilatazioni  1

=

x X



=

 X mx

( ) ( ) m ∈

δ δ − +

 

1

m

, n : m , n : , m

, n R

=

Y ny 1

 =

y Y

 n → 

 x mx

( ) ′

∗ 0 0 

 :

Q x , y , otteniamo le coordinate del punto trasformato Q mediante la sostituzione

Noto il punto →

0 0 

 y ny

0 0

( ) ( )

( )

δ

=  

→ ′

m ,

n

Q x , y Q mx , ny

0 0 0 0  

1

x x

 

( ) m

∗ =  

Nota la funzione y f x , otteniamo l'espressione della sua trasformata mediante la sostituzione :

1

 

y y

 

 

n

  

1 x x

( ) ( )

δ

=  

→ = ↔ = ⋅

  

m n

, y n f

y f x y f 

   m

n m

Il parametro m indica la dilatazione lungo l'asse x: se m>1 il piano viene allungato (nella direzione dell'asse delle ascisse), se

0<m<1 il piano viene compresso.

Il parametro n indica la dilatazione lungo l'asse y: se n>1 il piano viene allungato (nella direzione dell'asse delle ordinate), se 0<n<1

il piano viene compresso.

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3 Trasformazioni del piano e grafici

• Le simmetrie rispetto agli assi e all'origine ( )

=

Simmetria Equazione Nota la funzione y f x , otteniamo l'espressione

rispetto della sua trasformata mediante la sostituzione

= 

asse x x x

X x ( ) ( )

= 

→ = −

σ

σ  y f x y f x

: x

→ −

= −

x 

 y y

Y y

= − → −

 

asse y X x x x ( ) ( )

σ

σ = 

→ = −

 y

: y f x y f x

= →

y  

Y y y y

→ −

= − 

origine x x

X x ( ) ( )

= 

→ = − −

σ

σ  y f x y f x

: o

→ −

= −

o 

 y y

Y y

• Le affinità

=

 X mx

( ) ≠

α  0

m , n : m

, n

=

Y ny

Proposizione: un'affinità, nel caso in cui almeno uno dei due coefficienti sia negativo, è la composizione di una dilatazione e di

una simmetria.

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3 Trasformazioni del piano e grafici

• Simmetrie rispetto alle bisettrici =

 X y

σ 

:

Simmetria rispetto a y=x = =

y x 

Y x

= −

 X y

σ 

Simmetria rispetto a y= -x :

=− = −

y x 

Y x

Funzioni pari e funzioni dispari

Definizione: una funzione reale di variabile reale è pari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e se per ogni x∈ dom

( ) ( )

− =

f risulta f x f x .

Una funzione reale di variabile reale è dispari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e se per ogni x∈ dom f risulta

( ) ( )

− = −

f x f x .

Se una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, se è dispari il suo grafico è simmetrico rispetto

all'origine.

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3 Trasformazioni del piano e grafici

E

SEMPI τ γ: 2

1. Applicare la traslazione (1, 2) alla parabola y = x , determinando i trasformati dei suoi punti A= (0, 0), B=(1, 1),

γ'.

C=(2, 4) e l'equazione della sua traslata ( ) ( )

τ

= 

→ ′ =

, ,

0 0 1 2

A A

→ + 

 x x 1 ( ) ( )

τ

= 

→ ′ =

0 0 

 , ,

; otteniamo: 1 1 2 3

Per determinare le coordinate dei punti trasformati usiamo la sostituzione B B

→ + 

 y y 2 ( ) ( )

0 0 = 

→ =

τ ′

, ,

2 4 3 6

C C

→ − 

 1

x x

γ' 

 ;

Per determinare l'equazione della curva trasformata utilizziamo la sostituzione → − 

 2

y y

7

( )

γ = 

→ γ − = − ↔ = − +

τ ′ 2

2 2

otteniamo: : y x : y 2 x 1 y x 2 x 3 C'

6

5 C

E' semplice verificare che, come dovevamo aspettarci, i punti A', B', C' 4

γ'.

appartengono alla parabola B'

3 y=x^2

2 y=x^2-2x+3 A' B

1

0 A

-1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

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3 Trasformazioni del piano e grafici

 

1

( ) γ ′

γ: γ: = τ δ  

2. Assegnate la funzione y | x

| e le trasformazioni 1

,− 4 e 3

, e

, determinare le equazioni ed i grafici delle curve

 

2

γ ′′ = τ ⋅ δ = δ ⋅ τ

γ T T

, ottenute da applicando le trasformazioni composte e rispettivamente.

1 2

Definizione: il prodotto (o composizione) di due o più trasformazioni è l'applicazione successiva delle trasformazioni con la

⋅ ⋅

seguente regola: se t e t sono le due trasformazioni, il prodotto t t impone che si applichi prima t e poi t , mentre t t

1 2 1 2 1 2 2 1

esattamente il contrario.

In generale il prodotto di trasformazioni non gode della proprietà commutativa. 5

τ δ,

La trasformazione T , composizione della traslazione e della dilatazione si 4

1 y=|x|

δ τ; 3

ottiene applicando prima e poi mentre la trasformazione T si ottiene y=1/6|x-1|-4

2 y=1/2|x/3-1|-2

2

τ δ.

applicando prima e poi 1

0

-1

-2

-3

− −

x x 1 x 1

x -4

• γ = 

→ = ↔ = 

→ γ + = ↔ = −

δ τ ′

T : : y | x | 2 y y : y 4 y 4

1 -5

3 6 6 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 1 x

• γ = 

→ + = − ↔ = − − 

→ γ = − − ↔ = − −

τ δ ′

T : : y | x | y 4 x 1 y x 1 4 :

2 y 1 4 y 1 2

2 3 2 3

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3 Trasformazioni del piano e grafici

3. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni indicando le trasformazioni che consentono di ottenerli a partire dal grafico di

opportune funzioni elementari.

 

3

• = − −

 

y 2 x 3 = 2 x

 

2 =

Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y x utilizzando, ad esempio, le trasformazioni:

∗ ∗

Una dilatazione sulle y di rapporto n=2 ed una traslazione Una traslazione sulle y verso il basso di modulo q= -3 ed una

sulle x verso destra di modulo p = 3/2: compressione sulle x di rapporto m=1/2:

 

3  

τ    

3

0 ,

( ) 1

δ δ

 

=  

→ =  

→ = −  

 

1 , 2 1

,

2 ( )

2 2

y x y x y x τ −  

=  

→ = −  

→ = −

0 , 3 2

  3 2 3

y x y x y x

2 4

4 3

3 y=x y=x

y=2x y=x-3

y=2x-3 y=2x-3

2

2 1

1 0

0

-1 -1

-2 -2

-3 -3

-4 -4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

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3 Trasformazioni del piano e grafici

[ ]

( ) ( )

1 1 1 1 1

( ) ( )

• = + + = + + − = + − = + −

2 2

2 2 2

y x x = x 4 x x 4 x 4 4 x 2 4 x 2 1

4 4 4 4 4

= 2

Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y x utilizzando, ad esempio, le trasformazioni:

∗ ∗

Una traslazione sulle x verso sinistra di modulo p=-2 e Una dilatazione sulle x di rapporto m=2 ed una traslazione

sulle y verso il basso di modulo q= -4 ed una sulle x verso sinistra di modulo p = -2 e sulle y verso il basso

compressione sulle y di rapporto n=1/4: di modulo q = -1:

  2

( )  

1

δ x 1 1 ( )

  ( ) ( )

1

1

,

( ) ( )

( ) δ τ − −

=  

→ = =  

→ = + −

2

 

τ − −   2 ,

1 2 , 1

=  

→ = + −  

→ = + − 2 2

2

2

2 4

, y x y x y x 2 1

4

2 2 4

y x y x y x 2 4  

2 4 4

4

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

y=x^2 y=x^2

-2 -2

y=(x+2)^2-4 y=1/4 x^2

-3 y=1/4x^2+x -3 y=1/4x^2+x

-4 -4

-5 -5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

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3 Trasformazioni del piano e grafici

 

1

• = − − + − − + = − − −

 

y 3 x 6 1 = 3 x 2 1 3 x 2

 

3 =

Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y x utilizzando, ad esempio, le trasformazioni:

∗ Una simmetria rispetto all'asse x, una dilatazione su y di rapporto n=3, una traslazione 5

4

su x verso destra di modulo p=2 e su y verso l'alto di modulo q=1. 3 y=|x|

y=-|x|

2 y=-3|x|

( ) ( )

δ τ

= 

→ = −  

→ = −  

→ = − − +

σ -|3x-6|+1

1 , 3 2 ,

1 1

y x y x y 3 x y 3 x 2 1

x 0

-1

-2

-3

-4

-5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

5

∗ Una traslazione su x verso destra di modulo p=2 e su y verso il basso di modulo q=-1/3, 4

una simmetria rispetto all'asse x, una dilatazione su y di rapporto n=3: 3

2

1

 1    

τ − 

 1 1 1

2 , ( ) 0

δ

  σ

=  

→ = − − 

→ = − − −  

→ = − − −

   

1 ,

3

3 x

y x y x 2 y x 2 y 3 x 2 y=|x|

    -1 y=|x-2|-1/3

3 3 3 y=-(|x-2|-1/3)

-|3x-6|+1

-2

-3

-4

-5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

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3 Trasformazioni del piano e grafici

7

+ 7 7 1

6 x 2 2

• = − + = − + =− +

y = 3 3 3

+ + 3 3

2 x 3 2 x 3 2

+ +

x x

2 2 1

=

Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y utilizzando, ad esempio, la seguente trasformazione:

x 6

un'affinità di rapporti m=1, n=-7/2 ed una traslazione di moduli p=-3/2 e q=3. 5

4

3

    2

7 3

α τ −

   

1 7 1 7 1

1 3

, ,

    1

=  

→ = − ⋅  

→ = − ⋅ +

2 2

y y y 3 0

3

x x

2 2 + -1

x -2 y=1/x

2 -3 y=-7/2*1/x

-4 y=(6x+2)/(2x+3)

-5

-6

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

4. Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari:

( ) ( ) ( ) ( )

= +

• − = − + = + =

2

2 2

f x x 4 : è una funzione pari, poiché f x x 4 x 4 f x

( ) ( ) ( ) ( )

= ⋅

• − = ⋅ − = − ⋅ = −

3

3 3

f x 5 x : è una funzione dispari, poiché f x 5 x 5 x f x ( )

 f x

( ) ( ) ( )

( ) = + +

• − = − + − + = − + ≠

2 2 

2

f x x x 1 : non è né pari né dispari, poiché f x x x 1 x x 1 ( )

− f x

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4 Equazioni, disequazioni e sistemi

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI

R ICHIAMI DI TEORIA

Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale. Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo

( ) =

costituiscono l' insieme degli zeri della funzione: determinarli significa risolvere l' equazione, nell'incognita x, f x 0.

Gli elementi del dominio per cui f assume un prefissato valore reale k costituiscono l' insieme di livello k della funzione.

( ) >

L' insieme di positività della funzione è costituito dall'insieme degli x del dominio di f per cui risulta f x 0 , che è una

disequazione nell'incognita x.

Analogamente si possono considerare l' insieme di negatività, definito da f(x)<0, l' insieme di non negatività, definito da f(x)≥0,

e l' insieme di non positività, definito da f(x)≤0.

Osservazione: graficamente l'insieme degli zeri di f è costituito dai punti di intersezione tra il grafico della funzione e l'asse x;

l'insieme di livello k è costituito dai punti di intersezione tra il grafico della funzione e la retta y=k; l'insieme di positività è

l'insieme degli x∈ dom f per cui il grafico di f si svolge "al di sopra" dell'asse x.

Definizione: si ha un sistema di equazioni quando, assegnate due o più equazioni, si vuole determinare l'intersezione degli

insiemi delle loro soluzioni. ~

( ) ( )

( ) ( ) = ~

= f x g x

Definizione: due equazioni f x g x e si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è anche soluzione

della seconda e ogni soluzione della seconda è anche soluzione della prima.

In modo analogo si definisce l'equivalenza di disequazioni, di sistemi di equazioni e di sistemi di disequazioni.

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4 Equazioni, disequazioni e sistemi

( ) ( )

= ∈ ∩

Proposizione: l'equazione f x g x (1) (che ha significato solo se x dom f dom g ) si trasforma in una equazione

equivalente aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri una medesima funzione definita in R.

Dall'equazione (1) si ottiene un'equazione equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una medesima funzione

definita in R e diversa da zero. ( ) ( )

> ∈ ∩

Proposizione: la disequazione f x g x (2) (x dom f dom g ) si trasforma in una disequazione equivalente aggiungendo o

sottraendo ad ambo i membri una medesima funzione definita in R.

Dalla (2) si ottiene una disequazione equivalente moltiplicando o dividendo ambo i membri per una medesima funzione definita

in R e strettamente positiva.

Moltiplicando o dividendo ambo i membri della (2) per una funzione h(x) definita in R e strettamente negativa si ottiene la

( ) ( ) ( ) ( )

⋅ < ⋅

disequazione equivalente f x h x g x h x . ≤ ≥

Analoghe considerazioni possono essere fatte per disequazioni in cui compaiono simboli< , , oppure .

ESEMPI Equazioni e disequazioni di primo grado

+ =

Un'equazione di primo grado ha la forma ax b 0 , dove a, b∈ R.

b

≠ = −

se a 0 l'equazione è determinata ed ha la soluzione x ;

a

= ≠

a 0

se e b 0 l'equazione non ha soluzioni e viene detta impossibile;

= =

a 0

se e b 0 l'equazione è soddisfatta per qualsiasi valore di x e viene detta identità.

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4 Equazioni, disequazioni e sistemi

+ = = +

Graficamente l'equazione ax b 0 rappresenta il punto di intersezione (se a≠0) tra la retta y ax b e l'asse delle ascisse.

( ) = − +

1. Determinarne l'insieme degli zeri e l'insieme di positività della funzione f x 3

x 2 . Interpretare graficamente i risultati

ottenuti. 2

( ) = ↔ − + = ↔ =

Per determinare l'insieme degli zeri di f risolviamo l'equazione f x 0 3

x 2 0 x 3 2

( ) > ↔ − + > ↔ − > − ↔ <

Per determinare l'insieme di positività di f risolviamo la disequazione f x 0 3

x 2 0 3

x 2 x 3

La retta ha un solo punto di intersezione con l'asse x P = (2/3,0 ). Il grafico di f si svolge al di sopra dell'asse delle ascisse per tutti

gli x∈(-∞,2/3). 20 y=-3x+2

15 Insieme di positività

10 intersezione con asse x

5 P=(2/3,0)

0

-5

-10

-15

-3 -2 -1 0 1 2 3

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4 Equazioni, disequazioni e sistemi

Equazioni e disequazioni di secondo grado

+ + =

2

Un'equazione di secondo grado ha la forma ax bx c 0 , dove a, b,c∈ R, con a≠0.

∆ = −

2

L'espressione b 4 ac è detta discriminante.

Abbiamo 3 casi possibili: − ± ∆

b

• ∆ > =

se 0 l'equazione ha due soluzioni distinte x ;

1 , 2 2 a b

• ∆ = = −

se 0 l'equazione ha un'unica soluzione (o due soluzioni coincidenti) x ;

2 a

• ∆ <

se 0 non esistono soluzioni reali .

+ + = = + +

2 2

Graficamente l'equazione ax bx c 0 rappresenta i punti di intersezione (se esistono) tra la parabola y ax bx c e l'asse

delle ascisse.

2. Risolvere, interpretandole graficamente, le seguenti disequazioni di secondo grado:

• − + >

2

x 5

x 6 0 γ = − +

2

: y x 5 x 6

Graficamente dobbiamo determinare i valori di x per cui la parabola sta al di sopra dell'asse delle ascisse.

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4 Equazioni, disequazioni e sistemi

γ − + =

2

Determiniamo gli zeri di risolvendo l'equazione x 5

x 6 0 : 5

=

± x 2

5 1

( ) y=x^2-5x+6

∆ = − − ⋅ = = ⇒

2 1

, x

5 4 6 1 Intersezioni con asse x

=

1 , 2 4 Insieme di positività

x

2 3

2

Dal disegno osserviamo che il grafico della parabola si svolge al di 3

sopra dell'asse x per x∈(-∞,2) (3,+∞). 2

γ = 2

Otteniamo il grafico di partendo dal grafico di y x con la seguente 1

 

5 1 2

 

τ −

  5 1

,

 

=  

→ = − − = − +

 

2 2 4 2

trasformazione: y x y x x x

5 6

 

2 4 0

γ

Il vertice di è, quindi, il punto V = (5/2,-1/4). -1 -1 0 1 2 3 4 5

 

b

= + + = − −

 

2

Osservazione : in generale, assegnata la parabola di equazione y ax bx c , il vertice è il punto V , ;

 

2 a 4 a

se a>0 la concavità è rivolta verso l'alto, se a<0 verso il basso.

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4 Equazioni, disequazioni e sistemi

• + + >

2

x 2 x 3 0 5

γ: = + +

2

La parabola y x 2 x 3 ha il vertice nel punto V = (-1,2), 4 y=x^2+2x+3

∆= 3

non ha intersezioni con l'asse x, essendo -8<0 e la concavità è Insieme di positività

γ

2

rivolta verso l'alto (nel passaggio da y=x a non ci sono 2

γ

simmetrie). Quindi il grafico di si svolge al di sopra dell'asse x e 1

pertanto la disequazione è verificata da qualsiasi x∈R. 0

-1

-5 0 5

• − + ≤

2

x 4 x 4 0 5 y=x^2-4x+4

γ: = − +

2 Intersezione con asse x

La parabola y x 4 x 4 ha: Insieme di non positività

4

- il vertice nel punto V = (2,0) 3

∆=

- una sola intersezione con l'asse x nel punto x=2, essendo 0, 2

- la concavità rivolta verso l'alto (a=1>0). 1

γ

Dobbiamo determinare gli x per cui la parabola sta al di sotto o 0

interseca l'asse x: la soluzione della disequazione è x=2. -1 -2 -1 0 1 2 3 4 5

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• − + − ≥

2

x 9 x 18 0 5

γ: = − + −

2 4

Consideriamo la parabola y x 9 x 18 ; essa ha: y=-x^2+9x-18

Intersezioni con asse x

3 Insieme di non negatività

2

- il vertice nel punto V = (9/2, 9/4), 1

∆=

- due intersezioni con l'asse x (x = 3, x = 6) essendo 9>0, 0

1 2 -1

- la concavità rivolta verso il basso (a = -1<0). -2

-3

Il grafico della parabola si svolge al di sopra o interseca l'asse x -4

-5

nell'intervallo chiuso [3, 6]. -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Equazioni e disequazioni fratte

x 4

( ) = ≥

3. Determinare l'insieme dei numeri reali per cui risulta f x 0 (3)

2 x 1

• Primo metodo

L'insieme delle soluzioni della (3) è l'unione delle soluzioni dell'equazione f(x) = 0 e delle disequazione f(x)>0.

( ) = ↔ − = ↔ = =

Un quoziente è nullo se e solo se è nullo il suo numeratore: quindi f x 0 x 4 0 x 4 S .

1

Un quoziente è strettamente positivo se il numeratore ed il denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi. Quindi

l'insieme delle soluzioni della disequazione f(x)>0 corrisponde all'unione delle soluzioni dei sistemi I e II:

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8 y=x-4

y=2x-1

> 6

 x 4

− >

   

x 4 0 1

( ) ( ) 4

↔ ↔ +∞ ∩ +∞ = +∞

 

 

I : , , ,

4 4

1  

− > > 2

 x

2 1 0 2

x

 2 0

-2

-4

-6

-8

-10

-10 -5 0 5 10

10

8

6

4

<

 x 4

− <

  2

   

x 4 0 1 1

( )

↔ ↔ −∞ ∩ −∞ = −∞

   

 

II : ,

4 , ,

1 0

   

− < <

 x

2 1 0 2 2

x

 -2

 y=x-4

2 y=2x-1

-4

-6

-8

-10

-10 -5 0 5 10

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 

1 ( )

= −∞ ∪ +∞

 

Unendo le soluzioni dei sistemi I e II otteniamo: S 4

, , .

 

2 2  

1 [ )

= ∪ = −∞ ∪ +∞

 

La soluzione S della disequazione (3) è, dunque: S S S , 4 ,

 

1 2 2

• Secondo metodo

Risolviamo la disequazione graficamente, cercando l'insieme di non negatività di f(x).

5

Otteniamo il grafico di f(x) partendo da y=1/x ed applicando la 4 y=(x-4)/(2x-1)

τ(1/2,12)⋅α(1,-7/4).

trasformazione 3 Insieme di non negatività

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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• Terzo metodo

Risolviamo la disequazione algebricamente, studiando il segno del numeratore e del denominatore, per mezzo della tabella

seguente: ≥ ↔ ≥

N 0 x 4

1 In generale il segno di una funzione razionale si può studiare in

> ↔ >

D 0 x modo algebrico usando la regola seguente

2 1. Si studia la positività di ogni fattore di I o di II grado facendo

corrispondere ad ogni disequazione un asse orizzontale della

tabella.

4

1/2 2. Su ciascun asse si riportano le zone di positività (linea continua)

R e di negatività (linea tratteggiata) del corrispondente fattore.

3. Si esegue il prodotto dei segni dei fattori nei singoli intervalli: la

soluzione è l'unione degli intervalli in cui si è ottenuto il segno

+, se è richiesto l'insieme di positività, o il segno -, se è richiesto

+

-

+ l'insieme di negatività.

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+ >

2

x x 2

4. Risolvere graficamente la disequazione = + =

2

y x x y 2

Si tratta di trovare le x per cui il grafico della funzione si svolge al di sopra del grafico della funzione .

( )

=

Osservazione: in generale il grafico della funzione y f x coincide con quello di f(x) nell'insieme dei punti in cui f è positiva o

nulla, mentre è ottenuto applicando a f una simmetria rispetto all'asse x nell'insieme dei punti in cui f è negativa.

Disegniamo le funzioni: osserviamo che si intersecano in

due punti di ascissa x e x . Il grafico della funzione 5

1 2

2

y=|x +x| si svolge al di sopra del grafico della funzione

( ) ( )

∈ −∞ ∪ +∞ 4

y=2 per x , x x , . y=|x^2+x|

1 2 y=2

soluzione

3

2

Otteniamo x e x intersecando il ramo di y=|x +x| "non

1 2

2

ribaltato" (y= x +x) con y=2, vale a dire risolvendo 2

+ =

2

l'equazione x x 2 , le cui soluzioni sono

= − = 1

e

x 2 x 1 .

1 2 0

Quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione è : x1 x2

-1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

( ) ( )

= −∞ − ∪ +∞

S , 2 1

,

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< +

4 2

5. Risolvere graficamente la disequazione x 3

x 4 = = +

4 2

Si tratta di trovare le x per cui il grafico della funzione y x si svolge al di sotto del grafico della funzione y 3

x 4 .

Disegniamo le funzioni: osserviamo che si intersecano in due punti di

4

ascissa x e x . Il grafico della funzione y=x si svolge al di sotto del

1 2 ( )

2

grafico della funzione y=3x +2 per x x , x . 40

1 2 y=x^4

35 y=3x^2+4

soluzione

30

Otteniamo x e x intersecando le due curve, vale a dire risolvendo

1 2 25

= +

4 2

l'equazione x 3

x 4 (4). 20

15

La (4) è una equazione biquadratica: si può ricondurre ad una equazione 10

=

2

di secondo grado mediante la sostituzione x t : 5

0

= → = → = ±

2 x1 x2

t 4 x 4 x 2

2 =

− − = ← 

→ − − = → -5

4 2 x t 2 1 1 , 2

x 3

x 4 0 t 3

t 4 0 = − → = − →

2

t 1 x 1 impossibile -10

2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

( )

= −2

Quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione è : S , 2

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POLINOMI

R ICHIAMI DI TEORIA

Definizione: un polinomio ( o funzione polinomiale) nella variabile x di grado n a coefficienti reali ha la forma

( ) = + + ⋅ ⋅ ⋅ + ≠

n k

A x a a x a x a , a ,..., a a 0

, dove sono numeri reali assegnati e . Ogni singolo addendo a x si dice

n 0 1 n 1 0 1 n n k

a

monomio di grado k ed il numero si dice coefficiente del termine di grado k. Il grado di un polinomio è determinato dalla

k

massima potenza di x il cui coefficiente è non nullo.

Proposizione (Principio di identità dei polinomi): due polinomi sono uguali se hanno lo stesso grado e hanno ordinatamente

uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado. ( )

A x

( )

( ) ( ) = n

Definizione: dati due polinomi A x e B x , la funzione f x viene detta funzione razionale (o funzione razionale

( )

n m B x

n ( ) =

B x 0 .

fratta); essa è definita in tutto R esclusi gli eventuali punti x in cui m

( ) ( ) ( )

n m

Teorema: siano A x e B x due polinomi, rispettivamente di grado n ed m, con . Esistono due polinomi Q x e

n m

( )

R x tali che : ( )

• il grado di R x è strettamente minore di m;

( ) ( ) ( ) ( )

• = ⋅ +

vale la relazione A x B x Q x R x . (1)

n m

( ) ( )

Il polinomio Q x , di grado n-m, è detto quoziente della divisione e il polinomio R x resto della divisione.

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5 Polinomi

( ) ( ) ( )

Definizione: se nella relazione (1) il polinomio R x è il polinomio nullo allora si dice che A x è divisibile per B x o che

n m

( ) ( )

B x è divisore di A x .

m n ( ) ( )

− =

x c

Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio A x sia divisibile per è che A c 0.(2)

n n

( ) ( ) ( )

=

Definizione: un numero c tale che A c 0 è detto radice o zero del polinomio A x . Le radici di A x si dicono anche

n n n

( ) =

radici o soluzioni dell'equazione A x 0 .

n

( ) ( )

n 1

Definizione: un polinomio A x di grado si dice irriducibile se non esiste nessun divisore di A x che abbia grado m

n n

con 0<m<n.

Teorema: nell'insieme dei polinomi a coefficienti reali vi sono due tipi di fattori irriducibili: i binomi di primo grado e i trinomi

di secondo grado a discriminante negativo. Ogni polinomio ammette una fattorizzazione del tipo

( ) ( )

( ) ( )

( ) l l

= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +

m m 1 h

2 2

1 k

A x a x c x c x p x q x p x q (3)

n n 1 k 1 1 h h

( ) m , m ,..., m

c , c ,..., c A x di molteplicità, rispettivamente, , mentre i trinomi di

I numeri sono le radici reali distinte di n 1 2 k

1 2 k + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ =

m m m 2 l 2 l n

secondo grado della (3) hanno discriminante negativo e vale la relazione .

1 2 k 1 h

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ESEMPI

Ricordiamo che: ( )

+ = +

• k k k

a x b x a b x somma di due monomi di uguale grado (monomi simili)

k k k k

( )

− = −

• k k k

a x b x a b x differenza di due monomi di uguale grado

k k k k

+

⋅ =

• k p k p prodotto di due monomi

a x c x a c x

k p k p

k

a x a

• ≥ ≠

= −

k p

k k x p e c 0) quoziente di due monomi

(se k p

p

c x c

p p

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5 Polinomi

1. Eseguire le seguenti operazioni tra polinomi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− + − + − + − + − − + + −

• − + − − + −

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

3

x 2 x 4 2 5

x x 2 x 3 3 10 x 2 2 x 4 x 4 6

= 3

x 2 x 4 10

x 2 x 4 x 6 = =

− − + −

3 2

= 7 x 4 x 4 x 2 .

{ }

[ ] [ ]

( ) − + + + − − + +

• − − − + − − − + 2 2

2 2 6 x 6 4 ax 4 3

x ax 5 2 ax 7 x

6 x 6 4 ax 4 3

x ax 5 2 ax 7 x = =

( ) ( ) ( )

+ + − + + − + − + + −

− + + + − − + +

2 2 2 2

6 3 x 4 a a 2 a 7 x 6 4 5 9 x 5

a 7 x 7

= 6 x 6 4 ax 4 3

x ax 5 2 ax 7 x = =

( ) ( ) ( )

− ⋅ + − − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ −

• − − + +

2 4 3 6 5 3 2

2 4 2 3 2 2

3

x x 2 x 4 x 3 3

x x 3

x 2 x 3

x 4 x 3

x 3

= = 3

x 6 x 12 x 9 x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ −

• − − + + − − + −

2 3 2 2 3 2

2

2 x 3

x 2 x 1 2 x x 1 3

x x 1 2 x 1

= = 2 x 2 x 3

x 3

x 2 x 2 = 2 x 5

x 5

x 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) − − + ⋅ − − + ⋅ −

• − ⋅ − ⋅ − − − + + −

3 2 2

2 2

2 x 3

x 2 x 3 3

x 5 2 x 5

x 3 3

x 5

x 1 2 x 3 3

x 5 = = = 6 x 10

x 25

x 25

x 9 x 15 =

− + −

3 2

6 x 35

x 34 x 15 .

+ −

5 3 2 5 3 2

4 x 3

x 5

x 4 x 3

x 5

x 4 3 5 3 5

• + − + − + −

− − −

5 2 3 2 2 2 3

= = x x x = 2 x x

2 2 2 2

2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 2 2 2

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Prodotti notevoli

( ) ( )

• + ⋅ − −

2 2

x a x a = x a differenza di quadrati

( )

• + + +

2 2 2

x a = x 2 ax a quadrato di un binomio

( )

• + + + +

3 3 2 2 3

x a = x 3

ax 3

a x a cubo di un binomio

( )

( )

+ ⋅ − +

• +

2 2 3 3

x a x ax a = x a somma di cubi

( )

( )

− ⋅ + +

• −

2 2 3 3

x a x ax a = x a differenza di cubi

2. Calcolare i seguenti prodotti notevoli:

( ) ( ) ( ) ( )

• − ⋅ + − −

2 2 2 2

3

x 4 a 3

x 4 a = 3

x 4 a = 9 x 16 a

[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

+ −

• − + ⋅ ⋅ − + − − +

2 2 2 2

2 x 5

2 x 5 = = 2 x 2 2 x 5 5 = 4 x 20

x 25

[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3

+ −

• − + − + − + − − + −

3 3 2 2 3 3 2

3

x 2

3

x 2 = = 3

x 3 3

x 2 3 3

x 2 2 = 27 x 54 x 36

x 8

( )

( )

− + +

• − −

3 3 3

2

x 2 x 2 x 4 = x 2 = x 8

( )

( ) ( )

+ ⋅ − +

• + +

3

2 2 3 3

3

2 x a 4 x 2 ax a = 2 x a = 8 x a

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3. Eseguire le seguenti divisioni applicando, se è possibile la regola di Ruffini.

( ) ( )

− + − + ÷ − +

• 4 3 2 2

3

x 4 x 7 x x 1 x x 1 −

x c

Non è possibile applicare l'algoritmo di Ruffini, in quanto il polinomio divisore non è della forma ; eseguiamo, quindi, la

divisione : 1. I polinomi A (x) (dividendo) e B (x) (divisore) sono ordinati secondo

4 2

− + − + − +

4 3 2 2

3

x 4 x 7 x x 1 x x 1 potenze decrescenti.

2. Calcoliamo il quoziente tra i monomi di grado massimo di A (x) e

− +

4 3 2 4

3

x 3

x 3

x − +

2

3

x x 3 4 2 2

B (x): 3x /x =3x .

2

− + − +

3 2

/ / x 4 x x 1 ⋅

2 4 3 2

3. Calcoliamo il prodotto 3x B (x) = 3x -3x +3x .

2

− + −

3 2 ⋅

x x x 2 3 2

4. Calcoliamo R (x) = A (x)- 3x B (x)= -x +4x -x+1.

3 4 2

5. Ripetiamo il procedimento dividendo il monomio di grado più

+

2

/ / 3

x / / 1 elevato di R (x) con il monomio di grado massimo di B (x),

3 2

− +

2

3

x 3

x 3 ottenendo il quoziente parziale Q (x)= -x ed il resto parziale R (x) =

1 2

+ −

/ / 3

x 2 2

3x +1.

( ) ( )

= − + = − 6. L'algoritmo termina quando il grado del resto ottenuto è minore del

2

Q x 3

x x 3 , R x 3

x 2 .

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( ) ( )

− + ÷ +

• 3

x 7 x 6 x 1 ( )

( ) ( )

( )

− + = − −

Il polinomio divisore è di primo grado, riconducibile alla forma x c : x 1 x 1 ; possiamo, quindi, effettuare la

divisione utilizzando l'algoritmo di Ruffini :

coefficienti del dividendo | termine noto

1 0 -7 6

c = -1 -1 1 6

12

1 -1 -6

coefficienti quoziente resto

( ) =

= − −

2 R 12

Q x x x 6

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4. Scrivere la seguente funzione razionale come somma di un polinomio e di una funzione razionale il cui numeratore ha grado

+ + +

5 3 2

3

x 10

x x 3

( ) =

minore del denominatore. f x −

3

x 2

( )

A x

( ) = ≥

n

Consideriamo la funzione razionale f x e supponiamo n m.

( )

B x

n

Dalla la relazione ( ) ( ) ( ) ( )

= ⋅ +

A x B x Q x R x

n m

( )

dividendo ambo i membri per B x , otteniamo:

m ( ) ( )

A x R x

( ) ( )

= = +

n

f x Q x

( ) ( )

B x B x

m m

dove il grado di R(x) è minore di m.

( ) ( )

= + + + = −

5 3 2 3

A x 3

x 10 x x 3 B x x 2

Nel nostro caso e .

5 3

( ) ( )

= + = +

2 2

Q x 3

x 10 R x 7 x 23

Dividendo A per B , otteniamo e

5 3 +

2

7 x 23

( ) = + +

2

Quindi : f x 3

x 10 −

3

x 2

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( ) = − + − +

4 3 2

A x 12 x 11

x 5

x 14 x 8

5. Dire se il polinomio è divisibile per i seguenti polinomi di primo grado:

4

( )

• −

x 3

Applicando il teorema (2), abbiamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − + − + = − + − + = ≠

4 3 2

A 3 12 3 11 3 5 3 14 3 8 972 297 45 42 8 686 0

4 ( )

A non è divisibile per x 3

4 ( )

• +

x 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− = − − − + − − − + = + + + + = ≠

4 3 2

A 1 12 1 11 1 5 1 14 1 8 12 11 5 14 8 50 0

4 ( )

+

A non è divisibile per x 1

4 ( )

• −

x 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − + − + = − + − + =

4 3 2

A 1 12 1 11 1 5 1 14 1 8 12 11 5 14 8 0

4 ( )

A è divisibile per x 1

4

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6. Scomporre in fattori i seguenti polinomi

( ) ( )

+ + + +

• 4 3 2 2 2

x x x x x x 1

= ( )

+ +

2

x x 1

Abbiamo effettuato un raccoglimento a fattore totale. Il trinomio di secondo grado è irriducibile avendo il

∆ = −3

discriminante negativo.

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − + ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −

• − ⋅ − ⋅ +

3 2 2

2 2

x 3

x 4 x 12 x x 3 4 x 3 x x 3 4 x 3 x 3 x 4

= = = = x 3 x 2 x 2 .

Abbiamo effettuato un raccoglimento a fattore parziale e, successivamente, abbiamo usato il prodotto notevole differenza di

quadrati.

• −

6

x 64

Ricordiamo la seguente −

− +

n n x a

x a x a

Proposizione: il binomio è sempre divisibile per ; se n è pari è divisibile anche per .

− +

− −

6 6 6 x 2 x 2

Pertanto x 64 = x 2 risulta divisibile per e per .

Possiamo scomporre il binomio utilizzando, ad esempio, l'algoritmo di Ruffini oppure vedendolo prima come differenza di

quadrati e poi come somma e differenza di cubi:

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5 Polinomi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

− − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + − ⋅ + ⋅ + + ⋅ − +

6 3 3 2 2 2 2

x 64 x 8 x 8 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2 x 4

= = =

I trinomi di secondo grado sono irriducibili avendo entrambi il discriminante negativo.

• +

5

x 243

Ricordiamo la seguente: + + − +

n n

Proposizione: il binomio x a è divisibile per x a ; se n è dispari; se n è pari non è divisibile né per x a né per x a .

+ + +

5 5 5

Pertanto x 243 = x 3 risulta divisibile per x 3 . Eseguiamo la divisione con l'algoritmo di Ruffini:

243

1 0 0 0 0

81

-27 -243

-3 -3 9 -27 81 0

1 -3 9

( ) = − + − + R = 0

4 3 2

Q x x 3 x 9 x 27 x 81

( )

( )

+ ⋅ − + − +

+

5 4 3 2

x 3 x 3 x 9 x 27 x 81

Quindi x 243 = .

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5 Polinomi

( ) = + − +

• 3 2

A x x 3 x 25 x 21

3

Ricordiamo le seguenti regole : ( ) = + + ⋅ ⋅ ⋅ +

n n 1

A x x a x a a ,..., a

− −1

Regola 1: le eventuali radici intere di , dove sono interi, sono da cercare tra i

n n 1 0 n 0

sottomultipli di a0, compresa l'unità, presi sia con il segno positivo, sia con il segno negativo.

( ) = + + ⋅⋅⋅ +

n n n 1

A x a x a x a a ,..., a

Regola 2: le eventuali radici razionali di , dove sono interi, sono da cercare tra i

n n 1 0 n 0

±

razionali della forma p / q , dove p è un sottomultiplo di a , compresa l'unità, mentre q è un sottomultiplo di a , compresa

0 n

l'unità. ( ) ( ) ( )

±1, ±3, ±7, ±21; = = =

Applicando la regola 1: i sottomultipli del termine noto a = 21 sono Abbiamo A 1 0 , A 3 0 , A 7 0 ,

0 3 3 3

vale a dire 1, 3, 7 sono radici di A ; quindi A è divisibile per i polinomi di primo grado x-1, x-3, x-7:

3 3

( )( )( )

+ − + − − −

3 2

x 3 x 25

x 21 = x 1 x 3 x 7

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7 Funzioni Radice

FUNZIONI RADICE

R ICHIAMI DI TEORIA ( ) = dom f Im f grafici

n

f x x 2

1.5 n=3

n=5

n=7

1 n=9

0.5

0

n dispari R R -0.5

-1

-1.5

-2 -2 -1 0 1 2

Grafici di funzioni radici con n pari

2.5 n=2

2 n=4

n=6

n=8

1.5

[ [

) )

0,+∞ 0,+∞ 1

n pari 0.5

0

-0.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

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7 Funzioni Radice

Proposizione: le funzioni radice verificano le relazioni:

( ) [ )

n = ∈ +∞ ≥

n x x x n

per ogni 0 , , 1

[ )

= ∈ +∞ ≥

n n

x x per ogni x 0

, , n 1 ≥ ≥

Proposizione: siano a e b numeri reali tali che a, b 0 e siano n ed m numeri naturali tali che n, m 1. Valgono le seguenti

proprietà:

= ⋅

n n n

1. ab a b

n

a a

=

2. n n

b b

( ) m = m

n

n a a

3. = ⋅

m n n m

a a

4. = ⋅

n m n

m

5. a a

Definizione: 1 =

≠ ≥ n

x x

n

se n∈N, n 0 e se x 0 definiamo ; p = q

q p

≥ x x

se p e q interi positivi, primi tra loro, e se x 0 definiamo ;

p

− 1

=

q

x

se p e q interi positivi, primi tra loro, e se x> 0 definiamo .

p

q

x

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7 Funzioni Radice

E

SEMPI 4 8 12

1. Ridurre allo stesso indice i radicali seguenti 5, 2 , 3 , 7 .

( ) =

Calcoliamo il m.c.m tra gli indici dei radicali: m

. c

. m 2 ,

4 ,

8 ,

12 24

24

2 24

2 = = = =

= = = ⋅ ⋅

⋅ 4 6 6 24 6 8 3 3 24 3

2 12 12 24 12 4 8

2 , ,

Utilizzando la proprietà (5) possiamo scrivere: 5 5 5 5 2 2 2 3 3 3

,

= =

12 2 2 24 2

12 7 7 7 ⋅ ≥

+ + +

3 m 3 2 m 2 m 1

2. Semplificare l'espressione a b , dove a, b 0.

Utilizzando la proprietà (5), abbiamo: ( )

( ) +

( )

+ ( ) m 1

+

3 m 1

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

+ + + + +

2 m 1

3 m 3 2 m 2 m 1 m 1 3 m 1 2 3 2

a b a b a b a b

1 xy ≥0.

3. Ridurre ad un unico radicale, supponendo x>0 e y

x 2

Applicando le proprietà delle radici otteniamo:

2 2

   

1 xy 1 xy 1 xy 1 xy y

⋅ = ⋅ = ⋅ =

=    

  

 2

x 2 x 2 x 2 x 2 2 x

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7 Funzioni Radice

4. Date le seguenti espressioni, portare fuori segno di radice i fattori il cui esponente è maggiore o uguale all'indice della

radice.

• ≥0

2 5 3

50

a b x con a, b, x ⋅ = ⋅ = ≥

n n n n n n

In generale, applicando le proprietà delle radici, abbiamo a b a b a b , supponendo a, b 0.

Cerchiamo di isolare nel radicando un fattore di esponente 2 (indice della radice):

( ) 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

2 5 3 2 2 4 2 2 2

50

a b x 2 5 a b b x x 5

ab x 2 bx 5

ab x 2 bx

• 2 3 4

8 x y z

Osserviamo che, a differenza dell'esercizio precedente, in questo caso non è stato specificato il campo di variabilità di x e y:

occorre, dunque, applicare le proprietà con una certa cautela (ricordiamo che le proprietà sono valide se i fattori che compongono

il radicando sono positivi). ≥

 x se x 0 =

=

2 

In generale, per ogni x∈R, x x , poiché la radice quadrata, come ogni radice di indice pari, è una quantità

− <

 x se x 0

positiva. ( ) 2

= ⋅ = ⋅ = ⋅

2 3 4 2 2 2

Tenendo conto di questa osservazione abbiamo: 8 x y z 2 xyz 2 y 2 xyz 2 y 2 z xy 2 y

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AUTORE

Sara F

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica per le applicazioni I. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli insiemi, la retta reale e il piano cartesiano, le funzioni, le trasformazioni del piano e i grafici, le equazioni, le disequazioni e i sistemi, i polinomi, le funzioni radice.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Torino - Unito
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Per Le Applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Torino - Unito o del prof Boieri Paolo.

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