Matematica per le applicazioni I - Appunti

Corso Propedeutico di Matematica

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CeTeM Sommario SOMMARIO

1. Insiemi, retta reale e piano cartesiano 5. Polinomi

Teoria Esercizi

Teoria Esercizi

2. Funzioni 7. Funzioni radice

Teoria Esercizi

Teoria Esercizi

3. Trasformazioni del piano e grafici 8. Esponenziali e logaritmi

Teoria Esercizi

Teoria Esercizi

4. Equazioni, disequazioni e sistemi 9. Funzioni trigonometriche

Teoria Esercizi Teoria Esercizi

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

INSIEMI, RETTA REALE E PIANO CARTESIANO

R ICHIAMI DI TEORIA SUGLI INSIEMI

Un insieme E è definito assegnando i suoi elementi, tutti distinti tra loro:

∈ ∉

se x è un elemento di E scriviamo x E , mentre, se non lo è, si scrive x E . ⊆

Definizione: dato un insieme I, si dice che E è un sottoinsieme di I e si scrive E I se ogni elemento di E è anche un elemento

di I. Se inoltre esiste almeno un elemento di I che non appartiene a E, si dice che E è un sottoinsieme proprio di I e si scrive

⊂ .

E I

Definizione: dati due insiemi A e B, si definiscono i seguenti insiemi:

• ∪

insieme unione = A B è l'insieme degli x che appartengono ad A oppure appartengono a B;

• ∩

insieme intersezione = A B è l'insieme degli x che appartengono ad A e a B;

• insieme differenza = A \ B è l'insieme degli x che appartengono ad A e non appartengono a B

∆

• è l'insieme degli x che appartengono ad A e non appartengono a B oppure che

insieme differenza simmetrica = A B appartengono a B e non appartengono ad A.

⊆

Definizione: Dato un insieme A M , si dice complementare di A ( rispetto a M) e si scrive A l'insieme M \ A .

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano ( )

Definizione: l'insieme dei sottoinsiemi di E si chiama insieme potenza o insieme delle parti di E e si indica con P E .

×

A B

Definizione: dati due insiemi A e B si dice prodotto cartesiano di A e B e si indica con l'insieme delle coppie ordinate

( ) ∈ ∈

a , b con a A e b B .

E

SEMPI

1. Scrivere in notazione insiemistica l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri dispari.

Possiamo descrivere gli insiemi richiesti in due modi differenti:

• Elencandone gli elementi { } { }

= =

P 0

, 2 , 4 , 6

, 8

, 10

, ....... , D 1

, 3

, 5

, 7 , 9 , 11

,.......

• Utilizzando la loro proprietà caratteristica, vale a dire considerandoli come collezione di tutti gli elementi che appartengono

ad un certo insieme più grande che soddisfano una certa proprietà.

{ } { }

= ∈ = ∈ = ∈ = + ∈

P x N

: x 2

n , n N , D x N

: x 2 n 1

, n N

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

{ } { }

= ∈ ≥ − = ∈ <

2. Determinare unione, intersezione e differenza degli insiemi A x Z: x 3 e B x N: x 4 .

{ }

⊂ − − −

A è un sottoinsieme di Z ( A Z ) e contiene i numeri relativi che sono maggiori o uguali a -3, A= 3

, 2 , 1

, 0

, 1

, 2 , 3

, 4 , 5

,.... ,

{ }

=

B è un sottoinsieme di N ( B⊂ N ) e contiene i numeri naturali minori di 4, B 0

, 1

, 2

, 3 .

⊂

Osserviamo che B è sottoinsieme proprio di A ( B A ) e quindi:

{ }

∪ = − − − =

, , , , , , , , , ,....

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

A B A

{ }

∩ = =

, , ,

0 1 2 3

A B B

{ }

= ∈ − ≤ < >

\ Z

: e

3 0 3

A B x x x

{ } { } { }

= ∈ = − = ∈ = = ∈ ≤

3 2

3. Determinare l'insieme delle parti degli insiemi A x Z : x 8 , B x Z: x 1 . e C x N: x 2 .Tenendo conto dei

risultati ottenuti, quanti sono gli elementi dell'insieme delle parti di un insieme di n elementi?

{ } { }

{ }

= − = − =

Gli insiemi A, B, e C contengono rispettivamente uno, due e tre elementi: A 2 , B 1

, 1 , C 0

, 1

, 2 .

{ }

{ }

( ) = ∅ −

P A , 2 P(A) ha 2 elementi

{ }

{ } { } { }

( ) = ∅ − − 2

P B , 1 , 1 , 1

, 1 P(B) ha 4 = 2 elementi

{ }

{ } { } { } { } { } { } { }

( ) = ∅, 3

P C 0 , 1 , 2 , 0

, 1 , 0

, 2 , 1

, 2 , 0

, 1

, 2 P(C) ha 8 = 2 elementi n

E' facile verificare che, in generale, se E è un insieme di n elementi, P(E) contiene 2 elementi.

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

{ } { }

= = × × × ×

4.Dati gli insiemi A 1

, 2 , 3 e B 3

, 4 determinare: A B , B A

, A A

, B B .

{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

× = 1

, 3 , 1

, 4 , 2 , 3 , 2 , 4 , 3

, 3 , 3

, 4

A B { }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

× = 3

, 1 , 3

, 2 , 3

, 3 , 4 , 1 , 4 , 2 , 4 , 3

B A { }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

× = 1

, 1 , 1

, 2 , 1

, 3 , 2 , 1 , 2

, 2 , 2

, 3 , 3

, 1 , 3

, 2 , 3

, 3

A A { }

( ) ( ) ( ) ( )

× = 3

, 3 , 3

, 4 , 4 , 3 , 4 , 4

B B × ≠ ×

Osserviamo che A B B A in quanto le coppie sono ordinate.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

×

A A

Per la stessa ragione nell'insieme gli elementi 1

, 2 , 1

, 3 , 2

, 3 sono distinti dagli elementi 2 , 1 , 3

, 1 , 3

, 2 e nell'insieme

( ) ( )

×

B B gli elementi 3

, 4 e 4 , 3 sono diversi.

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

RICHIAMI DI TEORIA SULLA RETTA REALE ED IL PIANO CARTESIANO

Gli intervalli della retta reale a b a

[ ] ]

{ } { }

(

= ∈ ≤ ≤ −∞ = ∈ ≤

a , b x R : a x b , a x R : x a

R R

] { } { }

a b a

( ( )

= ∈ < ≤ −∞ = ∈ <

a , b x R : a x b , a x R : x a

R R

[ [

{ } { }

) )

a b a

= ∈ ≤ < + ∞ = ∈ ≥

a , b x R : a x b a , x R : x a

R R

{ } { }

( ) ( )

a b a

= ∈ < < + ∞ = ∈ >

a , b x R : a x b a , x R : x a

R R

Definizione: fissato un punto P sulla retta reale la misura del segmento OP è data da x se x>0, da -x se x <0 ed è uguale a zero

se P coincide con O: questa misura viene definita valore assoluto del numero reale x ed è indicata con |x|.

− <

 x per x 0

= 

Formalmente: x ≥

 x per x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= − + − = =

2 2

Distanza tra due punti P e P nel piano: d P , P x x y y dove P x , y , P x , y

1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2

+ +

 

x x y y ( ) ( )

= = =

 

1 2 1 2

Punto medio del segmento P P : M , dove P x , y , P x , y

1 2   1 1 1 2 2 2

2 2

= +

y mx q m q

dove è il coefficiente angolare e l'intersezione della retta con l'asse y.

Equazione della retta in forma esplicita: + + = ∈R

Equazione della retta in forma implicita: ax by c 0 dove a , b , c

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

− −

x x y y ( ) ( )

= = =

1 1

Equazione della retta passante per due punti P e P : P x , y , P x , y

dove

1 2 − − 1 1 1 2 2 2

x x y y

2 1 2 1

= + = + =

r

: y m x q s

: y m x q m m

Condizione di parallelismo tra due rette: le rette e sono parallele se e solo se

1 1 2 2 1 2

= + = + = −

s

: y m x q m m 1

r

: y m x q e sono perpendicolari se e solo se

Condizione di perpendicolarità tra due rette: le rette .

1 1 2 2 1 2

( ) r

Definizione: fissato un punto C x , y del piano e un numero reale positivo , si dice circonferenza di centro C e raggio r il

0 0 ( ) ( )

− + − =

2 2 2

luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza r da C. L'equazione è la seguente: x x y y r

0 0

( )

′ > ′

F 2a

e F del piano, detti fuochi, e un numero reale positivo , con 2a d F , F , si dice ellisse il

Definizione: fissati due punti 2a

luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante (e uguale a ,) la somma delle distanze dai fuochi.

2 2

x y

( ) ( )

= + = = −

= −

′ 2 2 2

Se i fuochi hanno coordinate F c ,0 e 1 dove b a c .

F c,0 l'equazione dell'ellisse è 2 2

a b

2 2

x y

( ) ( )

= = − + = = −

′ 2 2 2

Se i fuochi hanno coordinate F 0, c e F 0, c l'equazione dell'ellisse è 1 dove b a c .

2 2

b a

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano ( )

′ < ′

F 2a

Definizione: fissati due punti e F del piano, detti fuochi, e un numero reale positivo , con 2a d F , F , si dice iperbole

2a

il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante (e uguale a ,) la differenza delle distanze dai fuochi.

2 2

x y

( ) ( )

= = − − = = −

′ 2 2 2

F c ,0 e F c,0 l'equazione dell'iperbole è 1 dove b c a .

Se i fuochi hanno coordinate 2 2

a b

2 2

y x

( ) ( )

= = − − = = −

′ 2 2 2

Se i fuochi hanno coordinate F 0, c e F 0, c l'equazione dell'iperbole è 1 dove b c a .

2 2

a b 2

a

( ) ( )

= − −

= =

′

Se i fuochi hanno coordinate F a , a l'equazione dell'iperbole è

F a , a e xy .

2

∉

Definizione: fissata una retta r , detta direttrice, e un punto F r , detto fuoco, si dice parabola il luogo geometrico dei punti

F e da r .

del piano che hanno uguale distanza da 1

( )

= = − = =

2 2

Se il fuoco ha coordinate F 0, p e la direttrice ha equazione y p l'equazione della parabola è y x ax .

p

4

1

( )

= = − = =

2 2 .

F p ,0 e la direttrice ha equazione x p l'equazione della parabola è x y ay

Se il fuoco ha coordinate 4 p

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano

E

SEMPI { } { }

{ }

= ∈ − < ≤ = − − = ∈ ≤ − >

1. Dati gli insiemi A x R: 3 x 2 , B R 1 e C x R: x 3 e x 2 , rappresentarli sulla retta reale,

∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩

esprimerli come intervalli e determinare A B , A B , A C , A C , B C , B C .

∞ ∪ ∞ ∞ ∪ ∞

A = (-3, 2] B = (-∞ , -1) (-1, +∞ ) C = (-∞ , -3] (2,+ )

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

R R R

∪ =

A B R : osserviamo che -3∉A ma -3∈B, quindi -3∈A∪B e che -1∉B, ma -1∈A, quindi -1∈A∪B.

]

( ) (

∩ = − − ∪ −

A B 3

, 1 1

, 2 ∩ = ∅

= ∪ = A C

Osservando che C è il complementare di A rispetto a R, vale a dire C R \ A , abbiamo A C R e .

⊂ ∪ = ∩ =

Osservando che C B , abbiamo B C B e B C C . { }

= + ∈ ∈ − ≤ ≤

2. Disegnare le rette di equazione y kx 1 (1) essendo k z Z: 4 z 4 . Che caratteristica hanno tutte queste rette?

( )

Osserviamo che tutte le rette passano per il punto P 0 , 1 (si può facilmente verificare che le coordinate di P soddisfano

l'equazione (1) per qualsiasi valore del parametro k).

L'equazione (1) rappresenta un fascio proprio di rette di centro P: al variare di k in R otteniamo tutte le rette passanti per P, tranne

la retta per P perpendicolare all'asse x (in questo caso la retta di equazione x=0), che non si può ottenere dalla (1) per nessun

valore di k

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( ) ( )

= − = −

In generale l'equazione di un fascio proprio di rette con centro P x , y è y y k x x (2): essa rappresenta, al variare

0 0 0 0 0

=

x x

di k in R, tutte le rette passanti per P tranne la retta di equazione passante per P e perpendicolare all'asse x.

0 0

0

Se il valore di k è fissato, la (2) rappresenta l'equazione della retta passante per il punto P di coefficiente angolare noto k.

0

{ }

= + ∈ ∈ − ≤ ≤

3. Disegnare le rette di equazione y 2 x k (2) essendo k z Z: 4 z 4 . Che caratteristica hanno tutte queste rette?

Osserviamo che tutte le rette hanno lo stesso coefficiente angolare m = 2 (quindi si tratta di rette parallele), mentre la loro

intersezione con l'asse y dipende dal valore assegnato di volta in volta al parametro k.

L'equazione (2) rappresenta un fascio di rette parallele o fascio improprio. = +

In generale l'equazione di un fascio improprio di rette di coefficiente angolare fissato m è y m x k .

( ) ( ) ( )

− − P P P

4. Sono assegnati i punti P 1

, 2 , P 5

, 6 , P 2 3 , 4 . Verificare che il triangolo è isoscele e determinare la sua area.

1 2 3 1 2 3

Il triangolo è isoscele se ha due lati uguali. Calcoliamo la lunghezza dei lati utilizzando la formula della distanza tra due punti:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

= − − + − − = = − + − − = = − − + − =

2 2 2 2

2

P P 1 5 2 6 10 P P 1 2 3 2 4 5 13 3 = P P 5 2 3 6 4 5 13 3

1 3 2 3

1 2

L'altezza del triangolo è il segmento congiungente il punto medio M della base P P con il vertice P Abbiamo:

1 2 3.

− − + ⋅

 

1 5 2 6 10 P P MP 50

( ) ( ) ( )

= = − = − − + − = = =

2 2

  1 2 3

M , 2 , 2 , MP 2 2 / 3 2 4 e Area

  3

2 2 3 2 3

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( ) ( ) ( )

− −

5. Dati i punti P 2 , 1 , P 1

, 3 , P 2 , 4 , determinare l'equazione della retta r passante per P e P e la distanza tra r e P ..

1 2 3

1 2 3

( )

− − − + −

x 2 y 1 x 2 y 1

= ↔ = ↔ = +

Equazione di r: y 2 x 5

( )

− − − −

1 2 3 1 1 2

Distanza tra P e r:

3

• ⊥

determiniamo la retta s r passante per P , utilizzando l'equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare

3 ( )

= − = − − = − − ↔ = − +

m 1 / m 1 / 2

noto (sappiamo infatti che ): s

: y 4 1 / 2 x 2 s

: y 1 / 2 x 5.

s r

• determiniamo il punto di intersezione P(x,y) tra r e s: il punto P deve appartenere ad entrambe le rette, quindi le sue coordinate

= + = − +

devono soddisfare contemporaneamente le equazioni di r : y 2 x 5 e s

: y 1 / 2 x 5. Per confronto, otteniamo

( )

=

+ = − + ↔ = =

y 5

2 x 5 1 / 2 x 5 x 0 ; il valore si ricava andando a sostituire in una delle equazioni x=0: quindi P 0

,

5 .

• =

La misura del segmento PP 5 fornisce la distanza richiesta.

3 ( ) ( )

= =

6. Determinare l'equazione della circonferenza di diametro AB, dove A 1

, 3 e B 2 , 2 .

+ + 

 

 1 2 3 2 3 5

=

= 

 

 , , .

Il centro C della circonferenza è il punto medio tra A e B: C    

2 2 2 2

2 2

   

3 5 13

= − + − =

   

Il raggio r è dato, ad esempio, dalla misura del segmento AC 1 3

   

2 2 6

2 2



  

3 5 13

=

− + −

   

L'equazione della circonferenza è: x y

  

 2 2 36

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1 Insiemi, retta reale e piano cartesiano + − + + =

2 2

7. Determinare le coordinate del centro ed il raggio della circonferenza di equazione x y 6 x 2 y 3 0 .

( ) ( )

− + − =

2 2 2

Dobbiamo ricondurci ad una equazione del tipo x x y y r , manipolando algebricamente l'espressione data

0 0

( )

± = ± +

2 2 2

completando i quadrati. Ricordiamo che a b a 2 ab b .

( ) ( ) ( ) ( )

+ − + + = − + + + = − + − + + + − + = − + + − =

2 2

2 2 2 2 2 2

x y 6 x 2 y 3 x 6 x y 2 y 3 x 6 x 9 9 y 2 y 1 1 3 x 3 y 1 7 0 e quindi

( )

( )