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Matematica per le applicazioni I - calcolo combinatorio Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica per le applicazioni I sul calcolo combinatorio. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: la formula di Newton per lo sviluppo del binomio, le considerazioni sulla formula, le disposizioni semplici di n oggetti, le disposizioni con ripetizione.

Esame di Matematica per le applicazioni I docente Prof. F. Gori

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ESTRATTO DOCUMENTO

Adolfo Scimone binomio di Newton pag 1

Formula di Newton per lo sviluppo del binomio

Siano a e b due numeri qualunque ed n un numero intero e positivo.

+ n

Ci proponiamo di calcolare la potenza ( a b )

Si ha:          

n n n n n

+ = + + + + +

− − −

n n n 1 n 2 2 n 1 n

         

( a b ) a a b a b ... ab b

         

0 1 2 n 1 n

o brevemente  

n

n

+ = −

n n k k

 

( a b ) a b (1)

 

k

=

k 0

Dimostriamo la relazione mediante il principio di Maurolico (o principio di induzione)

a) p(1) è vera

b) Se p(n) è vera, dovrà essere vera anche p(n + 1)

Dim. =

a) per n 1 si ha

+ = +

a b a b =

per cui la (1) risulta vera per n 1 . + + +

n n 1

b)Supponiamo che la (1) sia vera per ( a b ) , dobbiamo provare che è vera anche per ( a b ) .

Avremo:  

         

n n n n n

− − −

+ = + + = + + + + + + =

+ n n 1 n 2 2 n 1 n

 

n 1 n          

( a b ) ( a b

) (

a b ) a a b a b ... ab b (

a b )

         

 

0 1 2 n 1 n

             

n n n n n n n

= + + + + + + + +

+ − − −

n 1 n n 1 2 2 n 1 n n n 1 2

             

a a b a b ... a b ab a b a b

             

0 1 2 n 1 n 0 1

     

n n n

+ + + +

− +

n 2 3 n n 1

     

a b ... ab b

     

2 n 1 n

Essendo + +

       

n n 1 n n 1

= =

       

ed +

       

0 0 n n 1

otteniamo: +       +

             

 

n 1 n n n n n n n 1

− +

+ = + + + + + + +

+ + n n 1 2 n n 1

     

n 1 n 1

               

( a b ) a a b a b ab b

− +

               

     

0 1 0 2 1 n 1 n n 1

Per la legge di Stiefel

Adolfo Scimone binomio di Newton pag 2

− −

     

n 1 n 1 n

+ =

      avremo

     

k k 1 k

+ +

           

n n n 1 n n n 1

+ = + =

           

           

1 0 1 2 1 2

e così via.

In definitiva otteniamo:

+ + + + +

         

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

+ = + + + + +

+ + − +

n 1 n 1 n n 1 2 n n 1

         

( a b ) a a b a b ... ab b

+

         

0 1 2 n n 1

quindi p(n + 1) risulta vera. ¥

Pertanto la (1) risulta valida per ogni n .

Considerazioni sulla formula

+

i) Il numero degli addendi nel secondo membro è n 1

ii) In questi addendi gli esponenti della lettera a vanno diminuendo di uno qualunque al

successivo, mentre gli esponenti della lettera b vanno sempre aumentando di una unità

nel suddetto passaggio

iii) I coefficienti dei termini estremi ed i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi

           

n n n n n n

= = =

           

sono tra loro uguali. Si ha ; , , ……

− −

           

0 n 1 n 1 2 n 2

Questa osservazione ci risparmia il calcolo di molti coefficienti: se n è dispari e quindi il

+

n 1

+

numero n 1 dei termini dello sviluppo è pari, basta calcolare i primi coefficienti;

2

n

+ +

se invece n è pari e quindi n 1 dispari, basta calcolare i primi 1 coefficienti

2

iv) Il coefficiente di un termine qualunque dello sviluppo, a partire dal secondo, si ottiene

moltiplicando il coefficiente del termine precedente per l’esponente che in esso ha la

lettera a, e dividendo il risultato ottenuto per l’esponente della lettera b aumentato di una

    −

n n n k

=

   

unità. Infatti si ha + +

   

k 1 k k 1

Calcolo Combinatorio Adolfo Scimone pag 1

Calcolo combinatorio

Consideriamo un insieme di n oggetti di natura qualsiasi. Indicheremo questi oggetti con

a , a ,..., a .

1 2 n

Con questi n oggetti si vogliono formare dei gruppi, ciascuno formato da uno stesso numero k di

oggetti con k n .

Disposizioni semplici di n oggetti

Definizione: Dati n oggetti e detto k un numero intero positivo minore o uguale a n, si chiamano

disposizioni semplici di questi n oggetti presi a k a k o della classe k, tutti i gruppi che si possono

formare con gli n oggetti dati in modo che ogni gruppo contenga soltanto k degli oggetti dati, e che

due gruppi qualunque differiscano fra loro o per qualche oggetto, oppure per l’ordine con cui gli

oggetti sono disposti.

Esempio – Dati tre oggetti, indicati con le lettere A,B,C, le disposizioni di classe 2 sono tutte le file

realizzabili usando ogni volta due delle tre lettere:

AB, BA, AC, CA, BC, CB

Si tratta, quindi di sei file possibili.

Indichiamo quindi con D il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k.

n , k

Teorema – Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k è dato da:

= − − − + − −

D n ( n 1)( n 2).....(

n k 2)(

n k 1)

n , k

cioè D è uguale al prodotto dei k numeri consecutivi decrescenti a partire da n.

n , k

Dimostrazione Gli n elementi diversi

a , a ,..., a

1 2 n

presi ad uno ad uno danno luogo, ovviamente, ad n disposizioni di classe uno

=

D n (1)

n ,1

Per formare tutti i gruppi di classe 2 consideriamo, successivamente, ciascun gruppo di classe 1 e,

di seguito poniamo uno alla volta ciascuno degli n 1 elementi estranei al gruppo considerato. Ogni

gruppo di classe 1 genera così n 1 gruppi di classe 2.

Possiamo quindi scrivere

= −

D D ( n 1) (2)

n ,2 n ,1

Per formare tutti i gruppi di classe 3, consideriamo, successivamente, ciascun gruppo di classe 2 e ,

di seguito, poniamo uno alla volta ciascuno degli n 2 elementi estranei al gruppo considerato.

Ogni gruppo di classe 2 genera così n 2 gruppi di classe 3. Possiamo quindi scrivere

= −

D D ( n 2) (3)

n ,3 n ,2 − −

e così via. Per formare i gruppi di classe k 1 consideriamo ciascun gruppo di classe k 2 e

− − = − +

poniamo uno alla volta ciascuno degli n ( k 2) n k 2 elementi estranei al gruppo

considerato. Avremo quindi:

= − +

D ( n k 2) D (k-1)

− −

n , k 1 n , k 2 −

Per formare infine tutti i gruppi di classe k, consideriamo ciascun gruppo di classe k 1 e poniamo,

− − = − +

di seguito, uno alla volta ciascuno degli n ( k 1) n k 1 elementi estranei al gruppo

considerato.

Avremo

= − +

D ( n k 1) D (k)

n , k n , k 1

Moltiplicando membro a membro le k relazioni (1), (2),……,(k) precedenti otteniam


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AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Docente: Gori Franco
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.

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