Matematica per l'economia - le funzioni circolari inverse

Funzioni circolari inverse

Def. Sia ϕ : Dϕ -> IR una qualunque delle funzioni sen, cos, tg, cotg; si chiama "regione fondamentale per ϕ" ogni A ⊂ Dϕ t.c.

1. ϕ|A è iniettiva;
2. ϕ(A) = ϕ(Dϕ), i.e., codominio di ϕ|A = codominio di ϕ ;

a) ϕ(x) = sen x , A = [-π/2, π/2 ]

sen |A : A -> [-1,1] è bigettiva

⊥⊥

⇒ La funzione inversa

arc sen : [-1,1] -> [-π/2, π/2]

ove ∀y ∈ [-1,1] : arc sen y = l’unico

x ∈ [-π/2, π/2] t.c. sen x = y ;

Funzioni circolari inverse

Def. Sia f : D_f -> IR una qualunque delle funzioni sen, cos, tg, cotg; si chiama "regione fondamentale per f"

ogni A ⊂ D_f t.c.

1. f |_A è iniettiva;
2. f (A) = f (D_f), i.e., codominio di f|_A = codominio di f;

1. f(x)=senx, A=[-π/2, π/2]

sen|_A : A -> [-1,1] è bigettiva

E la funzione inversa arcsen : [-1,1] -> [-π/2, π/2]

ove ∀y ∈ [-1,1] : arcsen y = l'unico x ∈ [-π/2, π/2] t.c. senx = y;

b) f(x) = cos x , A = [0, π]

cos

La funzione inversa

arccos : [-1,1] -> [0,π]

ove ∀y ∈ [-1,1] : arccos y = l'unico

x ∈ [0, π] t.c. cos x = y ;

c) f(x) = tg x , A = ]-π/2, π/2[

tg

La funzione inversa arctg : IR -> ]-π/2, π/2[

ove ∀y ∈ IR : arctg y = l'unico x ∈ ]-π/2, π/2[

t.c. tg x = y ;

d) f(x) = cotg x , A = ]0, π[

-3-

cotg : A → IR è bigettiva

La funzione inversa arccotg : IR → ]0, π[

ove ∀y ∈ IR : arccotg y = l'unico x ∈ ]0, π[

t.c. cotg x = y.

Oss. Nei testi in inglese si trova

sen^-1x, cos^-1x, tg^-1x

in accordo con f^-1, usata per denotare la funzione inversa di f.

Oss. In tutti i casi la regione fondamentale A è vicina (o contiene) 0 per ragio-

mi che vedremo in seguito .

Dai valori noti di sen x, cos x, tg x, cotg x segue che

arcsen(-1)= -π/2,     arccos (-1) = π,     arccotg (1) = π/4

arcsen (0) = 0,     arccos (0) = π/2,     arctg (0) = 0,

arcsen (1) = π/2,     arccos (1) = 0,

arccotg (0) = π/2,

arctg (1) = arccotg (1) = π/4

arcsen (√2/2) = arccos (√2/2) = π/4

Si ha anche

arcsen (sen x) = x     ∀ x ∈ [-π/2, π/2]

sen (arcsen y) = y     ∀ y ∈ [-1,1]

e simili. Si noti che

arcsen (sen x) ≠ x     se x ∉ [-π/2, π/2] !!

-5-

Ad esempio

sen ^3π⁄₄ = sen (π⁄₂ + π⁄₄) = cos π⁄₄ = √2⁄2

ma

arcsen (sen ^3π⁄₄) = arcsen √2⁄2 = π⁄₄ !!

Proprietà

1. arcsen ed arctg sono strett. crescenti e dispari (al pari di sen e di tg nell'intervallo [-π⁄₂, π⁄₂] di cui sono le inverse);
2. arccos ed arccotg sono strett. decrescenti (al pari di cos e di cotg nell'intervallo [0, π] e [0, π]);
3. arcsen ([-1, 1]) = [-π⁄₂, π⁄₂],
4. arccos ([-1, 1]) = [0, π],

-6-

arctg (ℝ) = ] -π/2, π/2 [ ,

arcctg (ℝ) = ] 0, π [ ,

e dunque arcsen, arccos, arctg, arcctg

sono continue (cfr. cont. funz. mon.).

3) Dal teorema sul limite delle funz.

mi monotone segue che:

∃ lim arctg x = inf ]-π/2, π/2 [ = -π/2 ;

x → -∞

∃ lim arctg x = sup ]-π/2, π/2 [ = π/2

x → +∞

∃ lim arcctg x = sup ]0, π [ = π ;

x → 0⁻

∃ lim arcctg x = inf ]0, π [ = 0 .

x → 0⁺

4) Si provencé che

arcsen x + arccos x = π/2 ∀ x ∈ [ -1, 1 ]

arctg x + arcctg x = π/2 ∀ x ∈ ℝ

f(x) = arcsen x

(limitata con min. valore -π/2 e max. valore +π/2)

f(x) = arccos x

(limitata con min. valore 0 e max. valore π)

∀x ∈ [-1, 1] :

arcsen(-x) = -arcsen x

arccos(-x) = π - arccos x

(spiegare)