Matematica per CTF

Funzioni

Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento dell'insieme A uno ed un solo elemento dell'insieme B. A, l'insieme di partenza, è detto dominio, mentre B, l'insieme di arrivo, è detto codominio. È detta immagine di A la restrizione dell'insieme B a quei valori risultanti dall'applicazione della legge.

Le funzioni possono essere suriettive se ogni elemento del codominio è associato ad almeno un elemento del dominio. Può essere iniettiva se ad ogni elemento del codominio è associato al massimo un elemento del dominio. Una funzione in cui ogni elemento del codominio è associato uno ed un solo elemento del dominio è detta biiettiva ed è invertibile.

Una funzione è pari se f(-x) = f(x) e dispari se f(-x) = -f(x).

Limiti delle funzioni

Il limite di una funzione f in un punto x₀ indica il valore cui si avvicinano sempre di più i valori della funzione quando viene calcolata in punti sempre più vicini ad x₀ ed è indicato come ^x→x₀.

Poiché una funzione abbia limite, è necessario che il limite destro ed il limite sinistro per x→x₀ in x₀ coincidano, ovvero: ^x→x₀+ = l ^x→x₀- = l allora ^x→x₀ = ^x→x₀+ ⇒ ^x→x₀ = l.

È possibile effettuare operazioni con i limiti, ad esempio:

• Se lim_x→x0 f(x) = l₁ e lim_x→x0 g(x) = l₂ allora
• lim_x→x0 [c ⋅ f(x)] = c ⋅ l₁ ∀c ∈ ℝ
• lim_x→x0 [f(x) + g(x)] = l₁ + l₂
• lim_x→x0 [f(x) ⋅ g(x)] = l₁ ⋅ l₂
• lim_x→x0 [1/f(x)] = 1/l₁ se e solo se l₁ ≠ 0
• lim_x→x0 [f(x)/g(x)] = l₁/l₂ se e solo se l₂ ≠ 0

Esistono casi in cui non è possibile ricavare il limite delle funzioni composte dai limiti di ciascuna singola funzione, come ad esempio:

• 0/0
• +∞ - ∞
• 0 ⋅ ±∞
• ±∞/±∞

Sui limiti sono stati formulati alcuni teoremi come:

• Teorema di unicità del limite
• Teorema della permanenza del segno
• Teorema del confronto
• Teorema di Weierstrass
• Teorema degli zeri

Teorema di unicità del limite

"Se una funzione in x₀ ha limite, esso è unico." Supponendo per assurdo che i limiti L₁ e L₂ in x₀ siano differenti, esisteranno due intorni V₁ di L₁ e V₂ di L₂ disgiunti. Per definizione di limite, esistono due intorni U₁ e U₂ di x₀ per cui:

• f(x) appartiene a V₁ per ogni x ∈ U₁ diverso da x₀
• f(x) appartiene a V₂ per ogni x ∈ U₂ diverso da x₀

Perciò f(x) apparterrebbe contemporaneamente a V₁ e V₂, facendo venire meno la definizione di funzione, ciò è assurdo.

Teorema della permanenza del segno

"Se per x ∈ x₀ il limite di una funzione è diverso da zero, la funzione ha localmente lo stesso segno del limite (escluso al più nel punto x₀).

Posto che lim_{x → x0} f(x) = L > 0, allora possiamo scegliere un intorno di L formato da numeri positivi e denominarlo U₁, per definizione di limite, esiste un intorno di x₀ per ogni x del quale f(x) ∈ U₁ e quindi f(x)>0.

Teorema del confronto (o dei carabinieri)

Posto f,g,h: X → R e x₀ punto di accumulazione per X, se:

• f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
• lim_{x → x0} f(x) = l
• lim_{x → x0} h(x) = l

Allora l < lim_{x → x0} g(x) ≤ l ⇒ lim_{x → x0} g(x) = l.

Teorema di Weierstrass

Sia f una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato I=[a, b]. Allora:

• f è limitata inferiormente e superiormente.
• Esistono massimo e minimo della funzione.

Teorema degli zeri (o di Bolzano)

Sia f una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato in [a, b]. Se f(a)f(b) < 0 allora esiste almeno un punto X nell'intervallo [a, b] tale che f(X) = 0.

Derivate

La derivata di una funzione reale f(x) in x₀ è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h:

lim (h→0) [f(x₀+h) - f(x₀)] / h

Così come per i limiti, le derivate godono di diverse proprietà riguardanti le operazioni algebriche. Posto f'(x) = Dƒ(x) a f'(x) = Dρ(x):

• D[f₁(x) + g(x)] = D[f₁(x)] + D[g(x)] = f₁'(x) + g'(x)
• D[f(x)·g(x)] = D[f(x)]·g(x) + D[g(x)]·f(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
• D[K·f(x)] = K·D[f(x)] = K·f'(x)
• D[^f(x)⁄_g(x)] = [D[f(x)]·g(x) - D[g(x)]·f(x)] ⁄ [g(x)]² = ^{f'(x)·g(x) - g'(x)·f(x)}⁄_[g(x)]²
• D[f(g(x))] = D[f(g(x))]·g'(x) = f'(g(x))·g'(x)

Formula di Taylor

Lo sviluppo di Taylor (o Form. di Taylor) serve per costruire uno sviluppo polinomiale che si avvicina alle funzione in partenza.

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(X-X₀) + ... + ¹⁄_u! f⁽ⁿ⁾(x₀)(X-X₀)ⁿ+ o((X-X₀)ⁿ)

Dove o((X-X₀)ⁿ) è l'infinitesimo di ordine n della funzione.

Teoremi sulle derivate

Teorema di Rolle

"Se una funzione è continua in [a, b] e derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto (a, b) ed assume valori uguali f(a) = f(b), esiste almeno un punto c interno ad (a, b) la cui derivata si annulla, ovvero f'(c) = 0."

Teorema di Cauchy

"Siano f, g : [a, b] → R due funzioni a variabile reale continue in [a, b] e derivabili in (a, b) con g'(x) diverso da 0 per ogni punto dell'intervallo. Allora esiste un punto c appartenente ad (a, b) tale che f'(c) / g'(c) = [f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)]."

Teorema di Lagrange

"Sia f:[a,b] → R una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[. Allora esiste un punto c appartenente ad (a,b) tale che f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)."

Teorema di de l'Hôpital

"Date due funzioni reali f,g:[a,b] → R continue in [a,b] e derivabili in (a,b) (compresi i casi x a=-∞ e/o b=+∞) e c ∈ (a,b), se p'(x)≠0 per ogni x ∈ f:[a,b] tranne al più in un L ∈ R (f se 0) tale che "

lim (x→c) (f'(x) / g'(x)) = L_x e lim_{x → c} f(x) = 0 e lim_{x → c} p(x) = 0 oppure lim_{x → c} f(x) = ±∞ e lim_{x → c} p(x) = ±∞

Allora

lim_{x → c} f(x) / p(x) = lim_{x → c} f'(x) / p'(x) = L

Integrali

L'integrale di una funzione è un operatore matematico che associa alla funzione l'area sottesa dalla funzione rispetto all'ascissa.

∫ f(x) dx = F(x) e ∫_a^b f(x) dx = A

Formule possibili

Alcune operazioni con:

• ∫_a^b [αf(x) + βg(x)] dx = α∫_a^bf(x)dx + β∫_a^bg(x)dx
• ∫_a^bf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx dove c ∈ [a,b]
• f(x) ≤ g(x) ⇒ ∫_a^bf(x)dx ≤ ∫_a^bg(x)dx

Metodi di integrazione

Integrazione elementari

Se F(x) = f'(x) allora ∫F(x)dx = f(x) + c e ∫_a^bF(x)dx = f(b) - f(a)

Integrazione per decomposizione in somme

Se f(x) = f₁(x) + f₂(x) + ...f_n(x) allora ∫f(x) dx = ∫f₁(x)dx + ∫f₂(x)dx + ... + ∫f_n(x)dx

Integrazione per parti

Se (fp)' = f'.g + f.g' allora ⇒ (fp) = (Ff) - f.g e ∫(fp)dx = fg + c

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx e ∫_a^bf(x)g(x)dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - ∫_a^b...

Calcolo dell'area

Per calcolare l'area compresa tra a e c delle due funzioni f₁(x) e f₂(x) è sufficiente calcolare le singole aree delle due funzioni e farne la somma algebrica.

S_T = S_f1 + S_f2

S_f1 = ∫ f₁(x) dx da a a b

S_f2 = ∫ f₂(x) dx da b a c

S_T = |S_f1 - S_f2|

Integrali impropri

Sono detti "aree" i "integrali impropri" e questa implicita che estendono la portata del calcolo integrale a casi e a, per la definizione data l'integrale per Riemann non sono calcolabili. Esempio sono:

• Intervalli illimitati.
• Integrazione con integranda illimitata.

In particolare:

• 1.a f : [a;+∞) → ℝ ∫_a^∞ f(x) dx = lim_z→+∞ ∫_a^z f(x) dx
• 1.b f : (-∞;b] → ℝ ∫_-∞^b f(x) dx = lim_z→0^- ∫_z^b f(x) dx
• 1.c f : (-∞;+∞) → ℝ ∫_-∞^∞ f(x) dx = ∫_-∞^c f(x) dx + ∫_c^∞ f(x) dx
• 2.a f : [a;b) → ℝ ∫_a^b f(x) dx = lim_ε→0 ∫_a^b-ε f(x) dx