Matematica - limiti e derivate

Facoltà di Biotecnologie

Anno scolastico 2021/2022

Corso di Matematica e Statistica

Argomento: Limiti e Derivate

LIMITI e DERIVATE FINITI

10/11/2021

lim_{x → ∞} f(x) = L, L ∈ ℝ

∀ ε > 0 ∃ x_ε : |f(x) - L| < ε ∀ x > x_ε

la distanza tra f(x) e L è minore di ε

|f(x) - L| < ε ⇔ -ε < f(x) - L < ε ⇔ L - ε < f(x) < L + ε

intervallo in cui è compreso f(x)

Esempio:

f(x) = ¹/_x

lim_{x → +∞} ¹/_x = 0

∀ ε > 0 ∃ x_ε : |f(x) - 0| < ε ∀ x > x_ε

fisso ε > 0 cerco xε tale che |f(x)| < ε ∀ x > x_ε

|¹/_x| < ε = ¹/_|x| < ε = |x| > ¹/_ε ⇔ x > ¹/_ε

lim_x→x0 f(x) = +∞ se:∀ M > 0 ∃ δ_M > 0 : f(x) > M ∀ x ∈ (x₀ - δ_M, x₀)

(bilatero)

lim_x→x0 f(x) = -∞ se:∀ M > 0 ∃ δ_M > 0 : f(x) ≤ -M ∀ x ∈ (x₀ - δ_M, x₀ + δ_M) con x ≠ x₀

g(x₀ ) = 1 Funzione definita anche in x₀

D_g = ℝ

lim_x→x0 g(x₀ ) = +∞

Esercizio: Disegnare il grafico di una funzione che soddisfa le seguenti condizioni:

• lim_x→-∞ f(x) = -5
• lim_x→+∞ f(x) = -∞
• lim_x→-2⁻ f(x) = +∞
• lim_x→-2⁺ f(x) = -2
• f(-2) = 0
• lim_x→0 f(x) = 0

Confronto di Infiniti

Potenze: se 0 < β₁ < β₂ :

• lim_x→+∞ x^β₁ / x^β₂ = 0 Domina la potenza con esponente maggiore
• lim_x→+∞ x³ / x⁴ = lim_x→+∞ 1 / x⁴ = 0

Equivalentemente:

• lim_x→+∞ x^β₂ / x^β₁ = +∞

Esponenziali: se 0 < β₁ < β₂

• lim_x→+∞ e^β₁x / e^β₂x = 0 Domina l'esponente maggiore

Equivalentemente:

• lim_x→+∞ e^β₂x / e^β₁x = +∞

Potenze vs Esponenziali: se β > 0, α > 0

• lim_x→+∞ x^β / e^αx = 0 Domina l'esponenziale

Equivalentemente:

• lim_x→+∞ e^αx / x^β = +∞

Potenze vs Logaritmi: se α > 0, β > 0, x > 0

• lim_x→+∞ log_α(x^β) / x^β = 0 Domina la potenza

Equivalentemente:

• lim_x→+∞ x^β / log_α(x^β) = +∞

Tra esponenziale e logaritmo, domina l'esponenziale

Rapporto Incrementale

f: I → ℝ, I intervallo non vuoto

Vogliamo quantificare quanto velocemente varia f rispetto a variazioni della variabile indipendente

Fissato un punto x₀ ∈ I, h ∈ ℝ\{0} tale che x₀ + h ∈ I

R(f, x₀, h) = ^{f(x₀ + h) − f(x₀)}/_h

Osservazione: f è crescente se e solo se R > 0 ∀ x₀ ∈ I ∀ h ∈ ℝ\{0}

f è decrescente se e solo se R ≤ 0 ∀ x₀ ∈ I ∀ h ∈ ℝ\{0}

Dimostrazione f crescente ⟺ R > 0 ∀ x₀ ∈ I ∀ h ∈ ℝ\{0}

Assumiamo f crescente, cioè: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

Vogliamo dimostrare che:

R(f, x₀, h) = ^{f(x₀ + h) − f(x₀)}/_h > 0 ∀ x₀ ∈ I, ∀ h ∈ ℝ\{0}

Primo caso h > 0

x₀ < x₀ + h ⇒ f(x₀) ≤ f(x₀ + h) ⇒ f(x₀ + h) - f(x₀) > 0

R(f, x₀, h) = ^{f(x₀ + h) − f(x₀)}/_h > 0

II^° caso h < 0

x₀ > x₀ + h ⇒ f(x₀) ≥ f(x₀ + h) ⇒ f(x₀ + h) - f(x₀) ≤ 0

R(f, x₀, h) = ^{f(x₀ + h) − f(x₀)}/_h > 0

Assumiamo R > 0 ∀ x₀ ∈ I, ∀ h ∈ I e dimostriamo che f è crescente

Vogliamo dimostrare che f è crescente, cioè x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

R(f, x₀, h) = ^{f(x₀ + h) − f(x₀)}/_h per ipotesi > 0

⇒ f(x₀ + h) - f(x₀) > 0 ⇒ f(x₀) ≤ f(x₀ + h) quindi è crescente

Esponenziali in base qualsiasi

f(x) = a^x = e ^{x ln(a)} = e^ln(x)

F'(x) = (ln a)x e^ln(ax) = a^x ln a

Logaritmi in base generica

f(x) = log_a x = log_a (e^{ln x}) = (ln x) log_a e

F'(x) = (log_a e)¹/_x

Derivate delle funzioni trigonometriche

F(x) = sin x F'(x) = cos x

F(x) = cos x F'(x) = -sin x

F(x) = tan x F'(x) = 1/_cos²x

Monotonia e derivata prima

F. D. sia derivabile. Sia I un intervallo contenuto in D, allora:

• Se f'(x) > 0 ∀ x ∈ I => F è strettamente crescente in I
• Se f'(x) < 0 ∀ x ∈ I => F è strettamente decrescente in I

Massima e minimo in derivata prima

Se x₀ è un punto di massimo (o minimo) e f è derivabile sull'intervallo (a, b) e x₀ ∈ (a, b) allora f'(x₀) = 0

Questi polinomi si chiamano polinomi di Taylor di grado 0, 1, 2 della funzione f centrati in t₀

calcolare lí

lim x→0     (1 - cos x)/x² = lim x→0     (1 - cos x) = 0

f(x) = 1 - cos x     x₀ = 0

P₁(x) = F(0) + F'(0)x

F(0)=0      F'(x) = sin x         f(0)=0

P₁(x) = 0

Calcoliamo      P₂(x)

P₂(x) = F(0) + F'(0)x + 1/2 F"(0)x² = 1/2 F"(0)x² = 1/2 F"(0)x²

F''(x) = cos x       F''(0) = 1

P₂(x) = 1/2 x²

1 - cos x = x² + r₂(x) → errore

lim x→0 x² = 1/2

= lim x→0     1/2 x² + lim x→0 r₂(x)/x² = 1/2

= 1/2

CONCAVITÀ E DERIVATA SECONDA

Una funzione f ha concavità verso l’alto negli intervalli del dominio in cui si ha f''(x) > 0, verso il basso in quelli in cui si ha f''(x) < 0.

Una funzione si dice convessa se ha concavità verso l’alto, concava se ha concavità verso il basso.

I punti in cui si ha cambio di concavità si chiamano punti di flesso.

Se x₀ è un punto di flesso allora f''(x₀)=0. Non vale il viceversa!

1) Δ = 0. λ₁ = λ₂ = (-λ) siano le due soluzioni coincidenti dell'equazione caratteristica, allora

u(x) = A e^{λ x} + B x e^{λ x} ∀ A,B ∈ ℝ

2) Δ < 0 Siano λ₁, λ₂ = α ± βi le due soluzioni complesse coniugate dell'equazione caratteristica, allora

u(x) = e^{α x} ( A cos (β x) + B sin (β x) ) ∀ A,B ∈ ℝ

La soluzione del problema di Cauchy del II ordine si ottiene determinando le costanti A e B in modo tale che la soluzione u(x) dell'equazione differenziale soddisfi le condizioni iniziali u(x) = ȗ, u'(x) = ȗ,

Esercizio

y''(x) - 2y'(x) + y(x) = 0

y(x) = 0 ,

y(0) = 1

a) Trovare le soluzioni dell'eq. differenziale

Eq. caratteristica associata

λ² + 2 λ + 1 = 0 ⇒ λ = -1

Δ = b² - 4ac = 4 - 4 = 0

⇒ u(x) = A e^{λ x} + B x e^{λ x} ⇒ u(x) = A + B x e^-x

2) Determiniamo le costanti A e B imponendo le condizioni iniziali

u(1) = A e^-1 + B e^-1 = (A+B)e^-1 = 0

⇒ A+B = 0 A = -B

u'(x) = Be^-x + Be^-x + Bxe^-x = 2Be^-x - Bxe^-x

u'(0) = 2B = 1 ⇒ B = 1/2

u(x) = -1/2 e^-x + 1/2 x e^-x