Matematica - limiti e derivate

Facoltà di biotecnologie

Anno scolastico 2021/2022

Corso di matematica e statistica

Argomento: Limiti e derivate

Limiti e derivate finiti

lim_x→+∞ f(x) = L, L ∈ ℝ ∀ ε > 0 ∃ x_ε : |f(x) - L| < ε

La distanza tra f(x) e L è minore di ε |f(x) - L| intervallo in cui è compreso f(x).

Esempio:

F(x) = ¹/_x

lim_x→+∞ ¹/_x = 0 ∀ ε > 0 ∃ x_ε : |f(x) - 0| < ε ∀ x > x_ε

Fisso ε > 0 cerco x_ε tale che |f(x)| < ε ∀ x > x_ε

¹/_|x| < ε = ¹/_|x| < ε = |x| > ¹/_ε, x < -¹/_ε

Fisso ε > 0, ε=10^-2, cerchiamo x_ε tale che |f(x)-0| < 10^-2 ∀ x > x_ε

|¹/_x| < ¹/_10² |x| > 10², x < -10² ∪ x > 10²

x_ε tale che f(x_ε)=10^-2 ma f(x)=¹/_x → f(x_ε)=¹/_xε=10^-2 → x_ε=10²

lim_x→+∞ F(x) = L ∀ ε > 0 ∃ x_ε : |f(x)-L| < ε ∀ x < x_ε

Limiti infinitamente grandi

lim_x→+∞ F(x) = +∞ ∀ M > 0 ∃ x_M : F(x) > M ∀ x > x_M

Fisso M > 0, M=10³ cerco x_M tale che f(x)=x² x² > M → x > 10³ se x < -√10³ ∪ x > √10³

x_M = √10³ - se il limite esiste è unico

Osservazione: Non sempre il limite esiste. Se esiste è unico.

lim_x→0 sin(x) / cos(x) non esiste!

Limite bilatero

lim_x→x0 F(x) = L se ∀ ε > 0 → ∃ δ_ε > 0 : |F(x) - L| < ε ∀ x ∈ (x₀ - δ_ε, x₀ + δ_ε) con x ≠ x₀

La funzione f può anche non essere definita in x₀

Limite unilatero

lim_x→x0⁺ F(x) = L (limite destro) se ∀ ε > 0 → ∃ δ_ε > 0 : |F(x) - L| < ε ∀ x ∈ (x₀, x₀ + δ_ε)

lim_x→x0^- F(x) = L (limite sinistro) se ∀ ε > 0 → ∃ δ_ε > 0 : |F(x) - L| ≤ ε ∀ x ∈ (x₀, x₀ - δ_ε)

Comportamento all'infinito

lim_x→x0 F(x) = +∞ se ∀ M > 0 ∃ δ_M > 0 : F(x) > M ∀ x ∈ (x₀ - δ_M, x₀ + δ_M) con x ≠ x₀

La retta x=x₀ è un asintoto verticale della funzione se lim_x→x0 F(x) = ±∞. Allora la funzione ha un asintoto verticale: la retta di equazione x=x₀.

Se lim_x→±∞ F(x) = L, L ∈ ℝ, allora la funzione ha un asintoto orizzontale: la retta di equazione y=L.

Comportamento asintotico

lim_x→x0⁺ F(x) = -∞

lim_x→x0^- F(x) = +∞

Ha comportamento diverso a seconda che si guardi la funzione da destra o da sinistra.

lim_x→x0 F(x) = +∞ se ∀ M > 0 ∃ δ_M > 0: f(x) > M ∀ x ∈ (x₀ - δ_M, x₀) (bilatero)

lim_x→x0 F(x) = -∞ se ∀ M > 0 ∃ δ_M > 0: f(x) < -M ∀ x ∈ (x₀ - δ_M, x₀ + δ_M) con x ≠ x₀

Funzioni definite in punti specifici

g(x₀) = 1, Dg = ℝ

Funzione definita anche in x₀ → punto (x₀,1)

lim_x→x0 g(x₀) = +∞

Esercizio

Disegnare il grafico di una funzione che soddisfi le seguenti condizioni:

• lim_x→-∞ F(x) = -5
• lim_x→+∞ F(x) = -∞
• lim_x→-2^- F(x) = +∞
• lim_x→-2⁺ F(x) = -2
• F(-2) = 0
• lim_x→0 F(x) = 0

Limiti di funzioni potenza