Matematica - Limiti

LIMITI INTRO

lim_x→1 (x + 1) = COSA FA LA QUANTITÀ x+1 (OVVERO y) QUANDO x SI AVVICINA AD 1 = 2

lim_x→-1 (x²) = 1

QUANDO MI AVVICINO AD x=-1

LIMITI ALL'INFINITO

lim_x→∞ f(x) = COSA FA f(x) (OVVERO y) QUANDO x DIVENTA SEMPRE PIÙ GRANDE

lim_x→+∞ f(x) = +∞ QUANDO AD x GRANDISSIMO CORRISPONDONO y GRANDISSIME.

LA CONDIZIONE PER CUI UN lim CHE = +∞ SIA x→+∞ È CHE PER OGNI y FISSATA SULL'ASSE y DEVE ESISTERE UN CORRISPONDENTE PUNTO SULL'ASSE x PER CUI QUANDO x PUNTO LA FUNZIONE STA SEMPRE SOPRA LA QUOTA FISSATA DAL PUNTO.

POSSIBILI SCENARI

1. lim_x→+∞ f(x) = +∞
2. lim_x→-∞ f(x) = -∞
3. lim_x→+∞ f(x) = L
4. lim_x→-∞ f(x) = NE

FUNZIONI OSCILLANTI OSE COME SIN E COS.

Funzioni Continue - Primi Esercizi di Calcolo

Una funzione f(x) si dice continua in un punto x₀ ∈ ℝ se:

Per le funzioni continue in x₀ è possibile calcolare il limite semplicemente sostituendo x₀ nella funzione f(x).

Funzioni Continue:

Tutte le funzioni ottenute da quelle elementari (potenze, exp, log, sin, cos...) tramite composizioni e operazioni algebriche sono continue dove non ci sono problemi di definizione (denominatori che si annullano, arg di log ≤ 0, radici quadrate di cose negative).

Esempio 1

Esempio 2

Per il calcolo di qualsiasi limite si può tentare la sostituzione. Nel caso in cui non si arrivi ad un numero (divisione per 0, ecc...) significa che la funzione non è continua.

Esempio 3

Se faccio tendere il denominatore a 0, si tende a ±∞...

Esempio 3.1

Tutte le volte che lim dx e sx si muovono in modi diversi, si dice che lim x→a in quel punto non esiste (N.E.).

Limiti con Esp. e Log.: Scala Confronto Asintotico per x → +∞

Per risolvere lim di funzioni dove compaiono più tipologie di operazioni, occorre costruire una scala che ci indichi quale di queste si muove più rapidamente in direzione ∞.

Scala di confronto a → ∞

• log_mx
• x^a
• b^x c^x

1. y = log x
2. y = x^1/3
3. y = x²
4. y = x¹⁰

V_a,b \ 1, b∞ > c∞

lim (x^x - x⁶) = [∞ - ∞] x → +∞

lim x^x (1 - ^x6/x^x) = ±∞ x → +∞

lim (^{xe - x})/3x - ln^x = [∞/∞] x → +∞

Espon ^Rispetto

lim (^{x3 + 3})/(log₂x² - 2x) = [∞/∞] x → +∞

lim (^{xx (log_x/x) - 1})/2x = ^5/7 · 2(-1) = 1/2 x → +∞

ERRORI DA EVITARE

1. Dimenticarsi notazione LIM
   • lim_x→1 x²-3x+2 / x-1 = lim_x→1 (x-1)(x-2)/(x-1) = 1-2 = -1
   • Scrivere sempre LIM
2. Usare impropri i limiti notevoli
   • lim_x→0 [x/(1+sinx)] = lim_x→0 1/x = 2
   • Perché lim_x→0 [(x/x) + (sinx/x)] = 1
   • Assomiglia a: lim_x→0 (x + cosx)/cosx
   • Basta sostituire 0 nel lim
   • lim_x→0 (x + cosx)/cosx = lim 2
3. Fare lim di una sola parte della funzione
   • lim_x→0 [(sinx - x + x²)]/3x² = lim_x→0 [2x/3x²] - [2/3]
   • Modo 1: Risolvo applicando il teorema di l'Hôpital
   • Modo 2: Risolvo tramite sviluppi di Taylor / equiq. Asintotiche
   • Taylor lim_x→0 [x + x²/6 + o(x³)]/3x²
   • = lim_x→0 [1/18 + o(1)]
   • = -1/18

Formula di Taylor con resto di Peano

La formula di Taylor consente di approssimare, almeno localmente, tutte le funzioni sufficientemente regolari con polinomi.

Sia f(x) una funzione definita in un certo intervallo (-δ, δ) per qualche δ > 0

Supponiamo che:

• f(x) sia derivabile n+1 volte nell'intervallo
• esista la derivata n+1-esima perlomeno in 0

In questo caso: f(x) = T_n(x) + o(xⁿ) per x > 0

Polinomio grado n approssimante di approssimazione a meno di termine grado n Dove T_n(x) è il polinomio di grado ≤ n dato da:

f_n(x) = f(0) + f'(0)x + ^f''(0)/_2! x² + ^f'''(0)/_3! x³ + ... + ^f(n)(0)/_n! xⁿ

Ovvero: = ⁿ∑_k=0 ^{f(k) (0)}/_k! x^k

Tramite tabelle di sviluppo di Taylordelle funzioni elementari, siamo in gradodi non svolgere il calcolo ogni volta

Esempio: g(x) = e^x

T₂(x) = 1 + x + x²/2 ⇒ g(x) = T₂(x) + o(x²)

T₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6 ⇒ g(x) = T₃(x) + o(x³)

Allo stesso modo, possiamo sfruttare Taylor anche più volte nel solito polinomio:

Es.: f(x) = sin x + cos x n = 4

f(x) = 3[^{x - x3}/₆ + o(x⁵)] + [- x + x²/2 + x⁴/24] + o(x⁵) =

= 4 + 3x - x²/2 + x⁴/12 + o(x⁵)

Es.: g(x) = sin x * cos x n = 4

f(x) = [x - x³/6 + o(x⁵)] * [1 - x²/2 + x⁴/24 + o(x⁵)] = x - x³/6 x⁵ o(x⁴) =

= x - 2/3 x³ + o(x⁴)

Es.: f(x) = Sin (3x) n = 4

f(x) = (3x) - (3x)³/6 + o(x⁵) = 3x - 9/2 x³ + o(x⁴)