Matematica - Limiti

Limiti introduttivi

Lim_x→1 (x + 1) = cosa fa la quantità x+1 (ovvero y) quando x si avvicina ad 1 = 2.

A cosa tende x² (ovv. y) lim_x→-1 x² = 1 quando mi avvicino ad x=-1.

Limiti all'infinito

Lim_x→+∞ f(x) = cosa fa f(x) (ovv. y) quando faccio diventare x sempre più grande.

Lim_x→+∞ f(x) = +∞ quando ad x grandissimo corrispondono y grandissimi.

La condizione per cui un limite che = +∞ sia = +∞ è che per ogni x con quota fissata sull'asse x deve esistere un corrispondente tanto sull'asse x per cui quando x > punto di funzione sta sempre sopra la quota fissata dal punto.

• Lim_x→+∞ f(x) = +∞ x > x_G = y > y_G
• Lim_x→+∞ f(x) = -∞ x ≫ x_m y ≫ 3πx_m
• Lim_x→±∞ f(x) = 0
• Lim_x→0 f(x) non esiste

Funzioni oscillanti come sin e cos.

Limiti introduttivi

Lim_x→-1 (x+1) = cosa fa la quantità x+1 (ovvero y) quando x si avvicina ad -1 = 2.

A cosa tende y² (ovv. y) lim_x→-1 x² quando mi avvicino ad x=-1.

Limiti all'infinito

Lim_x→+∞ f(x) = cosa fa f(x) (ovv. y) quando faccio diventare x sempre più grande.

Lim_x→+∞ f(x) = +∞ quando ad x grandissimo corrispondono y grandissimi.

La condizione per cui un limite che → +∞ sia = +∞ è che per ogni y₀ quota fissa sull'asse y deve esistere un x corrispondente tanto sufficiente per cui quando x > x₀ punto la funzione sta sempre sopra la quota fissa del punto.

Possibili scenari:

• Lim_x→+∞ f(x) = +∞
• Lim_x→-∞ f(x) = -∞
• Lim_x→+∞ f(x) = R
• Lim_x→±∞ f(x) = non esiste

Funzioni oscillanti come sin e cos.

Funzioni continue - primi esempi di calcolo

Una funzione f(x) si dice continua in un punto x₀ se lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Per le funzioni continue in x₀ è possibile calcolare il limite semplicemente sostituendo x₀ nella funzione f(x).

Funzioni continue: Tutte le funzioni ottenute da quelle elementari (potenze, exp, log, sin, cos...) tramite composizioni e/o operazioni algebriche sono continue dove non ci sono problemi di definizione (denominatori che si annullano, arg di log ≤ 0, radici quadrate di valori negativi).

Esempio 1

Lim_x→0 ^{esin xcos x}/_{x² + 1} = ^{esin 0cos 0}/_{0² + 1} = ^e0⋅1/₁ = 1 + 1 = 2

Esempio 2

Lim_x→0 (x² - 2x + 1) = 2² - 2⋅2 + 1 = 1

Per il calcolo di qualsiasi limite si può tentare la sostituzione. Nel caso in cui non si arrivi ad un numero (divisioni per 0, ecc...) significa che la funzione non è continua.

Esempio 3

Lim_x→0 ¹/_x →x → 0 →lim dx.

Limx→0+ 1/x = +∞    Limx→0- 1/x = -∞

Esempio 3.1: Lim_x→0 ¹/_x ⬋    Lim_x→0 ¹/_x ⬈

Se faccio tendere il denominatore a + e - ∞...

Se mi avvicino a 0 da:

• Valori positivi λ₁ = A
• λ₀₁ = 1
• - 1
• - 100... +∞
• Valori negativi δ₁ = -1
• δ₀₁ = -0,1
• - -10
• - -100... -∞

Tutte le volte che sx e dx si muovono in modi diversi, (a cavallo di un certo punto) si dice che lim_x→0 in quel punto = non esiste.

Limiti di funzioni razionali per x → x₀

Casistica

CASO 1: Sostituendo x₀ non si annullano né numeratore né denominatore.

Lim (x+1)/(x−1) = 2/1 − 3

CASO 2: Sostituendo x₀ si annulla solamente il numeratore.

Lim (x²−8x)/(x+2) = 0/3 = 0

CASO 3: Sostituendo x₀ si annulla solamente il denominatore.

Lim (x+1)/(2−x) = 3/0

Mi fermo e calcolo lim_Dx e lim_Sx

Lim_x→2^- (x+1)/(2−x) = [⁺³/_0^-] = −∞

Lim_x→2⁺ (x+1)/(2−x) = [⁺³/_0⁺] = +∞

x = 2 è asintoto verticale.

E se avessimo dovuto calcolare

Lim_x→2 (x+1)/(2−x²)

Il lim_Dx e Sx sono uguali e quindi...

CASO 1: Sostituendo x₀ si annullano numeratore e denominatore.

Lim_x→1 x²−3x+2/x²−1 = [0/0] scomporre e semplificare.

Lim_x→1 (x−1)(x−2)/(x−1)(x+1) = 1−2/1+1 = 1/2

In x=1 la funzione non è definita (def. s'annulla), ma in prossimità di x=1 la funzione si avvicina alla quota −1/2.

Limiti di funzioni razionali per x→∞

Limiti di funzioni polinomiali per x→∞

Lim_x→+∞ x³-5x+1 = [∞-∞]

Lim_x→+∞ x³ (1 -⁵/_x²)