Matematica - Introduzione alla Probabilità

U L

NIVERSIT À DI ECCE

D M

IPARTIMENTO DI ATEMATICA

“E D G ”

NNIO E IORGI

Introduzione alla Probabilità

Corsi di Laurea in

Matematica e in Matematica e Informatica

A.A. 2004–2005

Lezioni del

P . C S

ROF ARLO EMPI

Dipartimento di Matematica

“Ennio De Giorgi”

Università di Lecce

carlo.sempi@unile.it

c

23 novembre 2004

Indice

1 Probabilità discrete 1

1.1 Che cos’è la probabilità? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Operazioni sugli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 La definizione di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Alcuni problemi d’urna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Probabilità condizionata e indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Prove indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 La diseguaglianza di Čebyšev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9 Alcune distribuzioni di probabilità discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10 Alcuni problemi classici di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.11 Passeggiata aleatoria di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.12 La funzione generatrice delle probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.13 Passeggiata aleatoria in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

d

Z

1.14 Probabilità di un assegnato numero di eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.15 La definizione soggettiva della probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.16 Esercizı̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 Variabili aleatorie assolutamente continue 64

2.1 L’estensione al caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2 Le funzioni di ripartizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3 Esempı̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4 Probabilità geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.5 I vettori aleatorı̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.6 La covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.7 Trasformazioni di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.8 La formola di Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.9 I teoremi di de Moivre–Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.10 Esercizı̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

i

Capitolo 1

Probabilità discrete

1.1 Che cos’è la probabilità?

La probabilità si occupa di tutti quei fenomeni, detti aleatorı̂, per i quali l’esito non è certo, per i quali

viene meno il nesso di causa ed effetto, nel senso che nelle stesse condizioni pu ò essere differente

il risultato di un esperimento o di un’osservazione. Non è, quindi, sorprendente che storicamente il

moderno Calcolo delle Probabilità sia nato alla fine del Rinascimento per rispondere alle domande

poste dai giochi d’azzardo.

In probabilità si chiama evento ogni risultato o insieme di risultati o esiti possibili del fenomeno

in esame. Esempı̂ tipici, e molto semplici, di situazioni nelle quali vi è incertezza sull’esito di un

fenomeno, sono il lancio di un dado o di una moneta, ma anche la previsione del tempo di domani.

Si osservi che nel lancio di una moneta, per esempio, non vi sarebbe alcuna incertezza sull’esito

se si conoscessero le condizioni iniziali (posizione al momento del lancio, velocit à e forza con la

quale si lancia la moneta, etc.) e la struttura del sistema (peso, forma, dimensioni della moneta,

etc.); in queste condizioni, con un po’ di pazienza (e buone conoscenze di Meccanica) si potrebbero

risolvere le equazioni del moto e prevedere quale faccia della moneta sar à rivolta verso l’alto. In

effetti, nessuno userà un approccio simile, che, evidentemente, non è facilmente estendibile a sistemi

piú complicati della semplice moneta. La prima definizione della probabilit à è dovuta a L APLACE

all’inizio dell’Ottocento ed è riassunta nella formula

N (A) (1.1.1)

P (A) = N (Ω)

che si interpreta, tradizionalmente, dicendo che la probabilit à di un evento è il rapporto tra il nu-

A

mero dei casi favorevoli al realizzarsi dell’evento ed il numero dei casi possibili, se

N (A) A N (Ω)

(e si tratta di un’ipotesi cruciale) questi sono egualmente possibili (ritorneremo su quest’espressio-

ne). Mentre, da un lato, questa definizione trova vasta applicazione in molte situazioni, essa presenta

alcune pecche che non paiono facilmente eliminabili: intanto è restrittivo dover considerare solo fe-

nomeni che presentino un numero finito di risultati, perché è evidente che la (1.1.1) perde significato

se e/o sono infiniti. Non è, inoltre, immediato che, in tutti i fenomeni che si vogliono

N (Ω) N (A)

studiare, i possibili risultati abbiano la stessa probabilit à. Ma è piú grave che la definizione dipenda

dalla condizione che i possibili risultati debbano essere egualmente possibili; anche se L APLACE

diceva che non vi dovesse essere ragione per ritenere che uno fosse pi ú probabile dei rimanenti,

la definizione viene a dipendere da un’idea non precisata del concetto di probabilit à che si voleva

per l’appunto definire. Perciò la (1.1.1), benché utile, non può servire come base per la definizione

di probabilità. Un approccio che ha incontrato notevole successo, in ispecie nelle discipline spe-

rimentali, è la cosiddetta interpretazione delle probabilità come frequenze. In questo approccio si

immagina di ripetere lo stesso esperimento volte e si considera la frequenza con la quale l’evento

n

in esame si manifesta; tale frequenza è, per definizione, il rapporto essendo il nume-

n(A)/n, n(A)

ro di volte nelle quali l’evento si è realizzato nel corso delle ripetizioni dell’esperimento. Si

A n

1

CAPITOLO 1. PROBABILITÀ DISCRETE 2

definisce ora come probabilità dell’evento il limite

A n(A) (1.1.2)

.

P (A) := lim n

n→+∞

Questa definizione pone almeno due difficoltà, una di carattere tecnico, l’altra di natura concettuale:

la prima è che non è chiaro in quale senso si debba intendere il limite; infatti, sono numerosi i tipi di

limite che si considerano in probabilità; scegliere uno di questi modi di convergenza appianerebbe

questa difficoltà, ma porrebbe subito il problema di giustificare la scelta fatta. Quanto alla difficolt à

concettuale, appare evidente come la (1.1.2) limiti la definizione di probabilit à a quei fenomeni che

siano riproducibili indefinitamente: mentre questo pu ò ben adattarsi ad alcune discipline sperimen-

tali, nelle quali, in condizioni di laboratorio, un esperimento pu ò essere ripetuto, almeno in linea di

principio, un numero infinito di volte, non sembra costituire un buon modello per tutte le situazioni

alle quali si potrebbe pensare di applicare considerazioni di tipo probabilistico. Cosı́, per esempio,

nel lancio di un dado, il limite (1.1.2) non dà alcuna informazione sul risultato del lancio che si sta

per eseguire, benché, naturalmente, dica qualcosa sul comportamento delle frequenze in una serie

(infinita) di lanci. Inoltre la definizione (1.1.2) esclude tutti gli eventi che si considerino nella loro

individualità, sicché diviene, a rigore, privo di significato porsi la domanda: qual è la probabilità che

domani piova? È infatti il domani un evento unico e irripetibile. Si osservi che la definizione (1.1.2)

rende la probabilità una proprietà intrinseca del fenomeno, come sono, per esempio, la temperatu-

ra, il peso, la velocità di un corpo. L’approccio che evita gli inconvenienti di quelli che abbiamo

sommariamente abbozzato sopra, è quello di considerare la probabilità di un evento come il grado

di fiducia nel realizzarsi dell’evento da parte dell’osservatore. Tale approccio è stato illustrato con

semplicità e profondità, in numerosi scritti, da B F .

RUNO DE INETTI

Si può dire, anticipando sviluppi futuri, che ogni probabilità è una probabilità condizionata. In

questo approccio è ovvio che la probabilità non è una proprietà intrinseca dell’evento, ma dipende

dalla valutazione che ne fa l’osservatore: per questa ragione si parla di probabilit à soggettive. A chi

scrive sembra che questo approccio sia il solo valido.

La trattazione di questi appunti prescinderà, tuttavia dall’interpretazione che si dà alla proba-

bilità per adottare un’impostazione assiomatica, quella formulata da K nel 1933. In

OLMOGOROV

questa formulazione, come del resto in tutte le formulazioni assiomatiche, si evitano le polemiche

riguardanti il significato delle probabilità.

Gli eventi saranno rappresentati da sottoinsiemi di un insieme non vuoto La scelta

∅).

Ω(6 =

dell’insieme può non essere unica, e la teoria non dà regole per la costruzione dello spazio

Ω Ω

che si chiama solitamente spazio dei risultati o spazio dei campioni o, ancora, spazio campionario.

È bene che lo studente, nell’avvicinarsi per la prima volta al Calcolo delle Probabilit à, si abitui a

scrivere esplicitamente che cosa sia l’insieme con un po’ di pratica, non dovrebbe essere difficile

Ω;

costruirlo. Lo spazio è, cosı́, parte del modello che si costruisce per rappresentare un fenomeno.

Ω

Nel seguito parleremo senza fare distinzioni degli eventi o degli insiemi che li rappresentano. Ad

operazioni logiche sugli eventi corrispondono operazioni sugli insiemi che li rappresentano: cosı́,

dati gli eventi e (che, per una volta, si rappresenteranno con simboli diversi da quelli usati per

A B

gli insiemi) ad essi si faranno corrispondere gli insiemi e all’evento ( è questo l’evento “si

A∧B

A B;

realizzano tanto quanto si fa corrispondere l’insieme Analogamente, all’evento

A B”) ∩ A ∨ B

A B.

(=“si realizza uno almeno degli eventi o si fa corrispondere l’insieme All’opposto,

A B”) ¬A,

A∪B.

di un evento corrisponde il complementare dell’insieme Altre corrispondenze tra operazioni

c

A A A.

logiche sugli eventi e operazioni sugli insiemi che li rappresentano si vedranno nel seguito.

1.2 Operazioni sugli insiemi

Supporremo che sia assegnato un insieme non vuoto e che tutti gli insiemi dei quali tratteremo

Ω

siano sottoinsiemi di Ω.

CAPITOLO 1. PROBABILITÀ DISCRETE 3

Ricordiamo che l’unione e l’intersezione di due insiemi e sono definite

∪ ∩

A B A B A B

rispettivamente come l’insieme di tutti i punti di che appartengono ad almeno uno dei due insiemi

Ω

e come l’insieme di tutti i punti che appartengono ad entrambi gli insiemi; in simboli

oppure e

∪ {ω ∈ ∈ ∈ ∩ {ω ∈ ∈ ∈

A B := Ω : ω A ω B} A B := Ω : ω A ω B}.

Il complementare di un insieme sarà indicato con :

c

A A

c {ω ∈ ∈

A := Ω : ω / A}.

Valgono le note leggi di D M che legano tra loro le operazioni binarie di unione e di

E ORGAN

intersezione e l’operazione unaria di complementazione:

c c

cι cι

∩ ∪

(∪ A ) = A , (∩ A ) = A

ι∈I ι ι∈I ι∈I ι ι∈I

ove è un’arbitraria famiglia di indici (in particolare, non si fa alcuna ipotesi sulla cardinalit à di

I

vale, inoltre, la relazione che mostra come l’operazione di complementazione sia

c c

I); (A ) = A,

involutoria.

È opportuno ricordare le relazioni, valide per ogni insieme A,

∩ ∅ ∅, ∪ ∅ ∪ ∩

A = A = A, A Ω = Ω, A Ω = A.

La differenza di due insiemi è definita da

⊂

A, B Ω

\ {ω ∈ ∈ ∈

A B := Ω : ω A, ω / B}.

Due insiemi si dicono disgiunti se accade che riferendosi ad eventi, si dice

⊂ ∩ ∅;

A, B Ω A B =

che essi si escludono mutuamente. Valgono le relazioni: c

\ ∩

A B = A B ,

c (si tratta di un’unione disgiunta),

∩ ∪ ∩ ∩ ∪ \

A = (A B) (A B ) = (A B) (A B) (unioni disgiunte),

∪ ∪ \ ∪ \

A B = A (B A) = B (A B)

⊂ ⇐⇒ ∩ ⇐⇒ ∪

A B A B = A A B = B.

Si osservi che il simbolo d’inclusione è inteso in senso debole, vale a dire che scrivendo

⊂ ⊂

A B,

si lascia la possibilità che i due insiemi e siano eguali, Non sarà mai usato in queste

A B A = B.

lezioni il simbolo ⊆.

La differenza simmetrica di due insiemi è definita da

\ ∪ \

A∆B := (A B) (B A);

essa è costituita dai punti che appartengono ad uno solo dei due insiemi e e corrisponde all’e-

A B

vento “si realizza esattamente uno tra i due eventi e Le propriet à della differenza simmetrica,

A B”.

come pure i rapporti con le altre operazioni sugli insiemi, si troveranno negli esercizı̂.

Si indicherà con la famiglia costituita da tutti i sottoinsiemi dell’insieme non vuoto

P(Ω) Ω,

essa si chiama famiglia delle parti di o potenza di

P(Ω) {A ⊂

:= Ω}; Ω Ω.

Per ogni sottoinsieme di si definisce la funzione indicatrice di mediante

→ {0,

A Ω A, 1 : Ω 1}

A

( se ∈

1, ω A,

1 (ω) :=

A se ∈

0, ω / A.

Ovviamente, e (le funzioni identicamente eguali a e rispettivamente). In campi

1 = 1 1 = 0 1 0,

Ω ∅

diversi dalla Probabilità si usa spesso, in luogo del nome funzione indicatrice, quello di funzione

CAPITOLO 1. PROBABILITÀ DISCRETE 4

caratteristica; quest’ultimo è però riservato, in Probabilità, ad una diversa funzione. Inoltre si usano

anche i simboli e |A|.

χ A

È, in generale, impossibile considerare come eventi tutti i sottoinsiemi di Occorrer à restrin-

Ω.

gere l’attenzione a particolari famiglie di sottoinsiemi. La opportunit à, intuitivamente necessaria, di

considerare, accanto all’insieme anche il suo complementare e, oltre agli eventi e anche

c

A, A A B,

la loro unione e la loro intersezione, giustifica l’introduzione della seguente

Definizione 1.2.1. Dato un insieme non vuoto si chiama algebra di sottoinsiemi di ogni

Ω, Ω,

famiglia non vuota, che sia stabile per la complementazione, per l’unione finita e tale

A ⊂ P(Ω),

che l’insieme vuoto appartenga ad cioè:

A;

(a) ∈ A;

Ω

(b) c

∈ A ∈ A;

A =⇒ A

(c) ∈ A ∪ ∈ A.

A, B =⇒ A B

Ricordiamo che un’operazione binaria su di un dato insieme si dice stabile se il risultato è

∗ E

ancora in vale a dire

E, ∀x, ∈ ∗ ∈

y E =⇒ x y E.

Naturalmente, se è un’algebra (di sottoinsiemi di e se e sono in allora vi apparten-

A A,

Ω) A B

gono anche infatti

∩ \

A B, A B, A∆B; c

c c c

∩ ∪ \ ∩

A B = (A B ) , A B = A B ,

\ ∪ \

A∆B = (A B) (B A).

Definizione 1.2.2. Si chiama tribú, o una famiglia di sottoinsiemi di

F F ⊂ P(Ω),

σ–algebra, Ω,

che goda delle seguenti proprietà:

(a) ∈ F;

Ω

(b) c

∈ F ∈ F;

A =⇒ A

(c) ∀n ∈ ∈ F ∪ ∈ F.

N A =⇒ A

n n∈N n

Una tribú è dunque stabile rispetto all’operazione di unione numerabile. Usando le leggi di DE

M è immediato dimostrare il seguente

ORGAN

Teorema 1.2.1. Sia una tribú di sottoinsiemi di Allora

F Ω.

(a) è stabile per le unioni finite:

F ni=1

∈ F(i ∪ ∈ F;

A = 1, 2, . . . , n) =⇒ A

i i

(b) è stabile rispetto alle intersezioni numerabili:

F ∀n ∈ ∈ F ∩ ∈ F

N A =⇒ A

n n∈N n

(c) è stabile rispetto alle intersezioni finite:

F ni=1

∈ F ∩ ∈ F.

A (i = 1, 2, . . . , n) =⇒ A

i i

CAPITOLO 1. PROBABILITÀ DISCRETE 5

Si osservi che una tribú è anche un’algebra. Tuttavia, non tutte le algebre sono anche trib ú.

La classe delle tribú di sottoinsiemi di un insieme non vuoto è ordinata, parzialmente, rispetto

Ω

all’inclusione e contiene una piú piccola tribú, la tribú banale, ed una piú grande tribú,

N {∅,

:= Ω}

che è la famiglia delle parti sicché, per ogni tribú si ha

P(Ω), F, N ⊂ F ⊂ P(Ω).

Sia un sottoinsieme proprio e non vuoto di cioè e la famiglia

6 ∅ 6 F(A)

A Ω, A = A = Ω; :=

è un’algebra; è anzi, una tribú, poiché ogni algebra finita è anche una tribú, dato che

c

{∅, A, A , Ω}

ogni successione è necessariamente composta da un numero finito di insiemi distinti, sicch é ogni

unione numerabile è, di fatto, un’unione finita; essa è la piú piccola tribú che contenga (e si dice

A

generata da Infatti se è una tribú che contiene risulta, per definizione,

G

A). A,

c

∈ G, ∈ G, ∅ ∈ G, ∈ G,

A A Ω

onde Il teorema seguente è di dimostrazione banale.

F(A) ⊂ G.

Teorema 1.2.2. Se è un’arbitraria famiglia di tribú di sottoinsiemi di è una tribú

{F ∈

: ι I} Ω,

ι

anche .

∩ F

ι∈I ι

Quest’ultimo risultato consente di risolvere il problema dell’esistenza della pi ú piccola tribú

che contenga un’assegnata famiglia di