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B A A A A Ak i(1) i(2) i(k) i(k+1) i(n)J(k)Ogni termine di quest’ultima somma si può scrivere nella forma che segue, ottenuta moltiplicando ifattori contenuti nelle parentesi,{1 − · · ·1 . . . 1 H (J(k)) + H (J(k)) + +A A 1 2i(1) i(k) r n−k (1.14.3)· · ·+ (−1) H (J(k)) + + (−1) H (J(k))},r n−kP , espressione nella quale la somma deve essereove 1 1 . . . 1H (J(k)) := A A Ar J(n−k,r) j(1) j(2) j(r)n−k sottoinsiemi di elementi scelti ineseguita sopra tutti i −J(n k, r) rr {i(k + 1), i(k + 2), . . . , i(n)}.Sostituendo nella (1.14.2), si han−kX Xr1 = (−1) 1 1 . . . 1 H (J(k)).B A A A rk i(1) i(2) i(k)r=0 J(k)Ora,X X X (1.14.4)1 1 . . . 1 H (J(k) = 1 . . . 1 1 . . . 1 .A A A r A A A Ai(1) i(2) i(k) i(1) i(k) j(1) j(r)J(k) J(k) J(n−k,r)CAPITOLO 1. PROBABILITÀ DISCRETE 47Si introduca X (1.14.5)H := 1 ,r+k r+k∩ A j(i)i=1J(n,k+r)n sottoinsiemi di indici scelti traove la
somma è eseguita sopra tutti i J(n, k + r) k + r
Alle somme (1.14.4) e (1.14.5) contribuiscono termini che possono assumere solo{1, 2, . . . , n}. n termini; i termini dellai valori e Si è già detto che nella somma (1.14.5) compaiono0 1. k+r
somma (1.14.4) sono invece −n kn .rk
Poiché −n kn − − −(n k)!n!(k + r)!(n k r)! k + rrk = .=− − −n kr!(n k r)!k!(n k)!n!k + rs
scende dalle (1.14.3), (1.14.4) e (1.14.5) che nn−k XX k + r jr j−kH = H ,(−1)1 = (−1)k+r jB k k kr=0 j=kdalla quale segue, considerando la speranza, n nX Xj jj−k j−kP (B ) = E(1 ) = (−1) E(H ) = (−1) S ,k B j jk k kj=k j=kche conclude la dimostrazione.
Corollario 1.14.1. Dati gli eventi , la probabilità che non si realizzi alcuno èA , A , . . . , A1 2 nnX jP (B ) = (−1) S .0 jj=0
Corollario 1.14.2. Dati gli eventi , la probabilità che se ne realizzino almeno èA , A , . . . , A k1 2 n nX −j
1j−k (1.14.6)· · · S .(−1)P (B ) + P (B ) + + P (B ) = jk k+1 n −k 1j=kDim. jn nnn X XXXX jj j−rj−r (−1)(−1)P (B ) = SS =r jj rrj=rr=k r=kj=kr=k jnX X j−rj(−1) S (−1)= .j rj=k r=kOra, si ha, tenendo presente che ,−r r(−1) = (−1)jX jr(−1) rr=k jjjj j−kk · · ·− + + (−1)+= (−1) jk +2k +1k − − −j 1 j 1 j 1 jk j−k− · · ·= (−1) + + + (−1)−k 1 k k j −j 1k= (−1) ,−k 1CAPITOLO 1. PROBABILITÀ DISCRETE 48vale a dire l’asserto.Esempio 1.14.1. Ritornando all’esempio (4.3) si ha −(n j)!jr=1∩ ,P A =k(r) n! (n−j)!nsicché si può calcolare . Pertanto la probabilità cercata, se è grande, è1 −S = = n kj j n! j! n n−kX X1j 11 1 −1j−k r '(−1) (−1)P (B ) = = e .k k j! k! r!
k!r=0j=kLa probabilità di avere almeno una coincidenza è, per grande,n nn XX − 11j 1 j−1j−1 = (−1)(−1) j! j!0 j=1j=1 ∞X 1 −1j−1' − '+ 1 = 1 e 0.63212.(−1) j!j=01.15 La definizione soggettiva della probabilitàIn queste lezioni abbiamo sistematicamente adottato il punto di vista assiomatico, che per ò prescindedal significato da attribuirsi alle probabilità. Ritornando alla domanda della sezione iniziale — Checos’è la probabilità? — esporrò brevemente il punto di vista soggettivo.La definizione di probabilità, secondo F , si basa sul concetto di scommessa coerente.DE INETTIPer ogni si parla di scommessa di quota e di importo su un evento se versata una∈p R, p S E,somma con arbitrario, si riceve una la somma se, e solo se, si verifica Se non si6pS S = 0 S E. Everifica, si perde la somma Il guadagno della scommessa su è dunquepS. E−G(E) = (1 p)S.EEsplicitamente, si La probabilità di avere almeno una coincidenza è, per grande, n nn XX - 11j 1 j-1j-1 = (-1)(-1) j! j!0 j=1j=1 ∞X 1 -1j-1' - '+ 1 = 1 e 0.63212.(-1) j!j=01.15 La definizione soggettiva della probabilità In queste lezioni abbiamo sistematicamente adottato il punto di vista assiomatico, che però prescinde dal significato da attribuirsi alle probabilità. Ritornando alla domanda della sezione iniziale — Che cos'è la probabilità? — esporrò brevemente il punto di vista soggettivo. La definizione di probabilità, secondo F, si basa sul concetto di scommessa coerente. DE INETTI Per ogni si parla di scommessa di quota e di importo su un evento se versata una∈p R, p S E, somma con arbitrario, si riceve una la somma se, e solo se, si verifica Se non si6pS S = 0 S E. E verifica, si perde la somma Il guadagno della scommessa su è dunque pS. E-G(E) = (1 p)S.E Esplicitamente, siguadagnerà se si realizza, se non si realizza. Nulla si può dire - pS(1 - p)S E a questo punto del segno del guadagno. Si intende che se è negativo in effetti si pagherà la somma |S|. Una scommessa si dice coerente se non esiste alcun valore di p tale che i due guadagni S = 0 possibili legati all'alternativa sul realizzarsi di siano entrambi positivi o entrambi negativi; in altre parole, una scommessa è coerente se non vi è la certezza che una delle due parti contraenti vinca quale che sia il risultato. La coerenza richiede dunque che, per ogni p, 2 - p(1 - p)S > 0, vale a dire o, ancora, 2 - p ≤ p ≤ 0, p [0, 1]. Vi sono due casi nei quali l'esito della scommessa è scontato, se p = 0 oppure se p = 1, vale a dire quando è l'evento impossibile oppure l'evento certo; nel primo caso si perde, nel secondo si vince certamente. In ciascuna di queste due situazioni la condizionedicoerenza richiede che i guadagni siano nulli; infatti per il guadagno è onde∅, −pS,E = G(∅) =mentre se il guadagno è onde−p = 0, E = Ω, G(Ω) = (1 p)S p = 1.Secondo la definizione di F , si dice probabilità di un evento un numeroE p = P (E)DE INETTItale che sia coerente la scommessa di quota sup E.CAPITOLO 1. PROBABILITÀ DISCRETE 49Questa definizione può apparire deludente, perché tutto quello che dice è che la probabilità diun evento è un numero di Occorre, però, fissare l’attenzione non solo su ma anche suE [0, 1]. E,altri eventi che possono contribuire a determinare e a modificare le informazioni che su si hanno.EA tal fine, giova supporre che la famiglia degli eventi abbia una struttura algebrica; la pi ú naturale èquella di algebra. Si vedrà nel seguito che supporre che la probabilità sia definita in un’algebra diAsottoinsiemi di non è restrittivo.ΩInvece di una sola scommessa sull’evento si consideri
Una qualunque sottoclasse finita di E, si considerino scommesse coerenti e simultanee sugli eventi di importi A, {E};, E, ..., En E1 2 n jarbitrarı̂, e differenti da zero, e di quote. Il guadagno sarà dato dalla S, S, ..., Sp, p, ..., p1 2 n 1 2 nv.a. nX − pS.1G := ∑ jE j j=1
In particolare, se gli eventi costituiscono una partizione, E, E, ..., E1 2 n nj=1 (1.15.1) ∩ ∅ 6 ∪E E = (i = j), E = Ω, i ≠ j, la combinazione di scommesse considerate equivale ad un' unica scommessa sull' evento certo Ω.
Allora, scegliendo gli importi si ha sicché... − ...S = S = ... = S = 1, G = 1 (p + p + ... + p), 1 2 n 1 2 n la scommessa è coerente se, e solo se, (1.15.2)...P(E) + P(E) + ... + P(E) = 1. 1 2 n
A questo punto, potremmo definire come probabilità qualsiasi funzione da in che soddisfaccia alle proprietà e alla (1.15.2) se sono verificate le condizioni P(∅)
= 0, P(Ω) = 1 (1.15.1).
Possiamo ora dare il seguente teorema.
Teorema 1.15.1. Se A e B sono due eventi incompatibili (A ∩ B = ∅), allora
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (1.15.3).
Dim. Si consideri l'evento E = A ∪ B. Allora, la famiglia {A, B, E, ∅} costituisce una partizione, onde, per la (1.15.2), cioè
P(E) + P(∅) = 1, cioè (1.15.4)
P(E) = 1 - P(∅).
Ma anche {A, B, E, ∅} è una partizione, onde e di qui
{A, B, E, ∅} = {A, B, E, ∅}
P(A) + P(B) + P(E) + P(∅) = 1, cioè (1.15.5)
P(A) + P(B) = 1 - P(∅).
Dall'uguaglianza dei secondi membri scende quella dei primi.
Alla luce dell'ultimo teorema dimostrato, la probabilità è una funzione positiva, definita su un'algebra di sottoinsiemi di Ω finitamente additiva anziché numerabilmente additiva, come è invece nella definizione di Kolmogorov. Si vedrà nel seguito che è sempre possibile estendere una probabilità finitamente additiva a la famiglia dei sottoinsiemi di Ω, P(Ω).
Vogliamo mostrare che
una valutazione coerente di probabilità è unica. Si supponga che una stessa persona effettui due diverse scommesse sullo stesso evento rispettivamente di quote e 0E, p pe di importi e , arbitrari e non nulli. I guadagni che corrispondono al realizzarsi di e di0 cS S E E sono rispettivamente 0 0 se si realizza -G = (1-p)S + (1-p)SE, e 0 0 0 se non si realizza -pS -G = pSE. Ora, si considerino le ultime due come due equazioni nelle incognite e , vale a dire 0S S ( 0 0 - -(1-p)S + (1-p)S = G 0 0 -pS - pS = G Se fosse diverso da zero il determinante dei coefficienti, tale sistema avrebbe soluzione per ogni coppia di valori di e di , anche entrambi positivi o entrambi negativi. Perciò la richiesta che la scommessa sia coerente comporta che si annulli il determinante dei coefficienti, cioè - -(1-p) (1-p) 0 0 -p - = + p p p .det 0 -p -p Lacoerenza impone dunque che sia0p = p
. È particolarmente interessante l'approccio soggettivo alle probabilità condizionate. Sia data un'algebra di
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