Appunti Matematica applicata

MATEMATICA APPLICATA

UNIONE

• A ∪ B → elementi che stanno sia in A che in B
• operazioni A ∪ B = B ∪ A (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

commutativa associativa

INTERSEZIONE

• A ∩ B → parti in comune
• operazioni A ∩ B = B ∩ A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

commutativa associativa

LEGGI DI DE MORGAN

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

Def

• Lo spazio campionario è l'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento
• S: lancio di una moneta → S = {T,C}
• Lo spazio campionario si verifica sempre → è chiamato evento certo
• Ø non si verifica mai → EVENTO IMPOSSIBILE
• Due eventi A e B sono INCOMPATIBILI o mutuamente esclusivi se A ∩ B = Ø

ASSIOMI DI KOLMOGOROV

• S: spazio campionario finito
• P: A → P(A) tale che
1. P(A) ≥ 0
2. P(S) = 1
3. se A ∩ B = Ø tali che A ∪ B = S

allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

PROPRIETA'

1. P(A^C) = 1 - P(A) → Dim

   A ∪ A^C = S

   A ∩ A^C = Ø

   P(S) = P(A ∪ A^C) = P(A) + P(A^C) 2^° ass.

   1 = P(S) 1^° ass. → 1 = P(A) + P(A^C) → P(A^C) = 1 - P(A)

2. Se A ⊆ B allora P(A) ≤ P(B) → Dim

   A

   S

   B = A ∪ (B ∩ A^C)

   P(B) = P(A) + P(B ∩ A^C) → P(B) ≥ P(A)

MATEMATICA APPLICATA

UNIONE

A ∪ B → elementi che stanno sia in A che in B

• operazioni

A ∪ B = B ∪ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

commutativaassociativa

INTERSEZIONE

A ∩ B → parti in comune

• operazioni

A ∩ B = B ∩ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

commutativaassociativa

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

LEGGI DI DE MORGAN

(A ∪ B) = A ∩ B

(A ∩ B) = A ∪ B

Def → lo SPAZIO CAMPIONARIO è l'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

es: lancio di una moneta

Lo spazio campionario si verifica sempre → è chiamato evento certo

∅ non si verifica mai → EVENTO IMPOSSIBILE

Due eventi A e B sono INCOMPATIBILI se A ∩ B = ∅

ASSIOMI DI KOLMOGOROV

S: spazio campionario finito

P: A → P(A) tale che

1. P(A) ≥ 0
2. P(S) = 1
3. Se A ⟂ B tali che A ∩ B = ∅allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

PROPRIETÀ

1. P(A) = 1 - P(A) → Dim

   A ∪ A = S

   A ∩ A = ∅

   P(S) = P(A ∪ A)

   = P(A) + P(A) → per 3º assioma

   1 ‣ per il 2º assioma

   1 = P(A) + P(A) → P(A) = 1 - P(A)

2. Se A ⊆ B allora P(A) ≤ P(B) → Dim

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) → Dim

A ∪ B = A ∪ (B - A)_B

P(A∪B) = P(A) + P(B - (B∩A))

B - (B∩A) = B∩Ā

P(B) = P(B ∩ Ā) ∪ (B ∩ A))

P(B ∩ Ā) + P(B ∩ A)

P(B ∩ A) = P(B) - P(B ∩ Ā)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

A ⊂ A ∪ B ⇒ P(A) ≤ P(A ∪ B)

B ⊂ A ∪ B ⇒ P(B) ≤ P(A ∪ B)

P(A ∪ B) ≥ max {P(A) , P(B)}

DISUGUAGLIANZA DI BONFERRONI

P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) - 1

Dim

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

⇒ P(A ∩ B) ≥ 1

⇒ P(A) + P(B) - 1

P(A ∩ B) ≤ min {P(A), P(B)}

Def 4

Dato uno spazio campionario S, si chiama σ-algebra degli eventi una famiglia α di eventi tale che:

• S ∈ α
• A ∈ α ⇒ Ā ∈ α
• ∀i ∈ I A_i ∈ α ⇒ ⋃_i=1^∞A_i ∈ α
• ∩_i=1 A_i ∈ α

Se S è discreto α = P(S) = insieme delle parti

Es: Lancio di una moneta

P(Ω) = S, P, {T₁, T₂}

ASSONI DI KOLOMOGROV

Sia S uno spazio campionario e α una σ-algebra di eventi

allora la prob è

P: {a, b} → ℝ tale che

1. P(A) ≥ 0 ∀ A ∈ α
2. P(S) = 1
3. Se I A_i, A_j ∈ α, con A_i ∩ A_j = 0 x ≠ j allora

P(⋃_i=1 A_i) = ∑_i=1 P(A_i)

Def 5

S₁ definisce spazio di probabilità (S, α, P) dove

• S = spazio campionario
• α = σ algebra di eventi
• P = probabilità su α
• S = {S₁, S₂, ..., S_n} spazio campionario finito

[S₁, S₂, ..., S_m] eventi elementari

P(A) = ^k⁄_m = casi favorevoli⁄_{casi possibili}

Probabilità Condizionat