Appunti Matematica applicata

Matematica Applicata

Unione

A ∪ B - elementi che stanno sia in A che in B

• operazioni

A ∪ B = B ∪ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

commutativa, associativa

Intersezione

A ∩ B - parti in comune

• operazioni

A ∩ B = B ∩ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

commutativa, associativa

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Leggi di De Morgan

A ∪ B = A ∩ B

A ∩ B = A ∪ B

Definizione

lo spazio campionario è l'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

es: lancio di una moneta Ω = {T, C}

Lo spazio campionario si verifica sempre → è chiamato evento certo

p non si verifica mai → evento impossibile

Due eventi A e B sono incompatibili o mutuamente esclusivi se A ∩ B = ∅

Assiomi di Kolmogorov

S: spazio campionario finito

P: A → P(A) tale che

1. P(A) ≥ 0
2. P(S) = 1
3. se A e B tali che A ∩ B = ∅ allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Proprietà

1. P(A) = 1 - P(A) → Dimostrazione

A ∪ ∅ = S, A ∩ ∅ = ∅

P(S) = P(A ∪ A) = P(A) + P(∅) per 3° ass.

P(S) = 1 per 2° ass.

1 = P(A) + P(∅) implica P(∅) = 1 - P(A)

2. Se A ⊆ B allora P(A) ≤ P(B) → Dimostrazione

B = A ∪ (B ∩ A)

P(B) = P(A) + P(B ∩ A) ≥ 0

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Dim

A ∪ B = A ∪ (B ∩ Ā)

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ Ā)
• B = (B ∩ Ā) ∪ (B ∩ Ā)
• P(B) = P(B ∩ Ā) + P(B ∩ A)
• P(B ∩ Ā) = P(B) - P(B ∩ A)

P(A ∩ B) = P(B) - P(A ∩ B)

> 0

P(A ∪ B) = P(A) + P(A ∩ B) - P(B ∩ A)

Oss

• A ⊂ B → P(A) ≤ P(B) ≤ P(A ∪ B)
• B ⊂ A → P(B) ≤ P(A)

P(A ∪ B) ≥ max {P(A), P(B)}

Disuguaglianza di Bonferroni

Dim

• P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
• P(A) + P(B) ≥ 1
• P(A ∩ B) > P(A) + P(B) - 1

Oss

• A ∩ B ⊂ A → P(A ∩ B) ≤ P(A)
• A ∩ B ⊂ B → P(A ∩ B) ≤ P(B)

P(A ∩ B) ≤ min {P(A), P(B)}

Def

Dato uno spazio campionario S, si chiama σ-algebra degli eventi una famiglia α di eventi tale che

• S ∈ α
• A ∈ α ➔ Ā ∈ α
• If {A₁, A₂, …} ⊂ α ➔ ∪Aᵢ ∈ α
• Intersezione Aᵢ ∈ α

Se S è discreto α = P(S) = insieme delle parti

Es: Lancio di una moneta

P(S) = {S, P, {T}, {C}}

Assioni di Kolmogorov

Sia S uno spazio campionario e α una σ-algebra di eventi allora la prob è P: α ➔ R tale che

• 1) P(A) ≥ 0 ∀ x ∈ α
• 2) P(S) = 1
• 3) Se {Aᵢ}: Aᵢ ∈ α, Aᵢ ∩ Aⱼ = Ø ∀ i ≠ j allora
• P(∪Aᵢ) = ∑ P(Aᵢ)

Def

Si definisce spazio di probabilità (S, α, P) dove

• S = spazio campionario
• α = σ-algebra di eventi
• P = probabilità su α
• S = {s₁, s₂, …, sₙ} = spazio campionario finito

Affidabilità dei sistemi

• In serie
• In parallelo

S = il sistema funziona

A_i = il componenti Si si guasta

P(A_i) = p_i i = 1, ..., m

Si guastano indip. l'uno dall'altro?

• In serie

P(S) = P(A₁ ∩ A₂ ∩ ... ∩ A_m) = P(A₁) P(A₂) ... P(A_m) = ∏_i=1^m (1 - p_i)

• In parallelo

P(S) = P(∪_i=1^m A_i) = 1 - P(∩_i=1^m A_i) = 1 - P(∩_i=1^m A_i) = 1 - ∏_i=1^m p_i

Oss

1. Lancio di un dado X = punteggio ottenuto R_X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P_X(x_i) = ¹⁄₆ E[X] = 1·¹⁄₆ + 2·¹⁄₆ + 3·¹⁄₆ + 4·¹⁄₆ + 5·¹⁄₆ + 6·¹⁄₆ = 7 ∉ R_X → non appartiene al range
2. Lancio coppia di dadi X = somma dei punteggi P_X(1) = 0 = P_X(12) P_X(3) = ²⁄₃₆ = P_X(11) P_X(5) = ⁴⁄₃₆ = P_X(9) P_X(6) = ⁵⁄₃₆ = P_X(8) P_X(7) = ⁶⁄₃₆ E[X] = ¹⁄₃₆ [ 2·0 + 6 + 0 + 12 + 20 + 30 + 60 + 30 + 20 + 8 + 6 + 2 + 0 ] = = ¹⁄₃₆ [ 0 + 70 + 0 + 72 ] = ²⁵²⁄₃₆ = 7 ∈ R_X → appartiene al range

• Se R_X = { x₁, ..., x_m } con valori E[X] = ^{x₁ + x₂ + ... + x_m}⁄_m = P_X(x_i) = p = ¹⁄_m MEDIA ARITMETICA (Solo se il range è finito e sono equiprobabili)

1. R_X = {0, 1}
2. R_X = {¹⁄₂, 0, ³⁄₂}
3. R_X = {2, 1000, ..., 500, 0, 500, 1000} π = 1/5

Def →

E[g(x)] =

• Σ_ig(x_i)P_X(x_i) X v.a. discreta
• ∫_-∞^∞g(x)P_X(x)dx X v.a. continua

• Si definisce
  • MOMENTO di ordine m della v.a. X, E[X^m] se la v.a. permettere valori mediati.
  • MOMENTO CENTRALE di ordine m della v.a. X E[ (X - E(X))^m]

Def →

Si definisce VARIANZA di una v.a. X il suo momento centrale di ordine 2, cioè

var(x) = E[ | X - E[X] |²] =

• Σ_i(x_i - E[X])² P_X(x_i) (x_i - E[X])² dP_X(x_i) var(x) ≥ 0

A_i = successo i-esima prova

P(i) = p

i = 1, ..., m

A_i = insuccesso i-esima prova

E₀ = si è verificato lo stesso in ogni prova

P(A₁ A₂ ... A_m) = P(A₁) P(A₂) ... P(A_m) = p^k (1-p)^m-k

Probabilità di ottenere k successi = (m su k) p^k (1-p)^m-k

X ~ B(m, p)

p = p₀ di successo in una singola prova

m prove identiche

X = n° di successi in m prove indipendenti di tipo succ-insue.

Distribuizione binomiale :

E(x) = mp

Var(x) = mp(1-p)

Dim E(Σx_i) = Σ x_i P(x_i|x_i) = Σ_{k = 0}^m k (m su k) p^k (1-p)^m-k

P_X(k|X) = (m su k) p^k(1-p)^m-k / P_X(k-1|X)

Quando P_X(k) ≥ P_X(k-1) ?

m - k + 1/k ≥ p/1-p

mp + p ≥ k

K ≤ mp + 1

k è circa, o della media