Appunti Matematica Applicata

Matematica Applicata (prof.: Roberto Nibbi)

• Teoria degli Insiemi
  • Consideriamo S insieme universo.
    • Def. Sottoinsieme: A è sottoinsieme di S quando ogni elemento di A è contenuto in S. A ⊂ S
    • Def. Unione: A ∪ B
      • * Proprietà:
        • 1) Commutativa: A ∪ B = B ∪ A
        • 2) Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
    • Def. Intersezione: A ∩ B
      • * Proprietà:
        • 1) Commutativa: A ∩ B = B ∩ A
        • 2) Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
        • 3) Distributiva: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
    • Def. Complementare: A
      • * Proprietà:
        • 1) A = A
        • 2) S = ∅
        • 3) A ⊆ B => B ⊆ A
    • Leggi di De Morgan
      • 1) A ∪ B = A ∩ B ⇔ A ∪ B = A ∩ B
      • 2) A ∩ B = A ∪ B ⇔ A ∩ B = A ∪ B
    • Def. Partizione di S: Insieme di sottoinsiemi di S disgiunti tali che la loro unione restituisca S A₁, ..., A_j A_j ≠ ∅ t.c. ∪ A_i = S. i=1
• Probabilità
  • Def. Spazio campionario → Si definisce insieme/spazio campionario l'insieme di tutti i possibili risultati dell'evento aleatorio in esame.
    • * es: moneta S = { T, C}
    • dado S = { S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆ }
    • 2 dadi S = { S₁, S₂, ..., S₃₆ }

    * Oss: Non tutti gli spazi campionari possono definirsi finiti

    es1: Numero di lanci di una moneta prima che esca testa. S = { 0, 1, 2, ... } ℕ – insieme infinito e numerabile

    es2: Istante di rottura di un macchinario S = ℝ⁺

    es3: Estrazione casuale di un numero 0 ≤ x ≤ 1. S = ℝ t.c. x ∈ [0, 1]

• Def. Evento

  Sottoinsieme dello spazio campionario.

  Si dirà che un evento si verifica quando l'esito della prova è contenuto fra gli elementi del sottoinsieme "evento".

  • Es: Un lancio di dado restituisce: {3, 5, 6} = “uscita faccia 3”; {2, 4, 6} = “uscita faccia pari”; {4, 5, 6} = “uscita faccia maggiore di 3”.

  Oss: Poiché per definizione lo spazio campionario contiene ogni possibile evento/esito si può dire che: se $X$ è lo spazio campionario, $X$ è detto evento certo).

  Al contrario l'insieme vuoto $(\emptyset)$ è chiamato evento impossibile.

• Def. Famiglia di eventi

  Insieme di eventi, quindi anche sottoinsieme dello spazio campionario che soddisfa le seguenti proprietà:

  1. $A \subseteq X$ t.c.

  2. Se $A \in \varepsilon \Rightarrow \bar{A} \in \varepsilon$.

  3. Se $A, B \in \varepsilon \Rightarrow A \cup B \in \varepsilon$.

  * Oss: È possibile osservare che nella terza condizione è presente un termine ridondante: $A \cap B \in \varepsilon$

  • Considerando due elementi di $X$ : $A$ e $B$

  • Per 2): $\bar{A}, \bar{B} \in \varepsilon$.

  • Per 3): $\bar{A} \cup \bar{B} = A \cap B$.

  • Per 2): $\bar{A} \cap \bar{B} \in \varepsilon$.

  • Poiché $\bar{A} \cap \bar{B} = A \cap B,$ $\Rightarrow A \cap B \in \varepsilon$.

  * Oss: Si definisce insieme delle parti l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi dello spazio campionario incluso l'insieme vuoto $(\emptyset)$.

  L'insieme delle parti soddisfa le tre condizioni che definiscono una famiglia di eventi.

  • Es: Lancio di una moneta #1

    $E_n = "esce testa per la prima volta all’ n-esimo lancio"$

    $E_n = C_1 \cap C_2 \cap C_3 \cdots C_{n-1} \cap T_n$

  • Es: Lancio di moneta #2

    $E_n = "esce testa per la prima volta in un lancio pari"

    $E_n = C_1 \cap C_2 \cap C_3 \cdots C_{n-1} \cap T_n$ con pari $\cup_{k=1}^{n} E_n$

  * Considero adesso un’ulteriore condizione:

  3. $\{A_i\} \subseteq X \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \subseteq X, \; \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \subseteq X.$

P((A∩B)∪C) = P((A∩C)∪(B∩C)) = P(A∩C) + P(B∩C) - P(A∩B∩C)

Sostituiano allora anche quest’ultimo termine:

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) +

+ P(A∩B∩C), ~ c.v.d. ~

Calcolo della Probabilità di un Evento

Supponiamo di considerare lo spazio campionario S come finito.

S = { S₁, S₂, ..., S_n }

Come associare una probabilità a ciascun S_i?

Per farlo uiè è innanzitutto necessario considerare un

• Def: Evento → Eventi, cioè sottoinsiemi dello spazio
• Elemento → elementi campionario S, composti da un unico

elemento e tali per cui:

• S = ∪{ S_i }
• S_i ∩ S_j = ∅ ∀ i ≠ j.

A questo punto associano a ciascun evento elementare

una probabilità che indicheremo con

P({ S_i }) = P_i tale per cui:

• P_i ≥ 0
• ∑ⁿ_i=1 P({ S_i }) = ∑^k_j=1 P_Aj

Supponiamo ora di trovarci in un caso di “equiprobabilità”,

cioè in cui si ha

P({ S_i }) = P_i ∀i = 1, 2, ..., n t.c.

• P_i > 0
• ∑ⁿ_i=1 p_i = nP = 1 ⇒ P = 1/n

• Def: Cardinalità di S → Numero di eventi
• elementari che compongono lo spazio campio-

-nario S assunto finito

Considerando valide le ipotesi (1) e (2) posso dare

la seguente definizione di probabilità:

P(A) = ∑^k_j=1 P({ S_Aj }) = ∑^k_j=1 P_Aj = kP = k/n

• dove:
• k → Numero di casi favorevoli all’evento A.
• n → Numero di casi possibili o cardinalità di S.

• Esempio: Calcolare la probabilità che su 3 lanci di moneta non
• si presenti la successione “C-T”

S = { (T,T,T), (T,T,C), (T,C,T), (T,C,C), (C,T,T), (C,T,C), (C,C,T), (C,C,C) }