Appunti Matematica Applicata

Matematica Applicata

Teoria degli Insiemi

Considerando S insieme universo.

• Def: sottoinsieme → A è sottoinsieme di S quando ogni elemento di A è contenuto in S.

A ∈ S

• Def: unione → A ∪ B

• Proprietà
  1. Commutativa: A ∪ B = B ∪ A
  2. Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

• Def: intersezione → A ∩ B

• Proprietà
  1. Commutativa: A ∩ B = B ∩ A
  2. Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  3. Distributiva: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

• Def: complementare → Ā

• Proprietà:
  1. Ā = A
  2. S = ∅
  3. Se A ⊆ B ⟹ B ⊆ Ā

• Leggi di De Morgan
  1. Ā ∪ B̅ = Ā ∩ B̅
  2. Ā ∩ B̅ = Ā ∪ B̅

• Def: partizione di S (insieme di sottoinsiemi di S disgiunti tali che la loro unione restituisca S)

A_i,...,A_j A_i ≠ ∅ t.c.⋃_i=1^j A_i = S.

Probabilità

• Def: spazio campionario → si definisce insieme/spazio campionario l'insieme di tutti i possibili risultatidel'evento aleatorio in esame.

* es: moneta S = {T,C} dado S = {S₁,S₂,S₃,S₄,S₅,S₆} 2 dadi S = {(S_i, S_j), S_i ∈ S, S_j ∈ S}

* Oss: non tutti gli spazi campionari possono definirsi finiti

es: Numero di lanci di una moneta prima che esca testa. S = {1,2,} N = insieme infinito e numerabile

es: l'istante di rottura di un macchinario S = ℝ⁺

es: Estrazione casuale di un numero fra 0 e 1. S = ℝ t.c. x ∈ [0,1]

Matematica Applicata

(prof.: Roberto Nibbi)

Teoria degli Insiemi

Considerando S insieme universo.

• Def: Sottoinsieme → A è sottoinsieme di S quando ogni elemento di A è contenuto in S.

  A ∈ S

• Def: Unione → A ∪ B

  • Commutativa: A ∪ B = B ∪ A
  • Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

• Def: Intersezione → A ∩ B

  • Commutativa: A ∩ B = B ∩ A
  • Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • Distributiva: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

• Def: Complementare → Ā

  • Ā = A
  • S = ∅
  • Se A ⊂ B ⇒ B̅ ⊂ Ā

• Leggi di De Morgan

  1. A ∪ B = Ā ∩ B̅
  2. A ∩ B = Ā ∪ B̅
  • Proprietà:
  • U = A_i
  • A_i ≠ ∅ t.c. U A_i = S.

• Def: Partizione di S (insiere di sottoinsiemi disgiunti)

  A₁,...,A_j

Probabilità

• Def: Spazio Campionario

  Si definisce insieme/spazio campionario l'insieme di tutti i possibili risultati dell'evento aleatorio in esame.

  • Es: moneta → S = {T,C}
  • Dado → S = {S₁,S₂,S₃,S₄,S₅,S₆}
  • 2 dadi → S = {(S₁,S₁),(S₁,S₂),..., (S₆,S₅), (S₆,S₆)}

  Oss: Non tutti gli spazi campionari possono definirsi finiti.

  Es: Numero di lanci di una moneta prima che esca testa.

  S = {1,2,...}, ℕ = insieme infinito e numerabile

  Es: Istante di rottura di un macchinario

  S = ℝ⁺

  Es: Estrazione casuale di un numero fra 0 e 1.

  S = ℝ, t.c. x ∈ [0,1]

Def: Evento

Sottoinsieme dello spazio campionario.

Si dirà che un evento si verifica quando l'esito della prova è contenuto fra gli elementi del sottoinsieme "evento".

• Un lancio di dado restituirà:

  • { 5₁ } = "uscita faccia 6"
  • { 5₂, 5₄, 5₆ } = "uscita faccia pari"
  • { 5₄, 5₅, 5₆ } = "uscita faccia maggiore di 3"

• Piché per definizione lo spazio campionario contiene ogni possibile evento/esito si può dire che esso è l'evento certo (se X = S detto evento certo).

• Al contrario l'insieme vuoto (Ø) è chiamato evento impossibile.

Def: Famiglia di eventi

Insieme di eventi, quindi anche sottoinsieme dello spazio campionario che soddisfa le seguenti proprietà:

• A ⊆ S t.c.
• 1) S ∈ X.
• 2) Se A ∈ X ⇒ Â ∈ X.
• 3) Se A_i, B_e ∈ X ⇒ A ∪ B ∪ A ∩ B ∈ X.

☞ Oss: È possibile osservare che nella terza condizione è presente un termine ridondante: A B ∈ X

• Considerando due elementi di X; A e B
• Per 2): Â, B ∈ X