Probabilità e statistica matematica - parte 2

Covarianza

Def X, Y v.a. con µ_X = E[X], µ_Y = E[Y], si chiama covarianza di X e Y

Cov(X, Y) = E[(X - µ_X)(Y - µ_Y)]

Caso X e Y v.a. discrete con densità congiunta f_x,y

Cov(X, Y) = ∑_i,j(x_i - µ_X)(y_j - µ_Y)f_X,Y(x_i, y_j)

oss

Se X = Y Cov(X, X) = E[(X - µ_X)²] = V[X]

Se Y= c costante E[Y]=c → Y - µ_Y = 0 Cov[X, c] = 0

proprietà

• a, b ∈ ℝ Cov[aX+b, Y] = a Cov[X, Y]

Verifica E[aX+b] = aE[X]+b aX+b =E[aX+b] = aX+b-aE[X]-b = a(X-E[X])

Cov[aX+b, Y] = E[(aX+b - E[aX+b])(y - E[Y])] = E[a(X - E[X])(Y - E[Y])]

= a E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = a Cov[X, Y]

oss

Cov(X, Y) = Cov(Y, X)Cov[X, cY+d] =c Cov[X, Y] ∀c, d ∈ ℝ

Def Due v.a. X, Y sonopositivamente correlate se Cov(X, Y) > 0negativamente correlate se Cov(X, Y) < 0non correlate (isopostate) se Cov(X, Y) = 0

es

X₁, X₂ v.a. X₁ ∼ Ber(p)X₂ ∼ Ber(p)X₁ ⊥ X₂

P[X₁=i, X₂=j] = P[X₁=i] P[X₂=j]

Y = X₁ + X₂

Cov[X, Y] = Cov[X₁, X₁+X₂] = Cov[X₁, X₁] + Cov[X₁, X₂] =

= V[X₁] + Cov[X₁, X₂]

Cov[X₁, X₂] = Σ_{x1 ∈ {1;2} x2 ∈{1;2}} (x₂ - ρ)(x₂ - ρ)P{X₁ = x₁}P{X₁ = x_{2} =}

= ρ²(1 - ρ)² - 2ρ²(1 - ρ)² + ρ²(1 - ρ)² = 0

Cov[X, Y] = √V[X_.] = ρ(1 - ρ) > 0

Proprieta

1. Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]
2. (Cov(X,Y))² ≤ V(X) V(Y)

Coefficiente di correlazione

Det X, Y v.a. con 0 < V[X], V[Y] < +∞, si chiama coefficiente di correlazione di X_., Y

Limità avere un numero - 1 ≤ ρ (x, y) ≤ 1

(simil cosθ, se cosθ ≥ 0 | | altre orientati dello stesso quadrante

Variabili aleatorie indipendenti

Det X e Y v.a. sono indipendenti se P{a < X < b, a’ < Y < b’} = P{a < X