Matematica(integrali e derivate)

Matematica

1. Integrali

\(\int_c^{+\infty} f(x) \, dx\)

Se \(f \geq 0\) in \([c, +\infty)\)

\(\int_c^{\infty} f(x) \, dx =\) insieme illimitato

\(\int_c^{+\infty} f(x) \, dx\)

fisso un n.r. \(t > c\)

• calcolo \(\int_c^t f(x) \, dx\)
• mando \(t \to +\infty\)

Def. l'integrale di una \(f\) continua su un intervallo illimitato a dx)

Sia \(C \in \mathbb{R}\) sia \(f : [c, +\infty) \to \mathbb{R}\) continua nel suo dominio \([c, +\infty)\) si dice che \(f\) ha integrale generalizzato in \([c, +\infty)\) se esiste finito o infinito:

\(\lim_{t \to +\infty} \int_c^t f(x) \, dx\)

• a) se il limite è finito \(\int_c^{+\infty} f(x) \, dx\) si dice convergente
• b) se il limite è infinito \(\int_c^{+\infty} f(x) \, dx\) si dice divergente

Esempio: \(f : [1, +\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{1}{x^2}\). Esiste \(\int_1^{+\infty} f(x) \, dx\)?

• fisso \(t > 1\)
• calcolo \(\int_1^t \frac{1}{x^2} \, dx = F(t) - F(1)\) dove \(F\)

è una qualsiasi primitiva di \(\frac{1}{x^2}\)

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

\(f(x) = x^\alpha \Rightarrow F(x) = \frac{1}{1+\alpha} x^{\alpha+1} \quad \forall \alpha \neq -1 \, \text{ e } \, f(x) = \frac{1}{x} \Rightarrow F(x) = \ln(|x|)\)

Se \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) allora \(-\frac{1}{x} \Big|_1^t = -\frac{1}{t} + 1\)