Derivate e integrali, Analisi matematica 1

Derivate

Definizione Sia x₀ punto del dominio e di accumulazione per il dominio stesso allora f è differenziabile in x₀ se ∃α ∈ R : j(x) = j(b) + α(x - x₀) + o(x - x₀) In tal caso f viene detta differenziabile.

NB: se f è differenziabile allora f è continua in x₀.

Definizione Sia x₀ ∈ dom j, chiamiamo rapporto incrementale R_x0 la funzione R_x0(x) = (j(x) - j(x₀))/(x - x₀)

Definizione Se ∃ limite per x → x₀ del rapporto incrementale allora esso è detto derivata di f in x₀ e si indica con j'(x₀).

Definizione La funzione j è derivabile in x₀ se esiste j'(b) ed è un numero reale.

Teorema di Fermat

Sia x₀ punto di max (min) locale interno ad j e tale che j è derivabile in x₀ allora j'(x₀) = 0.

Dimostrazione Vicino a x₀ si abbiamo j(x) ≤ j(b) essendo x₀ di max. Se che R_x0(x) = (j(x) - j(b))/(x - x₀) = N(x)/D(x)

Se x ↓ x₀ (quindi da sx) allora j(x) ≤ j(b), allora R_x0(x) = N(x)/D(x) ≤ 0 ⇒ R_x0(x) ≥ 0

Se x ↑ x₀ (quindi da dx) allora j(x) ≤ j(x₀), allora R_x0(x) = N(x)/D(x) ≤ 0 ⇒ R_x0(x) ≤ 0

Essendo che j(x₀) ≥ 0 e j(x₀) ≤ 0 ed essendo che per essere derivabile (dx/estdx) due esime che le derivate sx e dx siano uguali, allora j'(x₀) = 0 Il discorso è lo stesso considerandolo minimo, basta cambiare i versi delle disuguaglianze.

Teorema di Rolle

Sia f: [a,b]→ℝ tale che:

1. f è continua su [a,b];
2. f è derivabile almeno su ]a,b[;
3. agli estremi assume la stessa quota (f(a)=f(b)).

Allora ∃x ∈ ]a,b[ tale che f'(x)=0.

Dimostrazione

Per la 1) e il teorema di Weierstrass (vedi succ. e continuità) so che f ha massimo e minimo e li chiamo M e m.

Se m≠M allora f è una funzione costante ed è aula prendere f'(x)=0 ∀x se costante.

L=m=M, non può essere che f(a)=m e f(b)=M per ipotesi 3., quindi so che massimo e minimo sono interni.

Quindi ∃x ∈ ]a,b[ : f'(x)=M.

Per Fermat allora f'(x)=0 dove x=x.

Proprietà derivate

• Composizione: se g è derivabile in x₀ e g è derivabile in y₀=f(x), allora g∘f è derivabile in x₀ e:
• (g∘d)'(x₀)=g'(y₀)⋅f'(x₀) con y₀=f(x)
• Derivata dell'inverso: Se f: I→R continua e strettamente monotona. Sia f derivabile in b∈I e f'(x)≠0, allora la funzione inversa f⁻¹ è derivabile in y₀=f(x₀) e
• (f⁻¹)'(y₀)=¹/_f'(x₀)

Dim

(f⁻¹)(y₀)=^{f⁻¹(y₀)−f⁻¹(y₀)}/_y−y₀=^{y=f(x), y₀=f(x₀), x=f⁻¹(y), x₀=f⁻¹(y₀)}/_x=

Allora lim ^{x→x₀ x−x₀}/_y−y₀=¹/_f'(x₀)

Primitiva

F: I → ℝ è primitiva di f se F è derivabile su I e sia F' = f su I

Suddivisione

Si chiama suddivisione di ⟨a,b⟩ ogni insieme A = {x₀, x₁, ..., xₙ}, con a = x₀ < x₁ < ... < xₙ = b. Per ogni suddivisione A chiamiamo "somma inferiore" e "somma superiore" di f rispetto ad A le quantità:

• s̲(f,A) = Σ_i=1ⁿ dᵢ inf_{[xᵢ₋₁, xᵢ]} f(x)
• s̲(f,A) = Σ_i=1ⁿ dᵢ sup_{[xᵢ₋₁, xᵢ]} f(x)

dove dᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁, cioè l’ampiezza di un intervallino.

Sono detti integrale superiore e inferiore secondo Riemann su ⟨a,b⟩ le quantità:

• S⁺(f) = inf⎨s̲(f,A)⎬
• S⁻(f) = sup⎨s̲(f,A)⎬

Definizione

Una funzione limitata f si dice integrabile secondo Riemann su ⟨a,b⟩ se S⁺(f) = S⁻(f), in tal caso il valore è detto integrale di f su ⟨a,b⟩ indicato con ∫_a^bf(x)dx

Desuquivalenza

∀ε>0, ∃A,B ∈ ω(a,b), s̲(f,B) - s̲(f,A) ≤ ε

∀ε>0, ∃A ∈ ω(a,b), S⁺(f,A) - s̲(f,A) ≤ ε

(ε∈ω(a,b) significa approssimato per suddivisioni di ⟨a,b⟩)

Criteri di integrabilità

• ogni monotona è integrabile
• ogni continua è integrabile