Derivate e integrali, Analisi matematica 1

Derivate

DefinizioneSia x₀ punto del dominio e di accumulazione per il dominio stesso allora f è differenziabile in x₀ se ∃d ∈ ℝ. ƒ(x) = d(x)+α(x−x₀)+o(x−x₀)In tal caso è inoltre detto differenziabile.

NB Se è differenziabile allora ƒ è continuo in x₀

DefinizioneSia x₀ ∈ domƒ, chiamiamo rapporto incrementale R_x0(x) la funzione R_x0(x) = ^{ƒ(x)−ƒ(x₀)}/_x−x0

DefinizioneSe esiste il limite per x → x₀ del rapporto incrementale allora esso è detto derivata di ƒ in x₀ e si indica con ƒ′(x₀)

DefinizioneLa funzione ƒ è derivabile in x₀ se esiste ƒ′(x₀) ed è un numero reale.

Teorema di FermatSia x₀ punto di max (min) locale interno ad ƒ è tale che ƒ è derivabile in x₀ allora ƒ′(x₀) = 0

DimostrazioneVicino a x abbiamo ƒ(x) ^{− ƒ(b)} (punto di max). Si che R_x0(x) = ^{ƒ(x)−ƒ(b)}/_x−x0 = ^N(x)/_D(x)quando:Se x < x₀ (prima di x₀) allora ƒ(x) ≤ ƒ(x₀) allora R_x0(x) = ^N(x) ≤ 0 _D(x) = 0 → R_x0(x) ≥ 0Se x > x₀ (quindi di dx) allora ƒ(x) ≤ ƒ(x₀) allora R_x0(x) = ^N(x) ≤ 0 _D(x) ≥ 0 → R_x0(x) ≤ 0

Essendo che ƒ′(x₀) ≥ o e ƒ′(x₀) ≤ 0 ed essendo che per essere derivabile (di ipotesi) due rami delle derivate sx e ds siano uguali, allora ƒ′(x₀) = 0Il discorso è lo stesso considerando i minimo, basta cambiare i versi delle diseguaglianze.

Derivate

Definizione

Sia x₀ punto del dominio e di accumulazione per il dominio stesso allora f è differenziabile in x₀ se ∃ d ∈ &Reals;. f(x) = d(x) + α(x-x₀) + o(x-x₀)In tal caso si dice detto differenziabile.

NB Se è differenziabile allora f è continua in x₀

Definizione

Sia x₀ ∈ domf , chiamiamo rapporto incrementale R_x0(x), la funzioneR_x0(x) = (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)

Definizione

Se esiste il limite per x → x₀ del rapporto incrementale allora esso è detto derivata di f in x₀ e si indica con f'(x₀)

Definizione

La funzione f è derivabile in x₀ se esiste f'(x₀) ed f'₀ è un numero reale.

Teorema di Fermat

Sia x₀ punto di max (min) locale interno ad J e tale che f è derivabile in x₀ allora f'(x₀)=0

DimostrazioneVicino a a si abbiano (N(x) ≤ f(b)) essendo x₀ di max. Si che R_x0 = (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)

quindi:se x < x₀ (quindi da dx) allora f(x) ≤ f(x₀) allora R_x0(x) = (N(x) - f(x₀)) / D(x) ≤ ₀ → R_x0(x) ≥ ₀

se x → x₀ (quindi da dx) allora f(x) ≤ f(x₀) allora R_x0(x) = (N(x) - f(x₀)) / D(x) → ₀ → R_x0(x) ≤ ₀

Essendo che f'(x₀) ≥ 0 e f'(x≤ 0) → red essendo che per essere derivabile (da ipotesi) due rami de le derivate sx e dx siano uguali allora: f'(x≤ 0) = 0Il discorso è lo stesso considerando il minimo basta cambiare i versi della disuguaglianza.

Teorema di Rolle

Sia f: [a,b]→R tale che

1. f è continua su [a,b]
2. f è derivabile almeno su ]a,b[
3. agli estremi assume la stessa quota (f(a)=f(b))

allora ∃z∈ ]a,b[ tale che f'(z)=0.

Dimostrazione

Per la 1) e il teorema di Weierstrass (ved. succ. e continua) so che f ha massimo e minimo e li chiamo M e m.

Se m≠M allora f è una funzione costante ed è ovvia prendere f'(u)=0 ∀ u, se costante.

Se m≠M, non può essere che f(a)=m e f(b)=M per ipotesi 3), quindi so che massimo e minimo sono interni.

Quindi ∃c∈]a,b[ : f'(c)=M

Per Fermat allora: f'(c)=0 due to x₀=z.

Proprietà derivate

• Composizione. Se f è derivabile in x₀ e g è divisibile in y₀=f(x), allora g∘f è derivabile in x₀ e:

  (g∘f)'(x₀) = g'(y₀) . f'(x₀) con y₀=f(x₀)

• Derivata dell’inversa. Se f : I →≥ continuo e strettamente monotona, sia f derivabile in b∈I e f'(b)≠0 allora la funzione inversa f^-1 è derivabile in y₀=f(b)

  ¹/_f^-1(y₀) = ¹/_f'(x₀) e

Dim

(f^-1(b) e lim _y→y₀ = f'(y) - f'(y₀)

x=f(y), y₀=f(b₀), x=f^-1(y)

allora ho lim _x→x₀ ^{x - x₀}/_{f^-1(y) - f^-1(y₀)} e ¹/_f'(x₀)

Teorema di Lagrange

Sia f : [a,b] -> R tale che:

1. f è continua su [a,b]
2. f è derivabile almeno su ]a,b[

allora ∃z ∈ ]a,b[ t.c. f'(z) = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}

Dimostrazione

Prendo la funzione r(x) = f(a) + ^{f(b) - f(a)}/_{b - a} (x-a), che è la retta passante per a e b.

Vedo che r(a) = f(a) + ^{f(b) - f(a)}/_{b - a} (a-a) = f(a) e r(b) = f(a) + ^{f(b) - f(a)}/_{b - a} (b-a) = f(b)

Prendo la funzione h(x) = f(x) - r(x) e vedo che verifica le ipotesi di Rolle, infatti è continua e derivabile (lo sono f e r) e agli estremi annulla la stessa quota, infatti

h(a) = f(a) - r(a) = f(a) - f(a) = 0

h(b) = f(b) - r(b) = f(b) - f(b) = 0

allora ∃z ∈ ]a,b[ t.c. h'(z) = 0. So che r'(x) = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a} e che h'(x) = f'(x) - r'(x), allora

se h'(z) = 0, ho che 0 = f'(z) - r'(z) => f'(z) = r'(z) = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}. CVD.

Conseguenze di Lagrange

1. Se f è derivabile su I e f'(w) = 0 ∀w ∈ I, allora f è costante su I

Dimostrazione

∀x₁,x₂ ∈ I, x₁ < x₂, ∃z ∈ ]x₁,x₂[. f(x₂) - f(x₁) = f'(z) (x₂ - x₁), quindi f(x₂) - f(x₁) = 0._CVD

2. Se f'(x) > 0 ∀x ∈ I, allora f è strettamente crescente su I

Dimostrazione

∀x₁,x₂ ∈ I, x₁ < x₂, ∃z ∈ ]x₁,x₂[. f(x₂) - f(x₁) = f'(z) (x₂ - x₁). Ma se f'(z) > 0 allora f(x₁) deve essere minore di f(x₂) perché se x₁ < x₂ allora il membro è positivo e deve esserlo anche il primo. ∴ x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂) allora è la definizione di f strettamente crescente. CVD

Teorema di Cauchy

Siano f e g : [a,b] → R, continue su [a,b] e derivabili su ]a,b[ allora

∃z ∈ ]a,b[: [f(b)-f(a)]·g'(z) = [g(b)-g(a)]·f'(z)

Dimostrazione

Prendo la funzione h(x) = [f(b)-f(a)]·[g(x)-[g(b)-g(a)]·f(x)]

Vado di vericia le ipotesi di Rolle, infatti

h(a) = [f(b)-f(a) - f(a)·g(b)] - [f(b)-g(a)·g(a) = [f(a)·g(b) + f(a)·f(a) - f(b)·g(a) - f(a)·g(b)]

h(b) = [f(b)-f(a) - f(a)·g(b)] - [f(b)·g(b) + f(b)·g(a) - [f(b)·g(a) - f(a)·g(b)

Quindi:

∃z ∈ ]a,b[: h'(z) = 0 quindi

h'(z) = [f(b)-f(a)]·g'(z) - [g(b)-g(a)]·f'(z)

Allora: [f(b)-f(a)]·g'(z) = [g(b)-g(a)]·f'(z) QVD

Nozioni di approfondimento

• Funzioni lipotstiziane

∃L>0: ∀x₁,x₂ ε dom f, |(x₂)-f(x₁)| / |x₂-x₁| ≤ L

Una funzione è lipotstiziana se |f'(b)| ≤ L, in altre parole

• Convessità

A ⊂ R, f è convessa se, contrendo due punti, il no grafico contiene tutto il segmento dato dai due punti come estremi

• Teorema di Taylor

Sia f : ]a,b[ ⊂ R, x₀ ε ]a,b[, h = x-x₀, f derivabile n volte su ]a,b]

∃Pₙ(h) tale che f(x₀+h) = P₀(h) + o(hⁿ)

Teorema di De l'Hôpital I

Siano f, g: ]a, b[→ℝ, e sia x₀ ∈ ]a, b[ tale che

1. f(x₀) = 0 g(x₀) = 0
2. f e g siano continue su ]a, b[
3. f e g sono derivabili su ]a, b[\{x₀} e g'(x) ≠ 0, ∀x
4. lim x → x 0 f g = ℓ

allora lim x → x 0 f ' g ' = ℓ

Dimostrazione:

∀x_n ∈ ]a, b[\{x₀} , x_n → x₀ allora ( f n g n ) → ℓ

Ma per h0 f(h_n)=0 quindi B può scrivere come:

f n - f ( x ) g n - g ( x )

Per il teorema di Cauchy esiste z_n ∈ e tale che

f n - f ( x 0 ) g n - g ( x 0 ) = f z g z

Ma z_n ≤ z ≤ x₀ allora |x_n − x₀| ≤ |x_n − x₀|

Quindi z_n → x₀

Allora x_n ≠ x₀

lim n → ∞ f z g z = ℓ

E dopo arbitrarietà della successione x_n si ha

lim x → x 0 f ' g ' = ℓ

Il teorema afferma in pratica che se ho una forma indeterminata 0/0 posso limitarmi a calcolare il limite delle derivate, e sarà lo stesso della funzione iniziale.

Il teorema II di de l'Hôpital è identico ma afferma che vale anche per le forme indeterminate ∞/∞

In altri i casi derivo sia numeratore che denominatore e calcolo il nuovo lim.

Primitiva

F : I -> ℝ è primitiva di f se F è derivabile su I e si ha F' = f su I

Suddivisione

Si chiama suddivisione di [a, b] ogni insieme A = {x₀, x₁, ..., x_n}, con a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b.

Per ogni suddivisione A chiamiamo "somma inferiore" e "somma superiore" di f rispetto ad A le quantità:

S_-(f, A) = ∑ (da i=1 a n) δx_i inf f(x)

S⁺(f, A) = ∑ (da i=1 a n) δx_i sup f(x)

dove δx_i = x_i - x_i-1, cioè l'ampiezza di un intervallo.

Sono detti integrale superiore e inferiore secondo Riemann su [a, b] le quantità:

S^*(f) = inf{S⁺(f, A)}

S_*(f) = sup{S_-(f, A)}

Definizione

Una funzione limitata f si dice integrabile secondo Riemann su [a, b] se S_*(f) = S^*(f).

In tal caso il valore è detto integrale di f su [a, b] indicato con ∫_a^b f(x) dx.

Disequivalenti

∀ ε > 0, ∃ A, B ∈ ω(a, b), S^*(f, B) - S_-(f, A) ≤ ε

∀ ε > 0, ∃ A ∈ ω(a, b), S^*(f, A) - S_-(f, A) ≤ ε

(ε ∈ ω(a, b) significa appartiene alle suddivisioni di [a, b])

Criteri di integrabilità

• Ogni monotona è integrabile
• Ogni continua è integrabile

Lineařitŕ

Sia f, g: [a, b] → R limitate allora se f, g ∈ R(a, b) sono Riemann inteğrabili su [a, b], allora anche (f+g) ∈ R(a, b) e

∫_a^b f + ∫_a^b g = ∫_a^b (f+g)

Dimostrazione

Sia A = A ∪ B, abbiamo:

S^- (f, A) + S^- (g, B) ≤ S^- (f, g, A ∩ B) + S^- (f, g, A ̅) ≤ S^- (f, g, A ̅') ≤ S^- (f+g)

Perché A ̅ è un pribrovetto

Per proprietà esterna superiore

E la stessa diseguaglianza per S⁺

Ottengo che inf ∫_A^B f + ∫_B^A g ≤ S⁺ (f+g), e ∫_A^B f + ∫_B^A g ≥ S^- (f+g).

Quindi:

S^- (f+g) ≤ ∫_A^B f + ∫_B^A g ≤ S⁺ (f+g) ma S^- ≤ S⁺ sempre perciò si ha S^- = S⁺ quindi

∫_A^B (f+g) è integrabile e: ∫_A^B + ∫_B^A = ∫_A^B f+g

Definizione di integrale indefinito

Si dice integrale indefinito di f l'insieme di tutte le primitive di f (F (x) + c).

Definizione integrale generalizzato

Se esiste finito il limite per b→b^- di ∫_a^b f(x)dx allora diciamo che f è integrabile in senso generalizzato su [a, b]

e il limite viene indicato ∫_a^b f(x)dx. Se il limite è +∞ allora è integrale diverge.