Matematica - Funzioni, Limiti, Derivate, Integrali

Facoltà di biotecnologie

Corso di matematica e statistica

Anno scolastico 2021/2022

Argomenti

• Funzioni
• Limiti
• Derivate
• Integrali

Funzione

Una funzione f dall’insieme D in C è una legge che ad ogni elemento dell’insieme D fa corrispondere uno e un solo elemento dell’insieme C.

Insieme D su cui è definita f —> Dominio
C —> Codominio
f: D —> C

Si può anche indicare come:
x —> f(x) y=f(x) e C immagine di x tramite f

Insieme immagine di f

Imf = f(D) = {y ∈ C, y=f(x) per un certo x ∈ D} sottoinsieme del codominio che comprende gli elementi immagine del dominio

Funzione iniettiva

f: D —> C si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte. Se due elementi del dominio sono diversi, anche le immagini sono diverse:
∀ x₁, x₂ ∈ D con x₁ ≠ x₂ —> f(x₁) ≠ f(x₂)

Non si può rendere iniettiva una funzione che non lo è.

Funzioni suriettive

F: D → C si dice suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio. L'insieme immagine è tutto il codominio:
∀ y ∈ C ∃ x ∈ D: y = f(x)

Quindi F: D → C è suriettiva ⇔ Imf = C
È suriettiva (non è iniettiva). Non è suriettiva. Si può rendere suriettiva una funzione che non lo è.

Funzioni da numeri reali al variabile reale

Sia il dominio che il codominio sono sottinsiemi di ℝ
F: D → ℝ D ⊆ ℝ
D è un dominio naturale, cioè il sottinsieme più grande di ℝ su cui ha senso l'espressione analitica della funzione. Si possono rappresentare graficamente.

Grafico di una funzione

F: D → ℝ il grafico di f (Graf(c)(f)) è il sottoinsieme del piano costituito dai punti di coordinate (x, f(x)) con x ∈ D
Graf (F) = { (x, y) ∈ ℝ x ℝ | y = f(x), x ∈ D }

Non può essere una funzione perché ad una x_c sono associati più y.

Criterio grafico per l'iniettività

∀x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Iniettiva
Qualsiasi retta parallela all'asse x interseca il grafico in un unico punto.

Non iniettiva
Le rette intersecano il grafico in 2 o più punti.

Criterio grafico: se ogni retta orizzontale parallela all'asse x interseca il grafico della funzione in esattamente un punto o non lo interseca affatto, allora la funzione è iniettiva.
⇒ Se esiste una retta orizzontale che interseca il grafico di f in due o più punti distinti, allora la funzione non è iniettiva.

Criterio grafico per la suriettività

f: D → ℝ
∀ y ∈ ℝ ∃ x ∈ D : y = f(x)

Criterio grafico: una funzione è suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in almeno un punto.
Non è suriettiva, c'è un modo per renderla suriettiva?
Sì, se la funzione la definisco come:
f: D → [y_m, +∞ ]

Si modifica il codominio, in modo tale che coincida con l'insieme immagine di f.

Funzione costante

f(x) = C , C ∈ ℝ
Per ogni x ∈ ℝ, la funzione associa sempre lo stesso valore.
Graf(f) = {(x,y) y = f(x), x ∈ D}

xyc

Funzione costante a tratti

Assume valori costanti in sottointervalli di D
f(x) = { 1 x > 2, 0 x ∈ (-2,2), -1 x < 1}

y-1-2 2 x

Funzioni lineari

f: ℝ → ℝ
y = ax + b , a,b ∈ ℝ
Il grafico è una retta non verticale.
Eq. retta ax + by + = 0 , a,b, ∈ ℝ
b = 0 ax = → x = - /a equazione di una retta verticale // all'asse y

yx = - /a
P(- /a , y) → tutti i punti hanno la stessa ascissa
β ≠ 0
α/β- α/β- δ/β
y = - α / β x - δ / β
y = ax + b
b + due intercetta
ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y
b = 0 retta passa per (0,0)
a si dice coefficiente angolare o pendenza della retta
a > 0

Come si calcola il coefficiente angolare:

y = ax + b
Siano (x₁, y₁) e (x₂, y₂) punti che appartengono alla retta
y₁ = ax₁ + b
y₂ = ax₂ + b
Sottraiamo la prima equazione dalla seconda