Matematica II

Rotazione rigida di un vettore definito in coordinate polari (ρ,θ)

|v̅| = ρ

x = ρ cosθ

y = ρ sinθ

ρ = √(x² + y²)

θ = arctg (^y/_x) = tan^-1(^y/_x)

v̅ = ρ (cosθ, sinθ) vettore riga

= ρ^(cosθ)_(sinθ) vettore colonna

Rotazione di angolo α

w̅ = cosα sinα -sinα cosα ρ cosθ ρ sinθ = ρ cosα cosθ + ρ sinα sinθ -ρ sinα cosθ + ρ cosα sinθ

= ρ ^{cos (α - θ)}_{sin (α - θ)}

= ρ ^{cos (α + θ)}_{sin (α + θ)}

cos (α ± β) = cosα cosβ ± sinα sinβ

sin (α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ

→ Rotazione di α di ^{ρ cosθ}_{ρ sinθ}

w̅ = cosα -sinα sinα cosα

Matrice che ruota a sx (antiorario)

w̅ = cosα sinα -sinα cosα

Matrice che ruota a dx (orario)

ROTAZIONE RIGIDA di un VETTORE definito in COORDINATE POLARI (ρ,θ)

|v|=ρ

• x=ρcosθ
• y=ρsinθ

ρ=√x²+y²

θ=arctg (^y/_x) = tan^-1 (^y/_x)

v̅=ρ (cosθ, sinθ) vettore riga

=ρ_^cosθ/sinθ vettore colonna

• Rotazione di angolo α

w̅ = _{^{cosα sinα}/-sinα cosα ^ρcosθ/ρsinθ} = _{^{ρcosθcosα + ρsinθsinα}/-ρcosθsinα + ρcosαsinθ}

• cos(α-θ)=cosαcosθ+sinαsinθ
• sin(α+θ)=sinαcosθ+cosαsinθ

=ρ_{^cos(α-θ)/sin(α+θ)} = ρ_{^cos(-α+θ)/sin(-α+θ)}

• cosα = cos(-α)
• -sinα = sin(-α)

ROTAZIONE di α di _{^ρcosθ/ρsinθ}

• w̅ = _{^{cosα -sinα}/sinα cosα}

MATRICE che RUOTA a SX (ANTIORARIO)

• w̅ = _{^{cosα sinα}/-sinα cosα}

MATRICE che RUOTA a DX (ORARIO)

Es: Data la matrice di rotazione

\[\bar{R}_0 = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\]

\[\bar{R}_{\frac{\pi}{6}} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\] ; \[\bar{R}_{\frac{\pi}{2}} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]

Es: Rotazione di \(\frac{\pi}{2}\) del vettore dato \(\vec{v} = (1,0)\):

dettaminare \(\vec{w} = \bar{R}_{\frac{\pi}{2}} \cdot \vec{v}\)

\[\vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Es: Dato il vettore \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) e la MATRICE di TRASFORMAZIONE \(\bar{B} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\) calcolare \(\vec{w} = \bar{B} \cdot \vec{v}\)

\[\vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 6 \\ 6 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

MATRICE INVERSA

Data la matrice \(\bar{A}\), si definisce matrice inversa di \(\bar{A}\), \[ \bar{A}^{-1} \] la matrice tale per cui

\[\bar{A} \cdot \bar{A}^{-1} = \bar{A}^{-1} \cdot \bar{A} = \bar{I}\]

Calcolo dell'inversa \(\bar{A}^{-1}\), data \(\bar{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)

1. dettaminare se \(\det \bar{A} \neq 0\)
2. Se \(\det \bar{A} = 0\) \(\Longrightarrow\) NON ESISTE INVERSA \(\bar{A}^{-1}\)

Se \(\det \bar{A} \neq 0\) \(\Longrightarrow\) CALCOLO \(\bar{A}^{-1}\) col seguente metodo

\[\bar{A} (2 \times 2) = \bar{A} (2,2) :\]

\[\bar{A}^{-1} = \frac{1}{\det \bar{A}} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix}\]

\(\Longrightarrow\) x ricordare:

\[\bar{A}^{-1} \cdot \frac{1}{\det \bar{A}} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]

es: determinare la MATRICE INVERSA di

A̅ = (3 2) (-1 0)

1) det A̅ = 3 2 -1 0 = 3 ⋅ 0 - 2(-1) = +2

2) applico la regola : A̅⁻¹ = 1/detA̅ (a22 -