Matematica II

ROTAZIONE RIGIDA di un VETTORE definito in COORDINATE POLARI (ρ,θ)

| v → | = ρ

x = ρ cosθ

y = ρ senθ

ρ = √(x² + y²)

θ = arc tg(y/x) = tan^-1(y/x)

v^→ = ρ (cosθ, senθ) _{vettore riga}

=   | cosθ |

   | senθ | _{vettore colonna}

Rotazione di angolo α

w^→ = | cosα senα | | p cosθ | = | p cosα cosθ + p senα senθ |

    | -senα cosα | | p senθ | = | -p senα cosθ + p cosα senθ |

= ρ | cos(-α+θ) |

   | sen(-α+θ) |

= ρ | cos(-α+θ) |

   | sen(-α+θ) |

senα = sen(-α)

cosα = cos(-α)

ROTAZIONE di α di | p cosθ |

         | p senθ |

w^→ = | cosα -senα | _{MATRICE che RUOTA a SX (ANTIORARIO)}

      | senα cosα |

w^→ = | cosα senα | _{MATRICE che RUOTA a DX (ORARIO)}

      | -senα cosα |

Es: Data la matrice di rotazione

^R_θ = ( cosθ -senθ) ( senθ cosθ )

^R_π/6 = (√3/2 -1/2 ) (1/2 √3/2)

^R_π/2 = (0 -1) (1 0 )

Es: Rotazione di ^→v del vettore dato ^→v = (1, 0):

determiniamo ^→w = ^R_π/2 ・ ^→v

^→w = (x) ^{(0 -1)}(1) = (0)

(y) ^{(1 0 )}(0) = (1)

Es: Dato il vettore ^→v = ( 6 )

e la matrice di trasformazione

calcolare ^→w = ^→B・^→v

^→B = (3 -1) (3 -1)

^→w = (x) ^{(3 -1)}(6 ) = (0)

(y) ^{(3 -1)}(6 ) = (0)

Matrice Inversa

Data la matrice ^→A, si definisce matrice inversa di ^→A,

denotata da ^→A^-1 la matrice tale per cui

^→A・^→A^-1 = ^→A^-1・^→A = ^→I

Calcolo dell'inversa ^→A^-1 data ^→A = (a₁₁ a₁₂) (a₂₁ a₂₂)

i) determinare x det^→A ≠ 0

ii) Se det^→A = 0

⟹ ^→A inversa ^→A^-1

Se det^→A ≠ 0

⟹ Calcolo ^→A^-1

col seguente metodo

^→A_(2x2) = ^→A_(2,2)

^→A^-1 = ¹/_det^→A ^{(a₂₂ -a₁₂) (-a₂₁ a₁₁)}

← x ricordare:

^→A^-1・¹/_det^→A ( x )

Es:

Determinare l'inversa della matrice

A =

che soddisfa l'eq. vettoriale

A * v = w

Si cerca la soluzione

v = A^-1 * w

v = (v₁, v₂, v₃)

Vettore incognito

w = (w₁, w₂, w₃)

A^-1 * A = I

1. det A = 3 ≠ 0

∃ A^-1

v = A^-1 * w

A * v = w

Come risultato si ha:

v₃ = w₁

3v_n + 2v₃ = w₂

v₁ + v₂ + v₃ = w₃

v₁ = (w₂ - 2w₁) / 3

v₂ = w₃ - v₁

v_i = w_j

A^-1 =

Matrici singolari

Si considera la matrice A =

1. È singolare poiché det A =

1 riga combinazione lineare dell'altra

FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE/DECRESCENTE

Una funzione w=f(v) si dice MONOTONA CRESCENTE nell'intervallo I ⊂ Dom se, per ogni coppia di punti v₁, v₂ di I, con v₁ ≤ v₂, ho

f(v₁) ≤ f(v₂)

Una funzione w=f(v) si dice MONOTONA DECRESCENTE nell'intervallo I ⊂ Dom se, per ogni coppia di punti v₁, v₂ di I, con v₁ ≥ v₂, ho

f(v₁) ≥ f(v₂)

Se f ѐ ovunque CRESCENTE/DECRESCENTE si dice MONOTONA CRESCENTE/DECRESCENTE.

Proprietà delle funzioni MONOTONE

• INVERTIBILITA

Es.: considero la parabola y=x²

FUNZIONI ESPONENZIALI

La funzione y = f(x) = a^x con base a > 0 numero reale assegnato

es: a = 10 y = 10^x

o se a < 1 la funz. y = a^x MONOTONA DECRESCENTE

o se a > 1 y

CRESCENTE

x² vs. 2^x

x³ vs. 3^x

INVERSA di una funzione esponenziale

                       = logaritmo

La funzione inversa di y = a^x è la funzione che ammette a y

L'UNICA SOLUZIONE x dell' eq. y = a^x

Questa funzione si chiama "logaritmo in base a di x"

f(x) = log_ax

Per definizione di funz. inversa si ha

  a^log_ax = x

  log_aa^x = x

es: e = 2,71 N° Nepero

log_ex = log naturale = ln

log_ee^log(14) = 14

  esponente che devo

  mettere alla e per avere e¹⁴

log₁₃x^log(13) = 13

  esponente che devo

  mettere alla base 13 per avere x¹³

log_aa = 1

N^o Complessi

i = √-1

Esempi:

√-9 = √(-1) * (-9) = √(-1) * √9 = i * 3

√-4 = √4 * i = i * 2

Piano complesso ℂ

z = a + ib

P.t Reale

Coeffic dell'Immaginaria

Re(z) = a

Im(z) = b

ℂ = {a,b ∈ ℝ , i = √-1, z = a + b}

Algebra dei N^o Complessi

Dati z₁, z₂ ∈ ℂ, calcolo Somma e Differenza

W = z₁ ± z₂

= (a₁ + a₂) ± i(b₁ + b₂)

Se z₁ = a₁ + ib₁

z₂ = a₂ + ib₂

Esempio:

z₁ = 1 - 2i

z₂ = 3 - 5i

W = z₁ - z₂ = (1 - 2) + i(-2 - 5) = 1 - 5i

a = 1

b = -5

Esempio:

z₁ = -5 + 2i

z₂ = 3 + 4i

W₂ = z₁ - z₂ = (-5 + 2i) - (3 + 4i) = -5 - 2i + 3 4i = -2 - 6i

Prodotto di due N^o Complessi

i = √-1

i² = -1

Esempio:

z₁ = 5 + 2i

z₂ = -3 - i

W₃ = z₁ * z₂ = (5 + 2i) * (-3 - i) = 15 + 5i - 6i - 2(i)²

= 15 + 5i - 6i + 2 = -17 - i