Matematica Finanziaria

Valore scontato ad interesse composto discontinuo annuo

Inverso del montante 1



C M *

0 n

q

1 

fattore di anticipazi one ad interesse composto

n

q

Formula dell’interesse composto discontinuo annuo

I = M – C (per definizione)

0

I = C q - C

n

0 0

I = C (q - 1)

n

0

Montante ad interesse composto discontinuo convertibile

nt

r

 

C 

M 1

 

0 t

 

t = numero di volte che maturano gli interessi in un anno

Valore scontato ad interesse composto discontinuo

convertibile 1



C M

0 nt

r

 



1

 

t

 

Formula dell’interesse composto discontinuo convertibile

 

nt

r

 

  

I C * 1 1

 

 

0 t

 

 

Comparabilità dei valori

Riporto dei valori nel tempo M

C 0

0 n

1 r * n

1



1 r * n n

q

1

n

q

Annualità

Valori monetari, positivi o negativi, che si ripetono ad

intervalli regolari di un anno

Distinguibili in funzione:

-entità (costanti o variabili)

-momento della scadenza (posticipate o anticipate)

-durata (limitata o illimitata)

Accumulazioni (o sommatorie finanziarie):

-accumulazione finale (A )

n

-accumulazione iniziale (A )

0

-accumulazione intermedia (A )

m

Annualità costanti posticipate e limitate

a a a a a a a

0 1 2 3 4 5 6 7

 

2 n 2 n 1

     

A a aq aq .......... aq aq

n  

2 n 2 n 1

     

A a

( 1 q q ..........

.. q q )

n

successione (o serie) geometrica crescente di ragione q

 

2 n 2 n 1

     

A a

( 1 q q ..........

.. q q )

n 

n 1 n n n

   

( q q ) 1 q 1 q 1 q 1

   

A a a a a

n    

q 1 q 1 1 r 1 r

n 

1 q 1

 

A A a

0 n n n

q rq

1

m

 

A A q A

m 0 n 

n m

q

Annualità costanti anticipate e limitate

a a a a a a a

0 1 2 3 4 5 6 7

 

2 n 2 n 1

     

A a aq aq .......... aq aq

n n 

q 1



A a q

n r n 

q 1 1

 

A a q A

0 n

n n

rq q

1

m

 

A A q A

m 0 n 

n m

q

Annualità variabili posticipate e limitate

a a a a a a a

1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 n



  

2 n 2 n 1 n i

      

A a a q a q .......... .... a q a q a q

 

n n n 1 n 2 2 1 i



i 1

n

a a a

a a 1





n 1 n i

1 2

       

A ..........

.... A A

0 0 n



2 n 1 n i n

q q q q q q



i 1

1

m

 

A A q A

m 0 n 

n m

q

Annualità variabili anticipate e limitate

a a a a a a a

1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

n



  

2 n 1 n n i 1

     

A a q a q ..........

.. a q a q a q



n n n 1 2 1 i



i 1

n a

1 1 1 1 1

 i

       

A a a a ..........

..... a a A



0 1 2 3 n 1 n n

  

2 n 2 n 1 i 1 n

q q q q q q



i 1

1

m

 

A A q A

m 0 n 

n m

q

Annualità costanti posticipate e illimitate

a a a a a a a

0 1 2 3 4 5 6 7 +∞

1 1 1 1

    

A a ..........

...... a a a

0  3 2 q

q q q

 

1 1 1 1

 

    

A a ..........

......

 

0  3 2 q

q q q

 

serie geometrica crescente di ragione q

 

1 1 1 1

 

    

A a ..........

......

 

0  3 2 q

q q q

 

1 1



q 

q 

1 0 1 a

q

   

A a a a

0    

q 1 q 1 1 r 1 r

m



A A q

m 0

Annualità costanti anticipate e

illimitate

a a a a a a a

0 1 2 3 4 5 6 7 +∞

a



A q

0 r m



A A q

m 0

Problemi inversi delle annualità n

n rq



q 1  

a A



A a 0

0 n

n 

q 1

rq n

rq 1

n 

q 1  

a A



A a q 0 n

0 q

n 

q 1

rq

a  

a A r



A 0

0 r a 1



A q  

a A r

0 0

r q

n r



q 1  

a A



A a n

n n

r 

q 1

n 

q 1 r 1

  

A a q a A

n n

n q

r 

q 1

QUOTE DI AMMORTAMENTO

Economico (deprezzamento): 

V V

 0 n

q amm n

Finanziario (reintegrazione): r

 

q (

V V )

amm 0 n n 

q 1

Bancario: n

rq



q C

amm 0 n 

q 1

PERIODICITÀ

Valori monetari, positivi o negativi, che si ripetono ad

intervalli regolari di più anni (n) per un certo numero di volte

(t)

Distinguibili in funzione:

-entità numerica (costanti o variabili)

-momento della scadenza (posticipate o anticipate)

-durata (limitata o illimitata)

Accumulazioni (o sommatorie finanziarie):

-accumulazione finale (A )

tn

-accumulazione iniziale (A )

0

-accumulazione intermedia (A )

m

Periodicità costanti posticipate e limitate

P P P P P P P

0 n 2n 3n 4n 5n 6n 7n

 

n 2 n 3 n tn 2 n tn n

      

A p pq pq pq .......... pq pq

tn  

n 2 n 3 n tn 2 n tn n

      

A p

( 1 q q q ..........

.. q q )

tn

serie geometrica crescente di ragione q n  

n 2 n 3 n tn 2 n tn n

      

A p

( 1 q q q ..........

.. q q )

tn 

tn n n tn

 

( q q ) 1 q 1

 

A p p

tn n n

 

q 1 q 1

tn 

1 q 1 1

 

A A p

0 tn tn n tn



q q 1 q

1

m

 

A A q A

m 0 n 

tn m

q

Periodicità costanti anticipate e limitate

P P P P P P P

0 n 2n 3n 4n 5n 6n 7n

 

n 2 n 3 n tn 2 n tn n

      

A p pq pq pq .......... pq pq

tn tn 

q 1 n



A p q

tn n 

q 1 tn 

1 q 1 1

n

 

A A p q

0 tn tn n tn



q q 1 q

1

m

 

A A q A

m 0 tn 

tn m

q

Periodicità costanti posticipate e illimitate

P P P P P P P

0 n 2n 3n 4n 5n 6n 7n +∞

1 1 1 1

    

A p ..........

...... p p p

0  3 n 2 n n

q q q q

 

1 1 1 1

 

    

A p ..........

......

 

0  3 n 2 n n

q q q q

 

 

1 1 1 1

 

    

A p ..........

......

 

0  3 n 2 n n

q q q q

 

serie geometrica crescente di ragione q n

1 1

n 

q 

n 

1 0 p

q q

  

A p p

0 n n n

  

q 1 q 1 q 1

m



A A q

m 0

Periodicità costanti anticipate e illimitate

P P P P P P P P

0 n 2n 3n 4n 5n 6n 7n +∞

1 n



A p q

0 n 

q 1

m



A A q

m 0

Problemi inversi delle periodicità n

tn 

q 1



q 1 1 tn

 

p A q



A p 0

0 tn

n tn 

q 1



q 1 q n 

q 1 1

tn 

q 1 1 tn

 

p A q

n



A p q 0

0 tn n

n tn 

q 1 q



q 1 q

p n

  

p A ( q 1 )



A 0

0 n 

q 1

1 1

n



A p q n

  

p A ( q 1

)

0 0

n  n

q 1 q

n 

q 1

tn 

q 1  

p A



A p tn

tn tn

n 

q 1



q 1 n

tn 

q 1 

q 1 1

n  

p A



A p q tn tn n

tn 

n q 1 q



q 1

VALORI MEDI

Informano sull’ordine di grandezza di un fenomeno

Media aritmetica semplice (M )

as

Valori osservati sono originati dalla medesima grandezza

n

 x

i

   

x x x .......... .... x 

 

1 2 3 n i 1

M as n n

x x

Risente della presenza di valori estremi

Esempio: resa media in 5 anni sul medesimo terreno

Esempio di calcolo della media

aritmetica semplice

Resa (q.li/Ha) media di una coltura in 8 anni su un appezzamento

di 1 ettaro

Anni Resa

2005 40

2006 42 n



2007 45 x

i

   

x x x .......... .... x

2008 32 

 

1 2 3 n i 1

M

2009 46 as n n

x x

2010 47

2011 39

2012 41       

40 42 45 32 46 47 39 41

 

M 41 , 5

as 8

Media aritmetica ponderata (M )

ap

Valori osservati sono originati da grandezze diverse

n

 x w

i i

  

x w x w .......... .. x w 

 

1 1 2 2 n n i 1

M ap n

  

w w ........ w  w

1 2 n i



i 1

Esempio di calcolo della media aritmetica

ponderata

Resa (q.li/Ha) media prodotta da una coltura su 3

appezzamenti di diversa ampiezza

Appezzamento Resa

1,2 40

2,5 45

3,4 29 n

 x w

i i

  

x w x w .......... .. x w

  

1 1 2 2 n n i 1

M ap n

  

w w ........ w  w

1 2 n i



i 1

 

40 * 1

, 2 45 * 2

,

5 29 * 3

, 4

 

M 36

, 49

ap 

M 41

,

33

7 ,

1 as

Mediana (M )

e

Valore che occupa la posizione centrale in una sequenza

ordinata di n dati

Se n dispari la mediana corrisponde al punto di

posizionamento 

n 1

 

M valore dell' osservazio ne

e 2

Se n pari la mediana è la media aritmetica semplice delle due

osservazioni di mezzo

Non è influenzata dalla presenza di valori estremi

La M varia maggiormente cambiando