Appunti Matematica II

Analisi

Successioni e serie di funzioni

Sia I ⊂ ℝ e sia f_n : I → ℝ una successione di funzioni reali definite in I.

a. f_n(x) = xⁿ n ∈ ℕ

Convergenza

{f_n}, n ∈ ℕ converge puntualmente alla funzione f : I → ℝ se ∀x ∈ I lim f_n(x) = f(x)

↔ ∀ε > 0, ∀x ∈ I,∃ N ∈ ℕ. | f_n(x) - f(x) | ≤ ε, ∀n ≥ N_x

[ N_x dipende da ε e da x ]

La convergenza puntuale si ottiene fissando la x: ottengo tulle successioni numeriche

{f_n}, n ∈ ℕ converge uniformemente alla funzione f : I → ℝ se

lim ^{| f_n(x) - f(x) | = 0}_n→∞

↔ ∀ε > 0,∀x ∈ I, ∃ N ∈ ℕ. | f_n(x) - f(x) | ≤ ε, ∀n ≥ N ∀x ∈ I

Im questo caso non devo fissare prima la x, l'es. qualunque sia x var. di x.

Le f_n non dipendono da x [ cioè devono valere per tutti gli x ∈ I, ε ]

Riscrivo → ∀ε > 0, ∀x ∈ I, sup | f_n(x) - f(x) | ≤ ε v ∈ I ↔ ∀x ∈ I

∃ N ∈ ℕ | f_n(x) - f(x) | ≤ ε ∀n ≥ N, ∀x ∈ I

↔ lim ^{| f_n(x) - f(x) | : x ∈ I} = 0_n→∞

Convergenza puntuale

f_n → f

Convergenza uniforme

f_n → f

Osservazione

Se una successione di funzioni converge puntualmente uniformemente in un int.

mene I, allora converge suprematamemte in ogni estrcloseamente I' ⊂ I

La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale

Convergenza uniforme → Convergenza restritta

Dimostrazione

∀ε > 0, ∃ N ∈ ℕ: sup | f_n(x) - f(x) |, x ∈ I ⊂ J ≤ ε

∀n ≥ N ∀ε

| f_n(x) - f(x) | ≤ sup | f_n(x) - f(x) | : x ∈ I ⊂ J ≤ ε

Analisi

Successioni e serie di funzioni

Sia I ⊂ ℝ, f_m : I → ℝ per m ∈ ℕ una successione di funzioni reali definite in I:

1. f_m(x) = x^m m ∈ ℕ

Convergenza

{f_m}_{m ∈ ℕ} converge puntualmente alla funzione f : I → ℝ se ∀x ∈ I, lim f_m(x)=f(x)

⟺ ∀ε > 0, ∀x ∈ I, ∃N ∈ ℕ : |f_m(x) - f(x)| ≤ ε, ∀m > N ∀x ∈ I

|f_m(x) - f(x)| ≤ ε

La convergenza puntuale si ottiene fissando la x: ottengo n successori numerici

{f_m}_{m ∈ ℕ} converge uniformemente alla funzione f : I → ℝ se

lim f_m = f(x) ⟺

∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ : |f_m(x) - f(x)| ≤ ε, ∀m > N ∀x ∈ I

In questo caso non devo fissare prima la x. Vale qualunque sia la valore di x.

∃m viene fissato ε dal limite uniforme usando la stessa N(cioè dipende da ε):

∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ : sup |{f_m(x) - f(x)} : x ∈ I| ≤ ε ∀m > N ol, x ∈ I

⟺ lim sup |{f_m(x) - f(x)} : x ∈ I| = 0

h→∞

Convergenza f_m → f

Convergenza uniforme f_m → f

Osservazione

Se una successione di funzioni converge puntualmente convergentemente in un in e, f(x), converge uniformemente in ogni sottointervallo I' ⊆ I

Da convergenza uniforme implica la convergenza puntuale

Convergenza uniforme ⇒ Convergenza naturale

Dimostrazione

1. ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ : sup |{f_m(x) - f(x)} : x ∈ I}₁ ≤ ε

|{f_m(x) - f(x)} = sup |{f_m(x) - f(x)} : x ∈ I}₂ ≤ ε

Allora siccome |f_n(x) - f(x)| < ε converge puntualmente

Dimostrazione che convergenza puntuale -/-> convergenza uniforme

es. f_n(x) = x^m I = [0,1]

dm f_m(x) = lim_{m → +∞} x^m |^{0 x ε [0,1[}_{1 x = 1} unif puntuale

Quindi studiamo la convergenza puntuale

f(x) = |^{0 x ε [0,1[}_{1 x = 1} ottengo una funzione a tratti f(x) converge ad una funzione continua a tratti.

Se voglio dimostrare la convergenza uniforme, devo considerare il sup

sup |f_m(x) - f(x)|; x ε [0,1)

sup |^{xm - 0 x ε [0,1[}_{x^m x ε [0,1]}|_{1 x = 1}

x^m ε crescente in |0,1[, quindi e' e' uniforme decresc_x (mon cres