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ANALISI
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Sia I ⊆ ℝ allora (fm) : I → ℝ (fm ∈ Iℕ), una successione di funzioni reali definite in I.
- fm(x) = xm m ∈ ℕ
CONVERGENZA
- {fm}m ∈ ℕ converge puntualmente alla funzione f : I → ℝ se ∀ x ∈ I ∃ lim fm(x)=f(x)
∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ : ∀ m > N | fm(x) - f(x) | ≤ ε ∀ m, x ∈ I∀ ε, ∃ un'insieme che dipenda da ε e da x
La convergenza puntuale si ottiene fissando la x
otteniamo una successione numerica
- {fm}m ∈ ℕ converge uniformemente alla funzione f : I → ℝ se
lim sup {|fm(x) - f(x)| : x ∈ Ij}=0
CONVERGENZA PUNTUALE
CONVERGENZA UNIFORME
OSSERVAZIONE
Se una successione di funzioni converge puntualmente (uniformemente) in un in I ⊆ ℝ, allora converge (uniformemente) in ogni sottointervallo I' ⊆ I
- Convergenza uniforme implica la convergenza puntuale
Convergenza uniforme → Convergenza assoluta
DIMOSTRAZIONE
∀ ε > 0, ∀ ∃ e ∈ ℕ : sup {|fm(x) - f(x)| x ∈ Ij} ≤ ε ∀ m ≥ e
|fm(x) - f(x)| ≤ sup {|fm(x) - f(x)| : x ∈ Ij ≤ ε
∀ε>0 ∃n∈Ν : |fn(x) - f(x)| < ε converge puntualmente
Dimostrazione che convergenza puntuale ≠ convergenza uniforme
Es. fn(x) = xn x ∈ [0,1]
limm→+∞ (xm) = { 0 x∈[0,1[ ∪ unif. puntuale }= { 1 x=1
Ipotesi di studio la convergenza puntuale
∀x∈[0,1[ x=1
f(x)=0 f(x)=1 ottengo una funzione a tratti : f(x) converge ad una funzione continua a tratti.
Se voglio dimostrare la convergenza uniforme, devo considerare il supsup |fm(x) - f(x)|, x ∈ [0,1]
(fm(x) - f(x)) = { xm x∈[0,1[ x∈[0,1[ }0 x=1
Il sup è crescente al di fuori di x=1, quindi si è sempre vincolati (vanno cercati degli estremanti),quindi lim sup m→∞ x=1 non converge uniformemente (perché lim sup ≥0)
Esempio→fm(x) = x2 ∀m∈N I=ℝm2+x2
Limite puntuale
f(x) = lim x2 = 0 fm → f(x) = 0 converge puntualmente
2m2+x2
con molto l'insieme numerica (che è ogni estremo e ogni insieme numerico)
se lim sup = 0, (converge uniformemente)
sup | fm(x) - f(x) |, x ∈ I = y max { |limx→∞ gm(x)| , limx→∞ βm(x)/gm(x)| }(= l max tra gli estremali ed il dom gli estremali max/min
xₖ = ϕ sono tutti i primi, ma i cui decaduto prima si annullò (non smontato se ε < max o max-ricordi facendo subtraction m βm-f, faceva più ignorato)
imprescolo caro = fm(x) = gm(x) memendo f(x) = 0
lim x=±a 0 m2+x2
Perché ho trovato già due elementi uguali 1 il 2 max sarà ≥ 1 (quindi non s’erro
la funzione non converge uniformemente)
Osservazione
fm(x) derivabili, fm = f in [a,b], f ∈ C derivabile
x2+1
convergenza puntuale
f(x) = lim x2+1/(m√x2+1) non derivabile x = 0, punto estremamente continuo e convergente
convergenza uniforme
sup |fm(x) - f(x)|, x ∈ R, = sup |x2+1/m| |√x2
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