Analisi matematica II

C C

Yn Dominio y-semplice { YIEIÀ

hlxl }

b hlxl

glxl

a- ix. ≤ y≤

≤

✗

a ≤

, , hai

5 b

hlxl /

| / =/

/ tlxildxdy

TIXIYIDY DX flxiyldy

ESISTE

✗

gia )

S glx

91×1 a

×

>

b

a

Esempio: )

tlb

b =/

/ f' tlxltllxiltldt

lxldx tlal

a

t.tk/ldx=x'ltldt

ti

( Cambio di variabili

e- →

✗

CAMBIO DI VARIBAILI per calcolare INTEGRALE DOPPIO

✗ tlxiildxdy

S v

y Modulo del determinante dello Jiacobiano

( UNI JIM.vn

①

✗ ✗ v

y

= Av Jiacobiano

lui )

4=4 an

UNIET

( u Ii

Eu

)

Jin .ir

dxdydet-lu.ir/dudv su

sx

Jv Jv

Formula per cambio di variabili con

f) =/ / flxlu.ir?Ylu.u))detJln,v)dndv

flxildxdy integrali doppi

5 T

RAPPRESENTAZIONE DI SUPERFICI 3

Luogo geometrico dei punti che sta in R

Rappresentazione IMPLICITA della superficie

,Z

✗ il Rappresentazione ESPLICITA della superficie

flxi ) Rappresentazione PARAMETRICA della superficie

ZIUNIIÌ

miti

( contenute

NNIJ

/

run ✗ -14 + ci si

Un punto di una superficie è un punto di R³ ci

r .

DEFINIZIONE: se r (u,v): T —>R³ é inietti a, allora la superficie è detta semplice

Ì .us/=F(ni.v)ns.vsl--lnz.Vz

( )

ma Proprietà delle rappresentazioni parametriche

DEFINZIONE: si dice prodotto vettoriale fondamentale il campo vettoriale Jr

Jr

a un Ju

Ju

DEFINZIONE: un punto (u,v) T, è detto regolare se il prodotto vettoriale fondamentale in (u,v) = 0 (é

E

non nullo) e e sono continue in (u,v).

Jr "

su Ju

RAPPRESENTAZIONE ESPLICITA

z=f(x,y) É sempre iniettiva

Dove x=u e y=v => r(u,v)=ui + vj + f(u,v)k

z=f(u,v)

si È

FÀ j

i

>

Ì

)

In -10

.ir -1

-

- su

> µ Fi

sè ! È

.ir/=Jin,- 03 '

àln J

1 un

+

-

_ Ju

Ju

?

} JF

Jfk

( ) j 1

0

◦

v

n + +

=

, su

su

Esempio (rappresentazione esplicita della semisfera nord) z>0

'

'

2- '

t ✗ y

1- ✗ +

y Semplicità

2 2 2 Rappresentazione esplicita SI

2- :

2 Regolarità

2 -2 : ÀINN

) un

n È

vi v2

Ìln ii.

) mi

.ir -11

-1

- v2

ii.

- finir)

-

v 1-

=

v2

ii. JF -2N

1- > È

}

.NET "

UÌÙ

{ in , all' equatore

2

u

32 ] 2 2

cosncosui-sinnsinvJ-sinvklu.de

È v.v ¥

La rappresentazione non è semplice

ÌIUIU )

(

)

È 0,011

a- - "

JÌ 21T

SMUCOSUÌ cosncosuj

+

= -

>

µ sinusinvjicosvk

cosnsinvi

¥ -

= - È

i j

À .lu/U)=-slnnwsucosncosv 0

SINMSINV

COSUSINU coso

-

-

vsinnj-lsinusinvcosv-cosusinvcosulk.

ws?vcosuT-cosusinnI

cos'

cos' UCOSUÌ + sinvcosvk

-1

cosvsinnj-sinvkcosvrln.lt/=0U--

COSVCOSUÌ 2

coso +

≥

ETCIR

)

(

MN È

FINN yln.vlj-zln.ir/

) muli

(

✗ -1

-

- àltkultli vltlì

+ HDÈ

Z j.pk/--xlIltDi+ylIltHj+zla-'

v Punti su T che α

E

n y

✗

j-jlt -xlaltl i-yla.lt/j+zla-'ltDIp'ltl=.I'ltli+y.a'lt)j+z.a' È

(f) JZ JZ

'

' v

µ + su

su

JY JY

'

' v

n +

su Ju

-1¥ /

finiti

Yu > JX

vai × '

ii. li

+

.

. su

> µ è

JY

f) l'

Jx JZ

È JY

/ ' v' JZ

' j

n' '

v' vi

q µ v

+ +

+

= +

n'

_ µ su »

su

>

> JYJ È }

? È

>

' 2-

✗ ' I

ii. i

li

u +

-1 -1

-1

su su su

DEFINIZIONE DI INTEGRALE SUPERFICIALE

Sia S una superficie in R con rappresentazione parametrica r=r(u,v); sia f(x,y,z) un campo scalare

definito è limitato su S.

Si dice che f è integrabile su S nel senso degli integrali di superficie se esiste finito:

È

|

/ JÌ SÌ

flx.Y.ZId.SE//tfxlu,u),ylu,u),Zlu.u |

/

> SE

) dndv )

FIN

) dndv

.nu

su su tu su

S T T

ri

Sia f un campo vettoriale definito su S si dice flusso di f attraverso S l’integrale di superficie :

s

Versore normale a S Jr

Jr

Èrids su

su

n : Jr

Jr Ju

Ju

DEFINZIONE di integrale in campo scalare:

1) rappresentazione parametrica della superficie Zluitlk

MNIÌ

Tin OIJ

) -141M

(

✗

.ir +

= ,

2) prodotto vettoriale fondamentale, successivamente calcolare la norma del prodotto vettore

È

.ir/=srsunI.jn:flX,Y,Z-

¥ àlu

,

/

3) scrivere il campo sulla rappresentazione parametrica

)

)

( ( ylu.li/.Zlu,v

✗ MN ,

flx.UA/dS:=//f(x(u,v),y(u,v),z(u,u I

) dildo

) ^

T si i

> i

lsih-ls.la i

>

>

A- dndv

v.

sind sino

u

= - su > su

v su

la h z

a JF v

su

C1 )

fuit

v si n

su 4

U ✗

flx.Y.ztds-I-lxlu.vl.ylu.ir/,z(u,u I

) dildo

) ^

T Ù=n( 14,21 È un campo

2- ✗

Il flusso è un oggetto associato ad un vettoriale

campo vettoriale f- f- )

( 14,2

✗

=

superficie S

n normale a S per ogni punto n y

§ È attraverso

f-

.it 5

flusso di

ds

§ f)

È .tt È JF

ds )

n' È

)

)

lui)

( ) ( -214,0

)

( v1

-2in

ylu.ir YCU dudv

✗ ✗ qu

.ir n'

.

. ,

, ,

,

, >

T ÈIXIUN JF }

)

) ) :

(

414,0 dudv

-2 v.v '

.

,

, su

Introduzione alla parte III del corso

TEOREMA DI GAUSS

Sia D un dominio di R³, e che f sia un campo vettoriale sufficientemente regolare

la

JD superficie di D ✗ µ

Il TEOREMA DI GAUSS ci dice che: È

Ènds Fdxdydz =p

-

JD D

D è un dominio chiuso in R, mentre D è una curva chiusa che contiene D 1132

'

2 È

s .IR

=D

1) Èrids Èdxdu

• =/

| | /

¥

µ dxdy

dxdy dxdy

JD "

D +

+

Ipotesi: D è y-semplice D

D ☐

hlxl

b b

/ /

/ fylx.hlxt-fxlx.gl#dx

÷

|

}

/ [

dy

( fxnxtfynylds dxdy dx

=

JD )

glx a

D a

=/ fynyds ne

JD FÈ

b

'

a

TEOREMI DI GAUSS E STOKES Parte II _ TEOREMI DI GAUSS E STOKES

4 in

TEOREMA DI GAUSS JD

} 33

Sia sufficientemente regolare e D un dominio di R.

3

f :3 ]

Allora f)

|

) Ìnds

fdxdydz ri

ri

uscente

JD Normale da

D ×

JD

TEOREMA DI GAUSS in 2D: sia f:R—>R sufficientemente regolare e sia D un dominio di R

2 2 2

contemporaneamente x-semplice e y- semplice.

=/

Allora f-

Il I. rids

dxdy JD Versare uscente di

D normale JD y

Jfx Jfy

f + Jy

> × ✗ §

=/

/

Ìdxdy "

µ dxdy dxdy dxdy

"

+ + > ✗

D

D D

D ✗

b

a

hlxl b

b |

|

|

✗ Jt fylx.hn/D-ty(y,glxl)dx

Jf dx

"

dxdy

" sy

' Y

☐ 91×1

a a

txnx-itynydsftx.nxds-fty.my

/

Ìdxdy

µ / f. ds

rids

= JD

JD

JD JD

☐ ) (

fy

fx fxnx tyny

ny

Mx +

. ,

,

Integrale curvilineo in campo scalare

/ ds

fy.my Siamo in y-semplice, sui segmenti verticali n =0

JD hlx )

y

In XÌ hlxlj

+ b °

hai

ftp.nyds/fylx.hlxlnylX,hlxlJhlxIdX i.

In a 91×1

≥

In' 5h

i-ihlxli.HN tilxl

Ix) b

a

si '

E 5in

Matrice di rotazione in senso antiorario

3 ai j

tilxl

-

til "

It ≥

1+(41×1)

n ny =

h" 1+41×12 112

" ≥ '

( /

pia h

, 1- ✗

+

112

'

( /

h

1- ✗

+ b

b

b |

ftp.nyds/tylx.hlxlnylx,hlxlJhlxldx/tylx.hlxD1+,ny,,yz1+lh'kH2dx fy DX

hlxl

× ,

Ìn a a a

91×1

4

Ig I'

Ì Ì

i ' '

ojixij gixll

-191×15

✗ + g

= b

ftp.nyds/fylx.9lxlnylx,glxlJg'lxldx

sig a

I'

È gixi

Jig g.

gir 2 l

(

/

) ✗ g' 1

( ✗

%

rientrante g' IN :( 112

gixll ' 9 ✗ b

b b /

ftp.nyds/tylx.9lxlnylx,glxlJg'lxldx/fylx.glxl È ≥

Il tylxiglxlldx

di

✗

g. ,

,

,

(

sig ×

a a a

b b b

| fylx.hn/Ddx-/ty(y,glxl)dx/fylx,hlxD-fy(y,glxI)dx § f

> dxdy

"

JY

☐

a a a

/

| µ

"

Ìdxdy

' dxdy

× dxdy

- +

= JX

D D

D

/ =/

tiri fxnxd.si/tynydS

ds JD JD

JD

TEOREMA DI STOKES in 3D: sia f: R—>R un campo vettoriale sufficientemente regolare e sia una

3

3

superficie in R con bordo

3 JD

Allora: /

Il Idi

f- rids

' Indica che il bordo è percorso lasciando D a sinistra ( antiorario)

"

JD D

☐

TEOREMA DI STOKES in 2D: D dominio di R contemporaneamente x-semplice e y- semplice e f:R —>R

2 2

2

regolare f campo vettoriale

/ Ìdò

Hinds sufficientemente regolare

"

JD

D =/

/

|

/

|

/ ¥

È

f. Jfx

¥ ikdxdy

Kdxdy dxdy

Z =

-

_ >, D

D D | -1

di da

Jfy Jfx

È L Iz D D

_

> ✗ si

, ,

" fy

fx o

è b b

" hai

JD /

/

=/

µ

✗ " di

fxx.hn/lfxlx.gx

dxdy dy

dx "

non sy

a a

91&ti