matematica I

PRINCIPIO INDUZIONE

DI

}

EIN " "

A pn

OEA Per dimostrare

Forma affermazione dipendente

1 che qualche

con una

"

" =

IN

⑦ nea a neri basta

gli

naturale tutti dimostrare

ne nn e da numero né vera per

un

, ,

dimostrare

che 1. che

0 A- è

poi vera

A-

è per

vera per

se

e

o

One IN

forma Pn

data

sia proposizione qualunque

2 allora anche

è vera per noi

n

, ,

① po

se è }

vera oneri Pn è vera

① ,

ttneN.hn pnxn

OSSERVAZIONI

mmm Pn

• Pntn

Non sta anche

che

che

dicendo se allora

si è vera

è

è vera vera

ma

, ,

forma

• forma 2

a : }

{ IN Pn

A- solo

na affermazioni

gli

ne contiene indici delle

vera

: è vere

}

OEA oneri Pn è vera

a

U-neiN.me a

nn e

forma forma

2 1

• : ÙNEIN "

Pn "

a

ne

=

,

B }

è vera " "

µ

one a

ne

vera =

En EN Pn Prua

,

C'

• tutte

dimostrare

induzione precedenti

proposizione

la

cui

del principio

altra dimostrare le

variante di

un'

è successiva

in per occorre :

,

,

① }

Po vera

è Pn

N

one è vera

.

① EN

An Pan

)

R

( Papa Pn

, . . .

. E

Ì DIMOSTRAZIONI

nh

È

Un EIN

F- # = 2

00¥

È

① po 0

→ = v

O

O = 'mNnH \

② pn =

←

. ti

tu '

in

neII'

Éireann f)

nuIIa r

non =

+ =

= 2

- )

noi

[

Lattine KE

IN 6

K O

= inintermediari

)

ott

È ②

!

① qui è

po ,

0

→ = 6

6 È 3) #

(

) 2)

(

( 2Mt

ht

htt

per

/

0

O =

= -

6 )

2ham )

( +6

( con 2h21am -16

È ""Y" ✓

ritenuta nutante -6

( )

g-

) =

( nu

+

=

ÈZK

One IN nlntn )

E =

. È

① po ( )

0 0h

20

→ = V

0 O

=

ntn

!

⑦ Punti 2)

( (

)

2K ht

htt

= \

a-

È V

1)

-1Mt ) )

(

)

nlntn ) (

(

2K -12

n

-12 nu nu

=

=

mese

ÈIZK ne

a) =

-

. È

① 02

Po 1)

(

→ 2k =

- /

O

O =

+1

n

È

① ?

Pur → 12k ) Nhl

(

n =

-

a-

È ( n'

1) )

(

2K 2 nu

t 1 2h 1

= +

- - -

VI. PARTICOLARE TERZA

CASO VARIANTE

:

!

ÙNEIN "

"

? 2

n ;)

;)

NN

1

n -

!

0 1

def induzione =

:

×

. ' 12

1

O

"

" "

" " " "

"

" " "

" "

" !

4 8

24

5 120 16

① ! i

si -

?

po 0

= È

17 v

① " "

!

!

EIN " "

pn.in/ntnl

"

Pn

On cerchiamo

supponiamo 72

72 dedurre

di

vero n e

! zzcntn n

)

Prua ( -

→ nu zzn.nu

!

( )

htt à

! utilizzando

Inn proprietà

) la

stessa

7 base

tutto potenze

delle

hoo alla

portato

I ( )

minori essere 72

vera

per mh

( ) ? 1 è

htt non

→ n vera

" "

! -

)

( ,

72 ( )

n nu nu

/

↳

III IIII Fata )

altra

dunque (

dimostrato ipotesi

ho '

un' chiamo

che

ma

2 2

non

. ✓ ×

⑤ Pn prua a

pn

ho

anzi Ps

quindi

, .

. .

① Po è vera

④ Pn Pnxn

anzi

③ pn "

! 72

perché 1

è vera 171 v EFFICIENTE

0

C BINOMIALE

Ì

(F)

KEIN Ken !

)

!

) ( )

=

si 1)

( (

n pone

con : n K

K K

n n

=

- -

-

-

, , !

! )

) (

( =p

an nu

'

PROPRIETA : !

mmm n

:)

nel

III. i

- =

tre IN dm

a- ! !

-01

(

0

: n !

! n

n

IK)

(F) ( = !

)

! !

ttn ) )

KEN (

!

= ( ttk

K

ln

K

2- n K

K

Ken -

din -

: -

, ,

, lktill.tn !

!

! kl

ln

renren.LI/tlkI/TeyIIrTiTeeIITr.nieF

-

n

d.

tilt =

II

amen a.

s con

- ¥ NHK )

=p

! K

In -

-

-

.in?IT*n.--lI IlTRlANG0l0diTARTAGLlA-

#

Keith

" i

=

§ 5

3 4

0 1 2

÷

4

" n

: . 1

3

1 3

3 ⑥④

e 4 1

a Il

5 1

5

10

5 10

1 SEMPLICI

COMPOSIZIONI }

tutti

elementi {

elementi possibili formati

da

di sottoinsiemi

presi dell' elementi

insieme 2.3 da

sono

K a. K

n n

, . .

.

)

l'

( insiemi ordine

essendo importa

non (F)

Il semplici

possibili elementi

combinazioni è

di di da

presi

numero n

K :

NEWTON

BINOMIO di potenze

sviluppare positivo

le

di

Permette esponente intero

con

- È (F)

"

U-a.bc.IR ( )

atb " "

"

b qualsiasi

di binomio

a

- un

-

DIMOSTRAZIONE INDUZIONE :

x

0 (E)

!

① lattaio

po ak.ba "

→ = 0 (8)

[

?

) o

go.ba

( axb -

KEO

1 1 1 1

= ' '

V

1=1

② freni Pn prua là

In benna

prima .

=

t "

"

( sul

) Imembro

atto lavoro

" lo

( )

)

( atb atto scompongo

E) "

"

àb

) l' ipotesi

axb

( applico

.LI/akbn-Ib!ilI/ab

È "

" sommatoria

moltiplico perle costanti la

a. spezzo

e

.at?/akb-kt!IblI/akbn

È " Porto la

dentro costante

È.LI/oYbnt-?IblI)ab "

" allenatore

applicala denepoànze

proprieta

'

✓

[ .BY?I(

(f) E) "

"

àb

è sommatoria

indice

cambio prima

alla

5 Jin

K

htt :[

Infilarsi Iàbnn

II. "

ok

[ "" r Voglio

.

- slittamento

estremi

stessi indice

faccio

ottenere gli di

quindi uno

,

È

!Àb

qib.IT?IlI/ab'

È

.lk?n/akbn- I "

"" per stesso .ee dalla

sommatorie

ottenere dalla

+ estraendo

indice ¥0

due trentine #

scorporo

con

È.lk?doibn-e:an-n+?ilIloEbm-:bn-n

)

FI

[ (

(F) "

:b

à "

"

àb

"" + sommatorie

Unisco estremi

le gli

mettendo inevidenza

; .

htt FI )

(

[ "

"

akb " lavoro membro

sul #

F- O ajbn-nto-ln.it/)amb

" È làbn

" " "" sommatoria

estraggo dalla

+ e- #

oe nn

K htt

=

ÈI ' lakbnn.ie

"" ""

b. a +

+ (f) )

( (

%) confrontandole

FI le coefficiente

sommatorie dimostrare del

resta che

mi parti

da

vale neieen

+ ,

per

= binomiale uguali

siano

- K -1

5-

(f) )

=/ ?

(f) vale ototn

+ per '

'

e

e- cambio l' indice

-

dimostrato

gia

'

APPLICAZIONI -

~ ben

a-

n _

F)

¥! " righe

2 la

=

le del triangolo

delle tartaglia

somma di potenza dia

è una

. :[ III #

carine

E- ben

-1

@ = 0

n 1 se

(F) { =

"

È )

akbn-te-ll.nl la fan (

-11 :p

# risultato

senso differenza alternate operae'

Tranne

la o

somma

o A-

per

e .

i. lettrici

:O ¢

COMPLESSI

NUMERI

IMMAGINARIA

'

UNITA

f) !

Fa ii.

i

ie E i

f-

:< a

-

te

* a definizione

uguale

IR x

le (

IR

algebriche moltiplicazione Cl multipli

hanno stesse reali

le quindi

di

operazioni contenere di

deve

in i

somma i

algebriche che

proprietà hanno

e in -

:

, la di deve

reale immaginario

somma uno

e

- numero

un

^

µ Cl

in

essere

ib

ib "

io .be/Rf=iR+.

- - {

-

- (

da di

qui si pone +

= a : a

,

I

1 - ✓

IR reale immaginario

NUMERO

in complesso numero

a Numero +

=

¥

ze-IRet.is/

ihnt

È Z

ib •

- - z.li?eIzI

Pret complesso

reale

Reza del

parte

E Z

numero

;

z

- . . Anza complesso

del

immaginaria

parte numero

=

,

OPERAZIONI

- -

-

- -

- b) ( atib

somma )

xilbxd

c)

(

¢ )

ib ctid

: D=

lati a

caid + +

ti

ai c-

- e +

=

, " " " '

io

"

"

id.jp

È uguale vettoriale ---i

alla somma in 1 -

C a

IR ¢

Prodotto M¥0 numero

numero

- : .

-

| ( ) ibc

atib

c +

ca

=

" " "

"

" "

" " " °

" Mr °

" io a )

aidtibcticid-ac-iladbcttizbd.ae ( bc

b) bd ad

i

d)

trazcomp-le.si ti

(

Ati

( + +

( ac + -

=

: -

- IIR

R

E ib

a

coniugazione = - È

PROPRIETÀ

- : b)

( IREZ

E i

b)

1 Z

( a

z 5

i

+ +

a 2

za

-

= + = =

ZIIMZ

b) ZTW

E E Tu

6

( zib

atib a- i

Z

2 = = +

=

- - =

E z.tv tv

E

7 =

3 = -

-

ÈÈ

e ftp.mzf

euclidea

distanza del lunghezza

punto del

la tibia

vettore

origine

dall' anche

modulo o

:

- ,

pz ,

, ib

@

= =

+ =

EIR

PROPRIETÀ Oz ¢ (

IZI

Of solo )

a il cui è è

nulla

in Ateo

e sez

caso

IIZII IZI

2 =

IEI

3 z

=

4 E

IZTWI IZITIWI triangolare

disuguaglianza

2

2- I

1

- EIR

!

al bz

il

E

5 ai

b) b

lati i

b) (

z a +

= =

. - - 70

t

f:

È IR

moltiplico quantita denominatore

' al

che permetta

mi di

per

divisione avere

una

= numero

un

=

:

- 1Wh WFO IR

' positiva

angolo reale reale

la passante

estremi la semiretta semiretta

positiva

forma lati

radianti nell' avente

l'

e si origine

che z

in per

e

per

Erg :

- , multipli

definito interi

di

argomenti

di

meno di

è

argz a "

2 lunghezza

il radiante la dell'

è arco

n circonferenza all' angolo

sottesa

di

MEM

E

araa-fa.am/:::::::o

0 b) 0

se a = , stesso al raggio

e

3 :÷

area

arctglfa ) bzo

0

a)

se ,

(E) bco

arctg tzn a) 0

se ,

(E) qualsiasi

D=

+

arctg 0

ai

anse ,

èa

F0RMUlAdiEUURO_ èa

t i semiretta

Sena unitario la

cosa appartenente nel

è punto al punto

cerchio

= sta

un che dove passa

11 )

( cosa

seria

cio è

io

It → 1=1

→ '

1

• PROPRIETA

= = valgono le

: proprietà

stesse delle potenze

mm

i

0 in

e +

= =

• èa

Cian B

è la B)

" è

Eia )

( -

2

1 = : =

° in )

gia citata

eip

0 1

l i

-1 3

= + -

= =

.

-

° iI n eib

O )

citata

i èa

t i -1

E DIM

=

= - =

.

:

¥

¥ §

° if ti

e = lati senalccosptisenpt-cosla-bhisenlatblcosacosbticosas.cn

(

)

= ti

cosa b) ti b)

senta

isenacosp-senasenb-cos.cat

+ +

flcosacosp

Re senasenptf-cos.cat

la reale )

considero parte ( v

b)

• : - )

In [

ilcosasenpxcospsenal

immaginaria v

la parte senta

considero : -

• -

IZ I

COORDINATEPOLARI-f.org èarot IMZ

Rete

perche '

Z 2-

Izl

= =

.

z z

-

IZI

2- = . IZI unitario

al cerchio

appartiene

↳ # I

I 1

= =

= intersezione cerchio

semiretta

l' tra

ottenuto

ho

, e

¥

Quindi èarot rgztisenoirgz

cosa

= =

,

Mete

( IZI cosa rgz

-

da polari

coordinate

cartesiane

• ymz.at polari quoziente

coordinate adatte prodotto

più fare

le

senor gt sono a e

. IWI IZ

ZI W

' '

'

=

{ '

izi.eiargt.tw/.eiargw=1zp.iwi.eicargz+argwi=

Prodotto W

z

:

- =

.

arglz.wt-argztargw-ouozi

ente.f.in?%5C--

IÉI

III.

:{

III. eicaraz.org È argz argw

arg = -

DELL'

FONDAMENTALE ALGEBRA

RE MA

O

TE

È

Ù È

polinomio )

pcx a.

= O

¢ #

Qo E an

CON an ,

. . .

.

. complessa /

radice

almeno

ha

71

n una

se complesse

esattamente molteplicità

radici

ha 1

n con

tutti

fatto termini grado

' di

rizzare

si I

in

puo

se allora

0 ( ) )

Cx

qcx

radice )

)

di

è )

cioè )

pcx pcx

pe

Xn xn

× xn

=

= - -

= -

, , t a

Ruffini

si trova con

di di

grado

grado

il q p 1

= -

' 2

3) ha

+6×+9 (

)

la pcx radice doppia

3

× ×

+

x =

= = -

. LO SPAZIO XI }

¥

pi IR

)

ÌÌ )

( ( +3

"

}

:{

new IR e

reali

nupeedinumeri : "

"

- '

- '

- .

- × . L

"

( " f "

;)

/ !

-

uguaglianza -

• Un

Xn =

il Il Il

somma

• ;)

( { citate

la

I naif

( ) manuale

proprietà commutativa

veri

scalare c.

prodotto v.

per c. v.

• n ;)

;) In

:(

( Ì

" ÙEIR

I.

UTIWEIR xo.no

w

a- v. ne

scalare

prodotto

• '

PROPRIETA :

mmm n

IX. solo

DIM la

E' =D

ho

v. (

W W avuto

) cui

5

v.

1 W Oow

V w perche somma

v. '

a-

: 0

⇐ a sx

vero

- - >

- )

il

n :[ xii-Xiii

" .tn?s0ede'=0#xn...xn=0

w.ve?.uoxo EIR DIM

aereo v.v

uso

v. : n .

.

' POSITIVO

DEFINITO

E

( uvlwtulvw )

2 ulvtwl-ZX.MIL ? "

{ UTEIR KIOEIR weloponqow.ir

scelgo

dato

WTO

7-

DIM

sohu.in/=v.vxv.w DIM

v. :

: ¥0 0

tà

bilineari quindi v.v #

www.vso

www.jxoy g. ,

z

, x. .

( Utvtwuwtvw

Non elemento neutro

4 ' un

c' e 0

lunghezza del dall'

la del

E' vettore origine

la punto

distanza

cioè

norma : ,

Hull

'

PROPRIETA :

mm

"

navetta IIVIIZO llvlleo HO

# il

perche definito positivo

p.s.ci

'

,

zfw.ve/RnlNtwll-llvlltllwll triangolare

disuguaglianza

ACER IICVIIEICIIIVII

3 "

"

ÒVEIR deve positivo

essere

qdisvguagllanzadicavat-4-sohwarz-i-dlvll.hn/lEv.WEllVll' WIEIIVII

IV. IIWII

IIWII oppure ' tutto

di otteniamo

dividiamo 11411

supponiamo IIWII

conseguenza 70

cioè

se per e

iiviieiiwii

vinto

che .

,

, , ,

"

v. w angolo

41

E " un' llwll

- 5

-1 casi :

Null' 11Wh -

pargolo convesso 0

a

ÌIYTW

Essendo cosi

e'

tra

compreso corno

neii' un '

: ' auto

- " § )

ortogonali

0 cwev

ÙW rccos

= @ IIVIIIIWII -

fa )

LO (

11 ottuso

.cn

- .

. . . .

-

COSVÙ

dunque W-ellvn.hn/l -1

v. n

-<