Matematica I

Argomenti di algebra e analisi

• Vettori
• Matrici
• Algebra lineare
• Funzioni elementari
• Comportamento asintotico
• Derivate
• Sviluppo in serie di potenze
• Integrali
• Equazioni differenziali elementari

Numeri e insiemi numerici

Numeri: strumento versatile per contare oggetti → scoperta o invenzione?

{0, 1, 2, 3, ...} - Insieme dei numeri naturali - N

{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} - Numeri relativi - Z

Z_n ∈ N, m ∈ Z, m ≠ 0      q = n/m, q ∈ Q = {n/m | n, m ∈ Z, m ≠ 0}

q = numero razionale frutto del rapporto di numeri interi

Numeri irrazionali - es. π = 3,14..., e = 2,7...

{numeri razionali} + {numeri irrazionali} = R      m^° reali

√-4      i = √-1

√(-1)(4) = √-4

c = a + bi      (a, b) ∈ R      i = √-1

√-1,4      √-1,2 = 2i

Il piano cartesiano e i numeri complessi

ℝ²

⎸x⎹   modulo di x

⎸x⎹   quantità positiva sempre

⎸x⎹ =    x    x>0

−x    x0

−5    x 0 | {^−x x }

Esempio: |5| = {5 x > 0} | {(−5) x}

Ordinamento e proprietà algebriche

Siano [a,b] ∈ R, con a<b

[a,b] intervallo chiuso con estremi inclusi

(a,b) intervallo semichiuso con b escluso

Proprietà algebriche

Se x, a > 0, {a,b}⊆R valgono le seguenti proprietà

• x^a+b = x^a · x^b
• (x^a)^ab = x^{(b )u}
• x⁻¹ = 1/x
• x^−a = 1/x^a
• x^1/a = a√x con a≠0

Vettori

Estensione del concetto di numero V = (V₁,V₂,V₃) dove v_i∈R (i=1,2,3)

Es.: V = (2,1,3)

Il vettore V ∈ R³ è una sequenza ordinata di numeri.

Es.: u ∈ R² = (2,1) un vettore in R² è un punto.

In generale un vettore V è definito da 3 proprietà:

1. Modulo |V| che misura la lunghezza
2. La sua direzione individuata dalla retta di appartenenza
3. Il suo verso

Calcolo del modulo di un vettore

Modulo o lunghezza di un vettore V∈ R³

V = (V₁,V₂,V₃) è dato da |V| = √|V₁|² + V₂² + V₃²

Es.: ũ = (2,1) = √u₁² + u₁² = √5

Limiti e funzioni

lim_n→+∞ (1/n₂ +√n³)

lim_n→+∞ (√(√n₃+1) - √(√n₃+1/n)) = 0

lim_n→+∞ (n(√(√n₃+1) - √(√n₂+4/n))) = +∞

lim_n→+∞ (n(√(√n₃+1) - √(√n₃+1/n))) = +∞

e = lim_n→+∞ (1 + 1/n)ⁿ [1,2,71...]

Funzione convergente e divergente

Funzione convergente: lim_x→+∞ f(x) = ∀ε>0 ∃a| ∀x>a|f(x)−| ≤ ε

Funzione divergente positivamente: lim_x→+∞ f(x) = +∞