Matematica I

1. VETTORI
2. MATRICI - ALGEBRA LINEARE
3. FUNZIONI ELEMENTARI
4. COMPORTAMENTO ASINTOTICO
5. DERIVATE
6. SVILUPPO IN SERIE DI POTENZE
7. INTEGRALI
8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ELEMENTARI

Numeri

• uomo x creare oggetti → scoperta? invenzione?

{0,1,2,3…} INSIEME de N° NATURALI → N

{…-3,-2,-1,0,1,2,3…} = N° RELATIVI → Z

n ∈ N m ∈ Z, m ≠ 0 q = _n/^m

q ∈ Q= {_n/^m (n,m) ∈ Z, m≠0} q = N° RAZIONALE

N° RAZIONALI

NUMERI IRRAZIONALI e π = 3,14… e = 2,7…

{m° RAZIONALI} + {m° IRRAZIONALI} = R m° REALI

√-4

i = √-1 UNITÀ IMMAGINARIA (radice di un m° negativo) → ANTIRPARTICELLA

√(-1)(4) = √-4

c. a+b (a,b) ∈ R

√-1√

Piano cartesiano

ℝ²

ASSE dei REALI ∞

d = 0P² (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)² d ≥ 0

d = 0P (√(x₂-x₁)³ + (y₁-y₂)³)

|x| modulo di x

→ quantità positiva sempre

|x| = { x se x ≥ 0 -x se x < 0

es: |5| = 5 se x ≥ 0 (-5) se x < 0

Ordinamento dei numeri

Siano {a,b} ∈ ℝ, con a < b

[a,b] intervallo chiuso con estremi inclusi

(a,b) intervallo semichiuso b escluso

x ∈ ℝ | a ≤ x < b

Proprietà algebriche

Se x > 0, {a,b} ∈ ℝ valgono le seguenti proprietà:

• x^ab = x¹
• x^-u = 1/x^u
• x^1/a = a^-1x

Vettore

Estensione del concetto di numero

V_i = (v₁, v₂, v₃) dove v_i ∈ ℝ (i = 1, 2, 3)

Es: V₁ = (2, 1, 3)

V₁ -> sequenza ordinata

Il vettore V ∈ ℝ³ è una sequenza ordinata di numeri

Es: u = (2, 1) -> un vettore in ℝ² -> un punto

In generale un vettore V è definito da 3 proprietà:

• Il modulo |V| che misura la lunghezza
• La direzione individuata dalla retta di appartenenza
• Il verso

Modulo o lunghezza di un vettore V ∈ ℝ³

V = (v₁, v₂, v₃)

V₁ = |V| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

Es: u = (2, 1) = ∣u∣ = √(5)

LIMITI NOTEVOLI

F.I.

PH = senx

AT = tgx

PH < PA < AT

1 < _senx/_x < _cosx/_senx

_lim^x→0 g(x) = 1

_lim^x→0 h(x) = 1

_lim^x→0 _senx/_x = _lim^x→0 _(x²+2x)/_(x²+2x) = 1

_lim^x→0 _senx/_sinz = 1

anche _lim^x→0 ₂/_sinz = 1

TEO. CONFRONTO

F.I.

(a+b)(a-b) = a²-b²

√(a²) - √(b²)

TEO. PRODOTTO DEI LIMITI

_lim^x→0 _senx/_(1+cosx) · _sinx/_x = 0

F.I.

_lim^x→0 _1-cosx/_x = 0

_lim^x→0 _1-cosx/_x² = 1/2

VERSORE

Se versore di un dato vettore v in R³ è dato dalla seguente operazione

v = v / |v|

ed è caratterizzato dall'avere MODULO = 1 e

STESSA DIREZIONE e VERSO di v

v = (v₁, v₂, 1) → u = u / √5 (2, 1) = (2 / √5, 1 / √5)

Dato γ ∈ R (m-puro) il prodotto di:

γv = γ(v₁, v₂, v₃) = (γv₁, γv₂, γv₃)

ed in particolare:

|γv| = |γ| · |v|

Determina la lunghezza di u, che per definizione di versore

dobbiamo avere = 1

|u| = √2 / 5 + 1 / √5 → √4 / 5 = √5 / 5 → 1 = MODULO 1

perché lunghezza unitaria e direzione e verso del vettore di riferimento, senza alterarlo

Versori importanti in R³

R³

û_x = ê_x1 (1,0,0) û_y = ê_y1 (0,1,0) û_z = ê_z1 (0,0,1)

TRIEDRO i riferimento fondamentale in R₃ o BASE

es. u = (1,1) calcolare γu dove γ = -3 e calcolare û

* γu = -3(1,1) = (-3; -3)

* û = u = (1,1) / √2 = (1 / √2, 1 / √2) · -3

û_x = ê_x (1,0) û_y = ê_y (0,1)

PRODOTTO VETTORIALE (o esterno)

↖u × ↖v = ↖w ∈ R³

dove ↖w è un VETTORE

↖u × ↖v = ↖w = │↖u│·│↖v│·senα·↖n

(formula geometrica)

1. VERSORE ORTOGONALE al piano di appartenenza dei vettori ↖u e ↖v ha VERSO dato dalla REGOLA della MANO DESTRA

⊗ → ENTRANTE

⊙ → USCENTE

↖u = (u₁, u₂, u₃)

↖v = (v₁, v₂, v₃)

↖u × ↖v = ↖w =

= +î(u₃v₂ - u₃v₃) - ĵ(u₁v₃ - u₃v₁) + k̂(u₂v₁ - u₁v₂)

es: calcolare il prodotto vettoriale di ↖u = (2, 3, -1) e ↖v = (4, 1, 2, 3)

usando

= +î(3·3 - (-1)·2) - ĵ(2·3 - (-1)·1) + k̂(2·2 - 3 (-1)) =

= +î(9 + 2) - ĵ(6 - 1) + k̂(4 + 3) =

devo scrivere come ^{+  ̆}!

→ - ^{-  ĵ}(5) = + ^{↖ ĵ}(-5)

↖w = 11 î - 5 ĵ + 7 k̂

Es: calcolare la distanza del pto P(1,1) dalla retta individuata

dal vettore _v(2,³⁄₂) che passa dell’origine.

eq. retta implicita

y = mx + q

q = interetta → 0 poiché passa x (0,0)

m = tgα

y - y_g = (x - x_g) → eq. retta prominente per _v

? = PK = distanza punto - retta

→ PK =

Osserva il triangolo rettangolo

OP =

OK = _u⋅^v

applichi il modulo di _v non unitario

^v̂ =

OK =

PK =

Eq retta trasmita vettori:

Apre eq limine del tipo

ax + by + c = 0

→ y =

m =

es: ̄A = ⌈1 0⌉ ̄B = ⌈3⌉

̄A (2 x 2) x ̄B (2 x 1) = ̄C (2 x 1)

̄C = ⌈4 x 3 0 x 1⌉ = ⌈3⌉

0⌈1 x 3 1 x 1⌉0⌉

Si dice MATRICE IDENTITÀ I, la MATRICE QUADRATA (n x n) tale che a_ii = 1 a_ij (i ≠ j) = 0

La MATRICE I è l'NEUTRO per il PRODOTTO di MATRICI

es: in IR³

I = ⌈1 0 0

0 1 0

0 0 1⌉

es: in IR³

Data I = ⌈3 2 1

⌈0 0 0

0 0 0

0 0 1⌉

calcolare ̄B = I ̄x ̄A

̄B = (3 x 3)

̄B = ⌈1 0 0

0 1 0

0 0 1⌉ ⌈3 2 1

0 0 0

0 2 1 0

⌉ = (⌈3 2 1

0 0 0

2 1 0⌉

= (⌈3 + 0 + 0 2 + 0 + 0 1 + 0 + 0⌉

0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0

0 + 0 + 2 0 + 0 + 1 0 + 0 + 0⌉