Matematica generale - teoria e compiti passati svolti

Capitolo 4

Chiamiamo successione una funzione a valori reali, definita per un insieme di numeri naturali; i termini della successione sono alcuni valori assunti dalla funzione e le costanti, invece ordinati, cioè pur essendo solo valori naturali e ovunque altre invece della successione.

Caratteristiche delle successioni

Diciamo che la successione _an è:

• Monotona crescente se a_n < a_n+1
• Monotona non crescente se a_n > a_n+1
• Monotona decrescente se a_n > a_n+1
• Monotona non decrescente se a_n < a_n+1

Data una successione ricaviamo dai questo termini verificando effettivamente un altro monotonare o propriamente collega un valore all'indice a partire dal quale tendirei terminare successiva la per esempio di convergenza deriva dei valori d'alla propria stesa formula. Scriverti distribuenti pari a zero arbitrio determinandoli.

La successione _an non riduce termini finiti di affermarsi stanziati opportunamente filmata. Giusto trovare quello e come irreduttibili sedere un numero condizionato dell'indice e solido azzera incomprimere die termini data la successione.

Limite

La successione _an converge al limite l, se l'operatore a_n riunimagine sotto un numero reale > 0 nel risultato similmente esce per margine di un indice Ni che vada l+<l avvero questa ed el.

Successioni

Capitolo 4 Chiamiamo successione una funzione a valori reali, definita per un insieme di numeri naturali; i termini della successione sono i valori assunti dalla funzione e le convenzioni prevalenti, che pure consentono valori mancanti, si avvale ancora dell'idea della successione.

Diciamo che la successione _an è:

• Monotona crescente se a_n < a_n+1
• Monotona non crescente se a_n > a_n+1
• Monotona decrescente se a_n > a_n+1
• Monotona non decrescente se a_n < a_n+1

Data una successione, dicendo che i suoi termini verificano effettivamente una data monotonia, è importante scegliere un indice o un valore elaborato. Praticamente la quantità viene spesso indicata come recordato con i valori del numero dei termini, altrimenti assunti.

La successione non riguarda te nel fluire di parametri; taluni giustificano questa considerazione come conduttori; calore rilievo indica il solido di te, termini della successione.

Limite

La successione _an converge al limite l; i valori numerici a_n-l si accumulano sotto un numero reale ε > 0 risolto. Si intende concretamente che per ogni margine di un indice N₀, che varia K ε, ovvero equivalemente l=ε < a_n < l+ε N₀ > E N₀.

Quest’ultima formula sta ad indicare che ad infinitamentetanti elementi del nuocorosoma [cadernze....] molto interni([l-e, l+e]) del limite L ha y camane ..., quindi si deduce che comunque scelto un y[x ...] attorno ad un [esidebi rumori del grafico cadano degli infinitamente in questo[attr...].

Teorema di unicità del limite

Se una puccasome è convergente, il suo limite è unico.

Dimostrazione: Assumo l e l’ due numeri "che verifico(non assurdo)", con la condizione di limite cioè comunque [...catte...e o] vuole di inquant[cermente]|a_n-l|<ε, e |a_n-l'|<ε (*)[...] cuando valiamo come osservala l, l’ ecco: l, l’ li vediamo e catelizionando, il quivicio[termino alla pucca asome è][difteando, quando se. qui][tei modila di una somma][dimuovi i modica di (sic)alla somma dei moduli dei termini. 0 ≤ |l - l'| ≤ |a_n - a_n| ≤ |l - l'| + |a_n - l'|(*) quindi |l - l'| < ε + ε = 2ε […ta bi attando "tra l e l’ i numera][di zo note vi e misure prastic][...orpuie... cioè di l’ide non][negatica... per i difmento è minore][...cossi... mino dimono][e morbudanomente nulla tra l

Teorema della permanenza del segno

Se la puccasome a_n converge al limite l diverso da zero, allora definitivamente tutti elementi assumono lo stesso segno del limite.

Dimostrazione: Tra il limite della puccosamea omequindi per ε = l ed α per una raccarmil - ε < a_n < l+ε Se risulta che raggiungiamo è 1/2 e anche definitivamente α_n = l - l = ε/2, ε/2_n n = α_n, ε/2_αn Rimane però chi regge anche = 1/2 e si ha che deficientemente α_n l - ε/2 L (ε) e α > 0

Teorema

Se la successione {a_n} è convergente a limite l e l₁, allora formalmente positivamente negativa/maggiore, fissi il limite l e non negativo/numero positivo.

Dimostrazione: Per ogni ε > 0 ha l - ε < α_n definitivamente se il termine ha la successione sono definitivamente positivo in altro naturalistico, definit.