Matematica generale - teoria e compiti passati svolti

Successioni Cap. 4

Chiamiamo successione una funzione a valori reali, definita su un insieme di numeri naturali, i termini della successione sono i valori assunti dalla funzione che è comunque indipendente dai valori assunti dalle variabili anche altre imprese della successione.

Diciamo che la successione _an:

• monotona se per ogni due termini della successione vale sempre lo stesso tipo di disuguaglianza, in particolare:
• monotona crescente se a_n<a_n+1
• monotona non crescente se a_n>a_n+1
• monotona decrescente se a_n>a_n+1
• monotona non decrescente se a_n<a_n+1

Data una successione si chiama del n-esimo termine e si verifica effettivamente una data monotona se e solo se esiste un valore di n tale che tale valore è, se terminano successioni e, veramente provato esistono dati valori in della monotonia. Termino asincrono, limite n>1000 > 10 e cosi via n››∞ .

Limite

La successione _an converge al limite l, se ambi lho qu-ft. se a convergente l difilo un numero reale ε>0 integrali di n limitato a fine frammento esse per n maggiore di un indicare N, che Var R l<Ɛ, ovvero equivalentemente

l=ε>Ɛ 0&<>a_n<l+Ɛ creare.

Quest'ultima formula sta ad indicare che al finire

tanti termini di successione cadono nell'intervallo

(l-ε, l+ε) del limite l, ciò significa che quanto è indicato

che comunque scelto un ε iscritto, ottimino gli estremi de

i numeri da grafico cadono del intervallo in questo

intervallo.

• Teorema di unicità del limite

Se una successione è convergente, il suo limite è

unico

Dimostrazione:

Due numeri che veri-

-fano la condizione di limite si

che comunque dedato ε > 0

vi è un î da parte della convenzione

|aₙ-l|ε  e  |aₙ-l'|<ε (*)

Quindi valutiamo le distanze tra l e l'. cioè il - l, utilizzando

la definizione del limite

dei membri di somma adotto

alla somma dei moduli dei

termini

0 ≤ |l-l'| = |aₙ-aₙ + aₙ-l' ≤ |aₙ-l| + |aₙ-l'|

(*) quindi |l-l'|  <  ε + ε = 2ε

Va notando che l ed l' è numeri

da scelta e ε con ε numeri positivi

pos possiamo scegliere numeri

negativa per soluzione, e minore

di qualqosi messunea tannifhe

e macabrarimente nullo il CuC (?).

• Teorema della permanenza del segno

Se la successione aₙ converge al limite l diverso da

zero, allora definitivamenti tutti i termini hanno

lo stesso segno del limite.

Dimostrazione:

Tra il limite della successione

quindi non  ε > 0 avremo

l - ε < aₙ < l + ε

Da 1_n-a_n ≤ 1 pagua c_n-b_n ≤ 1.

Vuol dire c'è

opportunamente a, N, e 1_n per a_n convo comunque.

Per c'è un N₁ e N₂ in modo tale che anutiti

N≥1, e N₂ dei cui pague b_n-b›ε, c_n-b_n ≤ ε e ancora

c_n-b_n ≤

la successione

qualunque

à adesso

la successione dei termini non convergenti.

Teorema

l

l=

dove successioni convergente, e

(

Le successioni tendono utilizzando una delle quattro

applicazioni test-setto ccd che si tale alle due successioni.

Esempio s_n=a_nb_n lim=lim lim=lim=lim

la consideriamo la serie

f₀a₀+f₀a₁+f₀a₂+f₀a₃+...

questa, a meno che il radice moltiplica

f₀a_k, è del tipo Σ a_k e dunque

convergente per ciò che la ragione a

quanto esposto. Pertanto per il teorema

del criterio di confronto, applicato alla

serie con contributo delle prime a_k;

a alle serie Σ a_k alla serie, K/

poiché quest’ultima è convergente, anche

la prima è convergente, e dunque anche

la serie Σ f₀a_k è convergente.

Teorema criterio della radice

Se la serie Σ a_k e i termini di segno non negativo

ed esistendo un indice k₀ e un numero reale α, 0 ≤ α ≤ 1,

tale che (a_k)^1/k ≤ α per k ≥ k₀, allora la serie Σ a_k è convergente.

Dimostrazione. Da (a_k)^1/k ≤ α per k ≥ k₀ segue che a_k<= α^k per

a_k secondo k ≥ k₀. Poiché le serie Σ a_k

è convergente. Imponendo il criterio

generalmente di maggioranza a semi a_k;

e poiché rea a_k<=α_k, basta k≥ k where, applicando

il criterio di confronto, che la serie Σ a_k è convergente.

(SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNATO)

Consideriamo la serie Σ (-1)^k+1 a_k = a₁-a₂+a₃-a₄+...

con a_k ≥ 0, k=0,1,2,3,

valgono le seguenti teoremi:

Teorema

Se la successione Σ a_n è decrescente e infinita esima, allora

la serie Σ (-1)^k a_k è convergente

Dimostrazione: posto S₀=0, S₁=a₁ S₂=a₁-a₂+a₃- (1 a)_n

ma j=0,1,2,3,..., possiamo dire che

l'accadere di una gamma Y tale c’è

infiniti pari e numeri decrescenti. Si trova

infatti s_n-s_n+1 (≤a_2n+1 - a_2n+2), con le

difformi. Entro nessun testo praticita

o nulla.

Quindi per ogni ε>0, scelto in particolare x nell'intorno di x₀ con x>a

ε: min {S, ε/2} non verificati sia

|f(x)-L|