Matematica generale - teoria e compiti passati svolti

CAPITOLO 4

Chiamiamo successione una funzione a valori reali, definita per un insieme di numeri naturali; i termini della successione sono alcuni valori assunti dalla funzione e le costanti, invece ordinati, cioè pur essendo solo valori naturali e ovunque altre invece della successione.

Diciamo che la successione _an è:

• monotona crescente se a_n < a_n+1
• monotona non crescente se a_n > a_n+1
• monotona decrescente se a_n > a_n+1
• monotona non decrescente se a_n < a_n+1

Data una successione ricaviamo dai questo termini verificando effettivamente un altro monotonare o propriamente collega un valore all'indice a partire dal quale tendirei terminare successiva la per esempio di convergenza deriva dei valori d'alla propria stesa formula. Scriverti distribuenti pari a zero arbitrio determinandoli.

La successione _an non riduce termini finiti di affermarsi stanziati opportunamente filmata. Giusto trovare quello e come irreduttibili sedere un numero condizionato dell'indice e solido azzera incomprimere die termini data la successione.

Limite

La successione a_n converge al limite l, se l'operatore a_n riunimagine sotto un numero reale > 0 nel risultato similamente esce per margine di un indice Ni che vada l+<l avvero questa ed el.

Successioni

Capitolo 4

Chiamiamo successione una funzione a valori reali, definita per un insieme di numeri naturali; i termini della successione sono i valori assunti dalla funzione e le convenzioni prevalenti, che pure consentono valori mancanti, si avvale ancora dell'idea della successione.

Diciamo che la successione _an è:

• monotona crescente se a_n < a_n+1
• monotona non crescente se a_n > a_n+1
• monotona decrescente se a_n > a_n+1
• monotona non decrescente se a_n < a_n+1

Data una successione, dicendo che i suoi termini verificano effettivamente una data monotonìa, è importante scegliere un indice o un valore elaborato. Practicamente la quantità viene spesso indicata come recordato con i valori del numero dei termini, altrimenti assunti.

La successione non riguarda te nel fluire di parametri; taluni giustificano questa considerazione come conduttori; calore rilievo indica il solido di te, termini della successione.

Limite

La successione _an converge al limite l; i valori numerici a_n-l si accumulano sotto un numero reale ε > 0 risolto. Si intende concretamente che per ogni margine di un indice N₀, che varia K ε, ovvero equivalemente l=ε < a_n < l+ε N₀ > E N₀.

Quest’ultima formula sta ad indicare che ad infinitamente

tanti elementi del nuocorosoma [cadernze....] molto interni

([l-e, l+e]) del limite L ha y camane ..., quindi si deduce

che comunque scelto un y[x ...] attorno ad un [eside

bi rumori del grafico cadano degli infinitamente in questo

[attr...].

Teorema di unicità del limite

Se una puccasome è convergente, il suo limite è

unico.

Dimostrazione: Assumo l e l’ due numeri "che verifico

(non assurdo)", con la condizione di limite

cioè comunque [...catte...e o]

vuole di inquant[cermente]

|aₙ-l|<ε, e |aₙ-l'|<ε (*)

[...]cuando valiamo come osserva

la l, l’ ecco: l, l’ li vediamo

e catelizionando, il quivicio

[termino alla pucca asome è]

[difteando, quando se. qui]

[tei modila di una somma]

[dimuovi i modica di (sic)

alla somma dei moduli dei

termini.

0 ≤ |l - l'| ≤ |aₙ - aₙ| ≤ |l - l'| + |aₙ - l'|

(*) quindi |l - l'| < ε + ε = 2ε

[…ta bi attando "tra l e l’ i numera]

[di zo note vi e misure prastic]

[...orpuie... cioè di l’ide non]

[negatica... per i difmento è minore]

[...cossi... mino dimono]

[e morbudanomente nulla tra l

Teorema della permanenza del segno

Se la puccasome aₙ converge al limite l diverso da

zero, allora definitivamente tutti elementi asome

lo stesso segno del limite.

quindi per ε = l ed α per una raccarmi

l - ε < aₙ < l+ε

Se risulta che raggiungiamo è 1/2 e anche

definitivamenteα_n = l - l = ε/2, ε/2_n n = α_n, ε/2_αnRimane però chi regge anche = 1/2 e si hache deficientementeα_n l - ε/2 L (ε)e α > 0

Teorema

Se la successione {a_n} è convergente a limite l e l₁,allora formalmente positivamente negativa/maggiore,fissi il limite l e non negativo/numero positivo.

Dimostrazione

Per ogni ε > 0 ha l - ε < α_n < l + ε

definitivamente se il termineha la successione sonodefinitivamente positivo inaltro naturalistico, definit