matematica generale schemi di teoria

INSIEMISTICA

Insieme = concetto intuitivoX = { Sole, Terzoquadno, Amuleto }I = { Sole }

SEGNI:

• I ⊆ X ⇒ sottoinsieme
• X^c ⇒ complementare
• X = M ∪ F ⇒ unione
• M ∩ F = ∅ ⇒ intersezione

INSIEMI NUMERICI

NUMERI NATURALI N

N = { 0,1,2,3,4,5... }

• insieme_{(per sottoinsiemi)}
• Lo posso avere un numero finito o infinito di elementi (INFINITA NUMERABILE)
• addizione e moltiplicazione verificano: PROPRIETA' COMMUTATIVA, ASSOCIATIVA, DISTRIBUTIVA
• 1° (x+2) = x4 + x2
• (x4)2 = x(4・2)
• esistenza dell'elemento neutro per la somma: x+0=x, ∀x∈N
• esistenza dell'elemento neutro per il prodotto: x・1=x, ∀x∈N
• ORDINAMENTO TOTALE "cioè" ∀ x,y ∈ N con x≠y, si ha x<y, o x=y

1. Non vi verifica l'esistenza dell'opposto di un numero: ∀ x ∈ N con x ≠ 0, ∃ y ∈ N tale che x+y=0
2. Non vi verifica l'esistenza dell'inverso di un numero: ∀ x ∈ N con x ≠ 1, ∃ y ∈ N tale che x・y=1

infatti ... ... in N non si possono risolvere le equazioni:x+5=3_e 2x=7

INSIEMISTICA

insieme = concetto unitario

X = { Sole, Terremoto, Amleto }4 = { Sole }

SEGNI:4 ⊂ X ⇒ sottoinsiemeX^c ⇒ complementareX = M ∪ F ⇒ unioneM ∩ F = ∅ ⇒ intersezione

INSIEMI NUMERICI

NUMERI NATURALI N

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

• insiemisetori potenziati

  Lo propio ante un numero finito e infinito di elementi( INFINITA NUMERABILE )

  • addizione e moltiplicazione verificano : PROPRIETÀ COMMUTATIVA, ASSOCIATIVADISTRUTTIVA (x.(y+z) = x.y + x.z )

  • esistenza dell'elemento neutro per la somma : x+0 = x , ∀x∈N

  • esistenza dell'elemento neutro per il prodotto : x.1 = x , ∀x∈N

  • ORDINAMENTO TOTALE , cioè ∀x,y ∈ N con x ≠ y , si ha x < y oppure x > y

1. Non si verifica l'esistenza dell'opposto di un numero:∀x ∈ N con x ≠ 0 , ∃/y ∈ N tale che x+y=0

2. Non si verifica l'esistenza dell'inverso di un numero:∀x ∈ N con x ≠ 1 , ∃/y ∈ N tale che x.y=1

Infatti...

... in N non si possono risolvere le equazioni:

x+5=3 e 2x=7

NUMERI INTERI ℤ

ℤ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

• I numeri interi si definiscono a partire dai numeri naturali aggiungendo gli opposti di ogni numero naturale

Verifichiamo le stesse proprietà con l'addizione:

1. ∀x ∈ ℤ, ∃ y ∈ ℤ tale che x+y=0

• Il numero y si indica -x e si chiama opposto di x

NUMERI RAZIONALI ℚ

ℚ = { x = p/q, p ∈ ℤ , q ∈ ℕ\{0} }

• I numeri razionali si definiscono a partire dai numeri interi prendendo tutti i possibili rapporti col denominatore non nullo

Verifichiamo le stesse proprietà del moltip:

1. Ogni razionale ammette un opposto
2. Ogni razionale non nullo ammette inverso

• Non tutte le lunghezze si possono esprimere attraverso numeri razionali

PROBLEMA DELLE QUANTITÀ INCOMMENSURABILI

Dato un segmento l scelto come unità di misura è possibile misurare ogni altro segmento in rispetto ad esso? x = p/q , con p,q ∈ ℕ ?

Scegliendo come unità di riferimento il lato del quadrato NON È POSSIBILE misurarne la diagonale.

• π non è un numero razionale

TEOREMA

La lunghezza della diagonale di un quadrato unitario non è un numero razionale, cioè √2 non è un numero razionale

DIMOSTRAZIONE → Supponiamo che esistano due numeri p e q primi tra loro ∈ ℕ tali che x = p/q

Per il Teorema di Pitagora: x² = l² + l² = 2 quindi p²/q² = 2 quindi p² = 2q²

Affermo p² è PARI, quindi anche p è pari, cioè p = 2u

Sostituendo: (2u)² = 2q² → 4u² = 2q²

Affermo q² è PARI, quindi anche q

• ASSURDO in quanto p e q erano primi tra loro

Dal punto di vista algebrico, l'irrazionalità di √2 significa che x²-2=0 non ha soluzioni razionali.

I numeri razionali hanno due possibili rappresentazioni decimali:

• Rappresentazione decimale finita

¹³/₅=2,6   ⁷/₂=3,5   ³/₄=0,75

• Rappresentazione decimale illimitata periodica

²/₃=0,66666...=0,6ˉ   ⁴/₁₁=0,363636...=0,36ˉ

Numeri Reali ℝ

l'insieme formato dai numeri razionali e quelli "irrazionali".

L'insieme ℝ coincide con l'insieme delle lunghezze (con segno) di tutti i possibili segmenti.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Modulo o valore assoluto

Il valore assoluto di x ∈ ℝ, x: