matematica generale schemi di teoria

INSIEMISTICA

INSIEME: concetto intuuto

X = { Sole, Mercurio, Amleto }

Y = { Sole }

Segni:

• Y ⊂ X ⇒ sottoinsieme
• X ⊃ Y ⇒ sovrainsieme
• X∪M = F ⇒ unione
• M∩F = Ø ⇒ intersezione

INSIEMI NUMERICI

NUMERI NATURALI N

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}

• «insiemestici potenti»
• Lo posso avere un numero finito o infinito di elementi ( INFINITA NUMERABILE )

• addizione e moltiplicazione verificano: PROPRIETÀ COMMUTATIVA, ASSOCIATIVA, DISTRIBUTIVA

• (x + y) = y + x

• ∃ identità dell'elemento neutro per la somma: x + 0 = x, ∀x∈N
• ∃ identità dell'elemento neutro per il prodotto: x · 1 = x, ∀x∈N
• ORDINAMENTO TOTALE: a0: (x−ε,x+ε)⊂A
• x è esterno ad A se non esiste un intorno di x internamente alla chiuso traslazione (A^C) ∃ε>0: (x−ε,x+ε)⊂A^C
• x è di frontiera per A se non è né intorno né esterno ad A, cioè ∀ε>0 si ha (x−ε,x+ε)∩A≠∅ e (x−ε,x+ε)∩A^C≠∅

Punti di Adesione e di Accumulazione

• Dati x∈R, A⊂R, si dice che:
• x è di adesione ad A se quaesiasi intorno di x contiene punti di A ∀ε>0: (x−ε,x+ε)∩A≠∅
• x è isolato di A se esiste un intorno di x che non contiene altri punti di A accetto per x ∃ε>0: (x−ε,x+ε)∩A= {x}
• x è di accumulazione per A se x è aderente ma non è isolato

Esempi

A=[4,3]∪{5}

• x=2 → punto interno
• x=1, x=3, x= 5 → punti di frontiera
• x=4 → punto esterno
• x=3 → punto di adesione
• x=5 → punto isolato

Limiti di funzioni

Teorema del confronto (in due caratteri)

Siano f, g: A → ℝ. x₀ ∈ D'(A) t.c. f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ A

Se lim_x→x₀ f(x) = ±∞ allora lim_x→x₀ g(x) = ±∞

Se lim_x→x₀ g(x) = ±∞ allora lim_x→x₀ f(x) = ±∞

Siano f, g, h: A → ℝ. x₀ ∈ D'(A) t.c. f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ A

Se lim_x→x₀ f(x) = l e lim_x→x₀ h(x) = l

allora lim_x→x₀ g(x) = l

esempio:

lim_x→0 (sin x)/x

• -1/x ≤ sin x/x ≤ 1/x ∀x > 0

e lim_x→0 -1/x = ∞ e lim_x→0 1/x = ∞

⇒ lim_x→0 sin x/x = 0

Cambio di variabile

Per calcolare lim_x→x₀ g(f(x))

Teorema: Se lim_x→x₀ f(x) = y₀ e lim_y→y₀ g(y) = l

allora lim_x→x₀ g(f(x)) = lim_y→y₀ g(y)

esempio:

f(x) = x⁻⁴

Ponici lim_x→∞ 1/x⁴ = 0

ponendo y: 1/x⁴ ⇒ otteni

lim_x→∞ x⁻⁴ = lim_y→∞ y⁻¹ = 0

Passando dal limite del rapporto incrementale , fa trovare almeno la posizione funzione al grafico nel punto (x₀; f(x₀)). Quindi la derivata di una funzione rappresenta il coefficiente angolare di tange nt dell'secante.

Rapporto incrementale = indica la "velocità mediade" della funzione è derivata = "velocità istantanea"

Derivata delle funzioni elementari

D_c = 0

D_xⁿ = nx^n-1 per ogni n ∈ N

De^x = e^x

D_lnx = 1/x

D_sinx = cosx

D_cosx = -sinx

Tutte le funzioni elementari sono derivabili tranne il valore assoluto e i razionali, che non sono derivabili in x₀=0

Regole di derivazione

Teorema (Derivata della somma)

Siano f,g : (a,b) → R derivate , allora f+g e f-g sono derivabile e:

• D[(f+g)(x)] = Df(x) + Dg(x)
• D[(f-g)(x)] = Df(x) - Dg(x)

Teorema (Derivata del prodotto)

Siano f,g : (a,b) → R derivate , allora f⋅g è derivabile e:

• D[(f⋅g)(x)] = Df(x)⋅g(x) + f(x)⋅Dg(x)

Osservazione → Se f e g derivabile e c ∈ R allora

D[(c⋅f)(x)] = Dc⋅f(x) + c⋅Df(x) = c⋅Df(x)

Teorema (Derivata del rapporto)

Siano f,g : (a,b) → R derivabile e g(x) ≠ 0 , allora f/g è derivabile e:

• D[^f(x)/_g(x)] = [Df(x)⋅g(x) - f(x)⋅Dg(x)] / g(x)²

Convessità e concavità:

Teorema sulla convessità

La convessità di f: (a, b) → ℝ derivabile equivale a:

• Le rette tangenti non stanno sotto il grafico ossia ∀x ∈ (a, b)

f(x) ≥ f(x₀) + Df(x₀)(x − x₀), ∀x ∈ (a, b)

• Df è non crescente

f(x) ≤ f(x₀) + Df(x₀)(x − x₀), ∀x ∈ (a, b)

Teorema sulla concavità

• Df è non crescente

Sia f: (a, b) → ℝ derivabile due volte, allora:

• È convessa se e solo se D²f(x) ≥ 0 per ogni x ∈ (a, b)
• È concava se e solo se D²f(x) ≤ 0 per ogni x ∈ (a, b)

Punti di flesso

Def. I punti x₀ di una funzione f: (a, b) → ℝ sono i punti x₀ ∈ (a, b) in cui f cambia convessità cioè sono specie

Teorema Se f: (a, b) → ℝ è derivabile due volte in x₀ ∈ (a, b) è un punto di flessoallora D²f(x₀) = 0

Teorema (II condizione sufficiente)

Siano x₀ ∈ (a, b) un punto stazionario per f ∈ Cⁿ((a, b), n ∈ ℕ tale che Dⁿf(x₀) ≠ 0 e

• D^(k)f(x₀) = 0 per ogni k ≤ n
• Se n = pari allora
• Dⁿf(x₀) > 0 allora x₀ è un punto di minimo locale
• Dⁿf(x₀) < 0 allora x₀ è un punto di massimo locale
• Se n ≠ pari allora non vi è né punto di minimo né punto di massimo locale ed inoltre
• Dⁿf(x₀) > 0 implica f strettamente crescente
• Dⁿf(x₀) < 0 implica f strettamente decrescente