Matematica generale

Teorema della convessità stretta

(,

: ) → ℝ. (, ), (, ) ′

Sia Se è derivabile su allora è strettamente convessa su se e solo se è

(, ). (, ),

strettamente crescente su Inoltre, se è due volte derivabile in è strettamente convessa se

′′ ()

> 0 ∀ ∈ (, ), ma non è sempre vero il viceversa.

(, )

Hp. derivabile (due volte) in

⟺ ′ (, )

strettamente convessa strettamente crescente in

Ts. ′′ ()

> ∀ ∈ (, ) ⟹ (, )

strettamente convessa in

Punto di flesso (definizione)

(,

: ) → ℝ. ∈ (, ) > 0 ()

Sia Dico un punto di flesso della funzione se esiste tale che è

0 + ,

strettamente convessa (o concava) per e strettamente concava (rispettivamente convessa) per

− .

Calcolo integrale

Funzione primitiva

Primitiva (definizione)

: [, ] → ℝ, , ∈ ℝ. [, ]

Sia con Dico funzione primitiva di in se è derivabile e vale che:

′ ()

= () ∀ ∈ [, ]

Integrale indefinito (definizione)

[,

: ] → ℝ, , ∈ ℝ, [, ].

Sia con e sia la funzione primitiva di in Dico dunque integrale

,

indefinito di in e indico con: ∫ () ≔ ()

Esistenza dell’integrale indefinito

[,

: ] → ℝ [, ].

Sia continua. Allora esiste l’integrale definito di in

[,

: ] → ℝ

Hp. continua ∃ () [, ]

in

Ts. ∫

Teorema delle primitive

[,

: ] → ℝ , ∈ ℝ. () () +

Sia continua, con Allora è integrale definito di in se e solo se è

∈ ℝ.

integrale definito di in per ogni

[,

: ] → ℝ

Hp. continua ∫ () = () ⟺ ∫ () = () +

Ts.

Calcolo di primitive

Proprietà elementari

[,

, : ] → ℝ

Siano continue. Si dimostrano le seguenti proprietà:

∀ ∈ ℝ,

1. Integrale della moltiplicazione per uno scalare. Si ha che, vale che:

∫[ ∙ ()] = ∫ ()

+ [, ],

2. Integrale della somma. Si ha che ammette integrale indefinito in e vale:

∫[() + ()] = ∫ () + ∫ ()

Primitive notevoli

() = , ≠ − +

() = +

+

() =

() = +

() =

() = +

() = () = || +

() = () = − +

() = () = +

Metodi di integrazione elementari

Integrazione per parti

[,

, : ] → ℝ

Siano continue. Vale allora la seguente regola di calcolo:

′ )

∫( ∙ = ∙ − ∫(′ ∙ )

′ ′ ′ ′ ′

( ∫( ∫(

∙ ) = + → ∫( ∙ )′ = ) + ) = ∙ .

Dimostrazione. Vale che:

Integrazione per sostituzione 1

[, [,

: ] → ℝ : ] → [, ] ([, ]) =

Sia continua. Sia con (derivabile almeno una volta). Sia

[,

() = [, ]. ′ . ] ⊂ [, ]: ∃, () = () = ,

Allora ha primitiva Sia ora allora | e con

, non necessariamente unici. Vale allora la seguente regola di calcolo:

∫ () | = ∫ (()) ∙ ′()

=()

Integrale di Riemann

Somma integrale inferiore e superiore

Partizione (definizione)

[,

: ] → ℝ { , … , } = ≤ ≤ ⋯ ≤ ≤ =

Sia limitata. Un insieme del tipo con si dice

−

[, ].

partizione o suddivisione di

Somma inferiore e superiore (definizione)

Definisco: [ ]}

≔ {(), ∈ ,

−

[ ]}

≔ {(), ∈ ,

−

= { , … , } [, ].

Sia una partizione di Poniamo:

0

() = ∑ ( − )

−

=

() = ∑ ( − )

−

=

(), () .

Allora si dicono rispettivamente somma inferiore e superiore associata a

(), ()

Proprietà di

Si ha che:

( ) )

() = ∑ − ≤ ∑( − = ( − )

−1 −1

=1 =1

Dunque si ha che: ( − ) < () < () < ( − )

() (), ,

e dunque e al variare di sono numeri finiti.

, () ()

Aggiungendo un punto alla partizione si ottiene che aumenta e diminuisce. Si dimostra

facilmente che: ) )

⊂ [, ], ( ≤ ( ) ( ≥ ( ).

1. se entrambe partizioni di allora e

, () ≤ (),

2. al variare di ovvero le due somme non si intersecano.

Integrabilità secondo Riemann

Integrale di Riemann (definizione)

[,

: ] → ℝ [, ] , () =

Sia limitata. Dico integrabile secondo Riemann in se al variare di

(). [, ],

In tal caso, tale valore comune si dice integrale definito di su e si indica con:

∫ ()

Condizioni di integrabilità

[,

: ] → ℝ [, ]. [, ], [, ]

Sia limitata su Se è: monotona su continua su oppure ha un numero

[, ], [, ].

finito di punti di discontinuità su allora è integrabile secondo Riemann in

[,

: ] → ℝ limitata e con una delle condizioni

[, ]

1. monotona su

Hp. [, ]

2. continua su

[, ]

3. ha un numero finito di punti di discontinuità su

Ts. ∃ ∫ ()

Funzione non integrabile

[0,1]

: → ℝ

Sia la funzione di Dirichlet, ovvero: ∈ ℚ ∩ [, ]

() = {

Si ha allora che non è integrabile. Vale infatti che:

=1 =1

∑ ∑

() = ∆ = 0 () = ∆ = 1

.

per ogni Dunque: () = () =

per cui non è integrabile per definizione.

Integrale di Riemann con verso opposto (definizione)

: [, ] → ℝ [, ].

Sia integrabile secondo Riemann in Dico integrale di Riemann con verso opposto di

[, ]

su l’integrale:

∫ () ≔ − ∫ ()

Proprietà elementari

[,

, : ] → ℝ

Siano integrabili. Si dimostrano le seguenti proprietà.

∀ , ∈ ℝ, +

1. Combinazione di funzioni. si ha integrabile, e vale:

1 2 1 2

∫[ + ] = ∫ () + ∫ ()

() > (). () ≥ () ∀,

2. Se si ha che:

∫ () ≥ ∫ ()

|()|

3. Modulo. è integrabile e vale che:

|∫ () | ≤ ∫|()|

= inf = sup [, ].

4. Media integrale. Sia e su Allora:

≤ ∫ () ≤

− [, ].

dove tale oggetto è detto media integrale di in

∈ [, ],

5. Additività integrale. Se allora si ha che:

∫ () = ∫ () + ∫ ()

Teorema della media integrale

[, ]. ∃ ∈ [, ] ()

Sia integrabile e continua su Allora tale che è uguale alla media integrale di in

[, ]. [,

: ] → ℝ

Hp. integrabile e continua

Ts. ∃ ∈ [, ]|() = ∫ ()

−

[, ].

Dimostrazione. Per il teorema di Weierstrass, ammette punto di massimo e di minimo in

1

, () ( − ), ≤ () ≤ .

Integrando ed si ottiene, dividendo per che Per il teorema di

∫

−

∈ [, ]

Darboux, esiste tale da soddisfare la tesi.

Teoremi fondamentali del calcolo integrale

Funzione integrale (definizione)

[,

: ] → ℝ ∈ [, ]. () [, ]

Sia una funzione integrabile, e sia Dico funzione integrale di in la

: [, ] → ℝ

funzione definita come segue:

() ≔ ∫ ()

Teorema fondamentale del calcolo integrale

[,

: ] → ℝ [, ].

Sia integrabile, e sia la funzione integrale. Allora è continua su Se inoltre è

′ ( )

∈ [, ], = ( ).

continua in allora è derivabile in è vale che In particolare, se è continua

0 0 0 0

′ ()

[, ], [, ] = () ∀ ∈ [, ].

su allor