Matematica generale

Numeri, vettori e spazi vettoriali

Insiemistica

Insieme (definizione)

Dico insieme una collezione di elementi. Un insieme può essere definito attraverso:

• L’elenco dei suoi elementi: = { , … , }
• L’esplicitazione di una proprietà comune a tutti i suoi elementi: = { , ∈ ℕ|…}

Sottinsieme (definizione)

Siano A e B due insiemi qualsiasi. Dico che A è sottoinsieme di B e scrivo che A ⊆ B se ogni elemento di A, ∈ A ⇒ ∈ B. In particolare, dico che A è sottoinsieme proprio di B e scrivo che A ⊂ B se esistono elementi di B che non sono anche elementi di A, ovvero se ∃ ∈ B | ∉ A.

Insieme complementare (definizione)

Sia A ⊆ U. Dico insieme complementare di A e indico con A^c, l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad U ma non ad A. Vale dunque che: A^c = {x ∈ U | x ∉ A}.

Coincidenza insiemistica (definizione)

Siano due insiemi qualsiasi A e B. Dico che A e B sono coincidenti e scrivo A ≡ B se tutti e soli gli elementi di A sono anche elementi di B, ovvero A ≡ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Operazioni tra insiemi

Unione (definizione)

Dico unione di A e B e indico con A ∪ B l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A o a B: A ∪ B ≡ {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Intersezione (definizione)

Dico intersezione di A e B e indico con A ∩ B l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A e a B: A ∩ B ≡ {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Leggi di de Morgan

Le leggi di de Morgan enunciano i seguenti risultati dimostrabili:

• (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c
• (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Insiemi disgiunti (definizione)

Dico che A e B sono due insiemi disgiunti se la loro intersezione è l’insieme vuoto, ovvero se A ∩ B = ∅.

Prodotto cartesiano (definizione)

Dico prodotto cartesiano di A per B e indico con A × B l’insieme delle coppie ordinate di elementi di A e B: A × B ≡ {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B}.

Insiemi numerici fondamentali ℕ, ℤ, ℚ

Insiemi e numeri irrazionali

ℕ Insieme (definizione)

Dico insieme ℕ l’insieme dei numeri naturali, o interi positivi. Le operazioni interne a questo insieme sono la somma ed il prodotto. ℕ ≡ {0, 1, 2, …}

ℤ Insieme (definizione)

Dico insieme ℤ l’insieme dei numeri interi, positivi o negativi. Le operazioni interne a questo insieme sono la somma, la sottrazione ed il prodotto. ℤ ≡ {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

ℚ Insieme (definizione)

Dico insieme ℚ l’insieme dei numeri razionali. In particolare, dico numero razionale un qualsiasi numero ottenuto dalla divisione di due numeri interi primi fra loro. Le operazioni interne a questo insieme sono la somma, la sottrazione ed il prodotto. ℚ ≡ {p/q | p, q ∈ ℤ, q ≠ 0}

Numeri irrazionali

Esistono numeri, fra cui ad esempio √2, che non appartengono all’insieme dei numeri razionali. Tali numeri sono detti numeri irrazionali.

ℝ Insieme (definizione)

Dico insieme ℝ l’insieme dei numeri reali. In particolare, dico numero reale un qualsiasi numero rappresentabile come un allineamento periodico o non periodico, dunque un qualsiasi numero razionale o irrazionale.

Assioma di completezza ℝ

Esiste una corrispondenza biunivoca fra gli elementi dell’insieme ℝ e i punti sulla retta numerica.

Proprietà delle operazioni

Di seguito sono elencate le proprietà fondamentali delle operazioni interne di somma e prodotto. Siano x, y, z ∈ ℝ.

Proprietà della somma

• Proprietà commutativa: x + y = y + x
• Proprietà associativa: (x + y) + z = x + (y + z)
• Proprietà dell’elemento neutro: x + 0 = x
• Proprietà dell’elemento opposto: (-x) + x = 0

Proprietà del prodotto

• Proprietà commutativa: x · y = y · x
• Proprietà associativa: (x · y) · z = x · (y · z)
• Proprietà dell’elemento neutro: x · 1 = x
• Proprietà dell’elemento reciproco: x^-1 · x = 1

Proprietà distributiva

(x + y) · z = x · z + y · z

Rappresentazione decimale

Dico rappresentazione decimale la corrispondenza biunivoca esistente fra un numero reale ed un punto sulla retta numerica.

Rappresentazione decimale per ℚ

L’insieme ℚ presenta due tipi di rappresentazioni decimali:

• La rappresentazione decimale finita, caratterizzata da un numero finito di cifre decimali.
• La rappresentazione decimale periodica, caratterizzata da una sequenza di cifre decimali, detta periodo, che viene ripetuta all’infinito.

Rappresentazione decimale per i numeri irrazionali

L’insieme ℝ presenta per i numeri irrazionali una rappresentazione decimale del tipo seguente: ±, … Poiché un numero irrazionale presenta un numero infinito di cifre decimali, per la rappresentazione decimale del numero sulla retta è necessario approssimare e troncare le cifre decimali: tale approssimazione è più precisa al maggior numero di cifre decimali considerate.

Ordinabilità ℝ

Grazie alla rappresentazione decimale sulla retta numerica possiamo affermare che ℝ è un insieme ordinato. Siano x, y ∈ ℝ: è sempre possibile affermare che x < y o viceversa.

Proprietà di un insieme ordinato

In quanto insieme ordinato, ℝ gode delle seguenti proprietà:

• Proprietà riflessiva: x ≤ x
• Proprietà antisimettrica: x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y
• Proprietà transitiva: x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z

Continuità ℝ

Insieme (definizione) ℝ̅

Dico insieme ℝ̅, o insieme esteso, l’insieme ℝ ∪ {±∞}, per cui vale che −∞ < x < +∞ ∀ x ∈ ℝ.

Continuità (definizione)

Dico che un insieme numerico è continuo se ad ogni successione di approssimazioni numeriche della rappresentazione decimale sia associato uno ed un solo punto sulla retta numerica.

Intervallo (definizione)

Siano a, b ∈ ℝ con a < b. Dico intervallo un sottoinsieme di ℝ senza interruzioni. In particolare distinguo:

• Un intervallo limitato: [a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ ℝ | a < x < b}
• Un intervallo illimitato: [a, +∞) = {x ∈ ℝ | x ≥ a}, (−∞, b] = {x ∈ ℝ | x ≤ b}

Maggiorante e minorante (definizione)

Sia S ⊆ ℝ ed a ∈ ℝ. Dico maggiorante dell’insieme S se a vale a ≥ x ∀ x ∈ S. Dico minorante dell’insieme S se a vale a ≤ x ∀ x ∈ S.

Teorema dei maggioranti/minoranti

Sia S ⊆ ℝ, M l’insieme dei suoi maggioranti e N l’insieme dei suoi minoranti. Allora M e N hanno infiniti elementi o non ne hanno alcuno.

Insieme limitato (definizione)

Dico un insieme limitato un insieme superiormente ed inferiormente limitato, ovvero se ammette almeno un maggiorante e un minorante.

Massimo e minimo (definizione)

Sia S ⊆ ℝ. Dico massimo di S e indico con max S l’elemento di S tale che max S ≥ x ∀ x ∈ S. Analogamente dico minimo di S e indico con min S l’elemento di S tale che min S ≤ x ∀ x ∈ S.

Teorema dei massimi/minimi

Sia S ⊆ ℝ. Se esiste max S/min S allora S è un insieme superiormente/inferiormente limitato. Non è sempre vero il viceversa.

Estremo superiore/inferiore (definizione)

Sia S ⊆ ℝ, M l’insieme dei maggioranti e N l’insieme dei minoranti di S. Dico estremo superiore di S e indico con sup S il minimo di M. Analogamente dico estremo inferiore di S e indico con inf S il massimo di N. Vale dunque che: in ℝ̅, se S non è superiormente/inferiormente limitato vale sup S = +∞ e inf S = −∞.

Continuità di ℝ

Poiché ogni numero reale può essere considerato come l’estremo superiore dell’insieme degli allineamenti decimali che lo approssimano, possiamo affermare che ℝ è un insieme continuo.

Topologia di ℝ

Intorno

Distanza (definizione)

Dico distanza fra due elementi x e y la misura |x − y|. Se x = y, la distanza vale 0.

Intorno sferico (definizione)

Dato un elemento x₀ e fissato ε > 0, si dice intorno sferico di x₀ l’insieme così definito: V_ε(x₀) ≡ {x ∈ ℝ | (x, x₀) < ε}.

Intorno (definizione)

Un intorno di x₀ è un insieme aperto che contiene x₀ per un opportuno ε > 0.

Topologia dei punti

Punto interno/esterno/di frontiera (definizione)

Sia S ⊆ ℝ e x₀ ∈ ℝ. Dico che x₀ è:

• Interno ad S se: ∃ε > 0 | V_ε(x₀) ⊆ S. Dico int(S) l’insieme dei punti interni ad S.
• Esterno ad S se: x₀ è interno a S^c. Dico ext(S) l’insieme dei punti esterni ad S.
• Di frontiera per S se non è interno né esterno, cioè se: ∀ε > 0, V_ε(x₀) ∩ S ≠ ∅ ∧ V_ε(x₀) ∩ S^c ≠ ∅. Dico fr(S) l’insieme dei punti di frontiera per S.

Punto di accumulazione (definizione)

Sia S ⊆ ℝ e x₀ ∈ ℝ. Dico che x₀ è un punto di accumulazione di S se: ∀ε > 0, V_ε(x₀) contiene un punto di S diverso da x₀. Dico insieme derivato, ed indico con S' l’insieme dei punti di accumulazione di S. Dico al contrario un punto isolato se esso non è un punto di accumulazione.

Chiusura (definizione)

Dico chiusura di S ed indico con Cl(S) l’insieme S ∪ S'.

Teorema dei punti interni (definizione)

Sia x₀ un punto interno ad S. Allora x₀ ∈ S', ovvero è anche un punto di accumulazione per S.

Topologia degli insiemi

Insieme aperto/chiuso (definizione)

Data la definizione di intorno sferico, un insieme S è:

• Aperto, se: ∀x ∈ S ∃ε > 0 | V_ε(x) ⊆ S.
• Chiuso, se: il complementare di S è aperto.

Teorema degli insiemi chiusi

Sia S un insieme chiuso. Allora vale che S ⊆ Cl(S), e ogni punto di accumulazione di S appartiene ad S.

Teoremi fondamentali

Insieme limitato (definizione)

Sia S ⊆ ℝ. Dico un insieme limitato se ∃ε > 0 tale che S ⊆ V_ε(x) per qualche x ∈ ℝ.

Teorema di Bolzano – Weirstrass

Sia S ⊆ ℝ limitato e infinito. Allora S ammette almeno un punto di accumulazione.

Insieme compatto (definizione)

Sia S ⊆ ℝ. Dico che una famiglia ℱ di insiemi aperti è una copertura di S se: S ⊆ ⋃_A∈ℱ A. Dico che S è un insieme compatto se da ogni copertura aperta di S è possibile estrarre una sottocopertura finita.

Teorema di Heine – Borel

Sia S ⊆ ℝ. Allora S è compatto se e solo se esso è chiuso e limitato.

Funzione

Mappa (definizione)

Siano A e B due insiemi qualsiasi. Dico mappa una qualsiasi relazione che associa elementi di A ad elementi di B.

Funzione (definizione)

Siano A e B due insiemi qualsiasi. Dico funzione ed indico con f: A → B una mappa per cui vale che, per ogni elemento x ∈ A, esiste uno ed un solo elemento y ∈ B tale che (x, y) ∈ f. Se tale condizione è soddisfatta, è possibile scrivere allora la seguente uguaglianza: y = f(x).

Nozioni elementari

Dominio e codominio (definizione)

Sia f: A → B. Dico dominio l’insieme A da cui la funzione assume le variabili indipendenti. Dico al contrario codominio l’insieme B in cui la funzione restituisce le variabili dipendenti.

Immagine e controimmagine (definizione)

Sia f: A → B tale che y = f(x). Dico allora che l’elemento y è una immagine di x mentre l’elemento x è una controimmagine di y. In particolare, mentre ogni x può essere associata ad una ed una sola immagine, ogni y può possedere una, nessuna o più di una controimmagine. Alla luce di queste definizioni, dico controimmagine dell’elemento y l’insieme degli elementi del dominio che hanno in y un’immagine nel codominio: f⁻¹(y) = {x ∈ A | f(x) = y}. Dico invece immagine dell’elemento x l’insieme degli elementi del codominio per i quali esiste una controimmagine nel dominio: f(x) = {y ∈ B | ∃x ∈ A: y = f(x)}.

Suriettività ed iniettività (definizione)

Sia f come sopra definito. Dico che f gode:

• Della proprietà suriettiva, se: ∀y ∈ B, f⁻¹(y) ≠ ∅.
• Della proprietà iniettiva, se: ∀x₁, x₂ ∈ A, f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂.

Grafico (definizione)

Sia f come sopra definita. Dico grafico di f l’insieme, talvolta indicato come graph f, delle coppie ordinate appartenenti al prodotto cartesiano A × B tali che {(x, y) ∈ A × B | y = f(x)}.

Operazioni su funzioni

Funzione composta

Siano f: A → B e g: B → C due funzioni. Se accade che A ⊆ B, allora dico funzione composta la funzione scritta come g(f(x)) = g ∘ f(x).

Funzione inversa

Sia f: A → B una funzione. Dico funzione inversa, e indico con f⁻¹: B → A, la funzione che associa ad ogni y ∈ Im f, la sua controimmagine x ∈ A.

Invertibilità di una funzione

Sia f: A → B una funzione. Allora f è invertibile se e solo se essa è iniettiva.

Proprietà delle funzioni inverse

Per ogni coppia di funzioni inverse vale la seguente proprietà: f⁻¹(f(x)) = x = f(f⁻¹(y)).

Proprietà di funzioni

Funzione limitata (definizione)

Sia f: A → B. Dico limitata se Im f è un insieme limitato.

Simmetria

Funzione pari (definizione)

Sia f: A → B. Dico una funzione pari se f(x) = f(−x) ∀x ∈ A, ovvero se il grafico della funzione presenta simmetria assiale rispetto all’asse y.

Funzione dispari (definizione)

Sia f: A → B. Dico una funzione dispari se f(x) = −f(−x) ∀x ∈ A, ovvero se il grafico della funzione presenta simmetria centrale rispetto all’origine.

Simmetria e operazioni su funzioni

Diversi tipi di simmetrie possono essere riscontrati fra funzioni, se su di esse vengono apportate delle variazioni:

• Simmetria assiale rispetto all’asse y: f(x) → f(−x).
• Simmetria assiale rispetto all’asse x: f(x) → −f(x).
• Simmetria centrale rispetto all’origine: f(x) → −f(−x).

Monotonia

Funzione monotona crescente (definizione)

Sia f: A → B. Dico monotona crescente se vale che, se x₁ ≤ x₂, allora f(x₁) ≤ f(x₂).

Funzione monotona decrescente (definizione)

Sia f: A → B. Dico monotona decrescente se vale che, se x₁ ≤ x₂, allora f(x₁) ≥ f(x₂).