Matematica Generale - nozioni fondamentali

INSIEME R

{ }

[ ]

x ∈

1 , con x , x R

2

In R =  tutte le coppie x1,x2

1 2

x 2

{ }

[ ]

x 1 ∈

, con x , x x R

x

3

In R 1 2, 3

= 2

x 3

{ }

[ ]

x 1 ∈

, con x , x x … , x R

x 1 2, 3, n

2

x

n

In R = n.upla di numeri reali (oggetto composto da n

3

.

.

.

xn

numeri reali) n

OPERAZIONI TRA GLI ELEMENTI DI R

n

1) Somma tra gli elementi di R [ ]

x y

+¿

1 1

[ ] [ ]

x y x y

+¿

2 2

1 1 x y

x y ¿

2 2 3 3

. .

x y

X= , y  x+y=

=

3 3 . .

. . . .

. . . .

. . . .

xn yn . .

x y

+

n n

-Proprietà della somma

∈ ∈ ∈

• n n n

X R , y R , x + y R

• Commutativa: x+y=y+x<s

∈

• n

Associativa: z R , (x+y)+z=x+(y+z)

[ ]

0

0

0

.

• 0= , x+0= x  0 elemento neutro rispetto alla somma.

.

.

0

2) Prodotto per un numero [ ]

αx 1

αx 2

αx

∈ ∈

α R α

n

X R ,  X= 3

.

.

.

αxn

PROPRIETÀ

• Commutativa

• Associativa

• Distributiva

∈ ∈ ∈

α R α

• n n

X R ,  X R

n

IMPORTANTE!: R dotato delle operazioni 1) e 2) è uno spazio vettoriale, e i suoi

elementi si dicono vettori.

SPAZIO VETTORIALE

Insieme composto da oggetti qualsiasi nel quale la somma di due elementi e il

prodotto tra un elemento e un numero reale devono appartenere all’insieme di

partenza. { }

2 ∈

a x bx+ c , con a , b , c R , a ≠ 0

+

Ex.: S=  NON È UNO SPAZIO VETTORIALE! Infatti se:

∈

2

x

x= 2 +3x+5 S 

∉ S

x+y= 7x+ 8 ∈

2

x

y= -2 +4x+3 S

NORMA DI UN VETTORE

√ 2 2 2 2

‖ ‖

x x x x …+ x

+ + +

Norma: =  Somma delle componenti di x

1 2 3 n

[ ]

3 √ 2 2 2

‖ ‖

x √ 14

3 +(−2) +1

−2

Ex.: x= = =

1 ‖ ‖

x

N.B.: la norma rappresenta la distanza del vettore dall’origine  =

√ 2 2 2 2

x x x …+ x

+ + + = d(x , 0)

1 2 3 n

-Proprietà della norma

1. Diseguaglianza triangolare

∈ n

X, y R

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

x+ y x y

≤ + (La distanza più breve tra O e x+y è quella

rettilinea)

2. Omogeneità

∈ ∈

n

X R , α R

‖ ‖

‖α ‖= x

∙ X α ∙

∣ ∣ ‖

¿ x

Ex.: α=2  ‖2¿ ¿ ¿

OPERAZIONI TRA VETTORI

Prodotto interno o scalare

∈ n

X , y R

X ∙ y = < x , y > = x y + x y + ……. + x y

1 1 2 2 n n

∉ n

N.B.!: X ∙ y R !!

[ ] [ ]

5 −4

3 2

Ex.: x = y = , X ∙ y = -20+6+6 = -8

6 1

n

Intorni in R : 2

∈

x R ∨d ¿ 2 0

ε x ε

x } { }

∈ ‖ ‖ ¿

R x−x

∨¿

2 0 0

In R : U(x ) = , x ) < =

¿ n

∈

x R ∨d ¿ n 0

x ε x ε

} { }

∈ ‖ ‖ ¿

R x−x

∨¿

n 0 0

In R : U(x ) = = , x ) < =

¿