Matematica Generale - nozioni fondamentali

Matematica generale

Insiemi

Un insieme è una collezione di oggetti.

A ⊆ B indica che A può coincidere con B (inclusione forte).
A ⊄ B indica che A non può coincidere con B (inclusione debole).

• N = Numeri naturali: {0, 1, 2, 3, …}
• Z = Numeri interi relativi: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• Mn ∈ ± tali che m, n ∈ N , n ≠ 0
• Q = Numeri razionali
• R = Numeri reali

Q viene definito un insieme denso, perché tra un razionale e un altro ci sono infiniti numeri razionali. Tuttavia, Q non è continuo perché non occupa tutti i punti della retta.

Intorno

Intorno di x di raggio r: (x-ε, x+ε) ∈ R.

L'intorno di un punto x₀ è definito come (x-ε, x+ε). Il punto x₀ non è compreso nell’intervallo e non fa parte dell’intorno (è però incluso!).

Concetto di infinito

∀ x ∈ +∞, ∀ a ∈ R: x > a.
∀ x ∈ R: x < a, ∀ a ∈ -∞.

Intorno di +∞: U(+∞) = (a; +∞), a ∈ R.

Intorno di -∞: U(-∞) = (-∞; b), b ∈ R.

R = R estesa!

Proprietà dei sottoinsiemi

Insiemi limitati

Un insieme A ⊆ R è limitato se esiste un intorno dell’origine tale da coincidere con l’insieme A. A è limitato se A ⊆ (-M, M), per qualche M > 0. ∀ a ∈ A, A è limitato quando esiste un M > 0 tale che |a| < M.

Esempio: A non è un insieme limitato perché non può essere racchiuso in un intorno dell’origine.

Massimi e minimi

Dato un insieme A ⊆ R, x₀ si dice massimo elemento di A se x₀ ≥ x, ∀ x ∈ A.
Esempio: Se A = (1, 3], allora MaxA = 3.
N.B.: Se A = (1, 3), A non ha massimo!

Dato un insieme A ⊆ R, x₀ si dice minimo elemento di A se x₀ ≤ x, ∀ x ∈ A.

Punti esterni, interni e di frontiera

Punto interno: Sia A ⊆ R, x₀ è un punto interno se:

1. x₀ ∈ A.
2. Esiste un intorno di x₀ denominato U(x₀) tale che U(x₀) ⊆ A.

Esempio: Se A = [1, 3), allora IntA = {x | 1 < x < 3}.

Esempio: Se A = ∅, questo viola il punto due della definizione: A non è continuo.

Punto esterno: Sia A ⊆ R, x₀ è un punto esterno se:

1. x₀ ∉ A.
2. Esiste un intorno di x₀ denominato U(x₀) tale che U(x₀) ⊆ A^c (complemento di A).