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DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 17

scriviamo l’equazione della retta tangente alla curva in P (in questa equazione t farà da parametro),

e imponiamo infine il passaggio di tale retta per A …

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DERIVATE, PARTE C: funzione composta, funzione inversa

8. DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

Prima di enunciare un vero e proprio teorema a riguardo, illustriamo la derivazione di una funzione composta con una

descrizione “alla buona” ed alcuni esempi.

La derivata di una funzione composta (=funzione di funzione) si ottiene:

• derivando la funzione principale (cioè, quella che si applica per ultima) “rispetto al suo argomento

z”

(voglio dire: facendo finta che il suo argomento non sia a sua volta una funzione, ma sia una variabile

indipendente z; al posto di z, però, va poi scritta l’espressione che nella nostra mente abbiamo sostituito con

z),

• poi moltiplicando ciò che si è ottenuto per la derivata (calcolata allo stesso modo) dell’argomento z

• … ed eventualmente iterando il procedimento per gli argomenti più “interni” …

… capito?

Dal punto di vista pratico, vedrai che è semplice. Facciamo degli esempi.

(qui abbiamo una composizione di TRE funzioni!)

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 19

che si scrive in modo efficacissimo con la notazione di Leibniz:

Esercizi. Derivare le seguenti funzioni:

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Dimostrazione del teorema sulla derivata di una funzione composta

Per capire meglio quali sono le diverse quantità in gioco, pensiamo all’esempio specifico della funzione

;

si parte da x, si passa attraverso un calcolo intermedio applicando a x la funzione “cubo” che fornisce il

, infine si applica la funzione “seno” a questo numero z, ottenendo il valore finale y.

numero z=x 3

Siamo d’accordo con il ruolo dei simboli x, z, y? OK? Possiamo allora partire col caso generale.

Noi vogliamo costruire il rapporto incrementale della funzione composta y(x),

che è poi “y-che-dipende-da-z-che-dipende-da-x”, ossia ,

Dunque:

all’ascissa di partenza x corrisponde il valore z al quale corrisponde poi il valore y.

Se ora noi passiamo da x a , la quantità intermedia z subisce un incremento che la porta al nuovo

valore ; dopodiché, al valore , corrisponderà un determinato valore :

Il rapporto incrementale della funzione composta è ; ma si può scrivere

Ora facciamo tendere a zero. Supponiamo che la funzione z sia derivabile in x: essa sarà allora

certamente continua in x per un teorema ben noto e pertanto anche tenderà a 0; dunque avremo

(supponendo altresì che la funzione y sia derivabile in z):

e .

Resta perciò dimostrato che

, cioè la tesi.

C’è però un piccolo guaio.

Non sarebbe onesto affermare che questa dimostrazione è del tutto generale e completa: infatti essa non

tiene conto del fatto che si potrebbe eventualmente annullare!!! Sei d’accordo? Può anche capitare, per

una funz. z=z(x), che, fissata un’ascissa x e dato a x un incremento , risulti tuttavia .

Caro lettore, se non sei particolarmente interessato ad approfondimenti, accontentati pure di quanto scritto

sopra (che costituisce una dimostrazione del teorema invero di gran lunga il più frequente, in cui

nel caso,

esiste per lo meno un intorno di x nell’ambito del quale, qualunque sia l’incremento che si dà alla x, la quantità

z(x) subisce sempre un incremento non nullo).

Se invece desideri la dimostrazione del tutto generale, prosegui la lettura.

Insieme con la dimostrazione generale, daremo anche l’enunciato astratto del teorema, che, se badi, fino a

questo momento non abbiamo mai formulato, accontentandoci della descrizione “alla buona” iniziale (quella

che aveva tanto angosciato Snoopy) e della rassegna di esempi.

Per una dimostrazione del tutto generale del teorema sulla derivazione delle funzioni composte, ritengo

preferibile rendere più “mirata” la simbologia.

Dunque:

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Teorema sulla derivazione di una funzione composta (=funzione di funzione)

Sia definita su tutto un intorno di x e derivabile in x .

0 0

Sia y=f(z) definita su tutto un intorno di e derivabile in z .

0

Allora la funzione composta è derivabile in x e risulta

0

Essendo per ipotesi f(z) derivabile in z , si ha

0

da cui (scrittura fuori dal segno di limite)

e quindi

(1)

Bene! Abbiamo quindi scritto la relazione (1), nella quale compaiono gli incrementi della variabile z, calcolati rispetto

al punto z

0.

La (1) è stata ricavata partendo da un rapporto incrementale con a denominatore, per cui va pensata valida per

; tuttavia, è proprio il caso la “pietra dello scandalo” che ci ha costretto a cercare una via alternativa per la

dimostrazione. Ora, se, a posteriori, pensiamo alla (1) con , vediamo che essa, avendo il primo membro nullo e il

secondo membro caratterizzato dalla presenza di un fattore nullo, continuerebbe ad esser valida se non fosse per il fatto

che, in questo caso, la quantità , che era stata introdotta come differenza fra il rapporto incrementale e la derivata,

non avrebbe significato. Ma noi possiamo attribuire a , nel caso , un valore convenzionale, ad esempio

ponendo, per , . Facciamo dunque così. In definitiva, la quantità che compare nella (1) avrà il

valore

e la (1) risulterà valida anche con .

La relazione (1) trae la sua verità dal fatto che l’ipotesi afferma la derivabilità di f(z) in z

0.

f(z) è una funzione, definita su tutto un intorno di z ; fin qui, NON stiamo ancora riguardando z come variabile che dipende

0

da x, stiamo trattando z come una variabile indipendente, e indicando con lo scostamento del suo valore dal valore-

.

base z 0

Fra un attimo riguarderemo invece z come variabile dipendente da x; al variare di x, varierà anche z; con x=x , sarà z=z ,

0 0

e quando x subirà un incremento algebrico diventando , allora z diventerà , subendo un ben

determinato incremento algebrico (dipendente da ), che potrà eventualmente anche essere nullo. Quindi, nel

, passerà ad indicare quel ben

seguito, il simbolo , prima usato per indicare un generico incremento algebrico z-z 0

determinato incremento alg., eventualmente anche nullo, che la z(x) subisce quando da x=x si passa a .

0

Dopo questa premessa, andiamo a costruire il rapporto incrementale in x della funzione F(x). Avendosi

0

sarà

e quindi, facendo tendere a 0 , dal momento che quando , anche ed , avremo

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Derivazione di una potenza ad esponente qualsiasi

Grazie al teorema sulla derivazione della funzioni composte, siamo ora in grado di dimostrare un risultato

molto importante che avevamo già anticipato senza dimostrazione, ossia:

la formula per la derivazione di una potenza:

già provata nel caso che l’esponente fosse un numero naturale: n = 0, 1, 2, 3, …

si estende a QUALUNQUE esponente reale (positivo, negativo, frazionario, irrazionale):

Dimostrazione

Basta scrivere la potenza sotto forma di esponenziale di un logaritmo:

Applicando ora la regola per la derivazione di una funzione composta:

Derivazione di una funzione della forma [f(x)] g(x)

Questo accorgimento di esprimere la funzione data come esponenziale di un logaritmo si applica anche per

la derivazione di una funzione della forma . Si procede come segue:

Niente paura, però: la formulaccia precedente non è assolutamente da imparare a memoria!

Si tratta invece di applicare lo stesso procedimento in tutti i casi particolari di questo tipo.

Esempio: se devo derivare la funzione , mi basta solo ricordare di trasformarla in

esponenziale-di-un-logaritmo: il resto verrà da sé!

Importante, in quanto la utilizzeremo successivamente (occupandoci di “integrali indefiniti”) è l’osservazione

seguente:

La derivata della funz. è SU TUTTO R, cioè sia con x>0 che con x<0

Si tratta ancora di una conseguenza del teorema sulla derivazione di una funzione composta:

con x>0, abbiamo

9 con x<0, abbiamo

9

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9. DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA

Ripasso: la funzione inversa di una funzione data

Consideriamo la funzione

E’ possibile ora, se si sceglie un valore di y, risalire al valore di x che ha generato quell’y?

Proviamoci.

Ecco fatto! La legge è chiamata “funzione inversa” della

e indicata col simbolo

Questa legge, questa “funzione inversa”, permette di “tornare indietro”: a partire da y, si può risalire a quella

che era la sua controimmagine x nella funzione diretta.

Dunque:

Supponiamo ora di voler rappresentare la funzione inversa appena ricavata, su di un riferimento cartesiano.

Tutto sommato, la rappresentazione ce l’abbiamo già, se abbiamo tracciato il grafico della funzione diretta! Sì,

perché se noi anziché guardare il grafico dal solito punto di vista, ruotiamo il foglio di 90° in senso antiorario,

avremo la y in orizzontale e la x in verticale, quindi potremo seguire, al variare di y, come varia x, col solo

fastidio che, contrariamente alle nostre abitudini, la variabile indipendente (che qui è y) assume valori

crescenti allorquando ci spostiamo con lo sguardo verso sinistra e non verso destra.

Se guardo da

sinistra anziché

dal basso,

vedo

sostanzialmente

il grafico della

funzione inversa

x = (y-1) 1/3

col solo

inconveniente che

la variabile

indipendente y

cresce

quando muovo lo

sguardo nel verso

opposto

a quello al quale

sono abituato. Se guardo da qui, vedo normalmente la funzione

+1

diretta y=x 3

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 25

D’altra parte, potremmo anche decidere di considerare la funzione inversa come funzione “a sè stante”,

svincolata dalla funzione “diretta” dalla quale eravamo partiti.

In questo caso, poiché la consuetudine è di indicare la variabile indipendente col simbolo x e la variabile

dipendente con y, procederemo ad uno scambio di variabili.

Vediamo di spiegarci meglio.

Nel nostro esempio, eravamo partiti dalla funzione diretta

e approdati alla funzione inversa

Bene!

La è dunque quella “macchinetta” che, quando “ingoia” un numero, poi “sputa fuori” il numero ottenuto

sottraendo 1 al numero di partenza ed estraendo una radice cubica.

Se ora, anziché indicare il numero di partenza con y e quello di arrivo con x, indichiamo il numero di partenza

con x e quello di arrivo con y, e scriviamo dunque , la macchinetta resta sempre la

stessa, la legge che fa passare dalla variabile indipendente alla variabile dipendente non cambia affatto!

In una funzione, quello che importa è il LEGAME fra la variabile indipendente e la variabile dipendente, non

hanno importanza i NOMI che si riservano alle due variabili!

Ad esempio, le uguaglianze

ecc. ecc. ...

definiscono TUTTE LA STESSA FUNZIONE!!!

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 26

Pertanto, quando noi partiamo dall’uguaglianza y = f(x) per “invertirla”, isolando x al primo membro e

ricavando così l’equazione della funzione inversa x = f (y), se lo riteniamo opportuno (a volte la

1

convenienza c’è, altre volte no), possiamo scambiare i nomi delle due variabili scrivendo la stessa funzione

(x).

inversa sotto la forma y = f -1

Se la funzione inversa f è stata scritta sotto la forma y = f (x), allora, rappresentandola sullo stesso

1 -1

riferimento cartesiano nel quale avevamo tracciato il grafico della funzione diretta y = f(x), potremo notare una

cosa interessante e curiosa.

I due grafici, quello della funzione diretta f e quello dell’inversa f “scritta a variabili scambiate”, sono

-1

simmetrici l’uno dell’altro rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante!!!

Ciò è dovuto al fatto che un certo punto (a,b) appartiene al grafico della se e solo se la coppia

(a,b) è tale che ; ma ciò avviene se e solo se e perciò se e solo se il punto (b,a)

appartiene al grafico della .

Pertanto i singoli punti della curva grafico di si possono ottenere partendo da ciascun punto del

grafico della , e scambiandone le coordinate; il che equivale, come sappiamo, a simmetrizzare quel

punto rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

Naturalmente, una funzione può essere invertita solo se è iniettiva

(=a valori diversi di x, corrispondono sempre valori diversi di y =

= non c’è nessun valore di y che abbia più di una controimmagine =

= non c’è nessuna retta parallela all’asse delle x, che intersechi il grafico in più di un punto).

Spesso, una funzione f(x) non è iniettiva considerandola su tutto il suo dominio, ma è “iniettiva su di un

intervallo”; allora, si finisce per invertirla soltanto su tale intervallo.

Esempio: non è, evidentemente, iniettiva sul suo dominio R; ma lo è su .

Si può perciò invertire su ottenendo:

Giova tener presente, a proposito di questo discorso, che se una funzione è strettamente monotona

(=strettamente crescente, oppure strettamente decrescente) su tutto un intervallo, allora è iniettiva (e quindi

invertibile) su quell’intervallo. Ricordiamo che:

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Esercizi.

Per ciascuna delle seguenti funzioni:

a) ricava l’espressione della funzione inversa;

b) scambia i nomi delle variabili

c) rappresenta f ed f su di uno stesso riferimento cartesiano, per constatare la simmetria delle due

1

curve rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

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Le funzioni goniometriche inverse

La funzione y=sen x non è iniettiva se pensata

definita su tutto R; tuttavia, è iniettiva se si restringe

il suo dominio ad un opportuno intervallo.

Si conviene, al fine di invertire la funzione,

di pensarla sull’intervallo

(nel quale è crescente, quindi iniettiva, quindi

invertibile).

La funzione ottenuta invertendo y=sen x su questo

intervallo “standard”, viene indicata col simbolo

Dunque:

arc sen. Notare:

sen x viene invertita su

e assume i suoi valori in ;

allora la funz. inversa arc sen x è definita su

oppure, scambiando le variabili, e assume i suoi valori in .

Passando da una funzione alla sua inversa,

DOMINIO E CODOMINIO SI SCAMBIANO

La funzione y=cos x non è iniettiva se pensata definita

su tutto R; tuttavia, è iniettiva se si restringe il suo

dominio

ad un opportuno intervallo.

Si conviene, al fine di invertire la funzione, di pensarla

sull’intervallo

La funzione ottenuta invertendo y=cos x su questo

intervallo “standard”, viene indicata col simbolo arc

cos.

Dunque:

oppure, scambiando le variabili,

La funzione y=tg x non è iniettiva se pensata

definita su tutto R; tuttavia, risulta iniettiva se

si restringe il suo dominio ad un opportuno intervallo.

Si conviene, al fine di invertire la funzione,

di pensarla sull’intervallo

La funzione ottenuta invertendo y=tg x su questo

intervallo “standard”, si indica col simbolo arc tg. La funzione “arco tangente” y= arc tg x

è definita su tutto R, e i suoi valori vanno

oppure, scambiando le variabili, da (escluso) a (escluso).

Essendo ,

le due rette

fanno da asintoti orizzontali per la funzione.

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La formula per la derivata di una funzione inversa

funzione diretta

funzione inversa

(osserviamo che per il discorso che ci interessa in questo momento, sarebbe controproducente scambiare i

nomi della variabili!)

Se guardiamo la figura da sinistra

anziché dal basso,

vediamo il grafico della funzione

(y)

inversa x=f -1

a patto di riconoscere che l’asse di

quella che è per noi ora la variabile

indipendente (cioè y)

ci appare orientato al contrario

rispetto alle nostre abitudini.

Supponiamo ora f derivabile in x , con .

0

f sarà dunque anche continua in x ; di conseguenza, per un teorema a noi noto, anche la funzione inversa F

0

sarà continua in y =f(x ). Quando perciò faremo tendere a zero, anche tenderà a zero.

0 0

Possiamo scrivere:

ossia

NOTA.

Abbiamo già puntualizzato che quando tende a zero, anche tende a zero.

può essere riguardata come quantità che dipende da (=come funzione di ); quindi possiamo pensare ad una composizione

di funzioni, sulla quale è applicabile il “Teorema di sostituzione”.

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Tutto ciò dimostra (sostituendo, a questo punto, il simbolo x col simbolo x e il simbolo y col simbolo y,

0 0

ma tenendo comunque sempre presente che x, y indicheranno due valori che “si corrispondono”),

il seguente:

Teorema

La derivata di una funzione inversa è uguale al reciproco della derivata della

funzione diretta (purché quest’ultima derivata non sia nulla).

In simboli:

essendo:

x un punto fissato;

z F = f funzione inversa di f;

-1

z f ’(x) esistente e non nulla;

z y immagine di x attraverso la f;

z x controimmagine di y attraverso la f (o anche: immagine di y attraverso la F = f )

1

z E’ RICORDARE che

IMPORTANTISSIMO

le due derivate che compaiono nella formula si intendono calcolate in due punti che si corrispondono!

y = f(x), x = F(y)

Esempio

In questo caso, la formula darà:

Andiamo a controllare se è vero …:

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Le derivate delle funzioni goniometriche inverse

Come applicazione importante, siamo ora in grado di calcolare

le derivate delle funzioni goniometriche inverse .

Cominciamo dalla prima.

sarà la nostra funzione “diretta”,

sarà la rispettiva funzione inversa.

Essendo, per il teorema appena stabilito, , avremo:

NOTA.

Il coseno dell’arco il cui seno è y, vale .

Il radicale non va fatto precedere dal doppio segno

perché la scrittura indica sempre un arco

compreso fra e , quindi con coseno positivo.

E’ dunque .

Ma a questo punto possiamo osservare che la lettera y qui utilizzata per indicare la variabile indipendente

della funzione potrebbe essere tranquillamente sostituita con qualsiasi altro simbolo:

ad esempio, le tre scritture

hanno esattamente lo stesso significato.

Utilizzeremo nel seguito la scrittura con la variabile x, come d’abitudine.

Abbiamo in definitiva dimostrato che è

Con procedimenti analoghi si può provare che risulta


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flaviael

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di matematica utili per il ripasso dell'esame Matematica per le applicazioni (primo modulo), con nozioni su: le derivate (definizione e significato geometrico della derivata, derivate fondamentali), infinitesimi ed infiniti, importanti considerazioni sulla simbologia, la notazione di Leibniz.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Docente: Gori Franco
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.

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