Appunti Matematica

DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

Prima di enunciare un vero e proprio teorema a riguardo, illustriamo la derivazione di una funzione composta con una descrizione "alla buona" ed alcuni esempi.

La derivata di una funzione composta (=funzione di funzione) si ottiene:

• derivando la funzione principale (cioè, quella che si applica per ultima) "rispetto al suo argomento z" (voglio dire: facendo finta che il suo argomento non sia a sua volta una funzione, ma sia una variabile indipendente z; al posto di z, però, va poi scritta l'espressione che nella nostra mente abbiamo sostituito con z),
• poi moltiplicando ciò che si è ottenuto per la derivata (calcolata allo stesso modo) dell'argomento z,
• ... ed eventualmente iterando il procedimento per gli argomenti più "interni" ... capito?

Dal punto di vista pratico, vedrai che è semplice. Facciamo degli esempi.

(qui abbiamo una

composizione di TRE funzioni!)DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 19che si scrive in modo efficacissimo con la notazione di Leibniz:

Esercizi. Derivare le seguenti funzioni:

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Dimostrazione del teorema sulla derivata di una funzione composta

Per capire meglio quali sono le diverse quantità in gioco, pensiamo all'esempio specifico della funzione; si parte da x, si passa attraverso un calcolo intermedio applicando a x la funzione "cubo" che fornisce il, infine si applica la funzione "seno" a questo numero z, ottenendo il valore finale y.

numero z=x 3

Siamo d'accordo con il ruolo dei simboli x, z, y? OK? Possiamo allora partire col caso generale.

Noi vogliamo costruire il rapporto incrementale della funzione composta y(x), che è poi "y-che-dipende-da-z-che-dipende-da-x", ossia ,

Dunque: all'ascissa di partenza x corrisponde il valore z al quale corrisponde poi il valore y.

Se ora noi passiamo da x a , la

quantità intermedia z subisce un incremento che la porta al nuovovalore ; dopodiché, al valore , corrisponderà un determinato valore :

Il rapporto incrementale della funzione composta è ; ma si può scrivere

Ora facciamo tendere a zero. Supponiamo che la funzione z sia derivabile in x: essa sarà alloracertamente continua in x per un teorema ben noto e pertanto anche tenderà a 0; dunque avremo(supponendo altresì che la funzione y sia derivabile in z):e .

Resta perciò dimostrato che, cioè la tesi.

C’è però un piccolo guaio.Non sarebbe onesto affermare che questa dimostrazione è del tutto generale e completa: infatti essa nontiene conto del fatto che si potrebbe eventualmente annullare!!! Sei d’accordo? Può anche capitare, peruna funz. z=z(x), che, fissata un’ascissa x e dato a x un incremento , risulti tuttavia .

Caro lettore, se non sei particolarmente interessato ad approfondimenti,

accontentati pure di quanto scritto sopra (che costituisce una dimostrazione del teorema invero di gran lunga il più frequente, in cui nel caso, esiste per lo meno un intorno di x nell'ambito del quale, qualunque sia l'incremento che si dà alla x, la quantità z(x) subisce sempre un incremento non nullo). Se invece desideri la dimostrazione del tutto generale, prosegui la lettura. Insieme con la dimostrazione generale, daremo anche l'enunciato astratto del teorema, che, se badi, fino a questo momento non abbiamo mai formulato, accontentandoci della descrizione "alla buona" iniziale (quella che aveva tanto angosciato Snoopy) e della rassegna di esempi. Per una dimostrazione del tutto generale del teorema sulla derivazione delle funzioni composte, ritengo preferibile rendere più "mirata" la simbologia. Dunque:

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Teorema sulla derivazione di una funzione composta (=funzione di funzione)

Sia definita

incrementale e la derivata, non avrebbe significato. Ma noi possiamo attribuire a z, nel caso x = x₀, un valore convenzionale, ad esempio ponendo z = z₀. Facciamo dunque così. In definitiva, la quantità che compare nella (1) avrà il valore f'(z₀) e la (1) risulterà valida anche con x ≠ x₀.

La relazione (1) trae la sua verità dal fatto che l'ipotesi afferma la derivabilità di f(z) in z₀. f(z) è una funzione, definita su tutto un intorno di z; fin qui, NON stiamo ancora riguardando z come variabile che dipende da x, stiamo trattando z come una variabile indipendente, e indicando con Δz lo scostamento del suo valore dal valore di base z₀.

Fra un attimo riguarderemo invece z come variabile dipendente da x; al variare di x, varierà anche z; con x = x₀, sarà z = z₀, e quando x subirà un incremento algebrico diventando x + Δx, allora z diventerà z + Δz, subendo un ben determinato incremento algebrico (dipendente da Δx), che potrà eventualmente anche

essere nullo. Quindi, nel, passerà ad indicare quel benseguito, il simbolo , prima usato per indicare un generico incremento algebrico z-z 0determinato incremento alg., eventualmente anche nullo, che la z(x) subisce quando da x=x si passa a .0Dopo questa premessa, andiamo a costruire il rapporto incrementale in x della funzione F(x). Avendosi0saràe quindi, facendo tendere a 0 , dal momento che quando , anche ed , avremo

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 22DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 23Derivazione di una potenza ad esponente qualsiasiGrazie al teorema sulla derivazione della funzioni composte, siamo ora in grado di dimostrare un risultatomolto importante che avevamo già anticipato senza dimostrazione, ossia:la formula per la derivazione di una potenza:già provata nel caso che l’esponente fosse un numero naturale: n = 0, 1, 2, 3, …si estende a QUALUNQUE esponente reale (positivo, negativo, frazionario, irrazionale):DimostrazioneBasta scrivere la

potenza sotto forma di esponenziale di un logaritmo:

Applicando ora la regola per la derivazione di una funzione composta:

Derivazione di una funzione della forma [f(x)] g(x)

Questo accorgimento di esprimere la funzione data come esponenziale di un logaritmo si applica anche per la derivazione di una funzione della forma . Si procede come segue:

Niente paura, però: la formulaccia precedente non è assolutamente da imparare a memoria!

Si tratta invece di applicare lo stesso procedimento in tutti i casi particolari di questo tipo.

Esempio: se devo derivare la funzione , mi basta solo ricordare di trasformarla inesponenziale-di-un-logaritmo: il resto verrà da sé!

Importante, in quanto la utilizzeremo successivamente (occupandoci di “integrali indefiniti”) è l’osservazione seguente:

La derivata della funz. è SU TUTTO R, cioè sia con x>0 che con x<0

Si tratta ancora di una conseguenza del teorema sulla derivazione di una funzione

composta: con x>0, abbiamo 9 con x<0, abbiamo 9

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DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA

Ripasso: la funzione inversa di una funzione data

Consideriamo la funzione

E’ possibile ora, se si sceglie un valore di y, risalire al valore di x che ha generato quell’y?

Proviamoci.

Ecco fatto! La legge è chiamata “funzione inversa” della e indicata col simbolo

Questa legge, questa “funzione inversa”, permette di “tornare indietro”: a partire da y, si può risalire a quella che era la sua controimmagine x nella funzione diretta.

Dunque:

Supponiamo ora di voler rappresentare la funzione inversa appena ricavata, su di un riferimento cartesiano.

Tutto sommato, la rappresentazione ce l’abbiamo già, se abbiamo tracciato il grafico della funzione diretta! Sì, perché se noi anziché guardare il grafico dal solito punto di vista, ruotiamo il foglio di 90° in senso antiorario, avremo la y in

orizzontale e la x in verticale, quindi potremo seguire, al variare di y, come varia x, col solo fastidio che, contrariamente alle nostre abitudini, la variabile indipendente (che qui è y) assume valori crescenti allorquando ci spostiamo con lo sguardo verso sinistra e non verso destra.

Se guardo da sinistra anziché dal basso, vedo sostanzialmente il grafico della funzione inversa x = (y-1)^(1/3) col solo inconveniente che la variabile indipendente y cresce quando muovo lo sguardo nel verso opposto a quello al quale sono abituato.

Se guardo da qui, vedo normalmente la funzione +1 diretta y=x.

D'altra parte, potremmo anche decidere di considerare la funzione inversa come funzione "a sé stante", svincolata dalla funzione "diretta" dalla quale eravamo partiti.

In questo caso, poiché la consuetudine è di indicare la variabile indipendente col simbolo x e la variabile dipendente con y, procederemo ad uno scambio di

Variabili. Vediamo di spiegarci meglio. Nel nostro esempio, eravamo partiti dalla funzione diretta e approdati alla funzione inversa. Bene! La è dunque quella "macchinetta" che, quando "ingoia" un numero, poi "sputa fuori" il numero ottenuto sottraendo 1 al numero di partenza ed estraendo una radice cubica.

Se ora, anziché indicare il numero di partenza con y e quello di arrivo con x, indichiamo il numero di partenza con x e quello di arrivo con y, e scriviamo dunque , la macchinetta resta sempre la stessa, la legge che fa passare dalla variabile indipendente alla variabile dipendente non cambia affatto!

In una funzione, quello che importa è il LEGAME fra la variabile indipendente e la variabile dipendente, non hanno importanza.