Appunti Matematica

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 1

DERIVATE, PARTE A: definizione, derivate fondamentali

1. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA

Consideriamo la funzione , e studiamola per tracciarne il “grafico probabile”.

1) il dominio è tutto R

2)

3)

4)

Dal “grafico probabile” si desume la presenza di un punto di minimo relativo, con ascissa compresa fra 0 e 1.

Sarebbe molto interessante riuscire a determinare in modo preciso le coordinate di questo punto.

Osserviamo che, nel punto di minimo, la retta tangente è orizzontale, quindi ha coefficiente angolare uguale a

0: perciò se noi riuscissimo a trovare una formula che, per ciascun valore di x, fornisca il coefficiente angolare

della retta tangente alla nostra funzione nel punto di ascissa x, saremmo a posto, perché basterebbe

uguagliare a 0 l’espressione trovata.

Affrontiamo questo problema dapprima dal punto di vista

generale. Consideriamo (vedi figura qui a fianco) una

funzione y = f(x); sia x un’ascissa fissata;

indichiamo con P il punto del grafico, di ascissa x.

La retta tangente in P è definita come la posizione limite

di una retta secante PQ (con Q punto sulla curva, distinto da

P) quando il punto Q viene fatto tendere a P.

Indichiamo l’ascissa di Q con x+h

(essendo h un incremento che potrà essere positivo o anche

negativo: si parla di incremento “algebrico”). Avremo:

coeff. ang. della secante PQ =

z =

coeff. ang. della tangente t =

z

La quantità viene detta “rapporto incrementale”

(relativo al punto x e all’incremento h)

e rappresenta il coefficiente angolare della secante PQ.

Il , ammesso che esista finito,

viene detto derivata della funzione f nel punto x

e rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente

al grafico nel punto di ascissa x.

La derivata si indica col simbolo .

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 2

RICAPITOLIAMO:

Sia una funzione, e sia x un’ascissa fissata.

Sia poi h un incremento (positivo o negativo) per l’ascissa x.

Il rapporto

si dice “rapporto della funzione f, relativo al punto x e all’incremento h.

incrementale”

Esso è uguale al coeff. ang. della retta secante che passa per i punti .

Il limite (ammesso che esista finito)

si dice “derivata“ della funzione f nel punto x, è indicato con il simbolo ,

ed è uguale al coeff. ang. della retta tangente al grafico della funzione nel punto .

Osserviamo che:

a) Se il limite non esiste, si dice che “la f non è derivabile nel punto x”

b) Se il limite esiste, ma è infinito, si dice ancora che “la f non è derivabile in x”,

ma contemporaneamente si dice anche che “la f ha in x derivata infinita”.

La contraddizione terminologica è evidente, ma è entrata nell’uso

(anche perché, effettivamente, adottarla comporta alcuni vantaggi).

Evidentemente,

il caso a) si verifica se e solo se il grafico della f non ammette retta tangente in P(x, f(x)),

‰ mentre il caso b) si verifica se e solo se la posizione limite della retta secante PQ è verticale;

‰ qui, tuttavia, la posizione limite della retta secante viene chiamata “retta tangente” soltanto qualora

la funzione f sia continua nell’ascissa x.

Esempio: calcolare la derivata della funzione nel punto x=5.

z

Il coeff. ang. della retta tangente alla curva di equazione nel punto x=5 vale dunque 4 !

Esempio più generale:

z Calcolare la derivata della funzione nel generico punto di ascissa x.

NOTA: in esercizi di questo tipo, è IMPORTANTISSIMO tener presente che la quantità tendente a 0 è l'incremento h,

mentre l'ascissa x è FISSA. Nel calcolo del limite, x va trattata come una costante, h come la variabile (tendente a 0).

In definitiva:

Il coeff. ang. della retta tangente alla curva di equaz. nel punto di ascissa x vale dunque 2x-6 !

Perciò, ad esempio, si avrà: , ecc. ecc.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 3

Torniamo ora al problema da cui avevamo preso le mosse: ormai siamo in grado di risolverlo

z brillantemente!

Dunque, si trattava di trovare l’ascissa nella quale la funzione tocca il suo minimo relativo.

Avevamo osservato che in corrispondenza del punto in questione doveva annullarsi il coefficiente angolare

della tangente al grafico della funzione .

Calcoliamo l’espressione di tale coeff. ang. in corrispondenza della generica ascissa x, ossia calcoliamo la

derivata :

Ora cerchiamo il valore di x per cui :

Delle due ascisse trovate, quella di minimo relativo è quella compresa fra 0 e 1, ossia x=2/3.

Perciò Calcolare la derivata, nel generico punto x, della funzione

z

Abbiamo dunque dimostrato che la derivata della funzione è uguale a

(per esercizio, potresti ritrovare questo risultato, utilizzando una delle formule di prostaferesi anziché la

formula di sottrazione per il seno).

Osserviamo che tale derivata si annulla quando ,

insomma: quando (multipli dispari di )

Ma ciò va perfettamente d’accordo col fatto che pensando al grafico della funzione y=sen x, i punti in cui la

tangente alla curva è orizzontale sono quelli in cui la funzione tocca il suo massimo oppure il suo minimo,

ovvero i multipli dispari di .

Osserviamo inoltre che , il che significa che la sinusoide y =sen x attraversa l’origine

con inclinazione di coefficiente angolare 1, quindi di +45°.

Analogamente si ha: con ovvia interpretazione in termini di inclinazione del

grafico della y =sen x.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 1

DERIVATE, PARTE A: definizione, derivate fondamentali

1. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA

Consideriamo la funzione , e studiamola per tracciarne il “grafico probabile”.

1) il dominio è tutto R

2)

3)

4)

Dal “grafico probabile” si desume la presenza di un punto di minimo relativo, con ascissa compresa fra 0 e 1.

Sarebbe molto interessante riuscire a determinare in modo preciso le coordinate di questo punto.

Osserviamo che, nel punto di minimo, la retta tangente è orizzontale, quindi ha coefficiente angolare uguale a

0: perciò se noi riuscissimo a trovare una formula che, per ciascun valore di x, fornisca il coefficiente angolare

della retta tangente alla nostra funzione nel punto di ascissa x, saremmo a posto, perché basterebbe

uguagliare a 0 l’espressione trovata.

Affrontiamo questo problema dapprima dal punto di vista

generale. Consideriamo (vedi figura qui a fianco) una

funzione y = f(x); sia x un’ascissa fissata;

indichiamo con P il punto del grafico, di ascissa x.

La retta tangente in P è definita come la posizione limite

di una retta secante PQ (con Q punto sulla curva, distinto da

P) quando il punto Q viene fatto tendere a P.

Indichiamo l’ascissa di Q con x+h

(essendo h un incremento che potrà essere positivo o anche

negativo: si parla di incremento “algebrico”). Avremo:

coeff. ang. della secante PQ =

z =

coeff. ang. della tangente t =

z

La quantità viene detta “rapporto incrementale”

(relativo al punto x e all’incremento h)

e rappresenta il coefficiente angolare della secante PQ.

Il , ammesso che esista finito,

viene detto derivata della funzione f nel punto x

e rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente

al grafico nel punto di ascissa x.

La derivata si indica col simbolo .

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 2

RICAPITOLIAMO:

Sia una funzione, e sia x un’ascissa fissata.

Sia poi h un incremento (positivo o negativo) per l’ascissa x.

Il rapporto

si dice “rapporto della funzione f, relativo al punto x e all’incremento h.

incrementale”

Esso è uguale al coeff. ang. della retta secante che passa per i punti .

Il limite (ammesso che esista finito)

si dice “derivata“ della funzione f nel punto x, è indicato con il simbolo ,

ed è uguale al coeff. ang. della retta tangente al grafico della funzione nel punto .

Osserviamo che:

a) Se il limite non esiste, si dice che “la f non è derivabile nel punto x”

b) Se il limite esiste, ma è infinito, si dice ancora che “la f non è derivabile in x”,

ma contemporaneamente si dice anche che “la f ha in x derivata infinita”.

La contraddizione terminologica è evidente, ma è entrata nell’uso

(anche perché, effettivamente, adottarla comporta alcuni vantaggi).

Evidentemente,

il caso a) si verifica se e solo se il grafico della f non ammette retta tangente in P(x, f(x)),

‰ mentre il caso b) si verifica se e solo se la posizione limite della retta secante PQ è verticale;

‰ qui, tuttavia, la posizione limite della retta secante viene chiamata “retta tangente” soltanto qualora

la funzione f sia continua nell’ascissa x.

Esempio: calcolare la derivata della funzione nel punto x=5.

z

Il coeff. ang. della retta tangente alla curva di equazione nel punto x=5 vale dunque 4 !

Esempio più generale:

z Calcolare la derivata della funzione nel generico punto di ascissa x.

NOTA: in esercizi di questo tipo, è IMPORTANTISSIMO tener presente che la quantità tendente a 0 è l'incremento h,

mentre l'ascissa x è FISSA. Nel calcolo del limite, x va trattata come una costante, h come la variabile (tendente a 0).

In definitiva:

Il coeff. ang. della retta tangente alla curva di equaz. nel punto di ascissa x vale dunque 2x-6 !

Perciò, ad esempio, si avrà: , ecc. ecc.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 3

Torniamo ora al problema da cui avevamo preso le mosse: ormai siamo in grado di risolverlo

z brillantemente!

Dunque, si trattava di trovare l’ascissa nella quale la funzione tocca il suo minimo relativo.

Avevamo osservato che in corrispondenza del punto in questione doveva annullarsi il coefficiente angolare

della tangente al grafico della funzione .

Calcoliamo l’espressione di tale coeff. ang. in corrispondenza della generica ascissa x, ossia calcoliamo la

derivata :

Ora cerchiamo il valore di x per cui :

Delle due ascisse trovate, quella di minimo relativo è quella compresa fra 0 e 1, ossia x=2/3.

Perciò Calcolare la derivata, nel generico punto x, della funzione

z

Abbiamo dunque dimostrato che la derivata della funzione è uguale a

(per esercizio, potresti ritrovare questo risultato, utilizzando una delle formule di prostaferesi anziché la

formula di sottrazione per il seno).

Osserviamo che tale derivata si annulla quando ,

insomma: quando (multipli dispari di )

Ma ciò va perfettamente d’accordo col fatto che pensando al grafico della funzione y=sen x, i punti in cui la

tangente alla curva è orizzontale sono quelli in cui la funzione tocca il suo massimo oppure il suo minimo,

ovvero i multipli dispari di .

Osserviamo inoltre che , il che significa che la sinusoide y =sen x attraversa l’origine

con inclinazione di coefficiente angolare 1, quindi di +45°.

Analogamente si ha: con ovvia interpretazione in termini di inclinazione del

grafico della y =sen x.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 5

3. INFINITESIMI, INFINITI; “SCRITTURA FUORI DAL SEGNO DI LIMITE”

Della quantità , si può dire che è “un infinitesimo”. In Analisi matematica il termine

‰ infinitesimo

” viene spesso utilizzato per indicare

“

“una Altri es.:

funzione o quantità che tende a zero, nel contesto di cui ci si sta occupando”.

la funzione è un infinitesimo per

z e sono infinitesimi per

z è un infinitesimo per

z infinito

Analogamente, viene usata la parola " " per indicare

‰ es.

una funzione o quantità che tende all'infinito, nel contesto di cui ci si occupa;

• è un infinito per

• è un infinito per

• è un infinito per

scrittura fuori dal segno di limite

Per “ ” si intende

‰ la possibilità, nel caso si abbia ,

di esprimere la funzione come somma del limite più un infinitesimo:

essendo un infinitesimo quando .

In effetti, posto , si ha banalmente e

(in pratica, la quantità che compare nella scrittura non è altro che la differenza ).

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 6

4. IMPORTANTI CONSIDERAZIONI SULLA SIMBOLOGIA

Il simbolo :

Se si pensa x FISSATO, indica il valore dell