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DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 9

OSSERVAZIONE. A dire il vero, quando determineremo ed impareremo a memoria le regole per le derivate delle

funzioni elementari, di fronte ad un problema di questo tipo, preferiremo comportarci in un modo diverso.

Ragioneremo così: la derivata sinistra coincide col coefficiente angolare che avrebbe, nell’ascissa 1, la retta tangente al

grafico della funzione, se la funzione stessa mantenesse, anche a destra dell’ascissa 1, la medesima espressione

analitica che è valida con , ossia … e discorso analogo per la derivata destra (vedi figura sottostante).

Quindi, in modo molto più rapido ed efficiente:

NOTA : quando avremo imparato la regola per la derivata di un polinomio, ci metteremo un

decimo di secondo a ricavare: e

Altro esempio.

z La funzione è definita per ; essa ha due comportamenti profondamente diversi

a sinistra e a destra dell’ascissa 0. Infatti è

;

Da sinistra, la funzione “si tuffa” dunque nell’origine; ma secondo quale inclinazione avviene il “tuffo”?

Per rispondere a questa domanda, potremmo procedere come segue:

“completiamo per continuità” la definizione della funzione, ottenendo

La funzione F(x) è “figlia” della f(x), ma rispetto alla funzione “madre” ha, in più, la proprietà di essere definita nell’ascissa

0 e ivi CONTINUA A SINISTRA.

E’ evidente che l’inclinazione con cui la funzione madre f “si tuffa” nell’origine, provenendo dalla sinistra, è la stessa

inclinazione con la quale fa lo stesso “tuffo” la funzione figlia F.

Calcoliamo quindi il rapporto incrementale SINISTRO della F(x) nell’ascissa 0, e cerchiamone poi il limite quando

l’incremento h tende a 0; insomma, andiamo a calcolare la DERIVATA SINISTRA DELLA F(x). Dunque:

NOTA. Avevamo anticipato questo limite nel paragrafo sui “limiti notevoli”. Avevamo allora rimandato a tempi migliori la

dimostrazione che tale limite è 0, avvertendo che essa avrebbe potuto essere effettuata facilmente con strumenti matematici

che avremmo appreso successivamente. Tuttavia, dal punto di vista intuitivo, la rapidità con cui sappiamo tendere a zero

l’esponenziale, al tendere dell’esponente a , ci permette di prevedere ampiamente questo risultato.

Pertanto, da tutto quanto visto si trae che la funzione si “tuffa” nell’origine, DA SINISTRA, con

inclinazione uguale a 0 (tutt’altro che un tuffo “di testa” quindi ! ), come un grafico tracciato con software matematico

potrebbe confermare.

OSSERVAZIONE: si poteva giungere alla stessa conclusione anche calcolando il

Ma su questo discorso ritorneremo quando, più avanti, tratteremo il “Criterio sufficiente di derivabilità”.

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6. DERIVATE DELLE FUNZIONI FONDAMENTALI

“La derivata di una costante è zero”

Dimostrazione

(costante)

“La derivata della funzione identica y=x è 1”

Dimostrazione

Formula per la derivata di una potenza con esponente 2,3,4…

(che si estenderà poi a qualsiasi esponente reale)

Dimostrazione

NOTA 1: Si può dimostrare che vale, sia per n pari che per n dispari, la formula

NOTA 2: perché entro la quadra abbiamo n addendi, ciascuno dei quali tende a

Osserviamo che la validità della formula si può pensare estesa anche al caso n=1 che era stato trattato

precedentemente in modo autonomo. E la formula “funziona” , volendo, anche nel caso n=0.

Dimostreremo più avanti che la formula per la derivazione di una potenza è la stessa che abbiamo

cioè che

esponente reale (positivo o negativo),

scritto sopra per qualsiasi .

Ti suggerisco di fissare in mente fin d’ora questo risultato.

Per la dimostrazione della formula avremmo potuto anche utilizzare, al posto della scomposizione in

z fattori, lo sviluppo del “binomio di Newton”:

NOTA 3: perché entro parentesi quadra tutti gli addendi, tranne il primo, contengono come fattore una

potenza di h con esponente positivo e quindi tendono a zero al tendere a zero di h.

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Dimostrazione:

Osserviamo che la formula appena stabilita “va d’accordo” con quella per la derivazione di una potenza con

esponente intero ( e di cui abbiamo anticipato la validità per qualsiasi esponente reale).

Infatti, scrivendo come , se si applica formalmente la regola per la derivazione di una

potenza, stabilita nel caso che l’esponente fosse intero: , si ottiene

ossia il risultato corretto.

già dimostrata in precedenza

la cui dimostrazione è lasciata al lettore

da cui, in particolare, segue la formula di più frequente applicazione, ossia

Dimostrazione

da cui, in particolare, segue la formula di più frequente applicazione, ossia

Dimostrazione

e poiché, al tendere di h a 0, , avremo

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DERIVATE, PARTE B: operazioni con funzioni derivabili

7. TEOREMI SULLE OPERAZIONI CON FUNZIONI DERIVABILI

1)

Se due funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in uno stesso punto x, allora anche la loro somma f(x)+g(x)

è una funzione derivabile in quel punto, e la derivata della funzione somma nel punto x è uguale alla

somma delle derivate, nello stesso punto, delle funzioni addizionate. Brevemente:

La derivata della somma di due funz. derivabili esiste ed è uguale alla somma delle derivate”:

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

,

Dimostrazione

Esempio:

2)

La derivata del prodotto di una costante per una funzione derivabile esiste ed è uguale al

prodotto della costante per la derivata della funzione:

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

(se c è una costante ed f una funzione);

dimostrazione,

La facilissima, è lasciata al lettore.

Esempio:

Conseguenza notevole dei teoremi 1) e 2):

La derivata di una combinazione lineare di funzioni è uguale alla combinazione lineare

ciò si può esprimere dicendo che

(ovviamente, con gli stessi coefficienti) delle derivate:

“LA DERIVATA E’ UN OPERATORE LINEARE”

In simboli:

Esempio :

Altro es. :

Conseguenze notevoli del teorema 1) e del fatto che la derivata di una costante è 0 sono le

seguenti:

• Una costante additiva, nella derivazione, viene eliminata

• Se due funzioni differiscono per una costante additiva, allora hanno la stessa

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derivata

3)

Se due funzioni f(x) e g(x) sono entrambe derivabili in uno stesso punto x, allora anche il loro prodotto

f(x)g(x) è una funzione derivabile in quel punto, e la derivata di tale funzione prodotto nel punto x si

ottiene applicando una regola particolare. Brevemente:

La derivata del prodotto di due funzioni derivabili esiste e si ottiene con la seguente regola:

Scioglilingua:

(=moltiplicato)

“derivata della prima per la seconda, più la prima per la derivata della

seconda”

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

;

Dimostrazione

NOTA

Quando facciamo tendere h a zero, siamo sicuri che perché abbiamo supposto che

la funzione g sia derivabile in x, e un teorema noto ci assicura che se una funzione è derivabile in un

punto, allora è anche continua in quel punto.

Ricordiamo la definizione di continuità di una funzione in un punto:

Esempio:

La derivata del prodotto di più funzioni derivabili è uguale alla somma dei prodotti della

derivata di ciascuna funzione per tutte le altre:

Dimostrazione:

Esempi vari:

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Esercizi (risposte alla fine):

‰ I. Per quali valori di x la retta tangente al grafico della funzione y=x -x è inclinata di +45°?

3 2

II. Tracciare il grafico della funzione determinandone anche il punto di massimo.

III. Scrivere l’equaz. della retta tangente al grafico della funzione y=x -5x-1 nel suo punto di ascissa

4

2.

A tale scopo, tenere presente quanto detto nel riquadro sottostante:

IMPORTANTISSIMO:

La Geometria Analitica insegna che

l’equazione della retta di coefficiente angolare m, passante per (x ,y ) è:

0 0

Ora, poiché la derivata di una funzione in un punto fornisce il coefficiente angolare della retta tangente al

grafico della funzione in quel punto,

l’equazione della retta tangente al grafico di y = f(x) nel suo punto di ascissa x è:

0

IV. Stabilire per quale valore del parametro a la curva grafico funzione ha, nel

.

punto di ascissa 1, retta tangente orizzontale

Successivamente, stabilire la natura di questo punto: è di massimo relativo? di minimo rel. ? né l’uno né

l’altro?

Risposte agli il punto

esercizi: è di minimo

5)

Se due funzioni f(x) e g(x) sono entrambe derivabili in uno stesso punto x, allora anche il loro

quoziente f(x)/g(x) è una funzione derivabile in quel punto, e la derivata di tale funzione quoziente nel

punto x si ottiene applicando una regola particolare. Brevemente:

La derivata del quoziente di due funzioni derivabili esiste e si ottiene con la seguente regola:

Altri modi di schematizzare il teorema possono essere:

;

Dimostrazione:

NOTA. Anche in questo passaggio, come già nella dimostrazione del teorema sulla derivata di un prodotto, abbiamo utilizzato

il fatto che la derivabilità di una funzione in un punto, implica la continuità della stessa funzione in quel punto.

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Essendo, per ipotesi, g(x) derivabile nel punto x, la funzione g(x) sarà anche continua in x, per cui si avrà

• Esempio:

• Il seguente è un esempio notevole: 1

⋅ − ⋅ − +

2 2 2

sen x x x sen x sen x

cos cos ( ) x sen x

cos cos x

= = → = = =

y tg x y ' 2 2 2 2

x

cos x x

cos cos cos x sen x

+ = + 2

1 tg x

2 2

cos x cos x

Pertanto e analogamente si può dimostrare che

6) (e, naturalmente, non nulla nel punto considerato):

Derivata del reciproco di una funz. derivabile

Dimostrazione

Per il precedente teorema sulla derivata del quoziente di due funzioni, avremo, considerando come

quoziente fra la funzione costante 1 e la funzione f(x):

• Esempio:

Bell’esercizio 1:

‰ Considera la funzione e tracciane il “grafico probabile”.

a) Constaterai che la funzione deve presentare sia un minimo relativo che un massimo relativo:

determinane le coordinate.

b) Verifica che negli intervalli nei quali il grafico mostra un andamento crescente, la derivata della funzione

risulta avere segno positivo, mentre negli intervalli in cui la f è decrescente, la derivata è negativa.

Come spieghi questo fatto?

Bell’esercizio 2:

‰ a) Traccia il grafico probabile della funzione ,

b) poi determina le coordinate del suo minimo relativo e del suo massimo relativo.

c) Calcola l’espressione della funz. derivata e tracciane il grafico, nello stesso rif. cartesiano di g(x)

per osservare la relazione

Determina le equazioni delle rette tangenti alla curva , condotte dal punto

d) Suggerimento: si potrebbe provare a scrivere l’equazione della generica retta per A, poi porla a siste

con l’equazione della curva allo scopo di cercare i valori di m per i quali retta e curva hanno un’intersez

“doppia”… ma la ricerca di tali valori è problematica, poiché l’equazione risolvente del sistema è di te

grado e non di secondo!

Allora cambieremo strategia. Consideriamo il generico punto della curva,

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scriviamo l’equazione della retta tangente alla curva in P (in questa equazione t farà da parametro),

e imponiamo infine il passaggio di tale retta per A …

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DERIVATE, PARTE C: funzione composta, funzione inversa

8. DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

Prima di enunciare un vero e proprio teorema a riguardo, illustriamo la derivazione di una funzione composta con una

descrizione “alla buona” ed alcuni esempi.

La derivata di una funzione composta (=funzione di funzione) si ottiene:

• derivando la funzione principale (cioè, quella che si applica per ultima) “rispetto al suo argomento

z”

(voglio dire: facendo finta che il suo argomento non sia a sua volta una funzione, ma sia una variabile

indipendente z; al posto di z, però, va poi scritta l’espressione che nella nostra mente abbiamo sostituito con

z),

• poi moltiplicando ciò che si è ottenuto per la derivata (calcolata allo stesso modo) dell’argomento z

• … ed eventualmente iterando il procedimento per gli argomenti più “interni” …

… capito?

Dal punto di vista pratico, vedrai che è semplice. Facciamo degli esempi.

(qui abbiamo una composizione di TRE funzioni!)

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che si scrive in modo efficacissimo con la notazione di Leibniz:

Esercizi. Derivare le seguenti funzioni:

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Dimostrazione del teorema sulla derivata di una funzione composta

Per capire meglio quali sono le diverse quantità in gioco, pensiamo all’esempio specifico della funzione

;

si parte da x, si passa attraverso un calcolo intermedio applicando a x la funzione “cubo” che fornisce il

, infine si applica la funzione “seno” a questo numero z, ottenendo il valore finale y.

numero z=x 3

Siamo d’accordo con il ruolo dei simboli x, z, y? OK? Possiamo allora partire col caso generale.

Noi vogliamo costruire il rapporto incrementale della funzione composta y(x),

che è poi “y-che-dipende-da-z-che-dipende-da-x”, ossia ,

Dunque:

all’ascissa di partenza x corrisponde il valore z al quale corrisponde poi il valore y.

Se ora noi passiamo da x a , la quantità intermedia z subisce un incremento che la porta al nuovo

valore ; dopodiché, al valore , corrisponderà un determinato valore :

Il rapporto incrementale della funzione composta è ; ma si può scrivere

Ora facciamo tendere a zero. Supponiamo che la funzione z sia derivabile in x: essa sarà allora

certamente continua in x per un teorema ben noto e pertanto anche tenderà a 0; dunque avremo

(supponendo altresì che la funzione y sia derivabile in z):

e .

Resta perciò dimostrato che

, cioè la tesi.

C’è però un piccolo guaio.

Non sarebbe onesto affermare che questa dimostrazione è del tutto generale e completa: infatti essa non

tiene conto del fatto che si potrebbe eventualmente annullare!!! Sei d’accordo? Può anche capitare, per

una funz. z=z(x), che, fissata un’ascissa x e dato a x un incremento , risulti tuttavia .

Caro lettore, se non sei particolarmente interessato ad approfondimenti, accontentati pure di quanto scritto

sopra (che costituisce una dimostrazione del teorema invero di gran lunga il più frequente, in cui

nel caso,

esiste per lo meno un intorno di x nell’ambito del quale, qualunque sia l’incremento che si dà alla x, la quantità

z(x) subisce sempre un incremento non nullo).

Se invece desideri la dimostrazione del tutto generale, prosegui la lettura.

Insieme con la dimostrazione generale, daremo anche l’enunciato astratto del teorema, che, se badi, fino a

questo momento non abbiamo mai formulato, accontentandoci della descrizione “alla buona” iniziale (quella

che aveva tanto angosciato Snoopy) e della rassegna di esempi.

Per una dimostrazione del tutto generale del teorema sulla derivazione delle funzioni composte, ritengo

preferibile rendere più “mirata” la simbologia.

Dunque:

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Teorema sulla derivazione di una funzione composta (=funzione di funzione)

Sia definita su tutto un intorno di x e derivabile in x .

0 0

Sia y=f(z) definita su tutto un intorno di e derivabile in z .

0

Allora la funzione composta è derivabile in x e risulta

0

Essendo per ipotesi f(z) derivabile in z , si ha

0

da cui (scrittura fuori dal segno di limite)

e quindi

(1)

Bene! Abbiamo quindi scritto la relazione (1), nella quale compaiono gli incrementi della variabile z, calcolati rispetto

al punto z

0.

La (1) è stata ricavata partendo da un rapporto incrementale con a denominatore, per cui va pensata valida per

; tuttavia, è proprio il caso la “pietra dello scandalo” che ci ha costretto a cercare una via alternativa per la

dimostrazione. Ora, se, a posteriori, pensiamo alla (1) con , vediamo che essa, avendo il primo membro nullo e il

secondo membro caratterizzato dalla presenza di un fattore nullo, continuerebbe ad esser valida se non fosse per il fatto

che, in questo caso, la quantità , che era stata introdotta come differenza fra il rapporto incrementale e la derivata,

non avrebbe significato. Ma noi possiamo attribuire a , nel caso , un valore convenzionale, ad esempio

ponendo, per , . Facciamo dunque così. In definitiva, la quantità che compare nella (1) avrà il

valore

e la (1) risulterà valida anche con .

La relazione (1) trae la sua verità dal fatto che l’ipotesi afferma la derivabilità di f(z) in z

0.

f(z) è una funzione, definita su tutto un intorno di z ; fin qui, NON stiamo ancora riguardando z come variabile che dipende

0

da x, stiamo trattando z come una variabile indipendente, e indicando con lo scostamento del suo valore dal valore-

.

base z 0

Fra un attimo riguarderemo invece z come variabile dipendente da x; al variare di x, varierà anche z; con x=x , sarà z=z ,

0 0

e quando x subirà un incremento algebrico diventando , allora z diventerà , subendo un ben

determinato incremento algebrico (dipendente da ), che potrà eventualmente anche essere nullo. Quindi, nel

, passerà ad indicare quel ben

seguito, il simbolo , prima usato per indicare un generico incremento algebrico z-z 0

determinato incremento alg., eventualmente anche nullo, che la z(x) subisce quando da x=x si passa a .

0

Dopo questa premessa, andiamo a costruire il rapporto incrementale in x della funzione F(x). Avendosi

0

sarà

e quindi, facendo tendere a 0 , dal momento che quando , anche ed , avremo

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DERIVATA DI UNA FUNZIONE Pagina 23

Derivazione di una potenza ad esponente qualsiasi

Grazie al teorema sulla derivazione della funzioni composte, siamo ora in grado di dimostrare un risultato

molto importante che avevamo già anticipato senza dimostrazione, ossia:

la formula per la derivazione di una potenza:

già provata nel caso che l’esponente fosse un numero naturale: n = 0, 1, 2, 3, …

si estende a QUALUNQUE esponente reale (positivo, negativo, frazionario, irrazionale):

Dimostrazione

Basta scrivere la potenza sotto forma di esponenziale di un logaritmo:

Applicando ora la regola per la derivazione di una funzione composta:

Derivazione di una funzione della forma [f(x)] g(x)

Questo accorgimento di esprimere la funzione data come esponenziale di un logaritmo si applica anche per

la derivazione di una funzione della forma . Si procede come segue:

Niente paura, però: la formulaccia precedente non è assolutamente da imparare a memoria!

Si tratta invece di applicare lo stesso procedimento in tutti i casi particolari di questo tipo.

Esempio: se devo derivare la funzione , mi basta solo ricordare di trasformarla in

esponenziale-di-un-logaritmo: il resto verrà da sé!

Importante, in quanto la utilizzeremo successivamente (occupandoci di “integrali indefiniti”) è l’osservazione

seguente:

La derivata della funz. è SU TUTTO R, cioè sia con x>0 che con x<0

Si tratta ancora di una conseguenza del teorema sulla derivazione di una funzione composta:

con x>0, abbiamo

9 con x<0, abbiamo

9


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flaviael

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di matematica utili per il ripasso dell'esame Matematica per le applicazioni (primo modulo), con nozioni su: le derivate (definizione e significato geometrico della derivata, derivate fondamentali), infinitesimi ed infiniti, importanti considerazioni sulla simbologia, la notazione di Leibniz.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Docente: Gori Franco
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.

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