Definizioni Matematica generale

LIMITI DI FUNZIONI COMPOSTE

Teorema: data g o f definita da X a R, con xo appartenente a R e xo appartenente a DX, dati ilimiti per x che tende a xo di f(x) = l appartenente ai reali estesi, con f(x) ≠ l in un intorno dixo con x ≠ xo, e il limite di y che tende a l di g(x) = k appartenente ai reali estesi, ALLORA illimite per x che tende a xo di g(f(x)) = k.g(x) 0 0

Data y = f(x) ha dominio f(x) maggiore di 0; per evitare alcune FI come 0 , 1∞ e ∞ .g(x) loga[f(x) alla g(x)] g(x)* logaf(x)f(x) = a = a sono forme equivalenti.

Forma di risoluzione di alcune FI: se ho un limite per x che tende a ∞ di una fratta che mi dàuna forma indeterminata allora posso considerare il limite per x che tende a ∞ soltanto dellafrazione che ha per numeratore il monomio di grado massimo del numeratore e perdenominatore il monomio di grado massimo del denominatore. NON FARLO MAI CON ILLIMITE PER x CHE TENDE A 0!!!

Studio di funzione: si ricerca il dominio, si vedono le

simmetrie (pari o dispari), si cercano le intersezioni con l'asse delle y (x=0) e con l'asse delle x (y=0); si possono inoltre calcolare i limiti ma solo per x che tende ai punti di accumulazione della funzione, in base a questi poi si determinano gli asintoti e poi si cerca di definire l'andamento della curva studiandone il segno.

Il numero di Nepero: è un numero che vale 2,718281 e si indica con e. per trovarlo siamo partiti dalla successione con termine generico (1 + 1/x) con n appartenente a N0. Si noti che è una successione strettamente crescente ad elementi positivi. Sappiamo dal teorema delle funzioni monotone che il limite per n che tende a +∞ di (1 + 1/x) = sup della successione; sappiamo che an è compreso tra 2 e 3 (non catturato): l'estremo superiore della successione è proprio il numero di Nepero. E' un'esponenziale normale che va in su e log x ha lo stesso andamento di una logaritmica normale con base

maggiore di 1; si indica anche con la dicitura ln x o log x (in base 10 si scriverebbe Log x).

Limiti notevoli:

Limite per x che tende a ∞ di (x + 1/x) = e (numero di Nepero)

Limite per x che tende a ∞ di (x + a/x) = e

Limite per x che tende a 0 di (1 + ax) = e

Limite per x che tende a 0 di log (1 + x) / x = log e

Limite per x che tende a 0 di ln (1 + x) / x = ln e = 1

Limite per x che tende a 0 di (a -1) / x = ln a

Limite per x che tende a 0 di (e -1) / x = ln e = 1

Limite per x che tende a 0 di (1 + x) -1 / x = a

Alcune volte, ci sono dei casi in cui non c'è proprio il limite notevole ma c'è qualcosa che può essere ricondotto ad esso con una sostituzione introducendo ad esempio una t che sostituisce una quantità come 1/x. A volte occorre invece ricorrere alle proprietà delle potenze o dei logaritmi, a volte invece a delle semplici scomposizioni.

Infinitesimi: si chiamano infinitesimi quelle funzioni che per un limite che

tenda a un numero o a infinito dà come risultato 0.

Infiniti: si chiamano infiniti quelle funzioni che per un limite che tenda a un numero o a infinito dà come risultato ∞.

Data f(x) e g(x) infinitesimi per x che tende a x0, 4 casi di risultati di f(x)/g(x):

1. 0, prevale il numeratore, vuol dire che f è un infinitesimo di ordine superiore a g;
2. ℝ₀, non prevale nessuno, vuol dire che f e g sono infinitesimi dello stesso tipo;
3. ∞, prevale il denominatore, vuol dire che f è un infinitesimo di ordine superiore a g;
4. non esiste, f e g non sono confrontabili, non riesco a stabilire quale delle due prevale.

Data f(x) e g(x) infinitesimi per x che tende a x0, 4 casi di risultati di f(x)/g(x):

1. 0, prevale il denominatore, f è un infinito di ordine inferiore a g;
2. ℝ₀, non prevale nessuno, f e g sono infiniti dello stesso tipo;
3. ∞, prevale il numeratore, f è un infinito di ordine superiore a g;
4. Non esiste,

f e g non sono confrontabili, non riesco a stabilire quale delle due prevale.

CASO: limite per x che tende a xo f(x) + f1(x) / g(x) + g1(x); dove f è un infinito di ordine superiore a f1(x) e g(x) è un infinito di ordine superiore a g1(x).

Il limite per x che tende a xo f(x)* [1 + f1(x)/f(x)] /g(x) * [1 + g1(x)/g(x)] = lim per x che tende a xo di f(x)/g(x).

La scala degli infiniti: vale per x che tende a +∞; 2 3 4 x(a maggiore di 1) log x ≤ … ≤ x ≤ x ≤ x ≤ ... ≤ b (b maggiore di 1).

Per esempio tra due esponenziali prevale quella che ha base maggiore, tra altre curve l’esponenziale prevale sempre l’esponenziale.

Simboli:

• “o”, che si dice “o piccolo”; dati f e g definite nell’intorno di xo, con g(x)≠0 in tale intorno di xo con x≠0. Si dice che per x tendente a xo, f = o (g) se il limite per x tendente a xo di f(x)/g(x) = 0.
• F = o (1) per x tendente a xo, significa limite per x tendente a xo di

procede alla verifica perché non è ancora detto che ci sia l'asintoto obliquo. Occorre infatti verificare il limite per x che tende a ∞ di f(x) - ax: se il risultato è ∞ allora NON esiste l'asintoto obliquo; se il risultato è un numero (anche zero), allora quel numero viene indicato con b e ESISTE l'asintoto obliquo. L'equazione dell'asintoto obliquo è: y = ax + b.

Limiti di funzioni a più variabili: anche per le funzioni a più variabili si possono calcolare i limiti. Si presenta però un problema, dato dal fatto che Rn non è un insieme ordinato, pertanto non è possibile calcolare il limite destro e il limite sinistro, però rimane possibile il calcolo dei limiti per eccesso e per difetto. Sappiamo inoltre che esistono alcuni teoremi che valgono anche per le funzioni a più variabili, tra cui:

• Il teorema dell'unicità del limite;
• Il teorema della

permanenza del segno;

Tutti i teoremi del calcolo dei limiti;

Il teorema del confronto.

La definizione di limite presuppone che f(x) tenda a l indifferentemente da come x si avvicina a xo (nello spazio di Rn posso giungere a l da qualsiasi direzione: il limite esiste soltanto se ha lo stesso valore per qualsiasi direzione io intraprenda per avvicinarmi a xo). Per scoprirlo occorre intendere le funzioni a più variabili come vettori e verificare alcune direzioni: se c'è anche solo una direzione in cui il limite mi risulta diverso dalle altre allora quel limite non può essere calcolato.

Funzioni continue: (valido sia per le funzioni a una variabile che per le funzioni a più variabili). Prima di tutto xo deve appartenere alla funzione. Si presentano poi due possibilità:

Xo è un punto isolato: la funzione è sempre continua;

Xo è un punto di accumulazione:

Se il limite per x che tende a xo di f(x) = f(xo) la funzione è

limitato: una funzione si dice continua in [a,b]:

• Se per ogni xo appartenente a (a,b), il limite per x che tende a f(x) = f(xo);
• Se è continua a destra nell'estremo 'a', cioè limite per x che tende ad a+ di f(x) =f(a);
• Se è continua a sinistra nell'estremo 'b', cioè limite per x che tende a b- di f(x) = f(b);

Teorema: date f e g funzioni composte, data f continua in xo appartenente a X e g continua inyo = f(xo) appartenente a Y, allora g o f (composta) è continua in xo: la composizione di due funzioni continue conserva la continuità.

Al contrario, l'inversione di una funzione non conserva la continuità: partendo da una funzione continua invertibile non è detto che la sua inversa sia continua.

Teorema: sia f una funzione continua strettamente monotona sull'intervallo I posto Y = f(I), allora f-1 è continua strettamente monotona sull'intervallo Y (Y perché

L'insieme immagine di f diventa il dominio della funzione f^-1). Per mantenere la continuità nella funzione inversa, la funzione deve essere definita in un dominio composto da un unico intervallo. Se la funzione è definita in un dominio costituito da più intervalli ed è continua nelle funzioni che la costituiscono, l'unico problema potrebbe presentarsi nei cosiddetti punti di raccordo, cioè quelli che segnano il cambiamento di intervallo. Occorre allora studiare la continuità in quei punti (solo se appartengono al dominio) verificandone l'immagine e poi calcolando il limite destro e il limite sinistro: se tutti e tre questi valori sono uguali allora la funzione è continua anche nel punto di raccordo e quindi è continua in tutto il dominio, se invece ce n'è anche solo uno diverso allora la funzione non è continua in quel punto.

NB: se c'è un parametro all'interno