Matematica generale

Che cos'è una funzione?

Quando abbiamo 2 insiemi (partenza e finale), la funzione è la regola che unisce 1 elemento del 1° insieme a un elemento dell'altro insieme.

f : A → B

CAMPO DI ESISTENZAInsieme di tutti i valori che posso dare alla funzione f(x)=> È piú grande del dominio di definizione

DOMINIO DI DEFINIZIONESottoinsieme del CE su cui andiamo a studiare la funzione=> Viene deciso da noi, dall'esercizio

GRAFICO DI UNA FUNZIONERappresentazione su un piano cartesiano della funzione=> Si possono individuare MAX e MIN

Che cos’è una funzione?

Quando abbiamo 2 insiemi (partenza e finale), la funzione è la regola che unisce 1 elemento del 1° insieme a un elemento dell'altro insieme.

f: A → Bdominio codominio

CAMPO DI ESISTENZA

• Insieme di tutti i valori che posso dare alla funzione f(x)
• È più grande del dominio di definizione

DOMINIO DI DEFINIZIONE

• Sottoinsieme del CE su cui andiamo a studiare la funzione
• Viene deciso da noi, dall’esercizio

GRAFICO DI UNA FUNZIONE

• Rappresentazione su un piano cartesiano della funzione
• Si possono individuare MAX e MIN

Massimi e Minimi

• Max Assoluto

Sia f: A → R e sia x₀ ∈ A

x₀ è detto punto di massimo assoluto se

• f(x₀) ≥ f(x) ∀x ∈ R

In tal caso f(x₀) è detto valore di max assoluto

• Min Assoluto

Sia f: A → R e sia x₀ ∈ A

x₀ è detto punto di minimo assoluto se

• f(x₀) ≤ f(x) ∀x ∈ R

In tal caso f(x₀) è detto valore di min assoluto

• I punti di max e min assoluti possono:
  • non esistere
  • essere unici
  • essere infiniti
• I valori di max e min assoluti possono:
  • non esistere
  • solo essere unico

• Max Relativo (rispetto ai punti vicini)

Sia f: A → R e sia x₀ ∈ A

x₀ è detto punto di massimo relativo se

• ∃ I_x0 tale che f(x₀) ≥ f(x) ∀x ∈ A ∩ I_x0

• Min Relativo (rispetto ai punti vicini)

Sia f: A → R e sia x₀ ∈ A

x₀ è detto punto di minimo relativo se

• ∃ I_x0 tale che f(x₀) ≤ f(x) ∀x ∈ A ∩ I_x0

INTORNO

I_x0 = { x ∈ R : x₀-ε < x < x₀+ε }

I_x0⁺ = { x ∈ R : x₀ < x < x₀+ε }

I_x0^- = { x ∈ R : x₀-ε < x < x₀ }

CLASSIFICAZIONE PUNTI INSIEME

• PUNTO DI FRONTIERA

  Sia A un sottoinsieme A ⊂ Rⁿ e sia x₀ ∈ Rⁿ x₀ è detto DI FRONTIERA per A se ∀I_x0 risulta A ∩ I_x0 ≠ ∅ e A^c ∩ I_x0 ≠ ∅

• PUNTO INTERNO

  Sia A ⊂ Rⁿ e sia x₀ ∈ A x₀ è detto PUNTO INTERNO se ∃ I_x0 tale che I_x0 ⊂ A

Punto Esterno

Sia A⊆ℝⁿ e sia X₀∉A.

X₀ è detto Punto Esterno se ∃ I_X₀ tale che I_X₀ ∩ A = ∅ ovvero I_X₀ ⊆ A^c

Punto Isolato

Sia A⊂ℝⁿ e sia X₀∈A.

X₀ è detto Punto Isolato se ∃ I_X₀ tale che A ∩ I_X₀ = {X₀}

• Il suo intorno ha punti fuori dall'insieme.
• Il punto stesso però appartiene ad A.
• Un punto isolato è anche di frontiera.

Punto di Accumulazione

Sia A⊆ℝⁿ e sia X₀∈ℝⁿ.

X₀ è detto Punto di Accumulazione se ∀ I_X₀ ∃ Y ∈ A ∩ I_X₀, (Y) ≠ X₀.

• Per ogni intorno ci sono dei punti dell'insieme ≠ dal punto stesso.

• X₀ e X₂ sono punti di accumulazione perché mi ci posso avvicinare.
• X₀ non mi ci posso avvicinare quindi non è un punto di accumulazione.
• X₁∉A ma è comunque un punto di accumulazione.

NOTE

• Tutti i punti interni ad un insieme sono anche di accumulazione
• I punti di frontiera non isolati sono anche di accumulazione
• I punti di frontiera non sono es