Matematica generale

G

() vuol dire che

= =

2

si può considerare logaritmo in qualunque base positiva, purché diverso da 1

il logaritmo in base 10, si chiama logaritmo volgare

il logaritmo in base si chiama “logaritmo naturale” (simboli:

, (), ())

grafico del logaritmo di base maggiore di 1 (tipicamente del logaritmo naturale o in base 10):

è tanto più incurvato tanto più la base è elevata

è tanto meno incurvato tanto più la base si avvicina a 2

il logaritmo è negativo quando l’argomento è minore di 1

il logaritmo di 1 è 0

il logaritmo quando si avvicina sempre di più a 0, diventa negativo e diventa sempre più piccolo, precipita

quando l’argomento cresce, il logaritmo cresce, ma sempre più lentamente

il logaritmo di 0 non è definito, non esiste (0,

il domino della funzione del logaritmo è la semiretta aperta +∞)

si può calcolare il logaritmo per qualunque valore positivo della variabile, ma non per valori uguali a 0 o

negativi _ _ '( () la funzione inversa è esponenziale

= () = () = = =

se si compongono le due funzioni, si trova l’identità

'( '( def(_)

N()R = N()R = =

'( '( '(

di è uguale a di perché è uguale a fare vuol dire prendere

() (), () ();

'( def(_)

l’esponenziale, allora di vuol dire , che fa (perché il logaritmo di è il numero al quale

()

si deve elevare per avere

)

'( _ _

()R ) )

N = ( = ( =

'( _ '( _

() ( ), () ( ),

di è uguale a perché è uguale a calcolare vuol dire fare il logaritmo,

_

allora si deve fare il logaritmo di , che fa

proprietà dei logaritmi:

() = () + ()

5

N R = ()

(/) = () − ()

6. TRIGONOMETRIA ()

0 ù

circonferenza unitaria nel piano

si prende una semiretta di origine il punto in cui questa semiretta incontra la circonferenza

,

il punto ha ascissa e ordinata ( essendo l’ampiezza dell’angolo formato dalla semiretta)

() ()

/

il punto è il punto in cui la semiretta taglia la retta che si trova ad essere tangente della

= 1,

circonferenza trigonometrica

/

il punto ha ascissa 1 e ordinata

()

per misurare le distanze, e quindi le lunghezze dei segmenti, ci vuole un segmento che convenzionalmente

è indicato come unità di misura

per misurare l’ampiezza di un angolo è necessario un angolo che convenzionalmente è indicato come unità

di misura

per misurare l’ampiezza dell’angolo si prende la circonferenza unitaria, il cui centro è vertice dell’angolo,

,

e si prende come misura dell’angolo la lunghezza dell’arco della circonferenza indicato in rosso

questa si chiama misura in radianti

un angolo in radiante è un angolo che taglia, su questa circonferenza, un arco uguale ad

se l’angolo è di 1 radiante, il raggio è 1 e anche l’arco è 1

può essere visto come una sorta di triangolo equilatero

o

l’angolo di 1 radiante è un po’ meno di 60

l’angolo giro determina sulla circonferenza un arco che è lungo quanto tutta la circonferenza

o

la circonferenza di raggio 1 è lunga allora l’angolo di ha misura in radianti uguale a

2, 360 2

2 2 360

e e

= = =

e

360 360 2 = ()

si possono considerare anche angoli di ampiezza maggiore di 2

si trova per il seno e il coseno, un andamento ripetuto

il problema della lunghezza col segno di un segmento nasce quando il segmento è orientato

per mettere un segno al segmento, bisogna orientare il segmento e poi confrontare questa orientazione

con quella dell’ambiente in cui il segmento sta

se si deve andare da A verso B e A viene prima di B, il segno è positivo

se si deve andare da A verso B e B viene prima di A, il segno è negativo

la misura col segno di un segmento si ottiene se si considera il segmento orientato in una retta anche essa

orientata

segmento con segno + se i due versi sono concordi; segmento con segno – se i due versi sono discordi

se si vuole una misura col segno degli angoli, bisogna orientare l’angolo e orientare il piano e confrontare le

orientazioni

si orienta l’angolo e si confronta l’orientazione con quella del piano

non si possono ordinare i punti del piano

orientare un piano vuol dire scegliere un verso di rotazione (antiorario o orario)

si orienta un piano fissando un verso di rotazione

la scelta tradizionale di orientazione del piano è prendere per positivo il verso di rotazione antiorario

orientare l’angolo vuol dire stabilire quale si intende che sia il primo lato e quale il secondo

bisogna confrontare il senso di rotazione scelto per l’angolo con il senso di rotazione del piano

se il senso della rotazione dell’angolo è lo stesso di quello del piano, l’angolo ha segno positivo

se il senso della rotazione dell’angolo è diverso da quello del piano, l’angolo ha segno negativo

le funzioni di seno, coseno e tangente possono essere considerate e definite per ogni valore reale di (

essendo l’ampiezza in radianti dell’angolo)

la tangente, in realtà, non è definita da tutto l’asse reale

c ,c

in e non è definita

- -

dove la tangente non è definita, ci sono asintoti verticali

la tangente di un angolo si può definire come il rapporto tra seno e coseno

() = ()/()

dove il coseno è 0, la tangente non è definita

il fatto di fare tanti giri non ha influenza sulla determinazione di queste funzioni

( + 2) = () sono funzioni “periodiche, di periodo

( + 2) = () 2”

( diversa da periodica di periodo

( + ) = () /2 + , )

(3) =?

3 sta prima si

se si calcola la funzione seno in corrispondenza al valore 3 della variabile indipendente, si trova una

quantità piccola positiva

queste funzioni non sono invertibili, perché presentano coppie di punti sulla stessa orizzontale

se si restringe artificialmente il dominio, diventa invertibile

se si considera il coseno definito soltanto tra 0 e la funzione è invertibile

,

c ,c

se si considera il seno definito soltanto tra e , la funzione è invertibile

- -

[−/2,

= () = () ∈ /2]

è l’unico angolo tra e che ha come seno

() −/2 /2

è la funzione inversa della funzione seno, a patto che si consideri la funzione seno definita

()

soltanto tra e

−/2 /2 [0,

= () = () ∈ ]

è l’unico angolo tra e che ha come coseno

() 0

la tangente non è invertibile, ma diventa invertibile se si considera solo l’intervallo tra e

−/2 /2

il grafico della funzione seno in gradi arriva ad uno molto più lentamente

arriva ad 1 in corrispondenza al valore 90 della curva

se si va da 0 a 90 in radianti, ci sono molte più oscillazioni

=

( )

( )

= ×

prendendo il triangolo rettangolo ABC, se si fa il quoziente del lato verticale su quello orizzontale, si ottiene

la tangente dell’angolo

se si moltiplica la tangente di quest’angolo per il cateto orizzontale, si trova il cateto verticale

la tangente di un angolo è il rapporto del seno sul coseno

in questo triangolo rettangolo, il cateto verticale misura seno e il cateto orizzontale misura coseno

il seno e il coseno di un angolo sono le coordinate di questo punto

appartengono a questo teorema tutti e soli i punti del piano tali che la somma di una radice dia 1

se si considera la retta OP, questa forma 4 angoli con l’asse delle a due a due opposti al vertice e, quindi,

,

uguali ( e

− )

la tangente di e la tangente di non sono uguali

−

il coefficiente angolare è la tangente trigonometrica dell’angolo orientato che la retta forma con l’asse delle

ha segno positivo perché segue il senso di rotazione del piano, ha segno negativo perché va in

−

senso opposto, quindi diventa −

la tangente di e la tangente di è la stessa

−

7. SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

7.1. le successioni numeriche: definizioni

una successione numerica reale è:

• un vettore numerico reale con infinite componenti

• { }

un’infinità numerabile di numeri reali , , , …

( - ,

le componenti sono tante quanti sono i numeri reali

ciascuno di questi non viene più chiamato componente, ma termine della successione

4

• una famiglia “indiciata” di numeri reali

“indiciata” vuol dire munita di indice, di un contrassegno numerico che indica qual è il posto nella

{ }

successione &

• una funzione reale definita su : → () =

&

una funzione a valori reali di una variabile naturale

{1,2,3, } di qualunque l’ennesimo termine è

. . . = ,

&

{1,1,1, } il generico ennesimo termine è 1

. . . = 1

&

{1,2,1,2,1,2, } se è dispari, è 1

. . . =

& se è pari, è 2

{ = ()}

& (/- -

Û = N + 3R/ Ü

&

la maniera più pulita di definire una successione è di dare la legge di formazione dell’ennesimo termine

si ha una regola che ad ogni numero naturale fa corrispondere un numero reale

si ha esattamente una funzione a valori reali di una variabile naturale