Matematica generale

FUNZIONE

Legge che associa a tutti gli elementi del dominio un elemento del codominio (uno e uno solo)

D → C

quindi la circonferenza non è un grafico che rappresenta una funzione poiché ad ogni x (D) corrispondono più elementi della y (C)

DOMINIO

Insieme di appartenenza, insieme di numeri su cui la nostra funzione è definita. Questo dipende dal contesto

DOMINIO NATURALE = data una legge f il d.n. (o Campo di esistenza) è il più grande insieme numerico su cui sono definite le operazioni presenti in f

es.

• f(x) = x + 3

D = {x ∈ ℝ}

x può assumere tutti i valori ∈ ℝ

• f(x) = ^x+3/_x+1

D = {x ∈ ℝ: x ≠ −1}

• f(x) = √(x²−5x)

D = {x ∈ ℝ: x²−5x ≥ 0}

• f(x) = ln (x²−4)

D = {x ∈ ℝ: x²−4 > 0}

FUNZIONE DEFINITA A TRATTI

Il corpo della funzione è un sistema di funzioni con sottodomini associati

f(x) = {

• x+1    x ≥ −1
• x−1    x < −1

D = {x ∈ ℝ}

x ≥ −1

x < −1

Funzione

Legge che associa a tutti gli elementi del dominio un elemento del codominio (uno e uno solo)

D → C

quindi la circonferenza non è un grafico che rappresenta una funzione poichè ad ogni x (D) corrispondono più elementi della y (C)

Dominio

Insieme di appartenenza, insieme di numeri su cui la nostra funzione è definita. Questo dipende dal contesto.

Dominio Naturale = data una legge f il d.n. (o Campo di esistenza) è il più grande insieme numerico su cui sono definite le operazioni presenti in f

es.

1. f(x) = x + 3D = { x ∈ ℝ }
2. f(x) = ^{x + 3} / _{x + 1}D = { x ∈ ℝ: x ≠ -1 }
3. f(x) = √x² - 5xD = { x ∈ ℝ: x² - 5x > 0 }
4. f(x) = ln (x² - 4)D = { x ∈ ℝ: x² - 4 > 0 }

Funzione Definita a Tratti

Il corpo della funzione è un sistema di funzioni con sottodomini associati

f(x) = ^{x + 1} / _{x - 1} x > -1x - 1 x < -1

D = { x ∈ ℝ }

x ≥ -1x < -1

Proprietà topologiche della retta (dei sottoinsiemi di R)

Sono le proprietà geometriche degli insiemi

Intorno di un punto

Si chiama intorno circolare I_X₀ l'insieme dei numeri reali che stanno tra X₀ - R e X₀ + R con R > 0

R = raggio esclusi quei numeri al limite

I_X₀ = { X ∈ R : X ∈ (X₀ - R, X₀ + R) } → I(5) = (4,6)

Insieme aperto e punti interni

X₀ è un punto interno a X se esiste un intorno di X₀ che è un sottoinsieme di X

A = [3,5] 4 è punto interno per A?

Se fisso R = 0,1, I(4) = (3.9, 4.1) ⊆ A

= un insieme è aperto se tutti i suoi punti sono interni

Cioè, se esiste un intorno di X₀, che è un sottoinsieme di X

A non è un insieme aperto perché 3 non è un punto interno perché se metto l'intorno al 3 di 0,1 ciò il 2,9 non è compreso mentre non comprendendo il 5 si arriva al 4,9 e questo appartiene all'insieme degli stessi

X₀ è un punto di frontiera per X se per ogni intorno di X₀ individuo punti di X e punti di non X

A = [3,5] 3 è un punto di frontiera perché per qualsiasi intorno che si prende a destra si trovano punti che appartengono ad A mentre a sinistra no

4 non è un punto di frontiera perché sia a destra che a sinistra i numeri appartengono

I punti di frontiera sono gli estremi dell'insieme

INSIEME CHIUSO

= quando contiene tutti i suoi punti di accumulazione (o di frontiera)

A=[3,5] Acc(A)=[3,5] perché tutti i punti di questo insieme non è chiuso perché 5 è di accum. ma A non lo insieme contiene

C=[4,6] ∪ {7} Acc(C)=[4,6] solo questi perché 7 è isolato e quindi non puó essere di accumulazione.È chiuso perché contiene tutti i punti di accumulazione

INSIEME LIMITATO

= se è possibile vederlo come sottoinsieme di un insieme aperto∃ un intervallo di insieme aperto che lo contiene

X limitato se ∃ (a,b) : X ⊆ (a,b)

Per essere limitato deve almeno anche essere finito ovvero un inizio e una fine

INSIEME ILLIMITATO

= quando ha un inizio e non una fine cioè non esiste un altro insieme che lo contiene

D={X∈IR : X≥3} ^o---  ₃

Non è limitato, quindi è illimitatoD è aperto perché contiene tutti i suoi punti interni(3∈ in un intorno piccolo appartenente dell’insieme)