Matematica generale

FUNZIONE

Legge che associa a tutti gli elementi del dominio un elemento del codominio (uno e uno solo).

Quindi la circonferenza non è un grafico che rappresenta una funzione poiché ad ogni x (D) corrispondono più elementi della y (C).

DOMINIO

Insieme di appartenenza, insieme di numeri su cui la nostra funzione è definita. Questo dipende dal contesto.

• DOMINIO NATURALE = data una legge f, il d.n. (o Campo di esistenza) è il più grande insieme numerico su cui sono definite le operazioni presenti in f.

es.

• f(x) = x + 3
• D= {x ∈ ℝ} x può assumere tutti i valori ∈ ℝ
• f(x) = ^x+3⁄_x+1
• D= {x ∈ ℝ: x ≠ -1}
• f(x) = √(x²-5x)
• D= {x ∈ ℝ: x²-5x ≥ 0}
• f(x) = ln (x²-4)
• D= {x ∈ ℝ: x²-4 > 0}

FUNZIONE DEFINITA A TRATTI

Il corpo della funzione è un sistema di funzioni con sottodomini associati.

• f(x) = ^{x+1 x ≥ -1}
• ^{x-1 x < -1}
• D = {x ∈ ℝ}

x ≥ -1

x < -1

PROPRIETÀ TOPOLOGICHE DELLA RETTA

Sono le proprietà geometriche degli insiemi.

INTORNO DI UN PUNTO

Si chiama intorno circolare _Iₓ₀ insieme dei numeri reali che stanno fra _{x₀ - R} e _{x₀ + R} con R > 0

R = raggio esclusi quei numeri al limite

Se _{x₀ ∈ IR}: _{X ∈ (x₀ - R, x₀ + R)} → _{I(5) = (4,6)}

INSIEME APERTO E PUNTI INTERNI

x₀ appartiene a _X è un punto interno a _X se esiste un intorno x₀ che è un sottoinsieme di _X

A = [3,5] 4 è punto interno per A?

Se fisso R, 0,1 → _{I(4) = (3,9, 4,1) ⊆ A}

È un insieme è aperto se tutti i suoi punti sono interni cioè se esiste un intorno di x₀ che è un sottoinsieme di _X

A non è un insieme aperto perché 3 non è un punto interno perché se metto intorno al 3 di 0,1 quel 2,9 non è compreso mentre non comprendendo il 5 si arriva al 4,9 e questo appartiene ad un insieme lo stesso.

X₀ è un punto di frontiera per _X se per ogni intorno di x₀ individuo punt. di X e punt di non X.

È un insieme formato da tutti i punti che non appartengono a _X

A=[3,5] 3 è un punto di frontiera perché per qualsiasi intorno che si prende a destra si trovano punti che appartengono ad A mentre a sinistra no.

4 non è un punto di frontiera perché sia a destra che a sinistra i numeri appartengono.

I punti di frontiera sono gli estremi dell'insieme.

0 non è un punto interno ma di frontiera. Lo stesso 3 di conseguenza non è un insieme aperto. È un insieme chiuso perché contiene i punti di accumulazione.

E = {x ∈ ℝ: x - 4 ≯ 7} x² - 4 x + 5

x - 4 > 0 x + 5 ≥ 0 5 x ≤ 2 v x > 2 x > -5

D = {x ∈ ℝ: -5 < x ≤ -2 v x ≥ 2} (-5, -2] ∪ [2, +∞)

-5, -2, 2 sono punti di frontiera

Non è un insieme aperto perché -5 non è interno, nemmeno -2 e 2

Non è chiuso perché -5 che è di accumulazione non appartiene, lo nemmeno 2

Grafico di una funzione = luogo geometrico che contiene i valori per i quali la funzione è verificata

f(x) = |x + 2| + |4 - x|

- Si studia il segno degli argomenti del valore assoluto

|x + 2| = {x + 2, x > -2 -(x + 2), x ≤ 2

|4 - x| = {4 - x, x ≤ 4 -(4 - x), x ≥ 4

f(x) = {2 - x + 4 - x = -2x + 12, x ≤ -2 x + 2 + 4 - x = 6, -2 ≤ x ≤ 4 x + 2 - 4 + x = 2x - 2, x > 4

sono solo 3 perché sono 3 gli intervalli da considerare

Teorema della permanenza del segno

Sia f una funzione da R e x₀ punto di accumulazione per X.

Se ∃ lim_{x → x0} f(x) = ℓ con ℓ > 0 ∃ε > 0

∃ intorno di x₀ tale per cui f(x) ≥ 0 per ogni x appartenente all'intorno tranne x₀.

• ∃ lim_{x → x0} f(x) = ℓ con ℓ > 0.
• I_x0 | f(x) ≥ 0 ∀x ∈ I_x0 \ {x₀}

Ipotesi (Ciò che si sa.)

• lim_{x → x0} f(x) = ℓ ≥ 0

Tesi (Ciò che si deve dimostrare)

• ∃ f(x) ≥ 0 ∀x ∈ I_x0 \ {x₀}

Dimostrazione

Dall'ipotesi si sottintende che

• ∀ε > 0 ∃ I_x0 f(x) ∈ ℓ + ε
• ∀ε > 0 ∃ I_x0 f(x) ∈ ℓ − ε

Se ℓ > 0 posso scegliere un ε abbastanza piccolo positivo in modo tale che ℓ − ε > 0 e quindi f(x) → 0

Se ℓ < 0 posso scegliere un ε abbastanza piccolo positivo in modo che ℓ + ε < 0 e quindi f(x) ...

Algebra dei limiti

lim_{x → x0} f(x) = ℓ

lim_{x → x0} g(x) = m

• lim_{x → x0} [f(x) + g(x)] = ℓ + m
• Per somma e moltipl.
• Si sommano e moltipl. l'uscita.

• Per la divisione si fa sse m ≠ 0
• lim_{x → x0} [f(x)/g(x)] = ℓ/m

se nella divisione m → ∞ e ℓ ≠ 0 se m → 0 e ℓ ≠ 0 è indeterminata

• lim_{x → x0} f(x)/g(x) = ∞

CALCOLO DIFFERENZIALE (DERIVATE)

y = f(x)

Dato _{x0 ∈ E} X, considero un certo punto x₀ + h

La variazione delle due grandezze tra (x₀ e x₀ + h) si indica

Δx = (x₀ + h) - x₀h = incremento

Δy = f(x₀ + h) - f(x₀) = valore della variazione

Calcolare il coeff. angolare della retta tra x₀ e x₀ + h

Ricordiamo che il coeff. angolare di una retta per due punti (x₀, y₀) e (x₁, y₁) è il rapporto

m = ^{y₁ - y₀}/_{x1 - x0}

Quindi Δy / Δx = ^{f(x₀ + h) -f(x₀)} / h

Lim _{h → 0} ^{f(x₀ + h) - f(x₀)} / h = ⁰/₀perché h → 0 e i due punti sopra si annullano perché fissa

i due punti diventano una coincidenti con direzione ormai più possibilia questo punto la retta è tangentefunzione derivata

Quell limite se esiste ed è finito significa che la derivata prima esiste

Dato f(x) = x² - 4x

x ∈ [0,5] trovare max e min assoluto in e convesso ∀x

• - Primi di Polinomi
• - Punti in cui f'(x) = 0

f(x) [0,5]

f(0) = 0 f(5) = 5

x² - 4x | 4x - x² <= 0 x² - 4x >= 0

4x - x²

______________________

0 <= x <= 4

----------------------

4 <= x <= 5

(P'(x)) 4 - 2x 0 < x < 4

2x - 4

• - Zeichenwechsel
• 4<x<5

limx→4

2x - 4 = 4

x = 2

4 - 2x = 0

x = 2

• non è candidato
• Perché x = 2 è {1,5}

Possibilità [0;4,5]

• Min 0
• 0,5
• 0
• 4

• Max 0
• Max assoluto
• 5
• 2

TEOREMA DI ROLLE

Sia f definito e continuo su [a,b] e derivabile su (a,b) e f(a) = f(b) allora &exists; x₀ ∈ (a,b) : f'(x₀) = 0

IPOTESI

• (ciò che si sa)
• f continuo su [a,b]
• f derivabile su (a,b)
• f(a) = f(b)

TESI

• (da dimostrare)
• &exists; x₀ ∈ (a,b) : f'(x₀) = 0

DIMOSTRAZIONE

• n.1 Può essere che f restiti costante su [a,b]
• f(x) = k → f'(x) = 0
• ok soddisfa il teorema
• n.2 Se f non è costante grazie a Weierstrass, so che esistono massimi e minimi assoluti. Questi possono essere anche punti interni
• Per il teorema di Fermat se Max o Min è interno la derivata vale 0 quindi il teorema è verificato
• Quando esiste successiva tangent tangent con
• Esiste x₀ ∈ (a,b) : f'(x₀) = 0

Quando esiste una tangente al grafico parallelo alle costanti nei punti a b